Derivatives of Functions in Parametric Forms Questions in Hindi

(A) दिया गया है $x = \sec \theta - \cos \theta$ और $y = \sec^n \theta - \cos^n \theta$।
मान लीजिए $u = \sec \theta$ और $v = \cos \theta = \frac{1}{u}$।
तब $x = u - \frac{1}{u}$ और $y = u^n - \frac{1}{u^n}$।
हम जानते हैं कि $x^2 = (u - \frac{1}{u})^2 = u^2 + \frac{1}{u^2} - 2$,इसलिए $x^2 + 4 = u^2 + \frac{1}{u^2} + 2 = (u + \frac{1}{u})^2$।
अतः,$u + \frac{1}{u} = \sqrt{x^2 + 4}$।
इसी प्रकार,$y^2 + 4 = (u^n - \frac{1}{u^n})^2 + 4 = u^{2n} + \frac{1}{u^{2n}} - 2 + 4 = u^{2n} + \frac{1}{u^{2n}} + 2 = (u^n + \frac{1}{u^n})^2$।
अतः,$u^n + \frac{1}{u^n} = \sqrt{y^2 + 4}$।
अब,$\theta$ के सापेक्ष $x$ और $y$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = \sec \theta \tan \theta + \sin \theta = \tan \theta (\sec \theta + \cos \theta)$।
$\frac{dy}{d\theta} = n \sec^{n-1} \theta (\sec \theta \tan \theta) + n \cos^{n-1} \theta \sin \theta = n \tan \theta (\sec^n \theta + \cos^n \theta)$।
तब $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{n(\sec^n \theta + \cos^n \theta)}{\sec \theta + \cos \theta} = \frac{n \sqrt{y^2 + 4}}{\sqrt{x^2 + 4}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें ${\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2} = \frac{{n^2(y^2 + 4)}}{{x^2 + 4}}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $x = \sqrt{2^{\csc^{-1} t}}$ और $y = \sqrt{2^{\sec^{-1} t}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 = 2^{\csc^{-1} t}$ और $y^2 = 2^{\sec^{-1} t}$ प्राप्त होता है।
दोनों का गुणनफल करने पर,$x^2 y^2 = 2^{\csc^{-1} t + \sec^{-1} t}$।
हम जानते हैं कि $|t| \ge 1$ के लिए $\csc^{-1} t + \sec^{-1} t = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $x^2 y^2 = 2^{\pi/2}$,जो एक अचर है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^2 y^2) = \frac{d}{dx}(2^{\pi/2})$
$2x y^2 + x^2 (2y \frac{dy}{dx}) = 0$
$2xy(y + x \frac{dy}{dx}) = 0$
चूँकि $x, y \neq 0$,इसलिए $y + x \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$।

(C) दिया गया है,$y = 3 \sin \theta \cos \theta = \frac{3}{2} \sin 2\theta$.
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{3}{2} \cdot 2 \cos 2\theta = 3 \cos 2\theta$.
दिया गया है $x = e^{\theta} \sin \theta$.
$\frac{dx}{d\theta} = e^{\theta} \sin \theta + e^{\theta} \cos \theta = e^{\theta} (\sin \theta + \cos \theta)$.
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3 \cos 2\theta}{e^{\theta} (\sin \theta + \cos \theta)}$.
स्पर्शरेखा $x-$अक्ष के समानांतर होती है जब $\frac{dy}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है $3 \cos 2\theta = 0$.
$\cos 2\theta = 0 \Rightarrow 2\theta = \frac{\pi}{2}$ (चूंकि $0 \leq \theta \leq \pi$,$0 \leq 2\theta \leq 2\pi$).
$2\theta = \frac{\pi}{2}$ या $2\theta = \frac{3\pi}{2}$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ या $\theta = \frac{3\pi}{4}$.
$\theta = \frac{3\pi}{4}$ पर हर $e^{\theta} (\sin \theta + \cos \theta)$ की जाँच करने पर: $\sin \frac{3\pi}{4} + \cos \frac{3\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$.
चूंकि हर $\theta = \frac{3\pi}{4}$ पर शून्य हो जाता है,इसलिए अवकलज अपरिभाषित है।
अतः,एकमात्र मान्य समाधान $\theta = \frac{\pi}{4}$ है।

(D) दिया गया है $x = \sqrt{a^{\sin^{-1} t}}$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$2 \ln x = (\sin^{-1} t) \ln a$।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{2}{x} \frac{dx}{dt} = \frac{\ln a}{\sqrt{1-t^2}}$।
अतः,$\frac{dx}{dt} = \frac{x \ln a}{2\sqrt{1-t^2}}$।
इसी प्रकार,$y = \sqrt{a^{\cos^{-1} t}} \Rightarrow 2 \ln y = (\cos^{-1} t) \ln a$।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{2}{y} \frac{dy}{dt} = -\frac{\ln a}{\sqrt{1-t^2}}$।
अतः,$\frac{dy}{dt} = -\frac{y \ln a}{2\sqrt{1-t^2}}$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-y \ln a / (2\sqrt{1-t^2})}{x \ln a / (2\sqrt{1-t^2})} = -\frac{y}{x}$।
अतः,$1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 1 + \left( -\frac{y}{x} \right)^2 = 1 + \frac{y^2}{x^2} = \frac{x^2 + y^2}{x^2}$।

(D) दिया गया है $x = 3 \tan t$ और $y = 3 \sec t.$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = 3 \sec^2 t$
$\frac{dy}{dt} = 3 \sec t \tan t$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3 \sec t \tan t}{3 \sec^2 t} = \frac{\tan t}{\sec t} = \sin t$
अब,$\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\sin t) = \cos t \cdot \frac{dt}{dx}$
चूंकि $\frac{dx}{dt} = 3 \sec^2 t,$ इसलिए $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{3 \sec^2 t}.$
यह मान रखने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \cos t \cdot \frac{1}{3 \sec^2 t} = \frac{\cos^3 t}{3}$
$t = \frac{\pi}{4}$ पर,$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}.$
अतः,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(1/\sqrt{2})^3}{3} = \frac{1}{3 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{1}{6\sqrt{2}}.$

(D) दिया गया है $x = 2 \sin \theta - \sin 2 \theta$ और $y = 2 \cos \theta - \cos 2 \theta$।
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = 2 \cos \theta - 2 \cos 2 \theta = 4 \sin \frac{3\theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}$.
$\frac{dy}{d\theta} = -2 \sin \theta + 2 \sin 2 \theta = 4 \cos \frac{3\theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}$.
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{4 \cos(3\theta/2) \sin(\theta/2)}{4 \sin(3\theta/2) \sin(\theta/2)} = \cot \frac{3\theta}{2}$.
अब,$\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{d\theta} \left( \cot \frac{3\theta}{2} \right) \cdot \frac{d\theta}{dx} = -\frac{3}{2} \csc^2 \frac{3\theta}{2} \cdot \frac{1}{dx/d\theta}$.
$\theta = \pi$ पर,$\frac{dx}{d\theta} = 2 \cos \pi - 2 \cos 2 \pi = -4$.
अतः,$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{3}{2} \csc^2 \frac{3\pi}{2} \cdot \frac{1}{-4} = \frac{3}{8}$.

(A) दिए गए प्राचलिक समीकरण:
$x = a \cos \theta$
$y = a \sin \theta$
सबसे पहले,$x$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(a \cos \theta) = -a \sin \theta$
इसके बाद,$y$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(a \sin \theta) = a \cos \theta$
प्राचलिक अवकलन के नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}$
मान रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{a \cos \theta}{-a \sin \theta}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta} = -\cot \theta$

(A) दिए गए प्राचलिक समीकरण:
$x = at^2$ और $y = 2at$.
$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at^2) = 2at$.
$y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(2at) = 2a$.
प्राचलिक अवकलन के नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$.

(A) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = a(\theta + \sin \theta)$ और $y = a(1 - \cos \theta)$ हैं।
$x$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = a(1 + \cos \theta)$.
$y$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = a(0 - (-\sin \theta)) = a \sin \theta$.
प्राचलिक अवकलन के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \sin \theta}{a(1 + \cos \theta)}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ और $1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \cos^2 \frac{\theta}{2}} = \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}} = \tan \frac{\theta}{2}$.

(A) दिए गए प्राचलिक समीकरण हैं:
$x = 2at^{2}$
$y = at^{4}$
सबसे पहले,$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2at^{2}) = 2a \cdot (2t) = 4at$
इसके बाद,$y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(at^{4}) = a \cdot (4t^{3}) = 4at^{3}$
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{4at^{3}}{4at} = t^{2}$

(A) दिए गए समीकरण $x = a \cos \theta$ और $y = b \cos \theta$ हैं।
$x$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(a \cos \theta) = -a \sin \theta$.
$y$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(b \cos \theta) = -b \sin \theta$.
प्राचलिक अवकलन के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{-b \sin \theta}{-a \sin \theta} = \frac{b}{a}$.
अतः,$\frac{dy}{dx}$ का मान $\frac{b}{a}$ है।

(A) दिए गए समीकरण $x = \sin t$ और $y = \cos 2t$ हैं।
$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\sin t) = \cos t$.
$y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(\cos 2t) = -\sin 2t \cdot \frac{d}{dt}(2t) = -2 \sin 2t$.
प्राचलिक अवकलन के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{-2 \sin 2t}{\cos t}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2(2 \sin t \cos t)}{\cos t} = -4 \sin t$.

(A) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = 4t$ और $y = \frac{4}{t}$ हैं।
$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(4t) = 4$.
$y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{4}{t}\right) = 4 \cdot \frac{d}{dt}(t^{-1}) = 4 \cdot (-1 \cdot t^{-2}) = -\frac{4}{t^2}$.
प्राचलिक अवकलन के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{-\frac{4}{t^2}}{4} = -\frac{1}{t^2}$.

(A) दिए गए समीकरण $x = \cos \theta - \cos 2\theta$ और $y = \sin \theta - \sin 2\theta$ हैं।
$x$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(\cos \theta) - \frac{d}{d\theta}(\cos 2\theta) = -\sin \theta - (-2 \sin 2\theta) = 2 \sin 2\theta - \sin \theta$.
$y$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(\sin \theta) - \frac{d}{d\theta}(\sin 2\theta) = \cos \theta - 2 \cos 2\theta$.
प्राचलिक अवकलन के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{\cos \theta - 2 \cos 2\theta}{2 \sin 2\theta - \sin \theta}$.

(A) दिए गए समीकरण $x=a(\theta-\sin \theta)$ और $y=a(1+\cos \theta)$ हैं।
$x$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = a[\frac{d}{d\theta}(\theta) - \frac{d}{d\theta}(\sin \theta)] = a(1-\cos \theta)$.
$y$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = a[\frac{d}{d\theta}(1) + \frac{d}{d\theta}(\cos \theta)] = a(0 - \sin \theta) = -a \sin \theta$.
प्राचलिक अवकलन के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{-a \sin \theta}{a(1-\cos \theta)}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ और $1-\cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \sin^2 \frac{\theta}{2}} = -\frac{\cos \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} = -\cot \frac{\theta}{2}$.

(A) दिए गए समीकरण $x = \frac{\sin^3 t}{\sqrt{\cos 2t}}$ और $y = \frac{\cos^3 t}{\sqrt{\cos 2t}}$ हैं।
सबसे पहले,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $\frac{dx}{dt}$ ज्ञात करें:
$\frac{dx}{dt} = \frac{\sqrt{\cos 2t} \cdot \frac{d}{dt}(\sin^3 t) - \sin^3 t \cdot \frac{d}{dt}(\sqrt{\cos 2t})}{\cos 2t}$
$= \frac{\sqrt{\cos 2t} \cdot 3\sin^2 t \cos t - \sin^3 t \cdot \frac{1}{2\sqrt{\cos 2t}} \cdot (-2\sin 2t)}{\cos 2t}$
$= \frac{3\cos 2t \sin^2 t \cos t + \sin^3 t \sin 2t}{(\cos 2t)^{3/2}}$
इसके बाद,भागफल नियम का उपयोग करके $\frac{dy}{dt}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dt} = \frac{\sqrt{\cos 2t} \cdot \frac{d}{dt}(\cos^3 t) - \cos^3 t \cdot \frac{d}{dt}(\sqrt{\cos 2t})}{\cos 2t}$
$= \frac{\sqrt{\cos 2t} \cdot 3\cos^2 t (-\sin t) - \cos^3 t \cdot \frac{1}{2\sqrt{\cos 2t}} \cdot (-2\sin 2t)}{\cos 2t}$
$= \frac{-3\cos 2t \cos^2 t \sin t + \cos^3 t \sin 2t}{(\cos 2t)^{3/2}}$
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-3\cos 2t \cos^2 t \sin t + \cos^3 t \sin 2t}{3\cos 2t \sin^2 t \cos t + \sin^3 t \sin 2t}$
$\sin 2t = 2\sin t \cos t$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{\sin t \cos t [-3\cos 2t \cos t + 2\cos^3 t]}{\sin t \cos t [3\cos 2t \sin t + 2\sin^3 t]}$
$= \frac{-3(2\cos^2 t - 1)\cos t + 2\cos^3 t}{3(1 - 2\sin^2 t)\sin t + 2\sin^3 t}$
$= \frac{-6\cos^3 t + 3\cos t + 2\cos^3 t}{3\sin t - 6\sin^3 t + 2\sin^3 t} = \frac{-4\cos^3 t + 3\cos t}{3\sin t - 4\sin^3 t}$
सर्वसमिकाओं $\cos 3t = 4\cos^3 t - 3\cos t$ और $\sin 3t = 3\sin t - 4\sin^3 t$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{-(\cos 3t)}{\sin 3t} = -\cot 3t$.

(A) दिए गए समीकरण $x=a\left(\cos t+\log \tan \frac{t}{2}\right)$ और $y=a \sin t$ हैं।
सबसे पहले,$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = a \left[ \frac{d}{dt}(\cos t) + \frac{d}{dt}(\log \tan \frac{t}{2}) \right]$
$= a \left[ -\sin t + \frac{1}{\tan \frac{t}{2}} \cdot \sec^2 \frac{t}{2} \cdot \frac{1}{2} \right]$
$= a \left[ -\sin t + \frac{\cos \frac{t}{2}}{\sin \frac{t}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{t}{2}} \cdot \frac{1}{2} \right]$
$= a \left[ -\sin t + \frac{1}{2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}} \right]$
$= a \left[ -\sin t + \frac{1}{\sin t} \right] = a \left( \frac{1 - \sin^2 t}{\sin t} \right) = a \frac{\cos^2 t}{\sin t}$.
इसके बाद,$y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = a \frac{d}{dt}(\sin t) = a \cos t$.
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{a \cos t}{a \frac{\cos^2 t}{\sin t}} = \frac{\cos t \cdot \sin t}{\cos^2 t} = \frac{\sin t}{\cos t} = \tan t$.

(A) दिए गए समीकरण $x = a \sec \theta$ और $y = b \tan \theta$ हैं।
$x$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = a \sec \theta \tan \theta$.
$y$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = b \sec^2 \theta$.
प्राचलिक अवकलन के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{b \sec^2 \theta}{a \sec \theta \tan \theta}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{b}{a} \cdot \frac{\sec \theta}{\tan \theta} = \frac{b}{a} \cdot \frac{1/\cos \theta}{\sin \theta / \cos \theta} = \frac{b}{a} \cdot \frac{1}{\sin \theta} = \frac{b}{a} \csc \theta$.

(A) दिए गए समीकरण $x = a(\cos \theta + \theta \sin \theta)$ और $y = a(\sin \theta - \theta \cos \theta)$ हैं।
सबसे पहले,$x$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = a \left[ \frac{d}{d\theta}(\cos \theta) + \frac{d}{d\theta}(\theta \sin \theta) \right]$
$= a [-\sin \theta + (\theta \cos \theta + \sin \theta \cdot 1)]$
$= a [-\sin \theta + \theta \cos \theta + \sin \theta] = a \theta \cos \theta$.
इसके बाद,$y$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = a \left[ \frac{d}{d\theta}(\sin \theta) - \frac{d}{d\theta}(\theta \cos \theta) \right]$
$= a [\cos \theta - (\theta(-\sin \theta) + \cos \theta \cdot 1)]$
$= a [\cos \theta + \theta \sin \theta - \cos \theta] = a \theta \sin \theta$.
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \theta \sin \theta}{a \theta \cos \theta} = \tan \theta$.

दिए गए समीकरण $x = \sqrt{a^{\sin^{-1}t}}$ और $y = \sqrt{a^{\cos^{-1}t}}$ हैं।
इसे $x = a^{\frac{1}{2}\sin^{-1}t}$ और $y = a^{\frac{1}{2}\cos^{-1}t}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ के लिए दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln x = \frac{1}{2}\sin^{-1}t \ln a$।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{x} \frac{dx}{dt} = \frac{\ln a}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \implies \frac{dx}{dt} = \frac{x \ln a}{2\sqrt{1-t^2}}$।
इसी प्रकार,$y$ के लिए:
$\ln y = \frac{1}{2}\cos^{-1}t \ln a$।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dt} = \frac{\ln a}{2} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\right) \implies \frac{dy}{dt} = -\frac{y \ln a}{2\sqrt{1-t^2}}$।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-\frac{y \ln a}{2\sqrt{1-t^2}}}{\frac{x \ln a}{2\sqrt{1-t^2}}} = -\frac{y}{x}$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ सिद्ध होता है।

(D) $x = a \sin^{3} t$ और $y = b \cos^{3} t$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = 3a \sin^{2} t \cos t$ और $\frac{dy}{dt} = -3b \cos^{2} t \sin t$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-3b \cos^{2} t \sin t}{3a \sin^{2} t \cos t} = -\frac{b}{a} \cot t$ है।
$t = \frac{\pi}{2}$ पर ढाल $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{t = \frac{\pi}{2}} = -\frac{b}{a} \cot \frac{\pi}{2} = -\frac{b}{a} (0) = 0$ है।
$t = \frac{\pi}{2}$ पर बिंदु के निर्देशांक $x = a \sin^{3}(\frac{\pi}{2}) = a(1)^{3} = a$ और $y = b \cos^{3}(\frac{\pi}{2}) = b(0)^{3} = 0$ हैं। अतः बिंदु $(a, 0)$ है।
बिंदु $(a, 0)$ और ढाल $m = 0$ वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_{1} = m(x - x_{1})$ के अनुसार:
$y - 0 = 0(x - a)$,जो सरल होकर $y = 0$ प्राप्त होता है।

(A) वक्र के प्राचलिक समीकरण $x=a \cos ^{3} \theta$ और $y=a \sin ^{3} \theta$ दिए गए हैं।
सबसे पहले,हम $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dx}{d\theta} = 3a \cos^{2} \theta (-\sin \theta) = -3a \cos^{2} \theta \sin \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = 3a \sin^{2} \theta (\cos \theta) = 3a \sin^{2} \theta \cos \theta$
स्पर्शरेखा की प्रवणता $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3a \sin^{2} \theta \cos \theta}{-3a \cos^{2} \theta \sin \theta} = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\tan \theta$ द्वारा दी जाती है।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर,स्पर्शरेखा की प्रवणता $m_{T} = -\tan(\frac{\pi}{4}) = -1$ है।
अभिलंब की प्रवणता $m_{N} = -\frac{1}{m_{T}}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$m_{N} = -\frac{1}{-1} = 1$।

(A) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण $x = 1 - a \sin \theta$ और $y = b \cos^{2} \theta$ हैं।
सबसे पहले,हम $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dx}{d\theta} = -a \cos \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = b \cdot 2 \cos \theta \cdot (-\sin \theta) = -2b \sin \theta \cos \theta$
अब,स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ इस प्रकार है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{-2b \sin \theta \cos \theta}{-a \cos \theta} = \frac{2b}{a} \sin \theta$
$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर,स्पर्शरेखा की ढाल:
$m_{tangent} = \frac{2b}{a} \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{2b}{a} \cdot 1 = \frac{2b}{a}$
अभिलंब की ढाल,स्पर्शरेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है:
$m_{normal} = -\frac{1}{m_{tangent}} = -\frac{1}{2b/a} = -\frac{a}{2b}$

(A) दिया गया वक्र $x = \cos t$ और $y = \sin t$ है।
$t = \frac{\pi}{4}$ पर,$x = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $y = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ है।
अब,$\frac{dx}{dt} = -\sin t$ और $\frac{dy}{dt} = \cos t$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\cos t}{-\sin t} = -\cot t$ है।
$t = \frac{\pi}{4}$ पर,ढाल $m = -\cot(\frac{\pi}{4}) = -1$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - \frac{1}{\sqrt{2}} = -1(x - \frac{1}{\sqrt{2}})$ है,जिसे सरल करने पर $x + y - \sqrt{2} = 0$ प्राप्त होता है।
अभिलंब की ढाल $m' = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{-1} = 1$ है।
अभिलंब का समीकरण $y - \frac{1}{\sqrt{2}} = 1(x - \frac{1}{\sqrt{2}})$ है,जिसे सरल करने पर $x - y = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $y = a^{t+\frac{1}{t}}$ और $x = \left(t+\frac{1}{t}\right)^{a}$।
सबसे पहले,चेन नियम का उपयोग करके $y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\left(a^{t+\frac{1}{t}}\right) = a^{t+\frac{1}{t}} \cdot \log a \cdot \frac{d}{dt}\left(t+\frac{1}{t}\right) = a^{t+\frac{1}{t}} \cdot \log a \cdot \left(1 - \frac{1}{t^2}\right)$.
अब,पावर नियम का उपयोग करके $x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\left(t+\frac{1}{t}\right)^{a} = a\left(t+\frac{1}{t}\right)^{a-1} \cdot \frac{d}{dt}\left(t+\frac{1}{t}\right) = a\left(t+\frac{1}{t}\right)^{a-1} \cdot \left(1 - \frac{1}{t^2}\right)$.
अब,प्राचलिक सूत्र $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ का उपयोग करके:
$\frac{dy}{dx} = \frac{a^{t+\frac{1}{t}} \cdot \log a \cdot \left(1 - \frac{1}{t^2}\right)}{a\left(t+\frac{1}{t}\right)^{a-1} \cdot \left(1 - \frac{1}{t^2}\right)}$.
समान पद $\left(1 - \frac{1}{t^2}\right)$ को हटाने पर ($t \neq \pm 1$ के लिए):
$\frac{dy}{dx} = \frac{a^{t+\frac{1}{t}} \log a}{a\left(t+\frac{1}{t}\right)^{a-1}}$.

(A) माना $u(x) = \sin ^{2} x$ और $v(x) = e^{\cos x}$ है।
हमें $v$ के सापेक्ष $u$ का अवकलज ज्ञात करना है,जो $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $u(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin ^{2} x) = 2 \sin x \cos x$.
इसके बाद,श्रृंखला नियम का उपयोग करके $v(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{\cos x}) = e^{\cos x} \cdot \frac{d}{dx}(\cos x) = e^{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\sin x e^{\cos x}$.
अब,इन मानों को $\frac{du}{dv}$ के सूत्र में रखें:
$\frac{du}{dv} = \frac{2 \sin x \cos x}{-\sin x e^{\cos x}}$.
यदि $\sin x \neq 0$ है,तो अंश और हर से $\sin x$ को काटने पर:
$\frac{du}{dv} = \frac{2 \cos x}{-e^{\cos x}} = -2 \cos x e^{-\cos x}$.

(A) दिया गया है कि $y=12(1-\cos t)$ और $x=10(t-\sin t)$ है।
$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}[10(t-\sin t)] = 10(1-\cos t)$.
$y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}[12(1-\cos t)] = 12(0 - (-\sin t)) = 12\sin t$.
प्राचलिक अवकलन के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{12\sin t}{10(1-\cos t)}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin t = 2\sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}$ और $1-\cos t = 2\sin^2 \frac{t}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{12(2\sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2})}{10(2\sin^2 \frac{t}{2})} = \frac{12}{10} \cot \frac{t}{2} = \frac{6}{5} \cot \frac{t}{2}$.

(D) दिया गया है कि,$x=a(\cos t+t \sin t)$ और $y=a(\sin t-t \cos t).$
सबसे पहले,हम $\frac{dx}{dt}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{dt} = a \left[ \frac{d}{dt}(\cos t) + \frac{d}{dt}(t \sin t) \right] = a [-\sin t + \sin t + t \cos t] = at \cos t.$
अगला,हम $\frac{dy}{dt}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dt} = a \left[ \frac{d}{dt}(\sin t) - \frac{d}{dt}(t \cos t) \right] = a [\cos t - (\cos t - t \sin t)] = at \sin t.$
अब,$\frac{dy}{dx}$ की गणना करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{at \sin t}{at \cos t} = \tan t.$
अंत में,द्वितीय अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\tan t) = \sec^2 t \cdot \frac{dt}{dx}.$
चूंकि $\frac{dx}{dt} = at \cos t,$ इसलिए $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{at \cos t}.$
अतः,$\frac{d^2y}{dx^2} = \sec^2 t \cdot \frac{1}{at \cos t} = \frac{\sec^3 t}{at}.$

(D) दिया गया है $x = 2 \sqrt{2} \cos t \sqrt{\sin 2t}$ और $y = 2 \sqrt{2} \sin t \sqrt{\sin 2t}$।
सबसे पहले,$\frac{dx}{dt}$ और $\frac{dy}{dt}$ ज्ञात करें:
$\frac{dx}{dt} = 2 \sqrt{2} [-\sin t \sqrt{\sin 2t} + \cos t \cdot \frac{1}{2\sqrt{\sin 2t}} \cdot 2 \cos 2t] = \frac{2 \sqrt{2} \cos 3t}{\sqrt{\sin 2t}}$.
इसी प्रकार,$\frac{dy}{dt} = \frac{2 \sqrt{2} \sin 3t}{\sqrt{\sin 2t}}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \tan 3t$.
$t = \frac{\pi}{4}$ पर,$\frac{dy}{dx} = \tan(\frac{3\pi}{4}) = -1$.
अब,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}(\tan 3t) \cdot \frac{dt}{dx} = 3 \sec^2 3t \cdot \frac{\sqrt{\sin 2t}}{2 \sqrt{2} \cos 3t} = \frac{3 \sec^3 3t \sqrt{\sin 2t}}{2 \sqrt{2}}$.
$t = \frac{\pi}{4}$ पर,$\sec 3t = -\sqrt{2}$,इसलिए $\sec^3 3t = -2 \sqrt{2}$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3(-2 \sqrt{2}) \sqrt{1}}{2 \sqrt{2}} = -3$.
अंत में,$\frac{1 + (dy/dx)^2}{d^2y/dx^2} = \frac{1 + (-1)^2}{-3} = -\frac{2}{3}$.

(C) वक्र के प्राचलिक समीकरण दिए गए हैं: $x = \theta + \sin \theta$ और $y = 1 + \cos \theta$।
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = 1 + \cos \theta$ और $\frac{dy}{d\theta} = -\sin \theta$।
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{-\sin \theta}{1 + \cos \theta}$ है।
$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर बिंदु $(x, y)$ इस प्रकार है:
$x = \frac{\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 1$ और $y = 1 + \cos \frac{\pi}{2} = 1$।
$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m_t = \frac{-\sin(\pi/2)}{1 + \cos(\pi/2)} = \frac{-1}{1 + 0} = -1$ है।
अतः,अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-1} = 1$ है।
$(\frac{\pi}{2} + 1, 1)$ पर अभिलंब का समीकरण:
$y - 1 = 1(x - (\frac{\pi}{2} + 1))$
$y - 1 = x - \frac{\pi}{2} - 1$
$x - y - \frac{\pi}{2} = 0$,जिसे $2x - 2y - \pi = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण: $x=\theta+\sin \theta$ और $y=1+\cos \theta$ हैं।
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dx}{d\theta} = 1+\cos \theta$ और $\frac{dy}{d\theta} = -\sin \theta$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{-\sin \theta}{1+\cos \theta}$।
$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{-\sin(\pi/2)}{1+\cos(\pi/2)} = \frac{-1}{1+0} = -1$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-1} = 1$ है।
अब,$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर बिंदु $(x, y)$ ज्ञात करें:
$x = \frac{\pi}{2} + \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} + 1$ और $y = 1 + \cos(\frac{\pi}{2}) = 1 + 0 = 1$।
अभिलंब का समीकरण $(y - y_1) = m_n(x - x_1)$ है:
$(y - 1) = 1(x - (1 + \frac{\pi}{2}))$।
$y - 1 = x - 1 - \frac{\pi}{2}$।
$x - y - \frac{\pi}{2} = 0$,जिसे सरल करने पर $2x - 2y - \pi = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए प्राचल समीकरण $x=\sqrt{t}$ और $y=t-\frac{1}{\sqrt{t}}$ हैं।
$t=4$ पर,$x=\sqrt{4}=2$ और $y=4-\frac{1}{\sqrt{4}}=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$ प्राप्त होता है।
अवकलज $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ ज्ञात करते हैं।
$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{t}}$ और $\frac{dy}{dt} = 1 + \frac{1}{2t\sqrt{t}}$.
$t=4$ पर,$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{4}$ और $\frac{dy}{dt} = 1 + \frac{1}{16} = \frac{17}{16}$.
अतः,स्पर्शरेखा की ढाल $m_T = \frac{17/16}{1/4} = \frac{17}{4}$.
अभिलंब की ढाल $m_N = -\frac{1}{m_T} = -\frac{4}{17}$.
अभिलंब का समीकरण $y - \frac{7}{2} = -\frac{4}{17}(x - 2)$ है।
$34$ से गुणा करने पर,$34y - 119 = -8(x - 2) \implies 34y - 119 = -8x + 16$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर $8x + 34y = 135$ प्राप्त होता है।

(C) वक्र के दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = \sqrt{t}$ और $y = t - \frac{1}{\sqrt{t}}$ हैं।
सबसे पहले,हम $t$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^{1/2}) = \frac{1}{2\sqrt{t}}$
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(t - t^{-1/2}) = 1 - (-\frac{1}{2})t^{-3/2} = 1 + \frac{1}{2t^{3/2}}$
अब,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ द्वारा दी जाती है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \frac{1}{2t^{3/2}}}{\frac{1}{2\sqrt{t}}} = (1 + \frac{1}{2t^{3/2}}) \times (2\sqrt{t}) = 2\sqrt{t} + \frac{1}{t} = \frac{2t\sqrt{t} + 1}{t}$
$t=4$ पर स्पर्श रेखा की ढाल:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{t=4} = \frac{2(4)\sqrt{4} + 1}{4} = \frac{16+1}{4} = \frac{17}{4}$
अभिलंब की ढाल,स्पर्श रेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है:
$\text{अभिलंब की ढाल} = -\frac{1}{(\frac{dy}{dx})_{t=4}} = -\frac{1}{17/4} = -\frac{4}{17}$

(D) वक्र के प्राचलिक समीकरण $x=t^{2}-1$ और $y=t^{2}-t$ दिए गए हैं।
सबसे पहले,हम $t$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{dt} = 2t$ और $\frac{dy}{dt} = 2t-1$.
वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2t-1}{2t}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि स्पर्श रेखा $X$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल शून्य होनी चाहिए:
$\frac{2t-1}{2t} = 0$.
इसका अर्थ है $2t-1 = 0$,जिससे $t = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई स्थिति के निर्देशांक: $x = a + bt - ct^2$ और $y = at + bt^2$ हैं।
त्वरण ज्ञात करने के लिए,हम समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करके वेग के घटक ज्ञात करते हैं:
$v_x = \frac{dx}{dt} = b - 2ct$
$v_y = \frac{dy}{dt} = a + 2bt$
अब,वेग का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करके त्वरण के घटक ज्ञात करते हैं:
$a_x = \frac{dv_x}{dt} = -2c$
$a_y = \frac{dv_y}{dt} = 2b$
परिणामी त्वरण $a$ त्वरण सदिश का परिमाण है:
$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{(-2c)^2 + (2b)^2}$
$a = \sqrt{4c^2 + 4b^2} = 2 \sqrt{c^2 + b^2} \text{ unit/s}^2$.

(A) दिया गया है: $x = a \sin t - b \cos t$ और $y = a \cos t + b \sin t$।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$x^{2} + y^{2} = (a \sin t - b \cos t)^{2} + (a \cos t + b \sin t)^{2}$
$x^{2} + y^{2} = a^{2} \sin^{2} t + b^{2} \cos^{2} t - 2ab \sin t \cos t + a^{2} \cos^{2} t + b^{2} \sin^{2} t + 2ab \sin t \cos t$
$x^{2} + y^{2} = a^{2}(\sin^{2} t + \cos^{2} t) + b^{2}(\cos^{2} t + \sin^{2} t) = a^{2} + b^{2}$।
$x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies y \frac{dy}{dx} = -x$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = -1$।
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ का मान रखने पर:
$y \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \left(-\frac{x}{y}\right)^{2} = -1$
$y \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \frac{x^{2}}{y^{2}} = -1$।
$y^{2}$ से गुणा करने पर:
$y^{3} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + x^{2} = -y^{2}$
$y^{3} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + x^{2} + y^{2} = 0$।

(D) दिया गया है $x=\sec \theta-\cos \theta$ और $y=\sec ^{10} \theta-\cos ^{10} \theta$.
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = \sec \theta \tan \theta + \sin \theta = \tan \theta (\sec \theta + \cos \theta)$
$\frac{dy}{d\theta} = 10 \sec^9 \theta (\sec \theta \tan \theta) - 10 \cos^9 \theta (-\sin \theta) = 10 \sec^{10} \theta \tan \theta + 10 \cos^9 \theta \sin \theta$
$= 10 \tan \theta (\sec^{10} \theta + \cos^{10} \theta)$
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{10 \tan \theta (\sec^{10} \theta + \cos^{10} \theta)}{\tan \theta (\sec \theta + \cos \theta)} = \frac{10 (\sec^{10} \theta + \cos^{10} \theta)}{\sec \theta + \cos \theta}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\frac{dy}{dx})^2 = \frac{100 (\sec^{10} \theta + \cos^{10} \theta)^2}{(\sec \theta + \cos \theta)^2}$
सर्वसमिका $(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$ का उपयोग करने पर:
$(\frac{dy}{dx})^2 = \frac{100 [(\sec^{10} \theta - \cos^{10} \theta)^2 + 4 \sec^{10} \theta \cos^{10} \theta]}{(\sec \theta - \cos \theta)^2 + 4 \sec \theta \cos \theta}$
चूंकि $\sec \theta \cos \theta = 1$,इसलिए:
$(\frac{dy}{dx})^2 = \frac{100 (y^2 + 4)}{x^2 + 4}$
अतः,$(x^2+4)(\frac{dy}{dx})^2 = 100(y^2+4)$.
दिए गए समीकरण से तुलना करने पर,$k = 100$ प्राप्त होता है।

(B) माना $t = \tan^{-1} x$ है। तब $u = \frac{t}{t+1}$ और $v = \tan^{-1}(t)$ होगा।
हमें $\frac{du}{dv} = \frac{du/dt}{dv/dt}$ ज्ञात करना है।
सबसे पहले,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $u$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{du}{dt} = \frac{(t+1)(1) - t(1)}{(t+1)^2} = \frac{1}{(t+1)^2}$.
इसके बाद,$v$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dv}{dt} = \frac{1}{1+t^2}$.
अब,$\frac{du}{dv}$ की गणना करने पर:
$\frac{du}{dv} = \frac{du/dt}{dv/dt} = \frac{1/(t+1)^2}{1/(1+t^2)} = \frac{1+t^2}{(t+1)^2}$.
$t = \tan^{-1} x$ का मान वापस रखने पर:
$\frac{du}{dv} = \frac{1 + (\tan^{-1} x)^2}{(1 + \tan^{-1} x)^2}$.

(C) दिया गया है $y=f\left(\frac{2 x+3}{3-2 x}\right)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$\frac{d y}{d x}=f^{\prime}\left(\frac{2 x+3}{3-2 x}\right) \cdot \frac{d}{d x}\left(\frac{2 x+3}{3-2 x}\right)$.
भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{d x}\left(\frac{2 x+3}{3-2 x}\right) = \frac{(3-2 x)(2) - (2 x+3)(-2)}{(3-2 x)^2} = \frac{6-4 x+4 x+6}{(3-2 x)^2} = \frac{12}{(3-2 x)^2}$.
चूंकि $f^{\prime}(x)=\sin (\log x)$,इसलिए $f^{\prime}\left(\frac{2 x+3}{3-2 x}\right) = \sin \left(\log \left(\frac{2 x+3}{3-2 x}\right)\right)$.
अतः,$\frac{d y}{d x} = \sin \left(\log \left(\frac{2 x+3}{3-2 x}\right)\right) \cdot \frac{12}{(3-2 x)^2}$.
$x=1$ पर,फलन का तर्क $\frac{2(1)+3}{3-2(1)} = 5$ है।
अतः $x=1$ पर अवकलज $\sin (\log 5) \cdot \frac{12}{(3-2)^2} = 12 \sin (\log 5)$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $x = \sin \theta$ और $y = \sin^3 \theta$।
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = \cos \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = 3 \sin^2 \theta \cos \theta$
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3 \sin^2 \theta \cos \theta}{\cos \theta} = 3 \sin^2 \theta$
अब,$\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(3 \sin^2 \theta) = \frac{d}{d\theta}(3 \sin^2 \theta) \cdot \frac{d\theta}{dx}$
$\frac{d^2 y}{dx^2} = (6 \sin \theta \cos \theta) \cdot \frac{1}{\cos \theta} = 6 \sin \theta$
अंत में,$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर मान रखने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = 6 \sin(\frac{\pi}{2}) = 6(1) = 6$.

(C) माना $u = \sqrt{y-\sqrt{y-\sqrt{y-\ldots \infty}}}$ और $v = \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots \infty}}}$.
दिया है कि $u = v$.
$u$ के लिए,हमारे पास $u = \sqrt{y-u} \implies u^2 = y-u \implies y = u^2+u$ है।
$v$ के लिए,हमारे पास $v = \sqrt{x+v} \implies v^2 = x+v \implies x = v^2-v$ है।
चूंकि $u = v$,हम $y = u^2+u$ और $x = u^2-u$ लिख सकते हैं।
अब,$u$ के सापेक्ष $y$ और $x$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{du} = 2u+1$ और $\frac{dx}{du} = 2u-1$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/du}{dx/du} = \frac{2u+1}{2u-1}$.
$y = u^2+u$ से,$y-x = (u^2+u) - (u^2-u) = 2u$,अतः $u = \frac{y-x}{2}$.
$u$ का मान $\frac{dy}{dx} = \frac{2u+1}{2u-1}$ में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2(\frac{y-x}{2})+1}{2(\frac{y-x}{2})-1} = \frac{y-x+1}{y-x-1}$.

(D) माना $\sqrt{y-\sqrt{y-\sqrt{y-\ldots \infty}}} = \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots \infty}}} = z$.
चूंकि व्यंजक अनंत हैं,हम लिख सकते हैं:
$y - z = z^2 \Rightarrow y = z^2 + z$
$x + z = z^2 \Rightarrow x = z^2 - z$
अब,$z$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dz} = 2z + 1$
$\frac{dx}{dz} = 2z - 1$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dz}{dx/dz} = \frac{2z+1}{2z-1}$.
समीकरणों $y = z^2 + z$ और $x = z^2 - z$ को घटाने पर:
$y - x = (z^2 + z) - (z^2 - z) = 2z$.
$2z = y - x$ का मान अवकलज में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(y-x) + 1}{(y-x) - 1} = \frac{y-x+1}{y-x-1}$.

(C) दिया गया है $x = a \cos^3 \theta$ और $y = a \sin^3 \theta$।
सबसे पहले,हम $\theta$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{d\theta} = 3a \cos^2 \theta (-\sin \theta) = -3a \cos^2 \theta \sin \theta$।
$\frac{dy}{d\theta} = 3a \sin^2 \theta (\cos \theta) = 3a \sin^2 \theta \cos \theta$।
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3a \sin^2 \theta \cos \theta}{-3a \cos^2 \theta \sin \theta} = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\tan \theta$।
अतः,$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = (-\tan \theta)^2 = \tan^2 \theta$।
अंत में,$\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} = \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = \sqrt{\sec^2 \theta} = |\sec \theta|$।

(A) दिया गया है $x = a \sin 2t (1 + \cos 2t) = a \sin 2t + a \sin 2t \cos 2t = a \sin 2t + \frac{a}{2} \sin 4t$.
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dx}{dt} = 2a \cos 2t + 2a \cos 4t = 2a (\cos 2t + \cos 4t)$.
दिया गया है $y = b \cos 2t (1 - \cos 2t) = b \cos 2t - b \cos^2 2t$.
$\cos^2 2t = \frac{1 + \cos 4t}{2}$ का उपयोग करते हुए,$y = b \cos 2t - \frac{b}{2} (1 + \cos 4t)$.
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dt} = -2b \sin 2t + b \sin 4t = -2b \sin 2t + 2b \sin 2t \cos 2t = -2b \sin 2t (1 - \cos 2t)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-2b \sin 2t (1 - \cos 2t)}{2a (\cos 2t + \cos 4t)} = \frac{b}{a} \tan t$.

(C) दिया गया है कि $x = \sin \theta$ और $y = \sin^3 \theta$ है।
सबसे पहले,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{d\theta} = 3 \sin^2 \theta \cos \theta$
$\frac{dx}{d\theta} = \cos \theta$
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3 \sin^2 \theta \cos \theta}{\cos \theta} = 3 \sin^2 \theta$.
अब,$\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (3 \sin^2 \theta) = \frac{d}{d\theta} (3 \sin^2 \theta) \cdot \frac{d\theta}{dx}$.
चूंकि $\frac{dx}{d\theta} = \cos \theta$,इसलिए $\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{\cos \theta}$।
$\frac{d^2 y}{dx^2} = (6 \sin \theta \cos \theta) \cdot \frac{1}{\cos \theta} = 6 \sin \theta$.
$\theta = \frac{\pi}{6}$ पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = 6 \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$.

(A) दिया गया है $x = \sin t$ और $y = \sin pt$।
सबसे पहले,चेन रूल का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dx}{dt} = \cos t$ और $\frac{dy}{dt} = p \cos pt$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{p \cos pt}{\cos t}$।
इसका अर्थ है $\cos t \frac{dy}{dx} = p \cos pt$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} (\cos t \frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dx} (p \cos pt)$।
बाईं ओर प्रोडक्ट रूल का उपयोग करने पर:
$-\sin t \frac{dt}{dx} \frac{dy}{dx} + \cos t \frac{d^2 y}{dx^2} = -p^2 \sin pt \frac{dt}{dx}$।
चूंकि $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos t}$,हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$-\sin t (\frac{1}{\cos t}) \frac{dy}{dx} + \cos t \frac{d^2 y}{dx^2} = -p^2 \sin pt (\frac{1}{\cos t})$।
पूरे समीकरण को $\cos t$ से गुणा करने पर:
$-\sin t \frac{dy}{dx} + \cos^2 t \frac{d^2 y}{dx^2} = -p^2 \sin pt$।
$x = \sin t$,$\cos^2 t = 1 - x^2$,और $y = \sin pt$ रखने पर:
$-x \frac{dy}{dx} + (1 - x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} = -p^2 y$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(1 - x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} + p^2 y = 0$।

(D) दिया गया है $x = t^2 + t + 1$ और $y = \sin \left(\frac{t \pi}{2}\right) + \cos \left(\frac{t \pi}{2}\right)$.
सबसे पहले,$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 + t + 1) = 2t + 1$.
इसके बाद,$y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\sin \left(\frac{t \pi}{2}\right) + \cos \left(\frac{t \pi}{2}\right)\right) = \frac{\pi}{2} \cos \left(\frac{t \pi}{2}\right) - \frac{\pi}{2} \sin \left(\frac{t \pi}{2}\right)$.
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\frac{\pi}{2} \left(\cos \left(\frac{t \pi}{2}\right) - \sin \left(\frac{t \pi}{2}\right)\right)}{2t + 1}$.
$t=1$ पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{\pi}{2} \left(\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)\right)}{2(1) + 1} = \frac{\frac{\pi}{2} (0 - 1)}{3} = \frac{-\pi/2}{3} = -\frac{\pi}{6}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) माना $t = \tan \theta$. अतः $\theta = \tan^{-1} t$.
$x$ के लिए: $x = \tan^{-1} \left\{ \frac{\sqrt{1+\tan^2 \theta}-1}{\tan \theta} \right\} = \tan^{-1} \left\{ \frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta} \right\} = \tan^{-1} \left\{ \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \right\} = \tan^{-1} \left\{ \tan \frac{\theta}{2} \right\} = \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \tan^{-1} t$.
अतः,$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2(1+t^2)}$.
$y$ के लिए: $y = \cos^{-1} \left\{ \frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta} \right\} = \cos^{-1} (\cos 2\theta) = 2\theta = 2 \tan^{-1} t$.
अतः,$\frac{dy}{dt} = \frac{2}{1+t^2}$.
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2/(1+t^2)}{1/(2(1+t^2))} = 2 \times 2 = 4$.

(D) माना $u = \sin ^2 x$ और $v = e^{\cos x}$ है।
सबसे पहले,$u$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin ^2 x) = 2 \sin x \cdot \cos x$.
इसके बाद,$v$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{\cos x}) = e^{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\sin x \cdot e^{\cos x}$.
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $u$ का $v$ के सापेक्ष अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{du}{dv} = \frac{\frac{du}{dx}}{\frac{dv}{dx}} = \frac{2 \sin x \cdot \cos x}{-\sin x \cdot e^{\cos x}}$.
अंश और हर से $\sin x$ को काटने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{du}{dv} = \frac{2 \cos x}{-e^{\cos x}} = \frac{-2 \cos x}{e^{\cos x}}$.