निम्नलिखित में से कौन सा सत्य नहीं है?

मान लीजिए $f$ और $g$ $R$ पर दो बार अवकलनीय फलन हैं ताकि
$f^{\prime \prime}(x)=g^{\prime \prime}(x)+6 x$
$f^{\prime}(1)=4, g^{\prime}(1)=3$
$f(2)=12, g(2)=4$
तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य नहीं है?

यदि $f(x) = \begin{cases} \int_{0}^{x} (5 + |1-t|) \, dt, & x > 2 \\ 5x + 1, & x \leq 2 \end{cases}$,तो:

मान लीजिए $g(x)$ एक रैखिक फलन है और $f(x) = \begin{cases} g(x) & , x \leq 0 \\ \left(\frac{1+x}{2+x}\right)^{\frac{1}{x}} & , x > 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है। यदि $f^{\prime}(1) = f(-1)$ है,तो $g(3)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक फलन है जो $f(x) = \begin{cases} \max_{t \leq x} \{t^3 - 3t\} & x \leq 2 \\ x^2 + 2x - 6 & 2 < x < 3 \\ [x-3] + 9 & 3 \leq x \leq 5 \\ 2x + 1 & x > 5 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $[t]$ वह महत्तम पूर्णांक है जो $t$ से कम या उसके बराबर है। मान लीजिए $m$ उन बिंदुओं की संख्या है जहाँ $f$ अवकलनीय नहीं है और $I = \int_{-2}^{2} f(x) dx$ है। तो क्रमित युग्म $(m, I)$ बराबर है:

यदि $\operatorname{Lt}_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=e^x(x+1)$ और $f(0)=0$ है,तो $\frac{d}{d x}\left(f(x) e^{-x}\right)+\frac{d}{d x}\left(\frac{f(x)}{x}\right)=$