यदि f: R rightarrow R एक दो बार अवकलनीय फलन ह | vedclass

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Question

(D) एक फलन $h(x) = f(x) - x$ को परिभाषित करें।दिया गया है कि $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ और $f(1) = 1$,इसलिए $h(\frac{1}{2}) = f(\frac{1}{2}) - \fr

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$f^{\prime}(1) > 1$

Vedclass · Answer

(D) एक फलन $h(x) = f(x) - x$ को परिभाषित करें।दिया गया है कि $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ और $f(1) = 1$,इसलिए $h(\frac{1}{2}) = f(\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} = 0$ और $h(1) = f(1) - 1 = 0$ है।चूंकि $f(x)$ दो बार अवकलनीय है,इसलिए $h(x)$ भी $[\frac{1}{2}, 1]$ पर अवकलनीय है।रोल के प्रमेय के अनुसार,कोई $\alpha \in (\frac{1}{2}, 1)$ मौजूद है जिसके लिए $h^{\prime}(\alpha) = 0$ है।चूंकि $h^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - 1$,इसका अर्थ है कि $f^{\prime}(\alpha) = 1$ है।हमें दिया गया है कि सभी $x \in R$ के लिए $f^{\prime \prime}(x) > 0$,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।चूंकि $\alpha $f^{\prime}(\alpha) = 1$ रखने पर,हमें $1 < f^{\prime}(1)$ प्राप्त होता है।

यदि $f: R \rightarrow R$ एक दो बार अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in R$ के लिए $f^{\prime \prime}(x) > 0$ है,और $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$,$f(1) = 1$ है,तो

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