मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{|x|}, & |x| \geqslant 1 \\ ax^2 + b, & |x| < 1 \end{cases}$ हर जगह सतत और अवकलनीय है। तो $a$ और $b$ हैं

यदि $f(x) = \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x \cos 16x$ है,तो $f'\left( \frac{\pi}{4} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f$,$\mathbb{R}$ पर एक अवकलनीय फलन है,जहाँ $f(2) = 1$ और $f'(2) = 4$ है। यदि $\lim_{x \rightarrow 0} (f(2+x))^{3/x} = e^\alpha$ है,तो वक्र $y = 4x^3 - 4x^2 - 4(\alpha - 7)x - \alpha$,$x$-अक्ष को कितनी बार काटता है?

मान लीजिए $f : R \to R$ एक अवकलनीय फलन है जो $f''(3) + f'(2) = 0$ को संतुष्ट करता है। तो $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{1 + f\left( {3 + x} \right) - f\left( 3 \right)}}{{1 + f\left( {2 - x} \right) - f\left( 2 \right)}}} \right)^{\frac{1}{x}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$x=1$ पर $f(x)=\cos ^{-1}\left[\sin \sqrt{\frac{1+x}{2}}\right]+x^x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलज क्या है?

List-$I$ में दी गई वस्तुओं का मिलान List-$II$ की वस्तुओं से करें:

List-$I$	List-$II$
$a$. यदि $y=|x|+|x-2|$ है,तो $x=2$ पर $\frac{dy}{dx}=$	$i$. $2$
$b$. यदि $f(x)=|\cos 2x|$ है,तो $f^{\prime}(\frac{\pi}{4}+)=$	$ii$. $0$
$c$. यदि $f(x)=\sin(\pi[x])$ है,जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,तो $f^{\prime}(1-)=$	$iii$. $-2$
$d$. यदि $f(x)=\log|x-1|, x \neq 1$ है,तो $f^{\prime}(\frac{1}{2})=$	$iv$. अस्तित्व नहीं है