सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x), x > 0$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ में सदैव एक वर्धमान फलन है।

(N/A) दिया गया है $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{1}{1 + (\sin x + \cos x)^2} \cdot (\cos x - \sin x)$
$f'(x) = \frac{\cos x - \sin x}{1 + (\sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x)}$
चूँकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ और $2\sin x \cos x = \sin 2x$,इसलिए:
$f'(x) = \frac{\cos x - \sin x}{1 + (1 + \sin 2x)} = \frac{\cos x - \sin x}{2 + \sin 2x}$
अंतराल $x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ के लिए,हम जानते हैं कि $\cos x > \sin x$,इसलिए $\cos x - \sin x > 0$ है।
साथ ही,सभी $x$ के लिए $2 + \sin 2x > 0$ है।
चूँकि अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ में अंश और हर दोनों धनात्मक हैं,इसलिए $f'(x) > 0$ है।
अतः,फलन $f(x)$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ में निरंतर वर्धमान फलन है।