Differentiation of Exponential and Logarithmic Questions in Hindi

(A) दिया गया है $y = \log \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right) = \frac{1}{2} \{ \log(1+\sin x) - \log(1-\sin x) \}$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{\cos x}{1+\sin x} - \frac{-\cos x}{1-\sin x} \right) = \frac{1}{2} \cos x \left( \frac{1}{1+\sin x} + \frac{1}{1-\sin x} \right)$.
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cos x \left( \frac{1-\sin x + 1+\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)} \right) = \frac{1}{2} \cos x \left( \frac{2}{1-\sin^2 x} \right) = \frac{1}{2} \cos x \left( \frac{2}{\cos^2 x} \right) = \frac{1}{\cos x} = \sec x$.
$x = \frac{\pi}{3}$ पर,$\frac{dy}{dx} = \sec \left( \frac{\pi}{3} \right) = 2$.

(D) माना $y = \log \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}$ है।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए,$y = \frac{1}{2} \log \left( \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right) = \frac{1}{2} [\log(1+\sin x) - \log(1-\sin x)]$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1+\sin x} \cdot \cos x - \frac{1}{1-\sin x} \cdot (-\cos x) \right]$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[ \frac{\cos x}{1+\sin x} + \frac{\cos x}{1-\sin x} \right]$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cos x \left[ \frac{1-\sin x + 1+\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)} \right]$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cos x \left[ \frac{2}{1-\sin^2 x} \right] = \frac{\cos x}{\cos^2 x} = \sec x$।

(B) दिया गया है $y=2^{ax}$.
अवकलन के सूत्र $\frac{d}{dx}(b^{f(x)}) = b^{f(x)} \cdot \ln(b) \cdot f'(x)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2^{ax} \cdot \ln(2) \cdot a$.
$x=1$ पर,अवकलज $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=1} = 2^a \cdot a \cdot \ln(2)$ है।
दी गई शर्त के अनुसार $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=1} = \log 256$,और हम जानते हैं कि $\log 256 = \log(2^8) = 8 \log 2$,इसलिए:
$2^a \cdot a \cdot \ln(2) = 8 \ln(2)$.
दोनों पक्षों को $\ln(2)$ से विभाजित करने पर:
$a \cdot 2^a = 8$.
निरीक्षण करने पर,यदि $a=2$ है,तो $2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,$a=2$।

(B) दिया गया है $y = \log \left[ \frac{x + \sqrt{x^2 + 25}}{\sqrt{x^2 + 25} - x} \right]$।
लघुगणक के अंदर के पद का परिमेयकरण करने पर:
$y = \log \left[ \frac{(x + \sqrt{x^2 + 25})(x + \sqrt{x^2 + 25})}{(\sqrt{x^2 + 25} - x)(\sqrt{x^2 + 25} + x)} \right]$
$y = \log \left[ \frac{(x + \sqrt{x^2 + 25})^2}{(x^2 + 25) - x^2} \right]$
$y = \log \left[ \frac{(x + \sqrt{x^2 + 25})^2}{25} \right]$
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर:
$y = 2 \log (x + \sqrt{x^2 + 25}) - \log 25$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 25}} \cdot \frac{d}{dx}(x + \sqrt{x^2 + 25}) - 0$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x + \sqrt{x^2 + 25}} \cdot \left( 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 25}} \cdot 2x \right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x + \sqrt{x^2 + 25}} \cdot \left( \frac{\sqrt{x^2 + 25} + x}{\sqrt{x^2 + 25}} \right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{x^2 + 25}}$

(B) माना $y = \log _{e^2}(\log x)$ है।
लघुगणक के गुणधर्म $\log _{b^n} a = \frac{1}{n} \log _b a$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = \frac{1}{2} \log _e(\log x)$
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{2} \log _e(\log x) \right]$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2x \log x}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है,$y = \log_{10} x + \log_{x} 10 + \log_{x} x + \log_{10} 10$।
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_{a} b = \frac{\log_{e} b}{\log_{e} a}$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = \frac{\log_{e} x}{\log_{e} 10} + \frac{\log_{e} 10}{\log_{e} x} + 1 + 1$।
$y = \frac{1}{\log_{e} 10} \cdot \log_{e} x + \log_{e} 10 \cdot (\log_{e} x)^{-1} + 2$।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_{e} 10} \cdot \frac{d}{dx}(\log_{e} x) + \log_{e} 10 \cdot \frac{d}{dx}((\log_{e} x)^{-1}) + 0$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_{e} 10} \cdot \frac{1}{x} + \log_{e} 10 \cdot (-1)(\log_{e} x)^{-2} \cdot \frac{1}{x}$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log_{e} 10} - \frac{\log_{e} 10}{x(\log_{e} x)^{2}}$।

(A) दिया गया है,$y = \log_{\cos x} \sin x = \frac{\log \sin x}{\log \cos x}$.
भागफल नियम $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = \log \sin x$ और $v = \log \cos x$ है।
तब $u' = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$ और $v' = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx} = \frac{(\log \cos x)(\cot x) - (\log \sin x)(-\tan x)}{(\log \cos x)^2}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cot x \log \cos x + \tan x \log \sin x}{(\log \cos x)^2}$.

(C) हमारे पास है,$y = \log |x| = \begin{cases} \log x, & x > 0 \\ \log (-x), & x < 0 \end{cases}$
$x > 0$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}$.
$x < 0$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\log (-x)) = \frac{1}{-x} \times \frac{d}{dx}(-x) = \frac{1}{-x} \times (-1) = \frac{1}{x}$.
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$ जहाँ $x \neq 0$.

(A) दिया गया है $f(x) = \cot^{-1}\left(\frac{x^x - x^{-x}}{2}\right)$.
मान लीजिए $u = x^x$. तब $f(x) = \cot^{-1}\left(\frac{u - u^{-1}}{2}\right) = \cot^{-1}\left(\frac{u^2 - 1}{2u}\right)$.
सर्वसमिका $\cot^{-1}(z) = \tan^{-1}(1/z)$ का उपयोग करने पर,$f(x) = \tan^{-1}\left(\frac{2u}{u^2 - 1}\right)$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $2\tan^{-1}(u) = \tan^{-1}\left(\frac{2u}{1 - u^2}\right)$,इसलिए $f(x) = -2\tan^{-1}(u) + \frac{\pi}{2}$ (उचित परिसर के लिए)।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f'(x) = -2 \cdot \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx}$.
चूँकि $u = x^x$,इसलिए $\frac{du}{dx} = x^x(1 + \ln x)$.
$x = 1$ पर,$u = 1^1 = 1$ और $\frac{du}{dx} = 1^1(1 + \ln 1) = 1$.
अतः,$f'(1) = -2 \cdot \frac{1}{1 + 1^2} \cdot 1 = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$.

(C) निरंतर चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $A = P \cdot e^{rt}$ है,जहाँ $P$ मूलधन है,$r$ वार्षिक ब्याज दर है,और $t$ वर्षों में समय है।
दिया गया है: $P = 10000$,$r = 4 \% = 0.04$,और $t = 10$ वर्ष।
मान रखने पर: $A = 10000 \times e^{(0.04 \times 10)} = 10000 \times e^{0.4}$।
दिए गए मान $e^{0.4} = 1.49182$ का उपयोग करने पर:
$A = 10000 \times 1.49182 = 14918.2$।
निकटतम पूर्णांक में,राशि $Rs. 14918$ है।

(A) माना $y = e^{x \log x} + e^3$.
चूंकि $e^{x \log x} = e^{\log(x^x)} = x^x$,इसलिए व्यंजक $y = x^x + e^3$ हो जाता है।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^x) + \frac{d}{dx}(e^3)$.
चूंकि $e^3$ एक स्थिरांक है,इसका अवकलज $0$ है।
$x^x$ का अवकलन करने के लिए,$u = x^x$ लें। तब $\log u = x \log x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$.
अतः,$\frac{du}{dx} = u(1 + \log x) = x^x(1 + \log x)$.
इसलिए,$\frac{dy}{dx} = x^x(1 + \log x) + 0 = x^x(1 + \log x)$.

(A) माना $f(x) = \log \left(\frac{1}{x}\right) + \log \left(\frac{1}{x^2}\right) + \log \left(\frac{1}{x^3}\right)$ है।
$\log(a^b) = b \log(a)$ और $\log(\frac{1}{x}) = -\log(x)$ गुणधर्म का उपयोग करके,हम व्यंजक को सरल बना सकते हैं:
$f(x) = -\log(x) - 2\log(x) - 3\log(x)$
$f(x) = -6\log(x)$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} (-6\log(x))$
$= -6 \times \frac{1}{x} = -\frac{6}{x}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) हम जानते हैं कि $\log _{|x|} e = \frac{1}{\log _e |x|} = \frac{1}{\ln |x|}$.
माना $y = \frac{1}{\ln |x|}$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(\ln |x|)^{-1} = -1 \cdot (\ln |x|)^{-2} \cdot \frac{d}{d x}(\ln |x|)$.
चूंकि $\frac{d}{d x}(\ln |x|) = \frac{1}{x}$,इसलिए $\frac{d y}{d x} = -(\ln |x|)^{-2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{-1}{x(\ln |x|)^2}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) हम जानते हैं कि $\log_a b = \frac{\log_e b}{\log_e a}$ होता है।
अतः,$\log_5 x^2 = \frac{\ln x^2}{\ln 5} = \frac{2 \ln x}{\ln 5}$।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{2 \ln x}{\ln 5} \right) = \frac{2}{\ln 5} \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)$।
चूंकि $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2}{\ln 5} \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x \ln 5}$।
चूंकि $\ln 5 = \log 5$,परिणाम $\frac{2}{x \log 5}$ है।

(B) दिया गया है,$y=e^{\log _{e} [1+x+x^{2}+\ldots]}$
हम जानते हैं कि एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $1+x+x^{2}+\ldots = \frac{1}{1-x}$ होता है,जहाँ $|x| < 1$ है।
अतः,$y = e^{\log _{e} (1-x)^{-1}}$.
गुणधर्म $e^{\log _{e} f(x)} = f(x)$ का उपयोग करने पर,हमें $y = (1-x)^{-1}$ प्राप्त होता है।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x} (1-x)^{-1} = -1(1-x)^{-2} \cdot \frac{d}{d x}(1-x)$
$\frac{d y}{d x} = -1(1-x)^{-2} \cdot (-1) = (1-x)^{-2} = \frac{1}{(1-x)^{2}}$.

(A) दिया गया है $y = \log \left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right)$.
अवकलन के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) और भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}} \cdot \frac{d}{dx} \left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1+x^{2}}{1-x^{2}} \cdot \left[ \frac{(-2x)(1+x^{2}) - (2x)(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{2}} \right]$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-x^{2}} \cdot \left[ \frac{-2x - 2x^{3} - 2x + 2x^{3}}{1+x^{2}} \right]$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-x^{2}} \cdot \left[ \frac{-4x}{1+x^{2}} \right]$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-4x}{(1-x^{2})(1+x^{2})}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-4x}{1-x^{4}}$

(C) दिया गया है,$f(x) = \log _{x^{2}}(\log _{e} x) = \frac{1}{2} \log _{x}(\log _{e} x)$.
आधार परिवर्तन नियम का उपयोग करते हुए,$f(x) = \frac{1}{2} \frac{\log _{e}(\log _{e} x)}{\log _{e} x}$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\log _{e} x \cdot \frac{d}{dx}(\log _{e}(\log _{e} x)) - \log _{e}(\log _{e} x) \cdot \frac{d}{dx}(\log _{e} x)}{(\log _{e} x)^{2}} \right]$.
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\log _{e} x \cdot (\frac{1}{\log _{e} x} \cdot \frac{1}{x}) - \log _{e}(\log _{e} x) \cdot \frac{1}{x}}{(\log _{e} x)^{2}} \right]$.
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x} \log _{e}(\log _{e} x)}{(\log _{e} x)^{2}} \right]$.
$x = e$ पर,$\log _{e} e = 1$ और $\log _{e}(\log _{e} e) = \log _{e} 1 = 0$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$f^{\prime}(e) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\frac{1}{e} - \frac{1}{e} \cdot 0}{(1)^{2}} \right] = \frac{1}{2e}$.

(D) दिया गया है,$y=2^{\log x}$।
श्रृंखला नियम (chain rule) और अवकलन के सूत्र $\frac{d}{dx}(a^u) = a^u \cdot \ln a \cdot \frac{du}{dx}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = \log x$ और $a = 2$ है।
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2^{\log x}) = 2^{\log x} \cdot \ln 2 \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$।
चूँकि $\frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}$ है,इसलिए:
$\frac{dy}{dx} = 2^{\log x} \cdot \ln 2 \cdot \frac{1}{x}$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{2^{\log x} \cdot \log 2}{x}$।

(A) कथन $1$ के लिए:
$y = \log_{10} x + \log_{e} x$
आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\log_{a} b = \frac{\log_{e} b}{\log_{e} a}$,हमें प्राप्त होता है:
$y = \frac{\log_{e} x}{\log_{e} 10} + \log_{e} x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log_{e} 10} + \frac{1}{x}$
चूंकि $\frac{1}{\log_{e} 10} = \log_{10} e$,इसलिए:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\log_{10} e}{x} + \frac{1}{x}$.
अतः,कथन $1$ सत्य है।
कथन $2$ के लिए:
$\frac{d}{dx}(\log_{10} x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\log_{e} x}{\log_{e} 10} \right) = \frac{1}{x \log_{e} 10}$.
कथन में दावा किया गया है कि यह $\frac{\log x}{\log 10}$ है,जो गलत है।
इसी प्रकार,$\frac{d}{dx}(\log_{e} x) = \frac{1}{x}$.
कथन में दावा किया गया है कि यह $\frac{\log x}{\log e}$ है,जो गलत है।
अतः,कथन $2$ असत्य है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = x^{x}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln f(x) = x \ln x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{f(x)} f'(x) = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.
अतः,$f'(x) = f(x)(\ln x + 1) = x^{x}(\ln x + 1)$.
स्टेशनरी बिंदु के लिए $f'(x) = 0$ होना चाहिए।
चूंकि $x > 0$ के लिए $x^{x} > 0$ होता है,इसलिए $\ln x + 1 = 0$ रखने पर।
$\ln x = -1$.
अतः,$x = e^{-1} = \frac{1}{e}$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए वक्र $y=a^x$ और $y=b^x$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु पर,$a^x = b^x$,जिसका अर्थ है $x=0$।
अतः,वक्र $(0, 1)$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
माना $x=0$ पर $y=a^x$ के स्पर्शरेखा की ढाल $m_1$ है।
$m_1 = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = \left. a^x \ln a \right|_{x=0} = \ln a$।
माना $x=0$ पर $y=b^x$ के स्पर्शरेखा की ढाल $m_2$ है।
$m_2 = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = \left. b^x \ln b \right|_{x=0} = \ln b$।
वक्रों के बीच का कोण $\alpha$,$\tan \alpha = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\tan \alpha = \frac{\ln a - \ln b}{1 + \ln a \ln b}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $y = \log \left\{e^x \left(\frac{x-2}{x+2}\right)^{\frac{3}{4}}\right\}$ है।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर:
$y = \log e^x + \log \left(\frac{x-2}{x+2}\right)^{\frac{3}{4}} = x \log e + \frac{3}{4} \log \left(\frac{x-2}{x+2}\right) = x + \frac{3}{4} [\log(x-2) - \log(x+2)]$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{3}{4} \left[ \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} \right] = 1 + \frac{3}{4} \left[ \frac{(x+2) - (x-2)}{(x-2)(x+2)} \right] = 1 + \frac{3}{4} \left[ \frac{4}{x^2-4} \right] = 1 + \frac{3}{x^2-4}$.
$x = 3$ पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=3} = 1 + \frac{3}{3^2-4} = 1 + \frac{3}{9-4} = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$.

(B) दिया गया है $x < 0$,इसलिए $|x| = -x$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $y = (-x)^x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\log y = x \log(-x)$।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [x] \cdot \log(-x) + x \cdot \frac{d}{dx} [\log(-x)]$।
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \log(-x) + x \cdot \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \log(-x) + 1$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = y [\log(-x) + 1] = (-x)^x [1 + \log(-x)]$।

(D) $f(x) = \log _{x^2}(\log x)$
आधार परिवर्तन सूत्र $\log _a b = \frac{\log b}{\log a}$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{\log(\log x)}{\log(x^2)} = \frac{\log(\log x)}{2 \log x}$
अब,भागफल नियम $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{1}{2} \frac{d}{dx} \left( \frac{\log(\log x)}{\log x} \right)$
$f'(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{(\log x) \cdot \frac{d}{dx}(\log(\log x)) - \log(\log x) \cdot \frac{d}{dx}(\log x)}{(\log x)^2} \right]$
$f'(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{(\log x) \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} - \log(\log x) \cdot \frac{1}{x}}{(\log x)^2} \right]$
$f'(x) = \frac{1}{2x} \left[ \frac{1 - \log(\log x)}{(\log x)^2} \right]$
$x = e$ पर,$\log x = \log e = 1$ और $\log(\log x) = \log(1) = 0$ होता है:
$f'(e) = \frac{1}{2e} \left[ \frac{1 - 0}{(1)^2} \right] = \frac{1}{2e} = (2e)^{-1}$

(C) माना $y = \log \left( \sqrt{x + \sqrt{x^2 + a^2}} \right)$.
लघुगणक के गुणधर्म $\log(u^n) = n \log(u)$ का उपयोग करके,हम व्यंजक को सरल बना सकते हैं:
$y = \frac{1}{2} \log \left( x + \sqrt{x^2 + a^2} \right)$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + a^2}} \cdot \frac{d}{dx} \left( x + \sqrt{x^2 + a^2} \right)$.
आंतरिक पद का अवकलन ज्ञात करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( x + \sqrt{x^2 + a^2} \right) = 1 + \frac{1}{2 \sqrt{x^2 + a^2}} \cdot (2x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \frac{\sqrt{x^2 + a^2} + x}{\sqrt{x^2 + a^2}}$.
इस मान को अवकलन व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + a^2}} \cdot \left( \frac{\sqrt{x^2 + a^2} + x}{\sqrt{x^2 + a^2}} \right)$.
उभयनिष्ठ पद $(x + \sqrt{x^2 + a^2})$ को काटने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 \sqrt{x^2 + a^2}}$.

(D) दिया गया है $y = \log \left( \frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}+x} \right)$.
लघुगणक के अंदर के पद का परिमेयकरण करने पर:
$y = \log \left( \frac{(\sqrt{x^2+1}-x)^2}{(\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x)} \right) = \log \left( \frac{(\sqrt{x^2+1}-x)^2}{(x^2+1)-x^2} \right) = \log (\sqrt{x^2+1}-x)^2$.
गुणधर्म $\log(a^b) = b \log a$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $y = 2 \log(\sqrt{x^2+1}-x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x} \cdot \left( \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x - 1 \right)$.
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x} \cdot \left( \frac{x-\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}} \right)$.
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{-( \sqrt{x^2+1}-x )}{\sqrt{x^2+1}(\sqrt{x^2+1}-x)} = \frac{-2}{\sqrt{x^2+1}}$.

(C) दिया गया है $y = \log_2(\log_2 x)$.
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_a b = \frac{\log_e b}{\log_e a}$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{\log_e(\log_2 x)}{\log_e 2} = \frac{\log_e(\frac{\log_e x}{\log_e 2})}{\log_e 2}$.
$y = \frac{\log_e(\log_e x) - \log_e(\log_e 2)}{\log_e 2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 2} \cdot \frac{d}{dx} [\log_e(\log_e x) - \log_e(\log_e 2)]$.
चूँकि $\log_e(\log_e 2)$ एक अचर है,इसलिए इसका अवकलन $0$ होगा।
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 2} \cdot \frac{1}{\log_e x} \cdot \frac{d}{dx}(\log_e x)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 2} \cdot \frac{1}{\log_e x} \cdot \frac{1}{x}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log_e x \log_e 2}$.

(A) दिया गया है $f(x) = \cot^{-1} \left(\frac{x^{x} - x^{-x}}{2}\right)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$f'(x) = -\frac{1}{1 + \left(\frac{x^x - x^{-x}}{2}\right)^2} \cdot \frac{d}{dx} \left(\frac{x^x - x^{-x}}{2}\right)$.
व्यंजक को सरल करने पर,$f'(x) = -\frac{4}{4 + (x^x - x^{-x})^2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx} (x^x - x^{-x})$.
चूंकि $(x^x + x^{-x})^2 = (x^x - x^{-x})^2 + 4$,इसलिए $f'(x) = -\frac{2}{(x^x + x^{-x})^2} \cdot \frac{d}{dx} (x^x - x^{-x})$.
चूंकि $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \log x)$ और $\frac{d}{dx}(x^{-x}) = -x^{-x}(1 + \log x)$,इसलिए $\frac{d}{dx}(x^x - x^{-x}) = (x^x + x^{-x})(1 + \log x)$ प्राप्त होता है।
अतः,$f'(x) = -\frac{2}{(x^x + x^{-x})^2} \cdot (x^x + x^{-x})(1 + \log x) = -\frac{2(1 + \log x)}{x^x + x^{-x}}$.
$x = 1$ रखने पर,$f'(1) = -\frac{2(1 + \log 1)}{1^1 + 1^{-1}} = -\frac{2(1 + 0)}{1 + 1} = -\frac{2}{2} = -1$.

(B) दिया गया है,$y = \log_2(\log_2 x)$.
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_a b = \frac{\log_e b}{\log_e a}$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$y = \frac{\log_e(\log_2 x)}{\log_e 2} = \frac{\log_e(\frac{\log_e x}{\log_e 2})}{\log_e 2} = \frac{\log_e(\log_e x) - \log_e(\log_e 2)}{\log_e 2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 2} \cdot \frac{d}{dx} [\log_e(\log_e x) - \log_e(\log_e 2)]$.
चूंकि $\log_e(\log_e 2)$ एक स्थिरांक है,इसलिए इसका अवकलज $0$ है।
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 2} \cdot \frac{1}{\log_e x} \cdot \frac{d}{dx}(\log_e x) = \frac{1}{\log_e 2} \cdot \frac{1}{\log_e x} \cdot \frac{1}{x}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log_e x \log_e 2}$.

(B) माना $I = \int \frac{1}{x \sqrt{1-x^3}} dx$ है। अंश और हर को $x^2$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{x^2}{x^3 \sqrt{1-x^3}} dx$।
माना $t = \sqrt{1-x^3}$,तब $t^2 = 1-x^3$,अर्थात $x^3 = 1-t^2$।
अवकलन करने पर,$2t dt = -3x^2 dx$,जिससे $x^2 dx = -\frac{2}{3} t dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{-\frac{2}{3} t dt}{(1-t^2) t} = -\frac{2}{3} \int \frac{dt}{1-t^2} = \frac{2}{3} \int \frac{dt}{t^2-1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \log \left| \frac{t-1}{t+1} \right| + C = \frac{1}{3} \log \left| \frac{\sqrt{1-x^3}-1}{\sqrt{1-x^3}+1} \right| + C$।
इसे दिए गए व्यंजक $A \log \left( \frac{\sqrt{1-x^3}+B}{\sqrt{1-x^3}+1} \right)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = \frac{1}{3}$ और $B = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$AB = \frac{1}{3} \times (-1) = -\frac{1}{3}$।

(A) दिया गया वक्र समीकरण: $e^{y} = 1 + x^2$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $y = \ln(1 + x^2)$.
ढाल $m$ ज्ञात करने के लिए,हम $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$m = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\ln(1 + x^2)) = \frac{1}{1 + x^2} \cdot \frac{d}{dx}(1 + x^2)$.
$m = \frac{1}{1 + x^2} \cdot (2x) = \frac{2x}{1 + x^2}$.
अब,$x = 1$ पर ढाल का मान ज्ञात करने पर:
$m = \frac{2(1)}{1 + (1)^2} = \frac{2}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1$.
अतः,$m = 1$.

(D) दिया गया है $f(x) = \log_{(x^2-2x+1)}(x^2-3x+2)$.
हम आधार और पद को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x^2-2x+1 = (x-1)^2$
$x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)$
अतः,$f(x) = \log_{(x-1)^2} ((x-1)(x-2))$.
गुणधर्म $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{1}{2} \log_{(x-1)} ((x-1)(x-2)) = \frac{1}{2} [\log_{(x-1)} (x-1) + \log_{(x-1)} (x-2)]$
$f(x) = \frac{1}{2} [1 + \log_{(x-1)} (x-2)] = \frac{1}{2} [1 + \frac{\ln(x-2)}{\ln(x-1)}]$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\ln(x-1) \cdot \frac{1}{x-2} - \ln(x-2) \cdot \frac{1}{x-1}}{(\ln(x-1))^2} \right]$.
$x = 3$ रखने पर:
$f'(3) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\ln(2) \cdot \frac{1}{1} - \ln(1) \cdot \frac{1}{2}}{(\ln(2))^2} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{\ln(2)}{(\ln(2))^2} \right] = \frac{1}{2 \ln(2)} = \frac{1}{\ln(4)} = \log_4 e$.

(D) दिया गया है,$f(x)=\log _e\left(e^{2 x}\left(\frac{3 x+5}{5-3 x}\right)^{\frac{2}{3}}\right)$
$\log(ab) = \log a + \log b$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$f(x)=\log _e e^{2 x}+\log _e\left(\frac{3 x+5}{5-3 x}\right)^{\frac{2}{3}}$
$f(x)=2 x+\frac{2}{3} \log _e\left(\frac{3 x+5}{5-3 x}\right)$
$\log(\frac{a}{b}) = \log a - \log b$ का उपयोग करने पर:
$f(x)=2 x+\frac{2}{3}\left(\log _e(3 x+5)-\log _e(5-3 x)\right)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d f}{d x}=2+\frac{2}{3}\left(\frac{3}{3 x+5}-\frac{-3}{5-3 x}\right)$
$\frac{d f}{d x}=2+2\left(\frac{1}{3 x+5}+\frac{1}{5-3 x}\right)$
$x=1$ पर:
$\left(\frac{d f}{d x}\right)_{x=1}=2+2\left(\frac{1}{3(1)+5}+\frac{1}{5-3(1)}\right)$
$=2+2\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{2}\right)=2+2\left(\frac{1+4}{8}\right)=2+2\left(\frac{5}{8}\right)=2+\frac{5}{4}=\frac{13}{4}$

(C) माना $f(x) = (\log x)^{\sin x}$ और $g(x) = \cos x$ है।
हमें $\frac{df}{dg} = \frac{f'(x)}{g'(x)}$ ज्ञात करना है।
$f(x)$ का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\log(f(x)) = \sin x \cdot \log(\log x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{f(x)} f'(x) = \cos x \cdot \log(\log x) + \sin x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}$।
अतः,$f'(x) = (\log x)^{\sin x} \left[ \cos x \cdot \log(\log x) + \frac{\sin x}{x \log x} \right]$।
साथ ही,$g'(x) = -\sin x$ है।
इसलिए,$\frac{df}{dg} = \frac{(\log x)^{\sin x} [ \cos x \cdot \log(\log x) + \frac{\sin x}{x \log x} ]}{-\sin x}$।
$x = \frac{\pi}{2}$ पर,$\sin x = 1$,$\cos x = 0$,और $\log x = \log(\frac{\pi}{2})$ है।
इन मानों को रखने पर:
$\frac{df}{dg} = \frac{(\log(\frac{\pi}{2}))^1 [ 0 \cdot \log(\log(\frac{\pi}{2})) + \frac{1}{(\frac{\pi}{2}) \log(\frac{\pi}{2})} ]}{-1}$।
$= - \frac{1}{\frac{\pi}{2}} = -\frac{2}{\pi}$।

(A) माना $u = (\sin x)^x$ और $v = x^{\sin x}$ है।
$u$ के लिए दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
$\log u = x \log (\sin x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \log (\sin x) + x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \log (\sin x) + x \cot x$.
$\frac{du}{dx} = (\sin x)^x [\log (\sin x) + x \cot x] = (\sin x)^{x-1} [\sin x \log (\sin x) + x \cos x]$.
$v$ के लिए दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
$\log v = \sin x \log x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = \cos x \log x + \sin x \cdot \frac{1}{x} = \frac{x \cos x \log x + \sin x}{x}$.
$\frac{dv}{dx} = x^{\sin x} \cdot \frac{x \cos x \log x + \sin x}{x} = x^{\sin x-1} [\sin x + x \cos x \log x]$.
अतः,$\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{(\sin x)^{x-1} [\sin x \log (\sin x) + x \cos x]}{x^{\sin x-1} [\sin x + x \cos x \log x]}$.

(B) दिया गया है कि $f(x)=e^x$ और $g(x)=\sin^{-1} x$ है।
अतः $h(x) = f(g(x)) = e^{\sin^{-1} x}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(h(x)) = \sin^{-1} x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{1}{h(x)} \cdot h'(x) = \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{h'(x)}{h(x)} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$।

(A) दिया गया वक्र $y = e^{a+bx^2}$ है।
स्पर्श रेखा का ढाल ज्ञात करने के लिए अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{a+bx^2}) = e^{a+bx^2} \cdot \frac{d}{dx}(a+bx^2) = e^{a+bx^2} \cdot (2bx) = 2bxy$.
बिंदु $P(1,1)$ पर ढाल $-2$ है:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1,1)} = 2b(1)(1) = -2$.
$2b = -2 \implies b = -1$.
चूंकि बिंदु $P(1,1)$ वक्र पर स्थित है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$1 = e^{a+b(1)^2} \implies 1 = e^{a+b}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln(1) = a+b \implies 0 = a+b$.
$b = -1$ रखने पर:
$0 = a - 1 \implies a = 1$.
अंत में,$2a - 3b$ का मान ज्ञात करते हैं:
$2a - 3b = 2(1) - 3(-1) = 2 + 3 = 5$.

(C) माना $y_n = \log^n x$ है। तब $y_n = \log(y_{n-1})$,जहाँ $y_1 = \log x$,$y_2 = \log(\log x)$,इत्यादि है।
श्रृंखला नियम (chain rule) के अनुसार,$\frac{dy_n}{dx} = \frac{d}{dx}(\log y_{n-1}) = \frac{1}{y_{n-1}} \cdot \frac{dy_{n-1}}{dx}$ है।
इसे विस्तारित करने पर,$\frac{dy_n}{dx} = \frac{1}{y_{n-1}} \cdot \frac{1}{y_{n-2}} \cdot \dots \cdot \frac{1}{y_1} \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}$ है,इसलिए $\frac{dy_n}{dx} = \frac{1}{y_{n-1} y_{n-2} \dots y_1 x}$ है।
$y_k = \log^k x$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log x \log^2 x \dots \log^{n-1} x}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x \log x \log^2 x \dots \log^{n-1} x \frac{dy}{dx} = 1$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = \log_{5} \log_{3} x$।
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_{a} b = \frac{\ln b}{\ln a}$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{\ln(\log_{3} x)}{\ln 5} = \frac{\ln(\frac{\ln x}{\ln 3})}{\ln 5} = \frac{\ln(\ln x) - \ln(\ln 3)}{\ln 5}$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{\ln 5} \cdot \frac{d}{dx} [\ln(\ln x) - \ln(\ln 3)] = \frac{1}{\ln 5} \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x}$।
अब,$x = e$ रखने पर:
$f^{\prime}(e) = \frac{1}{\ln 5} \cdot \frac{1}{\ln e} \cdot \frac{1}{e} = \frac{1}{\ln 5 \cdot 1 \cdot e} = \frac{1}{e \ln 5}$।
चूँकि $\ln 5 = \log_{e} 5$,इसलिए $f^{\prime}(e) = \frac{1}{e \log_{e} 5}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $y = 5^{\log x}$.
गुणधर्म $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$ का उपयोग करते हुए,हम $y = x^{\log 5}$ लिख सकते हैं।
अब,घात नियम $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = (\log 5) x^{\log 5 - 1}$.
वैकल्पिक रूप से,$y = 5^{\log x}$ के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 5^{\log x} \cdot \ln 5 \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = 5^{\log x} \cdot \ln 5 \cdot \frac{1}{x} = \frac{5^{\log x} \ln 5}{x}$.
चूंकि $\ln 5$,$\log_e 5$ के बराबर है,इसलिए सही व्यंजक $\frac{5^{\log x} \ln 5}{x}$ है।

(C) माना $u = \log_{2025} x = \frac{\log x}{\log 2025}$ है।
तब $y = \log_{2026} u = \frac{\log u}{\log 2026}$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) लागू करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u \log 2026} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{\log x}{\log 2025}\right)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u \log 2026} \cdot \frac{1}{x \log 2025}$.
$u = \frac{\log x}{\log 2025}$ का मान रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(\frac{\log x}{\log 2025}) \log 2026 \cdot x \log 2025} = \frac{1}{x \log x \log 2026}$.