જો $A$ અને $B$ સમાન કક્ષાના બે વ્યસ્ત શ્રેણિકો હોય,તો $adj \,(AB)$ કોના બરાબર થાય :-

ધારો કે $\alpha \in(0, \infty)$ અને $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & \alpha \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$. જો $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2A-A^{T}) \cdot \operatorname{adj}(A-2A^{T}))=2^8$ હોય,તો $(\operatorname{det}(A))^2$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $B=\begin{bmatrix} 1 & 3 & \alpha \\ 1 & 2 & 3 \\ \alpha & \alpha & 4 \end{bmatrix}, \alpha > 2$ એ શ્રેણિક $A$ નો એડજોઈન્ટ (adjoint) છે અને $|A|=2$ છે. તો $\begin{bmatrix} \alpha & -2\alpha & \alpha \end{bmatrix} B \begin{bmatrix} \alpha \\ -2\alpha \\ \alpha \end{bmatrix}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $x \in R$ અને $P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$,$Q = \begin{bmatrix} 2 & x & x \\ 0 & 4 & 0 \\ x & x & 6 \end{bmatrix}$ અને $R = PQP^{-1}$ છે. તો નીચેનામાંથી કયો/કયા વિકલ્પ સાચો/સાચા છે?
$(1)$ $x = 1$ માટે,એક એવો એકમ સદિશ $\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેના માટે $R \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ થાય.
$(2)$ એક એવી વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $PQ = QP$ થાય.
$(3)$ $\det R = \det \begin{bmatrix} 2 & x & x \\ 0 & 4 & 0 \\ x & x & 5 \end{bmatrix} + 8$,તમામ $x \in R$ માટે.
$(4)$ $x = 0$ માટે,જો $R \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix} = 6 \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix}$ હોય,તો $a + b = 5$.

ધારો કે $A$ અને $B$ એ ઓર્થોગોનલ શ્રેણિકો છે અને $\operatorname{det}(A) + \operatorname{det}(B) = 0$ છે. તો

જો $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ અને $A^3 = (aA - I)(bA - I)$,જ્યાં $a, b$ પૂર્ણાંકો છે અને $I$ એ $3 \times 3$ એકમ શ્રેણિક છે,તો $(a + b)$ ની કિંમત કેટલી થાય?