x = k (k एक पूर्णांक है) पर f(x) = {x} sin(pi | vedclass

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Question

(B) $x = k$ पर बायां अवकलज $(LHD)$ $\lim_{h 	o 0^+} \frac{f(k-h) - f(k)}{-h}$ के रूप में परिभाषित है।दिया गया है $f(x) = \{x\} \sin(\pi x)$,इसलिए $f(

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$(-1)^k 	imes \pi$

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(B) $x = k$ पर बायां अवकलज $(LHD)$ $\lim_{h 	o 0^+} \frac{f(k-h) - f(k)}{-h}$ के रूप में परिभाषित है।दिया गया है $f(x) = \{x\} \sin(\pi x)$,इसलिए $f(k) = \{k\} \sin(\pi k) = 0 	imes 0 = 0$.छोटे $h > 0$ के लिए,$k-h$ अंतराल $(k-1, k)$ में स्थित है,इसलिए $\{k-h\} = k-h - (k-1) = 1-h$.अतः,$f(k-h) = (1-h) \sin(\pi(k-h)) = (1-h) \sin(k\pi - \pi h) = (1-h) (\sin(k\pi)\cos(\pi h) - \cos(k\pi)\sin(\pi h))$.चूंकि $\sin(k\pi) = 0$ और $\cos(k\pi) = (-1)^k$,हमें प्राप्त होता है $f(k-h) = (1-h) (0 - (-1)^k \sin(\pi h)) = (1-h) (-1)^{k+1} \sin(\pi h)$.अब,$LHD = \lim_{h 	o 0^+} \frac{(1-h) (-1)^{k+1} \sin(\pi h) - 0}{-h} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{(1-h) (-1)^{k+1} \sin(\pi h)}{-h}$.$\lim_{h 	o 0} \frac{\sin(\pi h)}{\pi h} = 1$ का उपयोग करते हुए,$LHD = (-1)^{k+1} 	imes (-1) 	imes \pi = (-1)^{k+2} \pi = (-1)^k \pi$.

$x = k$ ($k$ एक पूर्णांक है) पर $f(x) = \{x\} \sin(\pi x)$ का बायां अवकलज क्या है? (जहाँ $\{ \}$ भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाता है)।

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