$f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 15$ द्वारा दिए गए फलन के स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।

(N/A) दिया गया है $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 15$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें $f^{\prime}(x) = 3x^{2} - 12x + 9$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f^{\prime}(x) = 0$ रखें: $3(x^{2} - 4x + 3) = 0 \Rightarrow 3(x - 1)(x - 3) = 0$.
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और $x = 3$ हैं।
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें $f^{\prime \prime}(x) = 6x - 12 = 6(x - 2)$.
$x = 1$ के लिए,$f^{\prime \prime}(1) = 6(1 - 2) = -6 < 0$. चूँकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,$x = 1$ स्थानीय उच्चतम का बिंदु है।
स्थानीय उच्चतम मान $f(1) = (1)^{3} - 6(1)^{2} + 9(1) + 15 = 1 - 6 + 9 + 15 = 19$ है।
$x = 3$ के लिए,$f^{\prime \prime}(3) = 6(3 - 2) = 6 > 0$. चूँकि द्वितीय अवकलज धनात्मक है,$x = 3$ स्थानीय निम्नतम का बिंदु है।
स्थानीय निम्नतम मान $f(3) = (3)^{3} - 6(3)^{2} + 9(3) + 15 = 27 - 54 + 27 + 15 = 15$ है।