उन अंतरालों को ज्ञात कीजिए जिनमें फलन $f(x) = -2x^{3} - 9x^{2} - 12x + 1$ निरंतर वर्धमान या निरंतर ह्रासमान है।

(N/A) दिया गया फलन: $f(x) = -2x^{3} - 9x^{2} - 12x + 1$
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^{3} - 9x^{2} - 12x + 1) = -6x^{2} - 18x - 12$
$f'(x)$ का गुणनखंड करें:
$f'(x) = -6(x^{2} + 3x + 2) = -6(x + 1)(x + 2)$
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$-6(x + 1)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = -1, x = -2$
बिंदु $x = -2$ और $x = -1$ वास्तविक रेखा को तीन अंतरालों में विभाजित करते हैं: $(-\infty, -2)$,$(-2, -1)$,और $(-1, \infty)$।
$1$. अंतराल $(-\infty, -2)$ में,$x = -3$ लें:
$f'(-3) = -6(-3 + 1)(-3 + 2) = -6(-2)(-1) = -12 < 0$।
अतः,$f(x)$ अंतराल $(-\infty, -2)$ में निरंतर ह्रासमान है।
$2$. अंतराल $(-2, -1)$ में,$x = -1.5$ लें:
$f'(-1.5) = -6(-1.5 + 1)(-1.5 + 2) = -6(-0.5)(0.5) = 1.5 > 0$।
अतः,$f(x)$ अंतराल $(-2, -1)$ में निरंतर वर्धमान है।
$3$. अंतराल $(-1, \infty)$ में,$x = 0$ लें:
$f'(0) = -6(0 + 1)(0 + 2) = -12 < 0$।
अतः,$f(x)$ अंतराल $(-1, \infty)$ में निरंतर ह्रासमान है।
निष्कर्ष:
$f(x)$ अंतराल $(-2, -1)$ में निरंतर वर्धमान है और $(-\infty, -2) \cup (-1, \infty)$ में निरंतर ह्रासमान है।