x = a(2 cos t - cos 2t) और y = a(2 sin t - si | vedclass

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Question

(A) दिए गए प्राचलिक समीकरण: $x = a(2 \cos t - \cos 2t)$ और $y = a(2 \sin t - \sin 2t)$.स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{dy}{dx} = \frac{

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$2\pi / 3$

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(A) दिए गए प्राचलिक समीकरण: $x = a(2 \cos t - \cos 2t)$ और $y = a(2 \sin t - \sin 2t)$.स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ की गणना करते हैं।$\frac{dy}{dt} = a(2 \cos t - 2 \cos 2t) = 2a(\cos t - \cos 2t)$.$\frac{dx}{dt} = a(-2 \sin t + 2 \sin 2t) = 2a(\sin 2t - \sin t)$.अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{2a(\cos t - \cos 2t)}{2a(\sin 2t - \sin t)} = \frac{\cos t - \cos 2t}{\sin 2t - \sin t}$.स्पर्श रेखा के $x$-अक्ष के समानांतर होने के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\cos t = \cos 2t$.सर्वसमिका $\cos A = \cos B \implies A = 2n\pi \pm B$ का उपयोग करते हुए,हमें $2t = 2n\pi \pm t$ प्राप्त होता है।स्थिति $1$: $2t = 2n\pi + t \implies t = 2n\pi$.स्थिति $2$: $2t = 2n\pi - t \implies 3t = 2n\pi \implies t = \frac{2n\pi}{3}$.$n=1$ के लिए,$t = 2\pi/3$. $n=2$ के लिए,$t = 4\pi/3$.इन मानों के बीच का अंतर $\frac{4\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ है।

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यदि $x = 2 \sqrt{2} \sqrt{\cos 2 \theta}$ और $y = 2 \sqrt{2} \sqrt{\sin 2 \theta}$,$0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ है,तो $\theta = 22 \frac{1}{2}^{\circ}$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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