0 leq x leq 1 के लिए [x(x-1)+1]^{frac{1}{3}} | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = [x(x-1)+1]^{\frac{1}{3}} = [x^2-x+1]^{\frac{1}{3}}$.क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन $f'(x)$ की गणना करते

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$1$

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(A) माना $f(x) = [x(x-1)+1]^{\frac{1}{3}} = [x^2-x+1]^{\frac{1}{3}}$.क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन $f'(x)$ की गणना करते हैं:$f'(x) = \frac{1}{3}[x^2-x+1]^{-\frac{2}{3}} \cdot (2x-1) = \frac{2x-1}{3(x^2-x+1)^{\frac{2}{3}}}$.$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $2x-1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{1}{2}$.चूंकि $x = \frac{1}{2}$ अंतराल $[0, 1]$ के भीतर स्थित है,हम क्रांतिक बिंदु और अंत बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:$f(0) = [0(0-1)+1]^{\frac{1}{3}} = 1^{\frac{1}{3}} = 1$.$f(1) = [1(1-1)+1]^{\frac{1}{3}} = 1^{\frac{1}{3}} = 1$.$f(\frac{1}{2}) = [\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)+1]^{\frac{1}{3}} = [\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})+1]^{\frac{1}{3}} = [-\frac{1}{4}+1]^{\frac{1}{3}} = (\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}}$.$1$,$1$,और $(\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}}$ मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $1$ है।अतः,सही उत्तर $A$ है।

$0 \leq x \leq 1$ के लिए $[x(x-1)+1]^{\frac{1}{3}}$ का अधिकतम मान क्या है?

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फलन $f(x)=(x-2)^{2/3}(2x+1)$ के क्रांतिक बिंदुओं की संख्या है:

$x$ के उन मानों की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ फलन $f(x) = \cos x + \cos (\sqrt{2} x)$ अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।

यदि $f(x) = 7e^{\sin^2 x} - e^{\cos^2 x} + 2$ है,तो $\sqrt{7f_{\min} + f_{\max}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $x=-1$ और $x=2$ फलन $f(x)=\alpha \log |x|+\beta x^2+x$ के चरम बिंदु हैं,तो

$P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ इस प्रकार है कि $x = 0$,$P'(x) = 0$ का एकमात्र वास्तविक मूल है। यदि $P(-1) < P(1)$ है,तो अंतराल $[-1, 1]$ में:

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