Evaluation of various forms of integration Questions in Gujarati

(D) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{9 \cos^2 2x + 16 \sin^2 2x}$.
અંશ અને છેદને $\cos^2 2x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\sec^2 2x dx}{9 + 16 \tan^2 2x}$.
ધારો કે $u = \tan 2x$,તેથી $du = 2 \sec^2 2x dx$,જેનો અર્થ છે કે $\sec^2 2x dx = \frac{du}{2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{du/2}{9 + 16u^2} = \frac{1}{2} \int \frac{du}{9 + 16u^2}$.
છેદમાંથી $16$ સામાન્ય કાઢતા:
$I = \frac{1}{2 \times 16} \int \frac{du}{\frac{9}{16} + u^2} = \frac{1}{32} \int \frac{du}{(\frac{3}{4})^2 + u^2}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{32} \times \frac{1}{3/4} \tan^{-1}(\frac{u}{3/4}) + C = \frac{1}{32} \times \frac{4}{3} \tan^{-1}(\frac{4u}{3}) + C$.
$I = \frac{1}{24} \tan^{-1}(\frac{4}{3} \tan 2x) + C$.

(A) ધારો કે $I = \int \sqrt{\operatorname{cosec} x + 1} dx = \int \sqrt{\frac{1}{\sin x} + 1} dx = \int \sqrt{\frac{1 + \sin x}{\sin x}} dx$.
$\sin x = \frac{2 \tan(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$ અને $1 + \sin x = (\sin(x/2) + \cos(x/2))^2$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $u = \tan(x/2)$ અને $dx = \frac{2}{1+u^2} du$ આદેશ લઈએ છીએ.
સંકલન $I = \int \sqrt{\frac{(1+u)^2}{2u}} \cdot \frac{2}{1+u^2} du = \sqrt{2} \int \frac{1+u}{\sqrt{u}(1+u^2)} du$ બને છે.
ધારો કે $v = \sqrt{u}$,તો $dv = \frac{1}{2\sqrt{u}} du$,તેથી $du = 2v dv$.
$I = 2\sqrt{2} \int \frac{1+v^2}{1+v^4} dv = \sqrt{2} \int \frac{1+1/v^2}{v^2+1/v^2} dv = \sqrt{2} \int \frac{d(v-1/v)}{(v-1/v)^2 + 2} + \sqrt{2} \int \frac{d(v+1/v)}{(v+1/v)^2 - 2}$.
આનું મૂલ્યાંકન કરતા $I = 2 \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{2\tan(x/2)}}{1-\tan(x/2)}\right) + c$ મળે છે.
આમ,$k = 2$ અને $f(x) = \frac{\sqrt{2\tan(x/2)}}{1-\tan(x/2)}$.
$x = \pi/6$ માટે,$\tan(x/2) = \tan(\pi/12) = 2 - \sqrt{3}$.
$f(\pi/6) = \frac{\sqrt{2(2-\sqrt{3})}}{1-(2-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}}{\sqrt{3}-1} = 1$.
તેથી,$\frac{1}{k} f(\pi/6) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

(B) સંકલન $I = \int \frac{1}{x^m (x^m+1)^{1/m}} dx$ ઉકેલવા માટે,રેડિકલમાંથી $x^m$ સામાન્ય કાઢો:
$I = \int \frac{1}{x^m \cdot x (1 + x^{-m})^{1/m}} dx = \int \frac{1}{x^{m+1} (1 + x^{-m})^{1/m}} dx$.
ધારો કે $u = 1 + x^{-m}$. તો $du = -m x^{-m-1} dx = -m x^{-(m+1)} dx$.
તેથી,$dx / x^{m+1} = -du / m$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{u^{1/m}} \cdot \left(-\frac{du}{m}\right) = -\frac{1}{m} \int u^{-1/m} du$.
$u$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$I = -\frac{1}{m} \cdot \frac{u^{1 - 1/m}}{1 - 1/m} + C = -\frac{1}{m} \cdot \frac{u^{(m-1)/m}}{(m-1)/m} + C = -\frac{1}{m-1} u^{(m-1)/m} + C$.
$u = 1 + x^{-m} = \frac{x^m+1}{x^m}$ પાછું મૂકતા:
$I = -\frac{1}{m-1} \left(\frac{x^m+1}{x^m}\right)^{(m-1)/m} + C = -\frac{1}{m-1} \left(\frac{(x^m+1)^{1/m}}{x}\right)^{m-1} + C$.
આ વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.

(D) આપણી પાસે $I = \int \frac{1}{x^4+8x^2+9} dx$ છે. અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $I = \frac{1}{6} \int \frac{(1+3/x^2)}{(x-3/x)^2+14} dx - \frac{1}{6} \int \frac{(1-3/x^2)}{(x+3/x)^2+2} dx$.
ધારો કે $t = x-3/x$ અને $u = x+3/x$. તેથી $dt = (1+3/x^2) dx$ અને $du = (1-3/x^2) dx$.
$I = \frac{1}{6} \int \frac{dt}{t^2+(\sqrt{14})^2} - \frac{1}{6} \int \frac{du}{u^2+(\sqrt{2})^2}$.
$I = \frac{1}{6} \left[ \frac{1}{\sqrt{14}} \tan^{-1} \left( \frac{x-3/x}{\sqrt{14}} \right) - \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \left( \frac{x+3/x}{\sqrt{2}} \right) \right] + c$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$k=6$,$f(x) = \frac{x-3/x}{\sqrt{14}}$,અને $g(x) = \frac{x+3/x}{\sqrt{2}}$.
હવે,$f(\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}-3/\sqrt{3}}{\sqrt{14}} = 0$ અને $g(1) = \frac{1+3/1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.
તેથી,$\sqrt{\frac{k}{2} + f(\sqrt{3}) + g(1)} = \sqrt{\frac{6}{2} + 0 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2} = \sqrt{2}+1$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\sec x}{3(\sec x+\tan x)+2} dx$.
અંશ અને છેદને $(\sec x - \tan x)$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{\sec x(\sec x - \tan x)}{3(\sec^2 x - \tan^2 x) + 2(\sec x - \tan x)} dx$.
કારણ કે $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$,તેથી:
$I = \int \frac{\sec^2 x - \sec x \tan x}{3 + 2(\sec x - \tan x)} dx$.
ધારો કે $u = \sec x - \tan x$. તેથી $du = (\sec x \tan x - \sec^2 x) dx$,એટલે કે $-du = (\sec^2 x - \sec x \tan x) dx$.
$I = \int \frac{-du}{3 + 2u} = -\frac{1}{2} \ln|3 + 2u| + C = -\frac{1}{2} \ln|3 + 2(\sec x - \tan x)| + C$.
અડધા ખૂણાના નિત્યસમ $\sec x = \frac{1+\tan^2(x/2)}{1-\tan^2(x/2)}$ અને $\tan x = \frac{2\tan(x/2)}{1-\tan^2(x/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = -\frac{1}{2} \ln \left| \frac{3(1-\tan^2(x/2)) + 2(1+\tan^2(x/2)) - 4\tan(x/2)}{1-\tan^2(x/2)} \right| + C$.
$I = -\frac{1}{2} \ln \left| \frac{5 - 4\tan(x/2) - \tan^2(x/2)}{(1-\tan(x/2))(1+\tan(x/2))} \right| + C$.
$I = -\frac{1}{2} \ln \left| \frac{(5+\tan(x/2))(1-\tan(x/2))}{(1-\tan(x/2))(1+\tan(x/2))} \right| + C$.
$I = -\frac{1}{2} \ln \left| \frac{5+\tan(x/2)}{1+\tan(x/2)} \right| + C = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+\tan(x/2)}{5+\tan(x/2)} \right| + C$.

(C) આપણે $\tan \frac{x}{2} = t$ આદેશનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જેનો અર્થ છે કે $dx = \frac{2 dt}{1 + t^2}$,$\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$,અને $\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{1}{3(\frac{1 - t^2}{1 + t^2}) - 4(\frac{2t}{1 + t^2}) + 5} \cdot \frac{2 dt}{1 + t^2}$
$= \int \frac{2 dt}{3(1 - t^2) - 8t + 5(1 + t^2)}$
$= \int \frac{2 dt}{3 - 3t^2 - 8t + 5 + 5t^2}$
$= \int \frac{2 dt}{2t^2 - 8t + 8} = \int \frac{dt}{t^2 - 4t + 4}$
$= \int \frac{dt}{(t - 2)^2} = -(t - 2)^{-1} + c$
$= \frac{-1}{t - 2} + c = \frac{1}{2 - t} + c$
$t = \tan \frac{x}{2}$ પાછું મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2 - \tan \frac{x}{2}} + c$ મળે છે.

(A) સંકલન $I = \int \frac{1}{16-7 \sin^2 x} dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{16 \sec^2 x - 7 \tan^2 x} dx$
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{16(1 + \tan^2 x) - 7 \tan^2 x} dx = \int \frac{\sec^2 x}{16 + 9 \tan^2 x} dx$
ધારો કે $\tan x = t$,તેથી $\sec^2 x dx = dt$:
$I = \int \frac{dt}{16 + 9t^2} = \frac{1}{9} \int \frac{dt}{\frac{16}{9} + t^2} = \frac{1}{9} \int \frac{dt}{(\frac{4}{3})^2 + t^2}$
સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{9} \times \frac{1}{4/3} \tan^{-1}\left(\frac{t}{4/3}\right) + C = \frac{1}{9} \times \frac{3}{4} \tan^{-1}\left(\frac{3t}{4}\right) + C$
$I = \frac{1}{12} \tan^{-1}\left(\frac{3 \tan x}{4}\right) + C$

(A) $\int \frac{2x+3}{\sqrt{3x^2-2x+1}} dx$ ઉકેલવા માટે,અંશને વર્ગમૂળની અંદરના દ્વિઘાત પદના વિકલનના ગુણક તરીકે દર્શાવો. $3x^2-2x+1$ નું વિકલન $6x-2$ છે.
આપણે $2x+3 = \frac{1}{3}(6x-2) + \frac{11}{3}$ લખી શકીએ.
તેથી,સંકલન આ મુજબ થશે:
$\int \frac{2x+3}{\sqrt{3x^2-2x+1}} dx = \frac{1}{3} \int \frac{6x-2}{\sqrt{3x^2-2x+1}} dx + \frac{11}{3} \int \frac{dx}{\sqrt{3(x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{3})}}$.
પ્રથમ ભાગ માટે,$u = 3x^2-2x+1$ લેતા,$du = (6x-2)dx$ મળે. સંકલન $\frac{1}{3} \int u^{-1/2} du = \frac{2}{3} \sqrt{3x^2-2x+1}$ થાય.
બીજા ભાગ માટે,પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} = (x-\frac{1}{3})^2 + \frac{2}{9}$.
તેથી,$\frac{11}{3\sqrt{3}} \int \frac{dx}{\sqrt{(x-\frac{1}{3})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{3})^2}} = \frac{11}{3\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left(\frac{x-1/3}{\sqrt{2}/3}\right) = \frac{11}{3\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left(\frac{3x-1}{\sqrt{2}}\right)$.
આમ,અંતિમ જવાબ $\frac{2}{3} \sqrt{3x^2-2x+1} + \frac{11}{3\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left(\frac{3x-1}{\sqrt{2}}\right) + C$ મળે છે.

(B) આપણી પાસે $I = \int(\sqrt{1-\sin x} + \sqrt{1+\sin x}) \, dx$ છે.
$1 \pm \sin x = \left(\cos \frac{x}{2} \pm \sin \frac{x}{2}\right)^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \left( \sqrt{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2} + \sqrt{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2} \right) \, dx = \int \left( |\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}| + |\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}| \right) \, dx$.
આપેલ છે કે $\frac{3 \pi}{2} < x < \frac{5 \pi}{2}$,તેથી $\frac{3 \pi}{4} < \frac{x}{2} < \frac{5 \pi}{4}$.
આ અંતરાલમાં,$\sin \frac{x}{2} > \cos \frac{x}{2}$ અને $\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} < 0$ (કારણ કે $\frac{x}{2}$ ત્રીજા ચરણમાં છે).
તેથી,$|\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}| = \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}$ અને $|\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}| = -(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})$.
$I = \int (\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) \, dx = \int -2 \cos \frac{x}{2} \, dx = -4 \sin \frac{x}{2} + c$.
તેથી,$f(x) = -4 \sin \frac{x}{2}$.
આમ,$f\left(\frac{\pi}{3}\right) - f(0) = -4 \sin \frac{\pi}{6} - (-4 \sin 0) = -4 \left(\frac{1}{2}\right) + 0 = -2$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{d x}{(x-1)^{\frac{3}{4}}(x+2)^{\frac{5}{4}}}$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int \frac{1}{(x-1)^{\frac{3}{4}}(x+2)^{\frac{3}{4}}(x+2)^{\frac{2}{4}}} d x = \int \left(\frac{x-1}{x+2}\right)^{-\frac{3}{4}} \cdot \frac{1}{(x+2)^2} d x$.
ધારો કે $t = \frac{x-1}{x+2}$.
તેથી,$dt = \frac{(x+2)(1) - (x-1)(1)}{(x+2)^2} d x = \frac{3}{(x+2)^2} d x$.
આમ,$\frac{1}{(x+2)^2} d x = \frac{dt}{3}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int t^{-\frac{3}{4}} \cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int t^{-\frac{3}{4}} dt$.
$I = \frac{1}{3} \cdot \frac{t^{\frac{1}{4}}}{\frac{1}{4}} + C = \frac{4}{3} t^{\frac{1}{4}} + C$.
$t = \frac{x-1}{x+2}$ પાછા મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{4}{3} \left(\frac{x-1}{x+2}\right)^{\frac{1}{4}} + C$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{\cos \left(\log \left(\frac{2x+3}{3-2x}\right)\right)}{(3-2x)^2} \, dx$.
$t = \log \left(\frac{2x+3}{3-2x}\right)$ આદેશ લેતા,$\frac{2x+3}{3-2x} = e^t$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d}{dx} \left( \frac{2x+3}{3-2x} \right) = \frac{(3-2x)(2) - (2x+3)(-2)}{(3-2x)^2} = \frac{6-4x+4x+6}{(3-2x)^2} = \frac{12}{(3-2x)^2}$.
તેથી,$\frac{12}{(3-2x)^2} \, dx = e^t \, dt$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{(3-2x)^2} \, dx = \frac{1}{12} e^t \, dt$.
સંકલનમાં કિંમત મૂકતા: $I = \int \cos(t) \cdot \frac{1}{12} e^t \, dt = \frac{1}{12} \int e^t \cos(t) \, dt$.
આપેલ સૂત્ર $\int e^t \cos(t) \, dt = \frac{e^t}{2}(\cos t + \sin t)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $I = \frac{1}{12} \cdot \frac{e^t}{2}(\cos t + \sin t) = \frac{e^t}{24}(\cos t + \sin t)$.
$t = \log \left(\frac{2x+3}{3-2x}\right)$ અને $e^t = \frac{2x+3}{3-2x}$ પાછા મૂકતા,$I = \frac{\frac{2x+3}{3-2x}}{24} \left[ \cos \left( \log \left( \frac{2x+3}{3-2x} \right) \right) + \sin \left( \log \left( \frac{2x+3}{3-2x} \right) \right) \right] + c$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$f(x) = \frac{2x+3}{3-2x}$ અને $g(x) = \log \left( \frac{2x+3}{3-2x} \right)$.
તેથી,$g(x) = \log(f(x))$,જેનો અર્થ છે કે $g(1) = \log(f(1))$.

(C) આપણે સંકલન $I = \int \frac{3 x^6-2 x^4+x^2-2}{x^2+1} d x$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અંશ $3x^6 - 2x^4 + x^2 - 2$ ને છેદ $x^2 + 1$ વડે ભાગાકાર કરતા:
$3x^6 - 2x^4 + x^2 - 2 = (x^2 + 1)(3x^4 - 5x^2 + 6) - 8$.
તેથી,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int \left( 3x^4 - 5x^2 + 6 - \frac{8}{x^2+1} \right) d x$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = 3 \int x^4 d x - 5 \int x^2 d x + 6 \int 1 d x - 8 \int \frac{1}{x^2+1} d x$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$I = 3 \left( \frac{x^5}{5} \right) - 5 \left( \frac{x^3}{3} \right) + 6x - 8 \tan^{-1} x + c$.
$I = \frac{3}{5} x^5 - \frac{5}{3} x^3 + 6x - 8 \tan^{-1} x + c$.

(A) આપેલ છે $f(x) = \int \left[ \tan^2 x + \cot^2 x + \frac{4(\sin^3 x + \cos^3 x)}{(2 \sin x \cos x)^2} \right] dx$.
$\sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x$ હોવાથી,પદાવલિ $\int \left[ \tan^2 x + \cot^2 x + \frac{4(\sin^3 x + \cos^3 x)}{4 \sin^2 x \cos^2 x} \right] dx$ બને છે.
$= \int \left[ \tan^2 x + \cot^2 x + \frac{\sin x}{\cos^2 x} + \frac{\cos x}{\sin^2 x} \right] dx$.
$= \int \left[ (\sec^2 x - 1) + (\csc^2 x - 1) + \sec x \tan x + \csc x \cot x \right] dx$.
$= \tan x - x - \cot x - x + \sec x - \csc x + C$.
$f(x) = \tan x - \cot x + \sec x - \csc x - 2x + C$.
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$ આપેલ છે: $\tan\frac{\pi}{4} - \cot\frac{\pi}{4} + \sec\frac{\pi}{4} - \csc\frac{\pi}{4} - 2\left(\frac{\pi}{4}\right) + C = 0$.
$1 - 1 + \sqrt{2} - \sqrt{2} - \frac{\pi}{2} + C = 0 \implies C = \frac{\pi}{2}$.
તેથી $f(x) = \tan x - \cot x + \sec x - \csc x - 2x + \frac{\pi}{2}$.
હવે $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \tan\frac{\pi}{6} - \cot\frac{\pi}{6} + \sec\frac{\pi}{6} - \csc\frac{\pi}{6} - 2\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{2}$.
$= \frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} - 2 - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{3}{\sqrt{3}} - \sqrt{3} - 2 + \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} - \sqrt{3} - 2 + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} - 2$.
તેથી $3 \left[ f\left(\frac{\pi}{6}\right) + 2 \right] = 3 \left[ \frac{\pi}{6} - 2 + 2 \right] = 3 \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\pi}{2}$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{d x}{\sin x + \cos x}$.
$\sqrt{2}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{d x}{\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x}$.
$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{d x}{\sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{d x}{\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right)}$.
$\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{d x}{2 \sin \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right)}$.
અંશ અને છેદને $\cos^2 \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right)$ વડે ભાગતા:
$I = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \int \frac{\sec^2 \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right) d x}{\tan \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right)}$.
ધારો કે $t = \tan \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right)$,તેથી $dt = \frac{1}{2} \sec^2 \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right) d x$,એટલે કે $\sec^2 \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right) d x = 2 dt$.
$I = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \int \frac{2 dt}{t} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dt}{t} = \frac{1}{\sqrt{2}} \log |t| + C$.
$t$ ની કિંમત પાછી મૂકતા:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \log \left| \tan \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right) \right| + C$.

(D) ધારો કે $I = \int \left( \frac{\sqrt{1+x+x^2}}{1+x} + \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} - \frac{1}{(1+x) \sqrt{1+x+x^2}} \right) dx$.
પ્રથમ અને ત્રીજા પદને ભેગા કરતા:
$I = \int \left( \frac{1+x+x^2-1}{(1+x) \sqrt{1+x+x^2}} \right) dx + \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx$.
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા:
$I = \int \frac{x(1+x)}{(1+x) \sqrt{1+x+x^2}} dx + \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx = \int \frac{x}{\sqrt{1+x+x^2}} dx + \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx$.
પ્રથમ સંકલનને $2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$I = \int \frac{2x}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx + \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx = \int \frac{2x+1-1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx + \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx$.
સંકલનને અલગ કરતા:
$I = \int \frac{2x+1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx - \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx + \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx = \int \frac{2x+1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx$.
ધારો કે $t = x^2+x+1$,તેથી $dt = (2x+1) dx$.
$I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = \sqrt{t} + C = \sqrt{x^2+x+1} + C$.

(B) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{2 x^{12}+5 x^9}{\left(x^5+x^3+1\right)^3} d x$ છે.
અંશ અને છેદને $x^{15}$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{2 x^{-3} + 5 x^{-6}}{(1 + x^{-2} + x^{-5})^3} d x$.
ધારો કે $t = 1 + x^{-2} + x^{-5}$.
તેથી $dt = (-2x^{-3} - 5x^{-6}) dx$,જેનો અર્થ છે કે $-(2x^{-3} + 5x^{-6}) dx = dt$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = -\int \frac{dt}{t^3} = -\int t^{-3} dt = -\frac{t^{-2}}{-2} + C = \frac{1}{2t^2} + C$.
આને $\frac{1}{2} f(x) + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = \frac{1}{t^2} = \frac{1}{(1 + x^{-2} + x^{-5})^2} = \frac{x^{10}}{(x^5 + x^3 + 1)^2}$ મળે છે.
હવે,$f(1) - f(0)$ ની ગણતરી કરીએ.
$f(1) = \frac{1^{10}}{(1^5 + 1^3 + 1)^2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
$f(0)$ માટે,$x=0$ આગળ પદાવલિ $\frac{x^{10}}{(x^5 + x^3 + 1)^2}$ ની કિંમત $0$ થાય છે.
તેથી,$f(1) - f(0) = \frac{1}{9} - 0 = \frac{1}{9}$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{(x^2 - a^2)^{3/2}}$.
$x = a \sec \theta$ આદેશ લેતા,$dx = a \sec \theta \tan \theta d\theta$ મળે.
સંકલનમાં કિંમત મૂકતા:
$I = \int \frac{a \sec \theta \tan \theta d\theta}{(a^2 \tan^2 \theta)^{3/2}} = \int \frac{a \sec \theta \tan \theta d\theta}{a^3 \tan^3 \theta} = \frac{1}{a^2} \int \frac{\sec \theta}{\tan^2 \theta} d\theta$.
$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ અને $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ લેતા:
$I = \frac{1}{a^2} \int \frac{1}{\cos \theta} \cdot \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} d\theta = \frac{1}{a^2} \int \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta} d\theta$.
$u = \sin \theta$ લેતા,$du = \cos \theta d\theta$ મળે.
$I = \frac{1}{a^2} \int u^{-2} du = \frac{1}{a^2} (-u^{-1}) + C = -\frac{1}{a^2 \sin \theta} + C$.
$x = a \sec \theta$ હોવાથી,$\sec \theta = \frac{x}{a}$ અને $\cos \theta = \frac{a}{x}$ થાય.
તેથી $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{a^2}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - a^2}}{x}$.
આ કિંમત મૂકતા:
$I = -\frac{1}{a^2 \left( \frac{\sqrt{x^2 - a^2}}{x} \right)} + C = -\frac{x}{a^2 \sqrt{x^2 - a^2}} + C$.

(D) આપણી પાસે $5+2 x+x^2 = (x+1)^2 + 4$ છે.
ધારો કે $x+1 = z$,તેથી $dx = dz$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int \frac{dz}{(z^2+4)^{3/2}}$ મળે.
ધારો કે $z = 2 \tan \theta$,તેથી $dz = 2 \sec^2 \theta \ d\theta$.
વળી,$(z^2+4)^{3/2} = (4 \tan^2 \theta + 4)^{3/2} = (4 \sec^2 \theta)^{3/2} = 8 \sec^3 \theta$.
તેથી,$I = \int \frac{2 \sec^2 \theta \ d\theta}{8 \sec^3 \theta} = \frac{1}{4} \int \cos \theta \ d\theta = \frac{1}{4} \sin \theta + C$.
કારણ કે $\tan \theta = \frac{z}{2}$,તેથી $\sin \theta = \frac{z}{\sqrt{z^2+4}}$.
આમ,$I = \frac{1}{4} \cdot \frac{z}{\sqrt{z^2+4}} + C = \frac{x+1}{4 \sqrt{(x+1)^2+4}} + C = \frac{x+1}{4 \sqrt{5+2x+x^2}} + C$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{1-(\cot x)^{2019}}{\tan x+(\cot x)^{2020}} dx$.
અંશ અને છેદને $\sin x \cos^{2019} x$ વડે ગુણતા,સંકલ્યનું સાદું રૂપ મળે છે.
વધુમાં,$\frac{d}{dx}(\sin^{2021} x + \cos^{2021} x) = 2021 \sin^{2020} x \cos x - 2021 \cos^{2020} x \sin x = 2021 \sin x \cos x (\sin^{2019} x - \cos^{2019} x)$ થાય છે.
તેથી,સંકલન $\frac{1}{2021} \ln |\sin^{2021} x + \cos^{2021} x| + c$ મળે છે.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$n = 2021$,$f(x) = \sin x$,અને $g(x) = \cos x$ મળે છે.
આપણે $n[(f(x))^4 + (g(x))^4]_{x=\frac{\pi}{3}} = 2021 [\sin^4(\frac{\pi}{3}) + \cos^4(\frac{\pi}{3})]$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$= 2021 [(\frac{\sqrt{3}}{2})^4 + (\frac{1}{2})^4] = 2021 [\frac{9}{16} + \frac{1}{16}] = 2021 [\frac{10}{16}] = 2021 [\frac{5}{8}] = \frac{10105}{8}$.

(B) આપેલ છે કે,$\int \frac{a \cos x-2 \sin x}{b \sin x+5 \cos x} d x=\frac{7}{41} x+\frac{22}{41} \log |b \sin x+5 \cos x|+C$.
ધારો કે $a \cos x-2 \sin x = \lambda(b \sin x+5 \cos x) + \mu(b \cos x-5 \sin x)$.
$\sin x$ અને $\cos x$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$a = 5\lambda + \mu b$ અને $-2 = b\lambda - 5\mu$.
આપેલ છે કે $\lambda = \frac{7}{41}$ અને $\mu = \frac{22}{41}$,તેથી:
$a = 5(\frac{7}{41}) + b(\frac{22}{41}) = \frac{35+22b}{41}$ અને $-2 = b(\frac{7}{41}) - 5(\frac{22}{41}) \Rightarrow -82 = 7b - 110 \Rightarrow 7b = 28 \Rightarrow b = 4$.
$a$ માં $b=4$ મૂકતા: $a = \frac{35+22(4)}{41} = \frac{35+88}{41} = \frac{123}{41} = 3$.
હવે,$\int \frac{d x}{b+a \cos x} = \int \frac{d x}{4+3 \cos x}$.
$\tan \frac{x}{2} = t$ આદેશ લેતા,$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ અને $dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$:
$\int \frac{2 dt}{(1+t^2)(4+3(\frac{1-t^2}{1+t^2}))} = \int \frac{2 dt}{4+4t^2+3-3t^2} = \int \frac{2 dt}{7+t^2}$.
$= \frac{2}{\sqrt{7}} \tan^{-1}(\frac{t}{\sqrt{7}}) + C = \frac{2}{\sqrt{7}} \tan^{-1}\left(\frac{\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{7}}\right) + C$.

(D) ધારો કે $I = \int e^{\sin ^2 x}(\sin x \cos x + \cos ^3 x \sin x) d x$.
$\sin x \cos x$ સામાન્ય લેતા:
$I = \int e^{\sin ^2 x}(1 + \cos ^2 x) \sin x \cos x d x$.
$\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$ હોવાથી:
$I = \int e^{\sin ^2 x}(1 + 1 - \sin ^2 x) \sin x \cos x d x = \int e^{\sin ^2 x}(2 - \sin ^2 x) \sin x \cos x d x$.
ધારો કે $t = \sin ^2 x$,તેથી $dt = 2 \sin x \cos x d x$,એટલે કે $\sin x \cos x d x = \frac{dt}{2}$.
સંકલનમાં કિંમત મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \int e^t(2 - t) d t = \int e^t d t - \frac{1}{2} \int t e^t d t$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા $\int t e^t d t = t e^t - e^t$:
$I = e^t - \frac{1}{2}(t e^t - e^t) + C = e^t(1 - \frac{t}{2} + \frac{1}{2}) + C = e^t(\frac{3}{2} - \frac{t}{2}) + C$.
$e^{\sin ^2 x}(1 + f(x)) + C$ સાથે સરખાવતા,$1 + f(x) = \frac{3}{2} - \frac{\sin ^2 x}{2}$.
તેથી,$f(x) = \frac{1}{2} - \frac{\sin ^2 x}{2}$.
વિકલન કરતા: $f^{\prime}(x) = 0 - \frac{1}{2}(2 \sin x \cos x) = -\sin x \cos x = -\frac{1}{2} \sin 2 x$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{d x}{(x-2) \sqrt{x^2-3 x+5}}$.
$x-2 = \frac{1}{t}$ આદેશ લેતા,$dx = -\frac{1}{t^2} dt$ અને $x = 2 + \frac{1}{t}$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{-1/t^2 dt}{(1/t) \sqrt{(2+1/t)^2 - 3(2+1/t) + 5}}$
$I = -\int \frac{dt/t}{\sqrt{4 + 4/t + 1/t^2 - 6 - 3/t + 5}}$
$I = -\int \frac{dt}{\sqrt{1/t^2 + 1/t + 3}} = -\int \frac{dt}{\sqrt{(1 + t + 3t^2)/t^2}} = -\int \frac{dt}{\sqrt{3t^2 + t + 1}}$
$I = -\frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{dt}{\sqrt{t^2 + t/3 + 1/3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{dt}{\sqrt{(t + 1/6)^2 + 11/36}}$
સૂત્ર $\int \frac{du}{\sqrt{u^2 + a^2}} = \sinh^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = -\frac{1}{\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left( \frac{t + 1/6}{\sqrt{11}/6} \right) + C = -\frac{1}{\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left( \frac{6t + 1}{\sqrt{11}} \right) + C$
અહીં $t = \frac{1}{x-2}$ હોવાથી:
$I = -\frac{1}{\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left( \frac{6/(x-2) + 1}{\sqrt{11}} \right) + C = -\frac{1}{\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left( \frac{6 + x - 2}{\sqrt{11}(x-2)} \right) + C$
$I = -\frac{1}{\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left( \frac{x + 4}{\sqrt{11}(x-2)} \right) + C$.

(B) આપણી પાસે છે,$I = \int \frac{(x-1) dx}{(x+1) \sqrt{x^3+x^2+x}}$.
અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $I = \int \frac{(1 - 1/x) dx}{(1 + 1/x) \sqrt{x + 1 + 1/x}}$.
ધારો કે $t = \sqrt{x + 1 + 1/x}$. તો $t^2 = x + 1 + 1/x$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,$2t dt = (1 - 1/x^2) dx = \frac{x^2-1}{x^2} dx = \frac{(x-1)(x+1)}{x^2} dx$.
વળી,$1 + 1/x = \frac{x+1}{x}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે $I = \int \frac{2t dt}{t^2 \cdot (t^2-1) \cdot \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x+1}{x}} = \int \frac{2 dt}{t^2+1} = 2 \tan^{-1}(t) + C$.
આમ,$I = 2 \tan^{-1} \sqrt{x + 1 + 1/x} + C$.
$A \tan^{-1} \sqrt{f(x)} + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = 2$ અને $f(x) = x + 1 + 1/x$ મળે છે.
તેથી $f(-1) = -1 + 1 + (1/-1) = -1$.
તેથી,ક્રમયુક્ત જોડ $(A, f(-1)) = (2, -1)$ છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\sqrt{\cos 2x}}{\sin x} dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 2x = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}$.
તેથી,$I = \int \frac{\sqrt{1-\tan^2 x}}{\sec x \sin x} dx = \int \frac{\sqrt{1-\tan^2 x}}{\tan x} dx$.
ધારો કે $1-\tan^2 x = t^2$,તો $-2\tan x \sec^2 x dx = 2t dt$,જેનો અર્થ છે કે $dx = \frac{-t dt}{\tan x (1+\tan^2 x)} = \frac{-t dt}{\sqrt{1-t^2}(2-t^2)}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$I = \int \frac{t}{\sqrt{1-t^2}} \cdot \frac{-t dt}{\sqrt{1-t^2}(2-t^2)} = -\int \frac{t^2}{(1-t^2)(2-t^2)} dt$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{t^2}{(1-t^2)(2-t^2)} = \frac{2}{t^2-2} - \frac{1}{t^2-1}$.
આમ,$I = -\int \left( \frac{2}{t^2-2} - \frac{1}{t^2-1} \right) dt = 2 \int \frac{1}{2-t^2} dt + \int \frac{1}{t^2-1} dt$.
પ્રમાણિત સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$I = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left| \frac{\sqrt{2}+t}{\sqrt{2}-t} \right| + \frac{1}{2} \log \left| \frac{t-1}{t+1} \right| + c$.
$t = \sqrt{1-\tan^2 x}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $I = \frac{1}{\sqrt{2}} \log \left| \frac{\sqrt{2}+\sqrt{1-\tan^2 x}}{\sqrt{2}-\sqrt{1-\tan^2 x}} \right| - \frac{1}{2} \log \left| \frac{1+\sqrt{1-\tan^2 x}}{1-\sqrt{1-\tan^2 x}} \right| + c$.

(D) ધારો કે $I = \int \sin ^{-1} \sqrt{\frac{x}{a+x}} d x$.
$x = a \tan^2 \theta$ આદેશ લેતા,$dx = 2a \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$ મળે.
તેથી $\sqrt{\frac{x}{a+x}} = \sqrt{\frac{a \tan^2 \theta}{a(1+\tan^2 \theta)}} = \sqrt{\sin^2 \theta} = \sin \theta$.
માટે,$I = \int \theta \cdot 2a \tan \theta \sec^2 \theta d\theta = 2a \int \theta \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \theta$ અને $dv = \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$ લેતા,$du = d\theta$ અને $v = \frac{1}{2} \tan^2 \theta$ મળે.
$I = 2a \left[ \frac{1}{2} \theta \tan^2 \theta - \int \frac{1}{2} \tan^2 \theta d\theta \right] = a \theta \tan^2 \theta - a \int (\sec^2 \theta - 1) d\theta$.
$I = a \theta \tan^2 \theta - a (\tan \theta - \theta) + c = a \theta (\tan^2 \theta + 1) - a \tan \theta + c$.
અહીં $\tan^2 \theta = \frac{x}{a}$ હોવાથી,$\theta = \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}}$ મળે.
$I = a \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} (\frac{x}{a} + 1) - a \sqrt{\frac{x}{a}} + c = (x+a) \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} - \sqrt{ax} + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{(1+x) \sqrt{8+7x-x^2}}$.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $8+7x-x^2 = (8-x)(1+x)$.
તેથી,$I = \int \frac{dx}{(1+x) \sqrt{(8-x)(1+x)}} = \int \frac{dx}{(1+x)^{3/2} \sqrt{8-x}} = \int \frac{dx}{(1+x)^2 \sqrt{\frac{8-x}{1+x}}}$.
ધારો કે $t^2 = \frac{8-x}{1+x}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2t \frac{dt}{dx} = \frac{(1+x)(-1) - (8-x)(1)}{(1+x)^2} = \frac{-1-x-8+x}{(1+x)^2} = \frac{-9}{(1+x)^2}$.
આમ,$\frac{dx}{(1+x)^2} = -\frac{2}{9} t \, dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{t} \left(-\frac{2}{9} t \, dt\right) = -\frac{2}{9} \int dt = -\frac{2}{9} t + c$.
$t = \sqrt{\frac{8-x}{1+x}}$ પાછું મૂકતા:
$I = -\frac{2}{9} \sqrt{\frac{8-x}{1+x}} + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{3 \sin x + 5 \cos x + 4}{\sin x + \cos x + 2} dx$.
અંશને $A(\sin x + \cos x + 2) + B \frac{d}{dx}(\sin x + \cos x + 2) + C$ તરીકે દર્શાવીએ.
$3 \sin x + 5 \cos x + 4 = A(\sin x + \cos x + 2) + B(\cos x - \sin x) + C$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A - B = 3$
$A + B = 5$
$2A + C = 4$
આને ઉકેલતા,આપણને $2A = 8 \Rightarrow A = 4$,$B = 1$,અને $C = 4 - 2(4) = -4$ મળે છે.
તેથી,$I = \int 4 dx + \int \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x + 2} dx - 4 \int \frac{dx}{\sin x + \cos x + 2}$.
$I = 4x + \log|\sin x + \cos x + 2| - 4 \int \frac{dx}{\sin x + \cos x + 2}$.
$\tan(x/2) = t$ આદેશ લેતા,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$,$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$,$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.
$\int \frac{dx}{\sin x + \cos x + 2} = \int \frac{2 dt / (1+t^2)}{\frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} + 2} = \int \frac{2 dt}{2t + 1 - t^2 + 2 + 2t^2} = \int \frac{2 dt}{t^2 + 2t + 3} = \int \frac{2 dt}{(t+1)^2 + 2}$.
$= 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{t+1}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2} \tan^{-1}\left(\frac{\tan(x/2) + 1}{\sqrt{2}}\right)$.
તેથી,$I = 4x + \log|\sin x + \cos x + 2| - 4\sqrt{2} \tan^{-1}\left(\frac{\tan(x/2) + 1}{\sqrt{2}}\right) + c$.

(C) $I = \int \frac{dx}{4 \sin x + 3 \cos x}$
ધારો કે $3 = r \cos \theta$ અને $4 = r \sin \theta$.
બંને બાજુ વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,$r^2 = 3^2 + 4^2 = 25$,તેથી $r = 5$.
ભાગાકાર કરતા,$\tan \theta = \frac{4}{3}$,તેથી $\theta = \tan^{-1} \frac{4}{3}$.
સંકલન આ મુજબ થશે: $I = \int \frac{dx}{r \cos(x - \theta)} = \frac{1}{5} \int \sec(x - \theta) dx$.
સૂત્ર $\int \sec u du = \log |\sec u + \tan u| + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{5} \log |\sec(x - \theta) + \tan(x - \theta)| + c$.
$\theta = \tan^{-1} \frac{4}{3}$ મૂકતા,$I = \frac{1}{5} \log |\sec(x - \tan^{-1} \frac{4}{3}) + \tan(x - \tan^{-1} \frac{4}{3})| + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{(2ax+x^2)^{3/2}}$.
આપણે સંકલનની અંદરની પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int \frac{dx}{(x^2+2ax)^{3/2}} = \int \frac{dx}{[x(x+2a)]^{3/2}} = \int \frac{dx}{x^{3/2}(x+2a)^{3/2}}$.
વૈકલ્પિક રીતે,કૌંસની અંદર પૂર્ણવર્ગ બનાવો:
$2ax+x^2 = (x+a)^2 - a^2$.
ધારો કે $x+a = a \sec \theta$,તો $dx = a \sec \theta \tan \theta d\theta$.
વળી,$(x+a)^2 - a^2 = a^2 \sec^2 \theta - a^2 = a^2 \tan^2 \theta$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{a \sec \theta \tan \theta d\theta}{(a^2 \tan^2 \theta)^{3/2}} = \int \frac{a \sec \theta \tan \theta d\theta}{a^3 \tan^3 \theta} = \frac{1}{a^2} \int \frac{\sec \theta}{\tan^2 \theta} d\theta$.
$I = \frac{1}{a^2} \int \frac{1/\cos \theta}{\sin^2 \theta / \cos^2 \theta} d\theta = \frac{1}{a^2} \int \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta} d\theta$.
ધારો કે $u = \sin \theta$,તો $du = \cos \theta d\theta$.
$I = \frac{1}{a^2} \int u^{-2} du = \frac{1}{a^2} (-u^{-1}) + c = -\frac{1}{a^2 \sin \theta} + c$.
કારણ કે $\sec \theta = \frac{x+a}{a}$,તેથી $\cos \theta = \frac{a}{x+a}$.
તેથી $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{a^2}{(x+a)^2}} = \sqrt{\frac{(x+a)^2 - a^2}{(x+a)^2}} = \frac{\sqrt{x^2+2ax}}{x+a}$.
તેથી,$I = -\frac{1}{a^2} \cdot \frac{x+a}{\sqrt{x^2+2ax}} + c$.

(D) ધારો કે $I = \int(\sqrt{\tan x}+\sqrt{\cot x}) d x$.
$\sin x$ અને $\cos x$ ના સ્વરૂપમાં લખતા:
$I = \int \left(\sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}} + \sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}}\right) d x = \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin x \cos x}} d x$.
$\sqrt{2}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$I = \sqrt{2} \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2 \sin x \cos x}} d x$.
કારણ કે $1 - (\sin x - \cos x)^2 = 1 - (\sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x) = 2 \sin x \cos x$:
$I = \sqrt{2} \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{1 - (\sin x - \cos x)^2}} d x$.
ધારો કે $t = \sin x - \cos x$,તો $dt = (\cos x + \sin x) d x$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \sqrt{2} \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \sqrt{2} \sin^{-1}(t) + c$.
$t = \sin x - \cos x$ પાછું મૂકતા:
$I = \sqrt{2} \sin^{-1}(\sin x - \cos x) + c$.

(A) આપણી પાસે છે,$\int \frac{x^4+1}{x^6+1} dx = A \tan^{-1} x + B \tan^{-1} x^3 + c$.
ધારો કે $I = \int \frac{x^4+1}{x^6+1} dx = \int \frac{(x^4-x^2+1) + x^2}{(x^2)^3 + 1^3} dx$.
નિત્યસમ $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$x^6+1 = (x^2+1)(x^4-x^2+1)$ મળે.
તેથી,$I = \int \frac{x^4-x^2+1}{(x^2+1)(x^4-x^2+1)} dx + \int \frac{x^2}{x^6+1} dx$.
$I = \int \frac{1}{x^2+1} dx + \int \frac{x^2}{(x^3)^2+1} dx$.
$I = \tan^{-1} x + \int \frac{x^2}{(x^3)^2+1} dx$.
ધારો કે $x^3 = t$,તેથી $3x^2 dx = dt$,એટલે કે $x^2 dx = \frac{1}{3} dt$.
$I = \tan^{-1} x + \frac{1}{3} \int \frac{1}{t^2+1} dt = \tan^{-1} x + \frac{1}{3} \tan^{-1} t + c$.
$I = \tan^{-1} x + \frac{1}{3} \tan^{-1} x^3 + c$.
$A \tan^{-1} x + B \tan^{-1} x^3 + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A=1$ અને $B=\frac{1}{3}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x^2+1}{x^4+7 x^2+1} d x$.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{1+\frac{1}{x^2}}{x^2+7+\frac{1}{x^2}} d x = \int \frac{1+\frac{1}{x^2}}{(x^2+\frac{1}{x^2}+2)+5} d x$.
$I = \int \frac{1+\frac{1}{x^2}}{(x-\frac{1}{x})^2+9} d x$.
ધારો કે $t = x - \frac{1}{x}$,તેથી $dt = (1 + \frac{1}{x^2}) dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt}{t^2 + 3^2} = \frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{t}{3}) + C$.
$t = x - \frac{1}{x}$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{x - \frac{1}{x}}{3}) + C = \frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{x^2-1}{3x}) + C$.

(D) ધારો કે $I = \int \sqrt{\frac{2+x}{2-x}} \, dx$.
વર્ગમૂળની અંદર અંશ અને છેદને $\sqrt{2+x}$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{2+x}{\sqrt{(2-x)(2+x)}} \, dx = \int \frac{2+x}{\sqrt{4-x^2}} \, dx$.
સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરતા:
$I = 2 \int \frac{1}{\sqrt{2^2-x^2}} \, dx + \int \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} \, dx$.
પ્રથમ ભાગ માટે,પ્રમાણિત સંકલન $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \, dx = \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા.
બીજા ભાગ માટે,$u = 4-x^2$ લેતા,જેથી $du = -2x \, dx$ અથવા $x \, dx = -\frac{1}{2} du$ થાય.
$I = 2 \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2} \int u^{-1/2} \, du = 2 \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2} (2u^{1/2}) + C$.
$I = 2 \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) - \sqrt{4-x^2} + C$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{x^2 \sqrt{4+x^2}}$.
$x = 2 \tan \theta$ લેતા,$dx = 2 \sec^2 \theta \ d\theta$ મળે.
સંકલન આ મુજબ થશે: $I = \int \frac{2 \sec^2 \theta \ d\theta}{(4 \tan^2 \theta) \sqrt{4 + 4 \tan^2 \theta}}$.
કારણ કે $\sqrt{4(1+\tan^2 \theta)} = 2 \sec \theta$,તેથી:
$I = \int \frac{2 \sec^2 \theta \ d\theta}{4 \tan^2 \theta \cdot 2 \sec \theta} = \frac{1}{4} \int \frac{\sec \theta}{\tan^2 \theta} \ d\theta$.
$I = \frac{1}{4} \int \frac{1/\cos \theta}{\sin^2 \theta / \cos^2 \theta} \ d\theta = \frac{1}{4} \int \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta} \ d\theta$.
$u = \sin \theta$ લેતા,$du = \cos \theta \ d\theta$ મળે.
$I = \frac{1}{4} \int u^{-2} \ du = \frac{1}{4} (-u^{-1}) + C = -\frac{1}{4 \sin \theta} + C$.
અહીં $\tan \theta = \frac{x}{2}$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$ થાય.
તેથી,$I = -\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{x^2+4}}{x} + C = -\frac{\sqrt{4+x^2}}{4x} + C$.

(D) ધારો કે $I = \int (1 + x - x^{-1}) e^{x + x^{-1}} dx$.
આપણે સંકલનને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int e^{x + x^{-1}} dx + \int (x - x^{-1}) e^{x + x^{-1}} dx$.
$x e^{x + x^{-1}}$ નું વિકલન લેતા:
$\frac{d}{dx} (x e^{x + x^{-1}}) = 1 \cdot e^{x + x^{-1}} + x \cdot e^{x + x^{-1}} \cdot (1 - x^{-2}) = e^{x + x^{-1}} + x e^{x + x^{-1}} - x^{-1} e^{x + x^{-1}} = (1 + x - x^{-1}) e^{x + x^{-1}}$.
તેથી,$\int (1 + x - x^{-1}) e^{x + x^{-1}} dx = x e^{x + x^{-1}} + C$.

(A) સંકલન $I = \int \frac{dx}{a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x}$ ની ગણતરી કરવા માટે,અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\sec^2 x dx}{a^2 \tan^2 x + b^2}$
હવે,ધારો કે $u = \tan x$,તેથી $du = \sec^2 x dx$:
$I = \int \frac{du}{a^2 u^2 + b^2} = \frac{1}{a^2} \int \frac{du}{u^2 + (b/a)^2}$
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2 + k^2} = \frac{1}{k} \tan^{-1}(\frac{x}{k}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{b/a} \tan^{-1}\left(\frac{u}{b/a}\right) + C$
$I = \frac{1}{ab} \tan^{-1}\left(\frac{a \tan x}{b}\right) + C$

(B) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{4+3 \cot x} = \int \frac{\sin x dx}{4 \sin x + 3 \cos x}$.
અંશને $A(4 \cos x - 3 \sin x) + B(4 \sin x + 3 \cos x)$ તરીકે દર્શાવીએ,જ્યાં $4 \cos x - 3 \sin x$ એ છેદ $4 \sin x + 3 \cos x$ નું વિકલન છે.
$\sin x$ અને $\cos x$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$4B - 3A = 1$ અને $3B + 4A = 0$.
$3B + 4A = 0$ પરથી,$A = -\frac{3B}{4}$ મળે.
પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $4B - 3(-\frac{3B}{4}) = 1 \Rightarrow 4B + \frac{9B}{4} = 1 \Rightarrow \frac{25B}{4} = 1 \Rightarrow B = \frac{4}{25}$.
તેથી $A = -\frac{3}{25}$.
આમ,$I = \int \frac{-\frac{3}{25}(4 \cos x - 3 \sin x) + \frac{4}{25}(4 \sin x + 3 \cos x)}{4 \sin x + 3 \cos x} dx$.
$I = -\frac{3}{25} \int \frac{4 \cos x - 3 \sin x}{4 \sin x + 3 \cos x} dx + \frac{4}{25} \int dx$.
$I = -\frac{3}{25} \ln |4 \sin x + 3 \cos x| + \frac{4}{25} x + C$.

(A) આપેલ સંકલન $I = \int \sin (101 x)(\sin x)^{99} d x$ છે.
નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin(100x + x) = \sin(100x)\cos x + \cos(100x)\sin x$ મળે.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int (\sin(100x)\cos x + \cos(100x)\sin x)(\sin x)^{99} d x$
$I = \int \sin(100x) \cos x (\sin x)^{99} d x + \int \cos(100x) (\sin x)^{100} d x$.
પ્રથમ સંકલન $\int \sin(100x) \cdot (\cos x (\sin x)^{99}) d x$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
ધારો કે $u = \sin(100x)$ અને $dv = \cos x (\sin x)^{99} d x$.
તેથી $du = 100 \cos(100x) d x$ અને $v = \frac{(\sin x)^{100}}{100}$ મળે.
$\int u dv = uv - \int v du$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \sin(100x) \cdot \frac{(\sin x)^{100}}{100} - \int \frac{(\sin x)^{100}}{100} \cdot 100 \cos(100x) d x + \int \cos(100x) (\sin x)^{100} d x$.
$I = \frac{\sin(100x)(\sin x)^{100}}{100} - \int \cos(100x)(\sin x)^{100} d x + \int \cos(100x)(\sin x)^{100} d x + C$.
$I = \frac{\sin(100x)(\sin x)^{100}}{100} + C$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $\frac{\sin (100 x)(\sin x)^\lambda}{\mu}+c$ સાથે સરખાવતા,$\lambda = 100$ અને $\mu = 100$ મળે.
તેથી,$\frac{\lambda}{\mu} = \frac{100}{100} = 1$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{\sin x \sec^2 x - \tan x \sin x + \cos x}{1 - \cos 2x} dx$.
$1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{\sin x \sec^2 x - \tan x \sin x + \cos x}{2 \sin^2 x} dx$
$I = \frac{1}{2} \int \left( \frac{\sin x \sec^2 x}{\sin^2 x} - \frac{\tan x \sin x}{\sin^2 x} + \frac{\cos x}{\sin^2 x} \right) dx$
$I = \frac{1}{2} \int \left( \sec x \tan x - \sec x + \operatorname{cosec} x \cot x \right) dx$
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$\int \sec x \tan x dx = \sec x$
$\int \sec x dx = \log |\sec x + \tan x| = \log |\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})|$
$\int \operatorname{cosec} x \cot x dx = -\operatorname{cosec} x$
આમ,$I = \frac{1}{2} [\sec x - \log |\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})| - \operatorname{cosec} x] + c$
$I = \frac{1}{2} [\sec x - \operatorname{cosec} x - \log |\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})|] + c$
જે વિકલ્પ $(C)$ સાથે સુસંગત છે.

(D) ધારો કે $I = \int x[\log (1+x)]^3 dx$.
$\log (1+x) = t$ લેતા,$1+x = e^t$ અને $dx = e^t dt$ મળે.
$I = \int (e^t - 1) t^3 e^t dt = \int (e^{2t} t^3 - e^t t^3) dt$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int e^{at} t^n dt = \frac{e^{at}}{a} [t^n - \frac{n t^{n-1}}{a} + \frac{n(n-1) t^{n-2}}{a^2} - \dots]$.
$I = \frac{e^{2t}}{2} [t^3 - \frac{3t^2}{2} + \frac{6t}{4} - \frac{6}{8}] - e^t [t^3 - 3t^2 + 6t - 6] + C$.
$e^t = 1+x$ અને $t = \log (1+x)$ મુકતા:
$I = \frac{(1+x)^2}{16} [8t^3 - 12t^2 + 12t - 6] - (1+x) [t^3 - 3t^2 + 6t - 6] + C$.
$\frac{(1+x)^2}{16} f(x) + (1+x) g(x)$ સાથે સરખાવતા,$f(x) = 8t^3 - 12t^2 + 12t - 6$ અને $g(x) = -t^3 + 3t^2 - 6t + 6$ મળે.
તેથી,$f(x) + g(x) = 7t^3 - 9t^2 + 6t + C = 7(\log (1+x))^3 - 9(\log (1+x))^2 + 6 \log (1+x) + C$.

(A) ધારો કે $I = \int (\log(\sin x) + x \cot x) dx$.
આપણે સંકલનને $I = \int \log(\sin x) dx + \int x \cot x dx$ તરીકે વિભાજિત કરી શકીએ છીએ.
પ્રથમ ભાગ $I_1 = \int \log(\sin x) dx$ ધ્યાનમાં લો. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \log(\sin x)$ અને $dv = dx$ લો.
તેથી $du = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x dx = \cot x dx$ અને $v = x$ મળે.
ખંડશઃ સંકલનના સૂત્ર $\int u dv = uv - \int v du$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I_1 = x \log(\sin x) - \int x \cot x dx$.
આ કિંમતને $I$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I = (x \log(\sin x) - \int x \cot x dx) + \int x \cot x dx + c$.
$I = x \log(\sin x) + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{d x}{(x+1) \sqrt{x^2+4}}$.
$x+1 = \frac{1}{t}$ આદેશ લેતા,$x = \frac{1}{t} - 1 = \frac{1-t}{t}$ અને $dx = -\frac{1}{t^2} dt$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{-\frac{1}{t^2} dt}{\frac{1}{t} \sqrt{(\frac{1-t}{t})^2 + 4}} = -\int \frac{dt}{t \sqrt{\frac{1-2t+t^2+4t^2}{t^2}}} = -\int \frac{dt}{\sqrt{5t^2-2t+1}}$.
છેદમાં પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$5t^2 - 2t + 1 = 5(t^2 - \frac{2}{5}t + \frac{1}{5}) = 5((t-\frac{1}{5})^2 + \frac{4}{25}) = 5(t-\frac{1}{5})^2 + \frac{4}{5}$.
$I = -\int \frac{dt}{\sqrt{5(t-\frac{1}{5})^2 + \frac{4}{5}}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} \int \frac{dt}{\sqrt{(t-\frac{1}{5})^2 + (\frac{2}{5})^2}}$.
સૂત્ર $\int \frac{du}{\sqrt{u^2+a^2}} = \sinh^{-1}(\frac{u}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = -\frac{1}{\sqrt{5}} \sinh^{-1}(\frac{t-\frac{1}{5}}{2/5}) + C = -\frac{1}{\sqrt{5}} \sinh^{-1}(\frac{5t-1}{2}) + C$.
$t = \frac{1}{x+1}$ પાછા મૂકતા:
$I = -\frac{1}{\sqrt{5}} \sinh^{-1}(\frac{\frac{5}{x+1}-1}{2}) + C = -\frac{1}{\sqrt{5}} \sinh^{-1}(\frac{5-x-1}{2(x+1)}) + C = -\frac{1}{\sqrt{5}} \sinh^{-1}(\frac{4-x}{2(x+1)}) + C$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{2x+2}{\sqrt{x^2-4x-5}} dx$.
અંશને $2x+2 = A \frac{d}{dx}(x^2-4x-5) + B$ સ્વરૂપે લખતા.
$2x+2 = A(2x-4) + B$.
$x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા,$2A = 2 \Rightarrow A = 1$ અને $-4A + B = 2 \Rightarrow -4(1) + B = 2 \Rightarrow B = 6$ મળે છે.
તેથી,$I = \int \frac{2x-4}{\sqrt{x^2-4x-5}} dx + 6 \int \frac{dx}{\sqrt{(x-2)^2 - 3^2}}$.
પ્રથમ સંકલન માટે,$t = x^2-4x-5$ લેતા,$dt = (2x-4)dx$ મળે.
$I = \int t^{-1/2} dt + 6 \int \frac{dx}{\sqrt{(x-2)^2 - 3^2}}$.
$I = 2\sqrt{t} + 6 \log |(x-2) + \sqrt{(x-2)^2 - 3^2}| + C$.
$I = 2\sqrt{x^2-4x-5} + 6 \log |(x-2) + \sqrt{x^2-4x-5}| + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x(1-x)}} = \int \frac{dx}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x} \sqrt{1-x}}$.
$\sqrt{x} = t$ લેતા,$x = t^2$ અને $dx = 2t \, dt$ મળે.
તેથી $I = \int \frac{2t \, dt}{(1+t) t \sqrt{1-t^2}} = 2 \int \frac{dt}{(1+t) \sqrt{(1-t)(1+t)}} = 2 \int \frac{dt}{(1+t)^{3/2} (1-t)^{1/2}}$.
આપેલ સ્વરૂપનું વિકલન કરતા,આપણને $A=2$ અને $B=-2$ મળે છે.
તેથી,$A+B = 2 + (-2) = 0$.

(C) વિધાન $A$ માટે: ધારો કે $I = \int \left(\frac{x^2-1}{x^2}\right) e^{\left(\frac{x^2+1}{x}\right)} d x$.
આપણે સંકલ્યને $I = \int \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) e^{\left(x + \frac{1}{x}\right)} d x$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ.
ધારો કે $t = x + \frac{1}{x}$. તો $dt = \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) d x$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $I = \int e^t d t = e^t + c = e^{x + \frac{1}{x}} + c = e^{\frac{x^2+1}{x}} + c$ મળે છે. આમ,વિધાન $A$ સાચું છે.
વિધાન $R$ માટે: સંકલન $\int f^{\prime}(x) e^{f(x)} d x$ નું મૂલ્ય $t = f(x)$ આદેશ લઈને મેળવવામાં આવે છે,જે $dt = f^{\prime}(x) d x$ આપે છે.
તેથી,$\int e^t d t = e^t + c = e^{f(x)} + c$.
વિધાન $R$ માં પરિણામ $f(x) + c$ હોવાનો દાવો કરવામાં આવ્યો છે,જે ખોટું છે.
તેથી,$A$ સાચું છે અને $R$ ખોટું છે.