निम्नलिखित में से कौन सा सत्य नहीं है?

एक फलन $f(x)$ के निम्नलिखित गुण दिए गए हैं:
$(i)$ $f(x)$ सतत है और सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
$(ii)$ $f'(-5) = 0$; $f'(2)$ परिभाषित नहीं है और $f'(4) = 0$ है।
$(iii)$ $(-5, 12)$ फलन $f(x)$ के ग्राफ पर एक बिंदु है।
$(iv)$ $f''(2)$ अपरिभाषित है,लेकिन अन्य सभी स्थानों पर $f''(x)$ ऋणात्मक है।
$(v)$ $f'(x)$ के चिह्न नीचे दी गई संख्या रेखा द्वारा दिए गए हैं:
$f'(x)$,$x < -5$ के लिए धनात्मक है,$-5 < x < 2$ के लिए ऋणात्मक है,$2 < x < 4$ के लिए धनात्मक है,और $x > 4$ के लिए ऋणात्मक है।
$y = f(x)$ के संभावित ग्राफ पर,हमारे पास है:

यदि $f(x)=\sin \left(\cos ^{-1}\left(\frac{1-2^{2 x}}{1+2^{2 x}}\right)\right)$ है और $x =1$ पर $x$ के सापेक्ष इसका प्रथम अवकलज $-\frac{ b }{ a } \log _{ e } 2$ है,जहाँ $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,तो $\left| a ^{2}- b ^{2}\right|$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए.........

एक वक्र समीकरणों $x = \sec^2 t$ और $y = \cot t$ द्वारा दर्शाया गया है,जहाँ $t$ एक प्राचल है। यदि वक्र पर बिंदु $P$ पर जहाँ $t = \pi / 4$ है,स्पर्श रेखा वक्र को पुनः बिंदु $Q$ पर मिलती है,तो $|PQ|$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x)$ और $g(x)$ इस प्रकार हैं कि $f(x) + \int\limits_0^x {g(t)dt = 2\sin x - \frac{\pi}{2}}$ और $f'(x)g(x) = \cos^2 x$ है। तो अंतराल $(0, 3\pi)$ में समीकरण $f(x) + g(x) = 0$ के हलों की संख्या क्या है?

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{|x|}, & |x| \geqslant 1 \\ ax^2 + b, & |x| < 1 \end{cases}$ हर जगह सतत और अवकलनीय है। तो $a$ और $b$ हैं