x^x નો સ્થિર બિંદુ (stationary point) ક્યાં છ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $y = x^x$. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$x > 0$ માટે $\log y = x \log x$ મળે છે.$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx}

Vedclass · Accepted Answer

$x = \frac{1}{e}$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $y = x^x$. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$x > 0$ માટે $\log y = x \log x$ મળે છે.$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$ મળે છે.આમ,$\frac{dy}{dx} = x^x(1 + \log x)$.સ્થિર બિંદુ માટે,$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા.$x^x > 0$ હોવાથી,$1 + \log x = 0$ થવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\log x = -1$.તેથી,$x = e^{-1} = \frac{1}{e}$.ચકાસણી માટે,દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2} = x^x(1 + \log x)^2 + x^x \cdot \frac{1}{x}$ મળે છે.$x = \frac{1}{e}$ પર,$\frac{d^2y}{dx^2} = (\frac{1}{e})^{1/e}(0)^2 + (\frac{1}{e})^{1/e} \cdot e = e \cdot (\frac{1}{e})^{1/e} > 0$ થાય છે.દ્વિતીય વિકલન ધન હોવાથી,$x = \frac{1}{e}$ પર $y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.

$x^x$ નો સ્થિર બિંદુ (stationary point) ક્યાં છે?

Similar Questions

જો એક લંબવૃત્તીય નળાકારની ત્રિજ્યા અને ઊંચાઈનો સરવાળો $6 \text{ m}$ હોય, તો તેનું મહત્તમ ઘનફળ કેટલું થાય ($\pi \text{ m}^3$ માં)?

વિધેય $f(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 10$ ને $x =$ આગળ સ્થાનીય મહત્તમ કિંમત છે.

જો $1 \le x \le 3$ માટે $f(x) = \int_{x}^{x^2} (t - 1) \, dt$ હોય,તો $f(x)$ ની વૈશ્વિક મહત્તમ કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module