यदि $f(x) = \begin{cases} 3x^2 + 12x - 1, & -1 \le x \le 2 \\ 37 - x, & 2 < x \le 3 \end{cases}$,तो:

मान लीजिए $f:R \to R$ एक सतत फलन है जो $f(x) = \frac{1}{e^x + 2e^{-x}}$ द्वारा परिभाषित है।
कथन-$1$: किसी $c \in R$ के लिए $f(c) = \frac{1}{3}$ है।
कथन-$2$: सभी $x \in R$ के लिए $0 < f(x) < \frac{1}{2\sqrt{2}}$ है।

किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$f_n:(0, \infty) \rightarrow R$ को $f_n(x)=\sum_{j=1}^n \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+(x+j)(x+j-1)}\right)$ के रूप में परिभाषित करें,जहाँ $x \in(0, \infty)$ है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ $\sum_{j=1}^5 \tan ^2(f_j(0))=55$
$(B)$ $\sum_{j=1}^{10}(1+f_j'(0)) \sec ^2(f_j(0))=10$
$(C)$ किसी भी निश्चित धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$\lim _{x \rightarrow \infty} \tan (f_n(x))=\frac{1}{n}$
$(D)$ किसी भी निश्चित धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$\lim _{x \rightarrow \infty} \sec ^2(f_n(x))=1$

त्रिघातीय फलन $f(x) = 2x^3 + 9x^2 + 12x + 1$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य नहीं है?

दो फलन $f$ और $g$ के $x = 0$ पर प्रथम और द्वितीय अवकलज विद्यमान हैं और वे निम्नलिखित संबंधों को संतुष्ट करते हैं: $f(0) = \frac{2}{g(0)}$,$f'(0) = 2g'(0) = 4g(0)$,$g''(0) = 5f''(0) = 6f(0) = 3$. तो:

समीकरण $e^{6x} - e^{4x} - 2e^{3x} - 12e^{2x} + e^{x} + 1 = 0$ के वास्तविक मूलों की संख्या है: