यदि a का अधिकतम मान,जिसके लिए फलन f_{a}(x)=ta | vedclass

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Question

(D) दिया गया फलन $f_{a}(x) = 	an^{-1}(2x) - 3ax + 7$ है।फलन के वर्धमान होने के लिए,इसका अवकलज अ-ऋणात्मक होना चाहिए: $f_{a}'(x) \geq 0$.$f_{a}'(x) = \

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$7+	an ^{-1} \frac{\pi}{4}-\frac{9 \pi}{4\left(9+\pi^{2}ight)}$

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(D) दिया गया फलन $f_{a}(x) = 	an^{-1}(2x) - 3ax + 7$ है।फलन के वर्धमान होने के लिए,इसका अवकलज अ-ऋणात्मक होना चाहिए: $f_{a}'(x) \geq 0$.$f_{a}'(x) = \frac{2}{1+4x^2} - 3a \geq 0$.इसका अर्थ है $3a \leq \frac{2}{1+4x^2}$,या $a \leq \frac{2}{3(1+4x^2)}$.इस शर्त को अंतराल $\left(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}ight)$ में सभी $x$ के लिए संतुष्ट करने हेतु,$a$ का मान इस अंतराल पर $\frac{2}{3(1+4x^2)}$ के न्यूनतम मान से कम या बराबर होना चाहिए।न्यूनतम मान सीमाओं $x = \pm \frac{\pi}{6}$ पर प्राप्त होता है।$x^2 = \frac{\pi^2}{36}$ रखने पर,$a \leq \frac{2}{3(1 + 4(\frac{\pi^2}{36}))} = \frac{2}{3(1 + \frac{\pi^2}{9})} = \frac{6}{9+\pi^2}$.अतः,$\bar{a} = \frac{6}{9+\pi^2}$.अब,$f_{\bar{a}}\left(\frac{\pi}{8}ight) = 	an^{-1}\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}ight) - 3 \cdot \left(\frac{6}{9+\pi^2}ight) \cdot \frac{\pi}{8} + 7$.$f_{\bar{a}}\left(\frac{\pi}{8}ight) = 7 + 	an^{-1}\left(\frac{\pi}{4}ight) - \frac{9\pi}{4(9+\pi^2)}$.

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