Differentiation of Exponential and Logarithmic Questions in Hindi

(B) माना कि $y = \log(\tan x)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\tan x} \cdot \frac{d}{dx}(\tan x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x$
चूँकि $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ और $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$,इसलिए:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{2 \sin x \cos x}$
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sin 2x} = 2 \csc 2x$.
अतः,सही विकल्प $B$ है.

(A) दिया गया फलन: $y = \log_{10}x + \log_x 10 + \log_x x + \log_{10} 10$
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$ का उपयोग करके,हम व्यंजक को सरल करते हैं:
$y = \frac{\ln x}{\ln 10} + \frac{\ln 10}{\ln x} + 1 + 1$
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln x}{\ln 10} \right) + \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln 10}{\ln x} \right) + \frac{d}{dx}(2)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ln 10} \cdot \frac{1}{x} + \ln 10 \cdot \frac{d}{dx} ((\ln x)^{-1}) + 0$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \ln 10} + \ln 10 \cdot (-1)(\ln x)^{-2} \cdot \frac{1}{x}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \ln 10} - \frac{\ln 10}{x (\ln x)^2}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \log_{x}(\log x)$.
आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं $f(x) = \frac{\log(\log x)}{\log x}$.
अब,भागफल नियम $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करके $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{\left(\frac{d}{dx}(\log(\log x))\right)(\log x) - (\log(\log x))(\frac{d}{dx}(\log x))}{(\log x)^2}$
$f'(x) = \frac{\left(\frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}\right)(\log x) - (\log(\log x))(\frac{1}{x})}{(\log x)^2}$
$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} - \frac{\log(\log x)}{x}}{(\log x)^2} = \frac{1 - \log(\log x)}{x(\log x)^2}$.
अब,$x = e$ पर $f'(x)$ का मान ज्ञात करने पर:
$f'(e) = \frac{1 - \log(\log e)}{e(\log e)^2}$.
चूंकि $\log e = 1$ और $\log(1) = 0$,इसलिए:
$f'(e) = \frac{1 - 0}{e(1)^2} = \frac{1}{e}$.

(C) हमें $y = \log_7(\log_7 x)$ का अवकलन ज्ञात करना है।
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_a b = \frac{\log_e b}{\log_e a}$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{\log_e(\log_7 x)}{\log_e 7} = \frac{1}{\log_e 7} \cdot \log_e(\log_7 x)$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 7} \cdot \frac{d}{dx}(\log_e(\log_7 x))$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dx}(\log_e u) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}$,जहाँ $u = \log_7 x = \frac{\log_e x}{\log_e 7}$:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 7} \cdot \frac{1}{\log_7 x} \cdot \frac{d}{dx}(\log_7 x)$.
चूँकि $\frac{d}{dx}(\log_7 x) = \frac{d}{dx}(\frac{\log_e x}{\log_e 7}) = \frac{1}{x \log_e 7}$:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 7} \cdot \frac{1}{\log_7 x} \cdot \frac{1}{x \log_e 7} = \frac{\log_7 e}{x \log_e x}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है $y = \log \left( \frac{1 + \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}} \right)$.
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए,$y = \log(1 + \sqrt{x}) - \log(1 - \sqrt{x})$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [\log(1 + \sqrt{x})] - \frac{d}{dx} [\log(1 - \sqrt{x})]$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{1 - \sqrt{x}} \cdot \left( -\frac{1}{2\sqrt{x}} \right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \left( \frac{1}{1 + \sqrt{x}} + \frac{1}{1 - \sqrt{x}} \right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \left( \frac{1 - \sqrt{x} + 1 + \sqrt{x}}{(1 + \sqrt{x})(1 - \sqrt{x})} \right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \left( \frac{2}{1 - x} \right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x}(1 - x)}$.

(A) दिया गया फलन $y = e^{x + 3\log x}$ है।
घातांक और लघुगणक के गुणों का उपयोग करके,हम व्यंजक को सरल बना सकते हैं:
$y = e^x \cdot e^{3\log x} = e^x \cdot e^{\log(x^3)} = e^x \cdot x^3$.
अब,गुणन नियम $\frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$ का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^x \cdot x^3) = e^x \cdot \frac{d}{dx}(x^3) + x^3 \cdot \frac{d}{dx}(e^x)$.
$\frac{dy}{dx} = e^x \cdot (3x^2) + x^3 \cdot (e^x)$.
$e^x \cdot x^2$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{dy}{dx} = e^x \cdot x^2(3 + x)$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) माना $y = \log \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right)$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right)} \cdot \sec^2 \left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right)} \cdot \sec^2 \left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) \cdot \frac{1}{2}$
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ और $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos \left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right)}{\sin \left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right)} \cdot \frac{1}{\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right)} \cdot \frac{1}{2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 \sin \left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right)}$
सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin \left( 2 \left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) \right)} = \frac{1}{\sin \left( \frac{\pi}{2} + x \right)}$
चूंकि $\sin \left( \frac{\pi}{2} + x \right) = \cos x$:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos x} = \sec x$.

(B) माना $y = \log (\sqrt{x - a} + \sqrt{x - b})$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x - a} + \sqrt{x - b}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x - a} + \sqrt{x - b})$
$= \frac{1}{\sqrt{x - a} + \sqrt{x - b}} \cdot \left( \frac{1}{2\sqrt{x - a}} + \frac{1}{2\sqrt{x - b}} \right)$
$= \frac{1}{\sqrt{x - a} + \sqrt{x - b}} \cdot \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{x - b} + \sqrt{x - a}}{\sqrt{x - a}\sqrt{x - b}} \right)$
$= \frac{1}{\sqrt{x - a} + \sqrt{x - b}} \cdot \frac{\sqrt{x - a} + \sqrt{x - b}}{2\sqrt{(x - a)(x - b)}}$
$= \frac{1}{2\sqrt{(x - a)(x - b)}}$.

(D) माना $y = \log_e \left( \sqrt{\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}} \right)$.
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए,$y = \frac{1}{2} [\log_e(1 + \sin x) - \log_e(1 - \sin x)]$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[ \frac{\cos x}{1 + \sin x} - \frac{-\cos x}{1 - \sin x} \right]$
$= \frac{\cos x}{2} \left[ \frac{1 - \sin x + 1 + \sin x}{(1 + \sin x)(1 - \sin x)} \right]$
$= \frac{\cos x}{2} \left[ \frac{2}{1 - \sin^2 x} \right]$
$= \frac{\cos x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x} = \sec x$.

(B) माना $y = \log \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ और $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = \log \sqrt{\frac{2 \sin^2 (x/2)}{2 \cos^2 (x/2)}} = \log \sqrt{\tan^2 \frac{x}{2}} = \log \left( \tan \frac{x}{2} \right)$.
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\tan (x/2)} \cdot \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos (x/2)}{\sin (x/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2 (x/2)} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 \sin (x/2) \cos (x/2)}$.
सर्वसमिका $\sin x = 2 \sin (x/2) \cos (x/2)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin x} = \text{cosec } x$.

(A) दिया गया है $y = \sqrt{\frac{1 + e^x}{1 - e^x}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $y^2 = \frac{1 + e^x}{1 - e^x}$.
भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = \frac{(1 - e^x)(e^x) - (1 + e^x)(-e^x)}{(1 - e^x)^2}$
$2y \frac{dy}{dx} = \frac{e^x - e^{2x} + e^x + e^{2x}}{(1 - e^x)^2} = \frac{2e^x}{(1 - e^x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{y(1 - e^x)^2}$
$y = \sqrt{\frac{1 + e^x}{1 - e^x}}$ का मान रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{\sqrt{\frac{1 + e^x}{1 - e^x}} (1 - e^x)^2} = \frac{e^x}{\sqrt{1 + e^x} \sqrt{1 - e^x} (1 - e^x)} = \frac{e^x}{(1 - e^x) \sqrt{(1 + e^x)(1 - e^x)}}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{(1 - e^x) \sqrt{1 - e^{2x}}}$.

(D) हमें दो लघुगणकीय फलनों के गुणनफल का अवकलन ज्ञात करना है: $\frac{d}{dx}[(\log_e x)(\log_a x)]$.
सबसे पहले,लघुगणक के लिए आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करें: $\log_a x = \frac{\log_e x}{\log_e a}$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर: $\frac{d}{dx}[(\log_e x) \cdot \frac{\log_e x}{\log_e a}] = \frac{1}{\log_e a} \cdot \frac{d}{dx}[(\log_e x)^2]$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$(\log_e x)^2$ का अवकलन $2(\log_e x) \cdot \frac{d}{dx}(\log_e x) = 2(\log_e x) \cdot \frac{1}{x}$ होता है।
अतः,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: $\frac{1}{\log_e a} \cdot \frac{2\log_e x}{x} = \frac{2}{\log_e a} \cdot \frac{\log_e x}{x}$.
चूंकि $\frac{\log_e x}{\log_e a} = \log_a x$,इसलिए अंतिम परिणाम $\frac{2\log_a x}{x}$ प्राप्त होता है।

(D) माना $y = \log \left( \frac{e^x}{1 + e^x} \right)$.
लघुगणक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\log \left( \frac{a}{b} \right) = \log a - \log b$,हमें प्राप्त होता है:
$y = \log(e^x) - \log(1 + e^x) = x - \log(1 + e^x)$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(\log(1 + e^x))$.
$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{1 + e^x} \cdot \frac{d}{dx}(1 + e^x)$.
$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{e^x}{1 + e^x}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + e^x - e^x}{1 + e^x} = \frac{1}{1 + e^x}$.
चूंकि $\frac{1}{1 + e^x}$ दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $(D)$ है।

(A) माना $y = \log \sqrt{\sin \sqrt{e^x}}$.
लघुगणक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\log(a^n) = n \log a$,हम लिख सकते हैं:
$y = \frac{1}{2} \log(\sin \sqrt{e^x})$.
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sin \sqrt{e^x}} \cdot \frac{d}{dx}(\sin \sqrt{e^x})$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sin \sqrt{e^x}} \cdot \cos \sqrt{e^x} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{e^x})$.
चूंकि $\sqrt{e^x} = (e^x)^{1/2} = e^{x/2}$,इसलिए:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cot \sqrt{e^x} \cdot \frac{d}{dx}(e^{x/2})$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cot(e^{x/2}) \cdot e^{x/2} \cdot \frac{1}{2}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} e^{x/2} \cot(e^{x/2})$.

(B) दिया गया है $y = \log(\log x)$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,हमें $e^y = \log x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{d}{dx}(e^y) = \frac{d}{dx}(\log x)$ प्राप्त होता है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$e^y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है $y = \log_{\sin x}(\tan x)$.
आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $y = \frac{\log(\tan x)}{\log(\sin x)}$.
भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(\log(\sin x)) \cdot \frac{d}{dx}(\log(\tan x)) - (\log(\tan x)) \cdot \frac{d}{dx}(\log(\sin x))}{(\log(\sin x))^2}$.
चूंकि $\frac{d}{dx}(\log(\tan x)) = \frac{\sec^2 x}{\tan x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$ और $\frac{d}{dx}(\log(\sin x)) = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$,
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\tan x = 1$,$\log(\tan x) = 0$,और $\log(\sin x) = \log(2^{-1/2}) = -\frac{1}{2} \log 2$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{\pi/4} = \frac{(-\frac{1}{2} \log 2) \cdot (\frac{1}{(1/\sqrt{2})(1/\sqrt{2})}) - (0) \cdot (1)}{(-\frac{1}{2} \log 2)^2} = \frac{-\frac{1}{2} \log 2 \cdot 2}{\frac{1}{4} (\log 2)^2} = \frac{-\log 2}{\frac{1}{4} (\log 2)^2} = \frac{-4}{\log 2}$.

(A) दिया गया है $y = \log_2(\log_2(x))$.
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_a b = \frac{\log_e b}{\log_e a}$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{\log_e(\log_2 x)}{\log_e 2} = \frac{\log_e(\frac{\log_e x}{\log_e 2})}{\log_e 2}$
$y = \frac{\log_e(\log_e x) - \log_e(\log_e 2)}{\log_e 2}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 2} \cdot \frac{d}{dx} [\log_e(\log_e x) - \log_e(\log_e 2)]$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 2} \cdot \frac{1}{\log_e x} \cdot \frac{d}{dx}(\log_e x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 2} \cdot \frac{1}{\log_e x} \cdot \frac{1}{x}$
चूंकि $\frac{1}{\log_e 2} = \log_2 e$,अतः:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\log_2 e}{x \log_e x}$.

(B) दिया गया फलन $f(x) = 3e^{x^2}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = 3 \cdot e^{x^2} \cdot (2x) = 6xe^{x^2}$ प्राप्त होता है।
अब,$x = 0$ पर फलन और उसके अवकलज का मान ज्ञात करते हैं:
$f(0) = 3e^{0^2} = 3(1) = 3$.
$f'(0) = 6(0)e^{0^2} = 0$.
इन मानों को व्यंजक $f'(x) - 2xf(x) + \frac{1}{3}f(0) - f'(0)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= 6xe^{x^2} - 2x(3e^{x^2}) + \frac{1}{3}(3) - 0$
$= 6xe^{x^2} - 6xe^{x^2} + 1 - 0$
$= 1$.

(A) माना $y = \log \left\{ e^x \left( \frac{x + 2}{x - 2} \right)^{3/4} \right\}$ है।
$\log(ab) = \log a + \log b$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$y = \log(e^x) + \log \left( \frac{x + 2}{x - 2} \right)^{3/4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\log(e^x) = x$ और $\log(a^n) = n \log a$,इसलिए $y = x + \frac{3}{4} \log \left( \frac{x + 2}{x - 2} \right)$ होगा।
$\log \left( \frac{a}{b} \right) = \log a - \log b$ का उपयोग करने पर,$y = x + \frac{3}{4} [ \log(x + 2) - \log(x - 2) ]$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) + \frac{3}{4} \left[ \frac{d}{dx} \log(x + 2) - \frac{d}{dx} \log(x - 2) \right]$.
$\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{3}{4} \left[ \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x - 2} \right]$.
$\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{3}{4} \left[ \frac{(x - 2) - (x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} \right] = 1 + \frac{3}{4} \left[ \frac{-4}{x^2 - 4} \right]$.
$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{3}{x^2 - 4} = \frac{x^2 - 4 - 3}{x^2 - 4} = \frac{x^2 - 7}{x^2 - 4}$.

(A) दिया गया फलन $y = e^{(1 + \log_e x)}$ है।
घातांक के नियम $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = e^1 \cdot e^{\log_e x}$
चूंकि $e^{\log_e x} = x$,इसलिए समीकरण सरल होकर निम्न हो जाता है:
$y = e \cdot x$
अब,$x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(ex)$
चूंकि $e$ एक स्थिरांक है,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = e \cdot \frac{d}{dx}(x) = e \cdot 1 = e$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है कि $y = \log_{10}(x^2)$।
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_a b = \frac{\log_e b}{\log_e a}$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = \frac{\log_e(x^2)}{\log_e 10}$
लघुगणक के गुणधर्म $\log(a^n) = n \log a$ का उपयोग करते हुए:
$y = \frac{2 \log_e x}{\log_e 10}$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{2 \log_e x}{\log_e 10} \right)$
चूंकि $\frac{2}{\log_e 10}$ एक अचर है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\log_e 10} \cdot \frac{d}{dx}(\log_e x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\log_e 10} \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x \log_e 10}$.

(C) दिया गया है $y = 3^{x^2}$।
हम जानते हैं कि घातांकीय फलन का अवकलन $\frac{d}{dx}(a^u) = a^u \cdot \ln(a) \cdot \frac{du}{dx}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ एक स्थिरांक है और $u$,$x$ का एक फलन है।
श्रृंखला नियम (chain rule) लागू करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(3^{x^2})$
$\frac{dy}{dx} = 3^{x^2} \cdot \ln(3) \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$
चूँकि $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = 3^{x^2} \cdot \ln(3) \cdot 2x$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = 3^{x^2} \cdot 2x \cdot \log_e 3$.

(C) माना $y = \log f(e^x + 2x)$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) लागू करने पर,अवकलज होगा:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{f(e^x + 2x)} \cdot f'(e^x + 2x) \cdot \frac{d}{dx}(e^x + 2x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{f'(e^x + 2x) \cdot (e^x + 2)}{f(e^x + 2x)}$
अब,$x = 0$ पर मान ज्ञात करने पर:
$x = 0$ के लिए,फलन का तर्क $e^0 + 2(0) = 1 + 0 = 1$ होगा।
अवकलज के व्यंजक में $x = 0$ रखने पर:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = \frac{f'(1) \cdot (e^0 + 2)}{f(1)}$
दिया गया है कि $f(1) = 3$ और $f'(1) = 2$ है:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = \frac{2 \cdot (1 + 2)}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2$.

(C) माना $y = \log \left\{ e^x \left( \frac{x - 2}{x + 2} \right)^{3/4} \right\}$ है।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए,$\log(ab) = \log a + \log b$ और $\log(a^n) = n \log a$:
$y = \log(e^x) + \log \left( \frac{x - 2}{x + 2} \right)^{3/4}$
$y = x + \frac{3}{4} [\log(x - 2) - \log(x + 2)]$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) + \frac{3}{4} \left[ \frac{d}{dx}(\log(x - 2)) - \frac{d}{dx}(\log(x + 2)) \right]$
$\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{3}{4} \left[ \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2} \right]$
$\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{3}{4} \left[ \frac{(x + 2) - (x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} \right]$
$\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{3}{4} \left[ \frac{4}{x^2 - 4} \right]$
$\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{3}{x^2 - 4} = \frac{x^2 - 4 + 3}{x^2 - 4} = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 4}$.

(A) दिया गया फलन $f(x) = \log_5(\log_7 x)$ है।
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{\ln(\log_7 x)}{\ln 5}$
$f(x) = \frac{\ln(\frac{\ln x}{\ln 7})}{\ln 5}$
$f(x) = \frac{\ln(\ln x) - \ln(\ln 7)}{\ln 5}$
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{1}{\ln 5} \cdot \frac{d}{dx}(\ln(\ln x) - \ln(\ln 7))$
$f'(x) = \frac{1}{\ln 5} \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)$
$f'(x) = \frac{1}{\ln 5} \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x}$
$f'(x) = \frac{1}{x(\ln 5)(\ln x)}$
चूंकि $\ln x = \ln 7 \cdot \log_7 x$,इसलिए:
$f'(x) = \frac{1}{x(\ln 5)(\ln 7)(\log_7 x)}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \log x$.
हमें $x$ के सापेक्ष $f[\log (x)]$ का अवकलज ज्ञात करना है।
सबसे पहले,फलन $f(x)$ में $\log x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f[\log (x)] = \log(\log x)$.
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $\log(\log x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} [\log(\log x)] = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{d}{dx} (\log x)$.
चूंकि $\frac{d}{dx} (\log x) = \frac{1}{x}$ है,इसलिए:
$\frac{d}{dx} [\log(\log x)] = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log x}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है $y = \log(x^x)$.
लघुगणक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\log(a^b) = b \log a$,हमारे पास है:
$y = x \log x$.
$x$ के सापेक्ष गुणन नियम का उपयोग करके अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) \cdot \log x + x \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$
$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x}$
$\frac{dy}{dx} = \log x + 1$.
चूंकि $\log e = 1$,हम लिख सकते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \log x + \log e$.
$\log a + \log b = \log(ab)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = \log(ex)$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) वक्र $y = a^x$ और $y = b^x$ हैं।
$a^x = b^x$ रखने पर,हमें $(a/b)^x = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 0$।
$x = 0$ पर,$y = a^0 = 1$। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 1)$ है।
प्रथम वक्र $y = a^x$ के लिए,स्पर्शरेखा की ढाल $m_1 = \frac{dy}{dx} = a^x \ln a$ है।
$(0, 1)$ पर,$m_1 = a^0 \ln a = \ln a$।
दूसरे वक्र $y = b^x$ के लिए,स्पर्शरेखा की ढाल $m_2 = \frac{dy}{dx} = b^x \ln b$ है।
$(0, 1)$ पर,$m_2 = b^0 \ln b = \ln b$।
वक्रों के बीच का कोण $\alpha$,$\tan \alpha = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \alpha = \frac{\ln a - \ln b}{1 + \ln a \ln b} = \frac{\log a - \log b}{1 + \log a \log b}$।

(D) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = a^x$ और $y = b^x$ को बराबर रखें:
$a^x = b^x \implies (a/b)^x = 1 \implies x = 0$.
$x = 0$ के लिए,$y = a^0 = 1$. अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 1)$ है।
अब,$(0, 1)$ पर स्पर्श रेखाओं की ढाल ज्ञात करें:
$y = a^x$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = a^x \ln a$. $x = 0$ पर,$m_1 = \ln a$.
$y = b^x$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = b^x \ln b$. $x = 0$ पर,$m_2 = \ln b$.
वक्रों के बीच का कोण $\alpha$ इस प्रकार दिया जाता है: $\tan \alpha = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$.
$m_1$ और $m_2$ के मान रखने पर:
$\tan \alpha = \left| \frac{\ln a - \ln b}{1 + \ln a \ln b} \right|$.

(B) माना $y = a^{\log_{10}(\csc^{-1}x)}$.
अवकलन के सूत्र $\frac{d}{dx}(a^u) = a^u \cdot \ln a \cdot \frac{du}{dx}$ का उपयोग करें,जहाँ $u = \log_{10}(\csc^{-1}x)$.
सबसे पहले,$u$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln(\csc^{-1}x)}{\ln 10} \right) = \frac{1}{\ln 10} \cdot \frac{1}{\csc^{-1}x} \cdot \frac{d}{dx}(\csc^{-1}x)$.
चूँकि $\frac{d}{dx}(\csc^{-1}x) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}}$,इसलिए:
$\frac{du}{dx} = \frac{1}{\ln 10} \cdot \frac{1}{\csc^{-1}x} \cdot \left( -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}} \right)$.
अब,$y$ के अवकलन में मान रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = a^{\log_{10}(\csc^{-1}x)} \cdot \ln a \cdot \left( \frac{1}{\ln 10} \cdot \frac{1}{\csc^{-1}x} \cdot \left( -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}} \right) \right)$.
चूँकि $\frac{\ln a}{\ln 10} = \log_{10}a$,इसलिए व्यंजक सरल होकर इस प्रकार होगा:
$\frac{dy}{dx} = - a^{\log_{10}(\csc^{-1}x)} \cdot \frac{1}{\csc^{-1}x} \cdot \frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}} \cdot \log_{10}a$.

(A) दिया गया है $f(x) = e^{g(x)}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = e^{g(x)} \cdot g'(x)$ प्राप्त होता है।
लीबनीज समाकलन नियम का उपयोग करते हुए,$g'(x) = \frac{d}{dx} \int_{2}^{x} \frac{t}{1 + t^4} \, dt = \frac{x}{1 + x^4}$ है।
अब,$g(2) = \int_{2}^{2} \frac{t}{1 + t^4} \, dt = 0$ का मान ज्ञात करते हैं।
अतः,$f'(2) = e^{g(2)} \cdot g'(2) = e^0 \cdot \frac{2}{1 + 2^4} = 1 \cdot \frac{2}{1 + 16} = \frac{2}{17}$.

(C) दिया गया है $y = \log_{\sin x} (\tan x)$। आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करने पर,$y = \frac{\ln(\tan x)}{\ln(\sin x)}$।
भागफल नियम $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = \ln(\tan x)$ और $v = \ln(\sin x)$:
$u' = \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x = 2 \csc(2x)$
$v' = \cot x$
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$\tan x = 1$,$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\sec^2 x = 2$,और $\cot x = 1$ है।
$u = \ln(1) = 0$
$v = \ln(1/\sqrt{2}) = -\frac{1}{2} \ln 2$
$u' = 2$
$v' = 1$
इन मानों को अवकलन सूत्र में रखने पर:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{\pi/4} = \frac{(-\frac{1}{2} \ln 2)(2) - (0)(1)}{(-\frac{1}{2} \ln 2)^2} = \frac{-\ln 2}{\frac{1}{4} (\ln 2)^2} = \frac{-4}{\ln 2}$।

(B) दिया गया है $\phi(x) = \log_{5} (\log_{3} x)$।
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_{a} b = \frac{\ln b}{\ln a}$ का उपयोग करने पर:
$\phi(x) = \frac{\ln(\log_{3} x)}{\ln 5} = \frac{\ln(\frac{\ln x}{\ln 3})}{\ln 5} = \frac{\ln(\ln x) - \ln(\ln 3)}{\ln 5}$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\phi'(x) = \frac{1}{\ln 5} \cdot \frac{d}{dx} (\ln(\ln x) - \ln(\ln 3))$।
$\phi'(x) = \frac{1}{\ln 5} \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x}$।
अब,$x = e$ पर मान ज्ञात करने पर:
$\phi'(e) = \frac{1}{\ln 5} \cdot \frac{1}{\ln e} \cdot \frac{1}{e}$।
चूंकि $\ln e = 1$,इसलिए:
$\phi'(e) = \frac{1}{e \ln 5}$।

(A) माना कि $y = \log(\cos x)$.
अवकलन के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [\log(\cos x)] = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{d}{dx}(\cos x)$.
चूंकि $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$,इसलिए:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{\cos x} = -\tan x$.

(A) माना $y = \log(\cos e^{x})$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[\log(\cos e^{x})]$
$= \frac{1}{\cos e^{x}} \cdot \frac{d}{dx}(\cos e^{x})$
$= \frac{1}{\cos e^{x}} \cdot (-\sin e^{x}) \cdot \frac{d}{dx}(e^{x})$
$= \frac{-\sin e^{x}}{\cos e^{x}} \cdot e^{x}$
$= -e^{x} \tan e^{x}$

(A) माना $y = \log (\log x)$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [\log (\log x)]$
श्रृंखला नियम लागू करने पर,जहाँ $\log(u)$ का अवकलज $\frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}$ होता है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{d}{dx} (\log x)$
चूँकि $\log x$ का अवकलज $\frac{1}{x}$ होता है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}$
अतः,अंतिम परिणाम है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log x}$,जहाँ $x > 1$ है।

(N/A) माना $y = \log _{7}(\log x) = \frac{\log (\log x)}{\log 7}$ (आधार परिवर्तन सूत्र द्वारा)।
यह फलन सभी वास्तविक संख्याओं $x > 1$ के लिए परिभाषित है। इसलिए,
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log 7} \frac{d}{dx}(\log (\log x))$
$= \frac{1}{\log 7} \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$
$= \frac{1}{\log 7} \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}$
$= \frac{1}{x \log x \log 7}$

(D) माना कि $y = \log _{\cos x} \operatorname{cosec} x$ है।
लघुगणक के आधार परिवर्तन नियम का उपयोग करते हुए,$y = \frac{\ln(\operatorname{cosec} x)}{\ln(\cos x)} = \frac{-\ln(\sin x)}{\ln(\cos x)}$।
भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\left[ \frac{\ln(\cos x) \cdot \frac{d}{dx}(\ln(\sin x)) - \ln(\sin x) \cdot \frac{d}{dx}(\ln(\cos x))}{(\ln(\cos x))^2} \right]$।
$\frac{dy}{dx} = -\left[ \frac{\ln(\cos x) \cdot \cot x - \ln(\sin x) \cdot (-\tan x)}{(\ln(\cos x))^2} \right]$।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$\sin x = \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\ln(\sin x) = \ln(\cos x) = \ln(2^{-1/2}) = -\frac{1}{2} \ln 2$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=\frac{\pi}{4}} = -\left[ \frac{(-\frac{1}{2} \ln 2)(1) - (-\frac{1}{2} \ln 2)(-1)}{(-\frac{1}{2} \ln 2)^2} \right] = -\left[ \frac{-\frac{1}{2} \ln 2 - \frac{1}{2} \ln 2}{\frac{1}{4} (\ln 2)^2} \right] = -\left[ \frac{-\ln 2}{\frac{1}{4} (\ln 2)^2} \right] = \frac{4}{\ln 2}$।
अंत में,$x = \frac{\pi}{4}$ पर $\log _{e} 2 \cdot \frac{dy}{dx}$ का मान $\ln 2 \cdot \frac{4}{\ln 2} = 4$ है।

(D) फलन $f^{\prime}(x) = \ln(x^2-1)$ तब परिभाषित होता है जब $x^2-1 > 0$,जिसका अर्थ है $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$।
चूंकि $S = (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ दो अलग-अलग अंतरालों से बना एक असंबद्ध समुच्चय है,इसलिए समाकलन के स्थिरांक को प्रत्येक अंतराल के लिए स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है।
मान लीजिए $x \in (1, \infty)$ के लिए $f(x) = \int \ln(x^2-1) dx + C_1$ और $x \in (-\infty, -1)$ के लिए $f(x) = \int \ln(x^2-1) dx + C_2$ है।
दिया गया है कि $f(2) = 0$,इसलिए हम $C_1$ को अद्वितीय रूप से निर्धारित कर सकते हैं।
हालाँकि,अंतराल $(1, \infty)$ पर फलन के मान को अंतराल $(-\infty, -1)$ से जोड़ने वाली कोई शर्त नहीं है।
चूंकि स्थिरांक $C_2$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है,इसलिए ऐसे अनंत फलन $f$ मौजूद हैं।

(B) दिया गया है $y = \log_{10} x + \log_x 10 + \log_x x + \log_{10} 10$।
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_a b = \frac{\log_e b}{\log_e a}$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{\log_e x}{\log_e 10} + \frac{\log_e 10}{\log_e x} + 1 + 1$।
$y = \frac{\log_e x}{\log_e 10} + \frac{\log_e 10}{\log_e x} + 2$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 10} \cdot \frac{d}{dx}(\log_e x) + \log_e 10 \cdot \frac{d}{dx}((\log_e x)^{-1}) + 0$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 10} \cdot \frac{1}{x} + \log_e 10 \cdot (-1)(\log_e x)^{-2} \cdot \frac{1}{x}$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log_e 10} - \frac{\log_e 10}{x(\log_e x)^2}$।

(C) दिया गया है,$y = e^{m \sin^{-1} x}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = e^{m \sin^{-1} x} \cdot \frac{d}{dx}(m \sin^{-1} x) = y \cdot \frac{m}{\sqrt{1 - x^2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\frac{dy}{dx})^2 = \frac{m^2 y^2}{1 - x^2}$.
दोनों पक्षों को $(1 - x^2)$ से गुणा करने पर:
$(1 - x^2) (\frac{dy}{dx})^2 = m^2 y^2$.
इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण $(1 - x^2) (\frac{dy}{dx})^2 = A y^2$ से करने पर,हमें $A = m^2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $y = \log_3(\log_3 x)$.
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_a b = \frac{\log_e b}{\log_e a}$ का उपयोग करने पर,$y = \frac{\log_e(\log_3 x)}{\log_e 3} = \frac{\log_e(\frac{\log_e x}{\log_e 3})}{\log_e 3}$.
$y = \frac{\log_e(\log_e x) - \log_e(\log_e 3)}{\log_e 3}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 3} \cdot \frac{d}{dx} [\log_e(\log_e x) - \log_e(\log_e 3)]$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 3} \cdot \frac{1}{\log_e x} \cdot \frac{1}{x}$.
$x = 3$ पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 3} \cdot \frac{1}{\log_e 3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3(\log_e 3)^2} = \frac{1}{3}(\log_e 3)^{-2}$.

(D) दिया गया है कि $u = \log(\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1})$ और $v = \sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}$ है।
ध्यान दें कि $(\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1})(\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}) = (x+1) - (x-1) = 2$ है।
अतः,$\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1} = \frac{2}{v}$ है।
हालाँकि,$\log$ का तर्क $\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1} = -(\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}) = -\frac{2}{v}$ है।
चूंकि $\log$ के डोमेन के लिए धनात्मक तर्क की आवश्यकता होती है,हम परिमाण या सम्मिश्र रूप पर विचार करते हैं। मानक अवकलन विधि का उपयोग करते हुए:
$u = \log(-2) - \log(v)$ है।
$v$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{du}{dv} = \frac{d}{dv}(\log(-2) - \log(v)) = 0 - \frac{1}{v} = -\frac{1}{v}$।

(C) दिया गया है कि $f(x)=e^x$ और $g(x)=\sin ^{-1} x$ है।
$h(x)=f(g(x))=e^{\sin ^{-1} x}$।
$x$ के सापेक्ष $h(x)$ का अवकलन करने पर:
$h^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(e^{\sin ^{-1} x}) = e^{\sin ^{-1} x} \cdot \frac{d}{dx}(\sin ^{-1} x) = e^{\sin ^{-1} x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$।
अब,अनुपात $\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)}$ पर विचार करें:
$\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)} = \frac{e^{\sin ^{-1} x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{e^{\sin ^{-1} x}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$।
अंत में,परिणाम का वर्ग करने पर:
$\left(\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)}\right)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2 = \frac{1}{1-x^2}$।

(C) दिया गया है $y = \log_{\sin x} \tan x$। आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $y = \frac{\log \tan x}{\log \sin x}$।
भागफल नियम $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = \log \tan x$ और $v = \log \sin x$ है:
$u' = \frac{1}{\tan x} \cdot \sec^2 x = \frac{1}{\sin x \cos x} = 2 \csc(2x)$।
$v' = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{(\log \sin x)(2 \csc 2x) - (\log \tan x)(\cot x)}{(\log \sin x)^2}$।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर,$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\tan x = 1$,$\log \tan x = 0$,$\csc 2x = 1$,और $\cot x = 1$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=\frac{\pi}{4}} = \frac{(\log \frac{1}{\sqrt{2}})(2) - 0}{(\log \frac{1}{\sqrt{2}})^2} = \frac{2 \log(2^{-1/2})}{(-\frac{1}{2} \log 2)^2} = \frac{-\log 2}{\frac{1}{4} (\log 2)^2} = \frac{-4}{\log 2}$।

(B) दिया गया है $y=e^{\sin \left(\operatorname{cosec}^{-1} x\right)}$.
चूंकि $\operatorname{cosec}^{-1} x = \sin^{-1} \left(\frac{1}{x}\right)$,इसलिए $\sin \left(\operatorname{cosec}^{-1} x\right) = \sin \left(\sin^{-1} \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x}$ होता है।
अतः,फलन सरल होकर $y = e^{\frac{1}{x}}$ हो जाता है।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x} \left(e^{\frac{1}{x}}\right) = e^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{d}{d x} \left(\frac{1}{x}\right)$.
चूंकि $\frac{d}{d x} \left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2}$,इसलिए हमें $\frac{d y}{d x} = e^{\frac{1}{x}} \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $y = \log \left[a^{3x} \left(\frac{5-x}{x+4}\right)^{\frac{3}{4}}\right]$।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए,$\log(mn) = \log m + \log n$ और $\log(m^n) = n \log m$:
$y = \log(a^{3x}) + \log\left(\left(\frac{5-x}{x+4}\right)^{\frac{3}{4}}\right)$
$y = 3x \log a + \frac{3}{4} \log(5-x) - \frac{3}{4} \log(x+4)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(3x \log a) + \frac{3}{4} \frac{d}{dx}(\log(5-x)) - \frac{3}{4} \frac{d}{dx}(\log(x+4))$
$\frac{dy}{dx} = 3 \log a + \frac{3}{4} \left(\frac{1}{5-x}\right)(-1) - \frac{3}{4} \left(\frac{1}{x+4}\right)(1)$
$\frac{dy}{dx} = 3 \log a - \frac{3}{4(5-x)} - \frac{3}{4(x+4)}$

(C) दिया गया है $f(x) = \log_{x^2}(\log_{e} x)$।
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_{a} b = \frac{\log b}{\log a}$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{\log(\log_{e} x)}{\log(x^2)} = \frac{\log(\log_{e} x)}{2 \log x}$।
अब,भागफल नियम $\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime} = \frac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^2}$ का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\frac{d}{dx}(\log(\log_{e} x)) \cdot \log x - \log(\log_{e} x) \cdot \frac{d}{dx}(\log x)}{(\log x)^2} \right]$
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\frac{1}{\log_{e} x} \cdot \frac{1}{x} \cdot \log x - \log(\log_{e} x) \cdot \frac{1}{x}}{(\log x)^2} \right]$
चूंकि $\log_{e} x = \log x$,इसलिए व्यंजक सरल होकर निम्न हो जाता है:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\frac{1}{x} - \frac{\log(\log_{e} x)}{x}}{(\log x)^2} \right] = \frac{1 - \log(\log_{e} x)}{2x(\log x)^2}$।
$x = e$ रखने पर,$\log_{e} e = 1$ और $\log(\log_{e} e) = \log(1) = 0$।
$f^{\prime}(e) = \frac{1 - 0}{2e(1)^2} = \frac{1}{2e}$।

(D) दिया गया है $f(x) = \log_{x^2}(\log x)$.
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_a b = \frac{\log b}{\log a}$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{\log(\log x)}{\log(x^2)} = \frac{\log(\log x)}{2 \log x}$.
अब,भागफल नियम $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{d}{dx}(\log(\log x)) \cdot \log x - \log(\log x) \cdot \frac{d}{dx}(\log x)}{(\log x)^2}$.
$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(\frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}) \cdot \log x - \log(\log x) \cdot \frac{1}{x}}{(\log x)^2}$.
$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{x} - \frac{\log(\log x)}{x}}{(\log x)^2} = \frac{1 - \log(\log x)}{2x(\log x)^2}$.
$x = e$ पर,$\log x = \log e = 1$ और $\log(\log x) = \log(1) = 0$.
इन मानों को रखने पर:
$f'(e) = \frac{1 - 0}{2e(1)^2} = \frac{1}{2e}$.

(A) दिया गया है $f(x) = 3^x$,जिसका अवकलन $f^{\prime}(x) = 3^x \log 3$ है। $x = 0$ पर,$f^{\prime}(0) = 3^0 \log 3 = \log 3$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $g(x) = 4^x$,जिसका अवकलन $g^{\prime}(x) = 4^x \log 4$ है। $x = 0$ पर,$g^{\prime}(0) = 4^0 \log 4 = \log 4$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर,$\frac{f^{\prime}(0)-g^{\prime}(0)}{1+f^{\prime}(0) g^{\prime}(0)} = \frac{\log 3 - \log 4}{1 + (\log 3)(\log 4)}$ प्राप्त होता है।
लघुगणक के गुण $\log a - \log b = \log \left(\frac{a}{b}\right)$ का उपयोग करने पर,अंश $\log \left(\frac{3}{4}\right)$ हो जाता है।
अतः,व्यंजक $\frac{\log \left(\frac{3}{4}\right)}{1 + (\log 3)(\log 4)}$ है।