$p$ के उन मानों का समुच्चय ज्ञात कीजिए जिनके लिए समीकरण $|\ln x| - px = 0$ के तीन भिन्न मूल हैं।

मान लीजिए $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,और $m$ और $n$ क्रमशः उन बिंदुओं की संख्या हैं,जहाँ फलन $f(x) = [x] + |x - 2|$,$-2 < x < 3$,संतत नहीं है और अवकलनीय नहीं है। तो $m + n$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि एक फलन $f(x)$ जो $f(x)=\begin{cases} a e^{x}+b e^{-x}, & -1 \leq x<1 \\ c x^{2}, & 1 \leq x \leq 3 \\ a x^{2}+2 c x, & 3 < x \leq 4 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है,कुछ $a, b, c \in R$ के लिए सतत है और $f'(0)+f'(2)=e$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f : R \to R$ एक अवकलनीय फलन है जो $f''(3) + f'(2) = 0$ को संतुष्ट करता है। तो $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{1 + f\left( {3 + x} \right) - f\left( 3 \right)}}{{1 + f\left( {2 - x} \right) - f\left( 2 \right)}}} \right)^{\frac{1}{x}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} x^{3}-3x+2, & x < 2 \\ x^{3}-6x^{2}+9x+2, & x \geq 2 \end{cases}$ है,तो:

मान लीजिए $f : (0, \pi) \rightarrow \mathbb{R}$ एक दो बार अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $\lim _{t \rightarrow x} \frac{f(x) \sin t - f(t) \sin x}{t-x} = \sin^2 x$ सभी $x \in (0, \pi)$ के लिए। यदि $f \left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{12}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A) f \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4 \sqrt{2}}$
$(B) f(x) < \frac{x^4}{6} - x^2$ सभी $x \in (0, \pi)$ के लिए
$(C)$ ऐसा $\alpha \in (0, \pi)$ मौजूद है कि $f^{\prime}(\alpha) = 0$
$(D) f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) + f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$