जाँच कीजिए कि क्या रोले का प्रमेय $x \in [1, 2]$ के लिए फलन $f(x) = x^{2} - 1$ पर लागू होता है। क्या आप इस उदाहरण से रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?

(N/A) रोले के प्रमेय के अनुसार,एक फलन $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ के लिए,यदि:
$1$) $f$,$[a, b]$ पर संतत है
$2$) $f$,$(a, b)$ पर अवकलनीय है
$3$) $f(a) = f(b)$ है
तो,$(a, b)$ में कम से कम एक ऐसा $c$ विद्यमान है जिसके लिए $f'(c) = 0$ है।
फलन $f(x) = x^{2} - 1$ के लिए अंतराल $[1, 2]$ में:
- $f(x)$ एक बहुपद फलन है,इसलिए यह $[1, 2]$ पर संतत है और $(1, 2)$ पर अवकलनीय है।
- अंत बिंदुओं पर मान:
$f(1) = (1)^{2} - 1 = 0$
$f(2) = (2)^{2} - 1 = 3$
- चूँकि $f(1) \neq f(2)$,इसलिए रोले के प्रमेय की तीसरी शर्त पूरी नहीं होती है।
अतः,$f(x) = x^{2} - 1$ के लिए अंतराल $[1, 2]$ में रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है।
विलोम के बारे में: रोले के प्रमेय का विलोम यह कहता है कि यदि कोई $c \in (a, b)$ ऐसा है कि $f'(c) = 0$,तो $f(a) = f(b)$ होगा। यह हमेशा सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए,यदि $f(x) = x^{2}$ है,तो $x = 0$ पर $f'(0) = 0$ है,लेकिन $f(-1) = 1$ और $f(1) = 1$ है। हालाँकि,अन्य फलनों के लिए $f'(c) = 0$ होने का अर्थ यह नहीं है कि $f(a) = f(b)$ होगा।