यदि $f(x) = \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x \cos 16x$ है,तो $f'\left( \frac{\pi}{4} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $f(x) = \begin{cases} 3-x & \text{यदि } x < -3 \\ 6 & \text{यदि } -3 \leq x \leq 3 \\ 3+x & \text{यदि } x > 3 \end{cases}$ है। माना $\alpha$,$f$ के असांतत्य बिंदुओं की संख्या है और $\beta$,उन बिंदुओं की संख्या है जहाँ $f$ अवकलनीय नहीं है। तो $\alpha+\beta=$

$x$-अक्ष के समानांतर रेखा जो वक्र $y = \sqrt{x}$ को $\frac{\pi}{4}$ के कोण पर काटती है,वह है:

यदि $f(x) = 4x^3 - x^2 - 2x + 1$ और $g(x) = \begin{cases} \min \{f(t) : 0 \le t \le x\} & ; 0 \le x \le 1 \\ 3 - x & ; 1 < x \le 2 \end{cases}$ है,तो $g\left( \frac{1}{4} \right) + g\left( \frac{3}{4} \right) + g\left( \frac{5}{4} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

वह बिंदुओं की संख्या,जहाँ वक्र $f(x) = e^{8x} - e^{6x} - 3e^{4x} - e^{2x} + 1$,$x \in R$,$x$-अक्ष को काटता है,बराबर है

मान लीजिए कि $f: (-\infty, \infty) - \{0\} \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $f^{\prime}(1) = \lim_{a \rightarrow \infty} a^2 f\left(\frac{1}{a}\right)$ है। तब $\lim_{a \rightarrow \infty} \left[ \frac{a(a+1)}{2} \tan^{-1}\left(\frac{1}{a}\right) + a^2 - 2 \log_e a \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।