मान लीजिए कि $f, g:[-1,2] \rightarrow R$ सतत फलन हैं जो अंतराल $(-1,2)$ पर दो बार अवकलनीय हैं। बिंदुओं $-1, 0$ और $2$ पर $f$ और $g$ के मान निम्नलिखित तालिका में दिए गए हैं:
$x$ $x=-1, 0, 2$
$f(x)$ $3, 6, 0$
$g(x)$ $0, 1, -1$

प्रत्येक अंतराल $(-1,0)$ और $(0,2)$ में फलन $(f-3g)^{\prime \prime}$ कभी शून्य नहीं होता है। तो सही कथन है(हैं):
$(A)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ के $(-1,0) \cup (0,2)$ में ठीक तीन हल हैं
$(B)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ का $(-1,0)$ में ठीक एक हल है
$(C)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ का $(0,2)$ में ठीक एक हल है
$(D)$ $f^{\prime}(x)-3g^{\prime}(x)=0$ के $(-1,0)$ में ठीक दो हल और $(0,2)$ में ठीक दो हल हैं

  • A
    $(A, B)$
  • B
    $(B, D)$
  • C
    $(A, D)$
  • D
    $(B, C)$

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माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) में,$f(b) - f(a) = (b - a)f'(c)$। यदि $a = 4$,$b = 9$ और $f(x) = \sqrt{x}$ है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए:

निम्नलिखित फलनों के लिए माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) की प्रयोज्यता की जाँच कीजिए:
$(i)$ $f(x) = [x]$,$x \in [5, 9]$ के लिए
$(ii)$ $f(x) = [x]$,$x \in [-2, 2]$ के लिए
$(iii)$ $f(x) = x^{2} - 1$,$x \in [1, 2]$ के लिए

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द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ पर विचार करें जहाँ $2a + 3b + 6c = 0$ है और $g(x) = a \frac{x^3}{3} + b \frac{x^2}{2} + cx$ लें।
कथन-$1$: द्विघात समीकरण का $(0, 1)$ अंतराल में कम से कम एक मूल है।
कथन-$2$: $[0, 1]$ अंतराल में फलन $g(x)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू किया जा सकता है।

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फलन $f(x) = (x - 3)^2$ अंतराल $[3, 4]$ में माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है। $y = (x - 3)^2$ पर वह बिंदु,जहाँ स्पर्श रेखा $(3, 0)$ और $(4, 1)$ को जोड़ने वाली जीवा के समानांतर है,है:

मान लीजिए कि $f(x)$,$[2,7]$ में एक अवकलनीय फलन है। यदि $f(2)=3$ और $(2,7)$ में सभी $x$ के लिए $f^{\prime}(x) \leq 5$ है,तो $x=7$ पर $f(x)$ का अधिकतम संभव मान क्या है?

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