समीकरण $x^2 \cdot e^{2 - |x|} = 1$ के मूलों की संख्या है

यदि एक फलन $f$ इस प्रकार परिभाषित है:
$\begin{cases} f(x) = x-1, & \text{जब } -\infty < x < 1 \\ f(x) = 0, & \text{जब } x=1 \\ f(x) = x^3-1, & \text{जब } 1 < x < \infty \end{cases}$
तो $x=1$ पर,$f$ है:

मान लीजिए कि प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए $h(x) = \min \{ x, x^2 \}$ है। तो:

मान लीजिए $y(x) = (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)(1+x^{16})$ है। तो $x = -1$ पर $y'(x) - y''(x)$ का मान ज्ञात कीजिए:

फलन $f:(-\infty, \infty) \rightarrow(-\infty, \infty)$ पर विचार करें,जो $f(x)=\frac{x^2-a x+1}{x^2+a x+1}, 0 < a < 2$ द्वारा परिभाषित है।
$1.$ निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $(2+a)^2 f^{\prime \prime}(1)+(2-a)^2 f^{\prime \prime}(-1)=0$
$(B)$ $(2-a)^2 f^{\prime}(1)-(2+a)^2 f^{\prime \prime}(-1)=0$
$(C)$ $f^{\prime}(1) f^{\prime}(-1)=(2-a)^2$
$(D)$ $f^{\prime}(1) f^{\prime}(-1)=-(2+a)^2$
$2.$ निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $f(x)$ अंतराल $(-1,1)$ पर घट रहा है और $x=1$ पर स्थानीय न्यूनतम है
$(B)$ $f(x)$ अंतराल $(-1,1)$ पर बढ़ रहा है और $x=1$ पर स्थानीय अधिकतम है
$(C)$ $f(x)$ अंतराल $(-1,1)$ पर बढ़ रहा है लेकिन $x=1$ पर न तो स्थानीय अधिकतम और न ही स्थानीय न्यूनतम है
$(D)$ $f(x)$ अंतराल $(-1,1)$ पर घट रहा है लेकिन $x=1$ पर न तो स्थानीय अधिकतम और न ही स्थानीय न्यूनतम है
$3.$ मान लीजिए $g(x)=\int_0^{e^x} \frac{f^{\prime}(t)}{1+t^2} d t$ है। निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ $g^{\prime}(x)$ अंतराल $(-\infty, 0)$ पर धनात्मक और $(0, \infty)$ पर ऋणात्मक है
$(B)$ $g^{\prime}(x)$ अंतराल $(-\infty, 0)$ पर ऋणात्मक और $(0, \infty)$ पर धनात्मक है
$(C)$ $g^{\prime}(x)$ अंतराल $(-\infty, 0)$ और $(0, \infty)$ दोनों पर अपना चिह्न बदलता है
$(D)$ $g^{\prime}(x)$ अंतराल $(-\infty, \infty)$ पर अपना चिह्न नहीं बदलता है
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x^{3/5} & \text{यदि } x \le 1 \\ -(x - 2)^3 & \text{यदि } x > 1 \end{cases}$ है। तो फलन के ग्राफ पर क्रांतिक बिंदुओं (critical points) की संख्या क्या है?