यदि y^{x}+x^{y}+x^{x}=a^{b} है,तो frac{dy}{dx | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $y^{x}+x^{y}+x^{x}=a^{b}$.मान लीजिए $u=y^{x}, v=x^{y}$ और $w=x^{x}$,तब $u+v+w=a^{b}$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{du}{dx}+\f

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$\frac{-\left[y^{x} \log y+y \cdot x^{y-1}+x^{x}(1+\log x)\right]}{x \cdot y^{x-1}+x^{y} \log x}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $y^{x}+x^{y}+x^{x}=a^{b}$.मान लीजिए $u=y^{x}, v=x^{y}$ और $w=x^{x}$,तब $u+v+w=a^{b}$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}+\frac{dw}{dx}=0$ ... $(1)$.$u=y^{x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $\log u = x \log y$.अवकलन करने पर: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = x \cdot \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \cdot 1 \implies \frac{du}{dx} = y^{x} \left( \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \right)$ ... $(2)$.$v=x^{y}$ के लिए,दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $\log v = y \log x$.अवकलन करने पर: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = y \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot \frac{dy}{dx} \implies \frac{dv}{dx} = x^{y} \left( \frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx} \right)$ ... $(3)$.$w=x^{x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $\log w = x \log x$.अवकलन करने पर: $\frac{1}{w} \frac{dw}{dx} = x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 1 \implies \frac{dw}{dx} = x^{x}(1 + \log x)$ ... $(4)$.$(2), (3), (4)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$y^{x} \left( \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \right) + x^{y} \left( \frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx} \right) + x^{x}(1 + \log x) = 0$.$\frac{dy}{dx}$ वाले पदों को अलग करने पर: $\frac{dy}{dx} (x \cdot y^{x-1} + x^{y} \log x) = -[y^{x} \log y + y \cdot x^{y-1} + x^{x}(1 + \log x)]$.अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{-[y^{x} \log y + y \cdot x^{y-1} + x^{x}(1 + \log x)]}{x \cdot y^{x-1} + x^{y} \log x}$.

यदि $y^{x}+x^{y}+x^{x}=a^{b}$ है,तो $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए।

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