ધારો કે ત્રણ શ્રેણિકો $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$,અને $C = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$ છે. તો $Tr(A) + Tr\left( \frac{ABC}{2} \right) + Tr\left( \frac{A(BC)^2}{4} \right) + Tr\left( \frac{A(BC)^3}{8} \right) + \dots + \infty$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1+i & 1 \\ -i & 0 \end{bmatrix}$ જ્યાં $i = \sqrt{-1}$ છે. તો,ગણ $\{n \in \{1, 2, \ldots, 100\} : A^n = A\}$ માં ઘટકોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $M = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $N = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$. તો $N M^{10} N^{-1} =$

ધારો કે $A$ એ $4$ ના આવર્તકાળ ધરાવતો શૂન્યતર આવર્તક શ્રેણિક છે અને $A^{12} + B = I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે અને $B$ એ $A$ ના સમાન કક્ષાનો કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક છે. શ્રેણિક ગુણાકાર $AB$ કોના બરાબર છે?

ધારો કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જેથી તમામ શૂન્યતર $3 \times 1$ શ્રેણિકો $X=\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]$ માટે $X^{T}AX = O$ થાય. જો $A \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\ 4 \\ -5\end{array}\right]$,$A \left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 4 \\ -8\end{array}\right]$,અને $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2(A+I)))=2^\alpha 3^\beta 5^\gamma$,જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{N}$,તો $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ શોધો.

$A = [a_{ij}]$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જેના ઘટકો ધન પૂર્ણાંકો છે. $A$ ના ઘટકો એવા છે કે દરેક હારના તમામ ઘટકોનો સરવાળો $6$ થાય છે અને $a_{22} = 2$ છે. જો $i = 1, 2, 3$ માટે $a_{ii} = \begin{cases} a_{ij} + a_{ji}, & j = i + 1 \text{ જ્યારે } i < 3 \\ a_{ij} + a_{ji}, & j = 4 - i \text{ જ્યારે } i = 3 \end{cases}$ હોય,તો $|A| = $