વિધેય $f:R \to R$ માટે $x = a$ આગળ મહત્તમ મૂલ્ય હોવા માટેની પૂરતી શરતો કઈ છે?

ધારો કે $f_1:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ અને $f_2:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f_1(x) = \int_0^x \prod_{j=1}^{21}(t - j)^j dt, x > 0$
અને
$f_2(x) = 2(x-1)^{50} - 25(x-1)^{48} + 2450, x > 0,$
જ્યાં,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ માટે,$\prod_{i=1}^n a_i$ એ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ નો ગુણાકાર દર્શાવે છે. ધારો કે $m_i$ અને $n_i$ અનુક્રમે અંતરાલ $(0, \infty)$ માં વિધેય $f_i, i=1, 2$ માટે સ્થાનિક ન્યૂનતમ અને સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુઓની સંખ્યા દર્શાવે છે.
$(1)$ $2m_1 + 3n_1 + m_1n_1$ નું મૂલ્ય.
$(2)$ $6m_2 + 4n_2 + 8m_2n_2$ નું મૂલ્ય.
$(1)$ અને $(2)$ માટે જવાબ આપો.

એક સેક્ટર (વૃત્તાંશ) ની પરિમિતિ $p$ છે. જ્યારે તેની ત્રિજ્યા કેટલી હોય ત્યારે સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થાય?

જો સીધી રેખા પર ગતિ કરતા કણ દ્વારા $t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $s = t^5 - 40t^3 + 30t^2 + 80t - 250$ દ્વારા આપવામાં આવે,તો તેનો ન્યૂનતમ પ્રવેગ કેટલો હશે?

જો $y = a \ln x + bx^2 + x$ ની અંતિમ કિંમત $x = 1$ અને $x = 2$ પર હોય,તો $(a, b) =$

જો એક દડાને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે અને સમય $t$ માં કાપેલું અંતર $s$ એ $s = 22t - 11t^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે, તો દડા દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર કેટલું છે ($\text{ એકમ}$ માં)?