જો $A$,$B$,અને $C$ એ $3$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિકો હોય,જેથી $A = \begin{bmatrix} x & 0 & 1 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix}$ અને $|B| = 36$,$|C| = 4$,$(x, y, z \in \mathbb{N})$ અને $|ABC| = 1152$ હોય,તો $x + y + z$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણ $(a-c)x^2 + (b-a)x + (c-b) = 0$ નું બીજ છે,જ્યાં $a, b, c$ ભિન્ન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને શ્રેણિક $\begin{bmatrix} \alpha^2 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \end{bmatrix}$ અસામાન્ય (singular) છે. તો $\frac{(a-c)^2}{(b-a)(c-b)} + \frac{(b-a)^2}{(a-c)(c-b)} + \frac{(c-b)^2}{(a-c)(b-a)}$ ની કિંમત શોધો.

નીચેના ગાણિતિક વિધાનોને ધ્યાનપૂર્વક વાંચો:
$I$. એવા બે ત્રિકોણ અસ્તિત્વ ધરાવી શકે છે કે જેમાં એક ત્રિકોણની બધી બાજુઓ $1 \text{ cm}$ કરતા નાની હોય જ્યારે બીજા ત્રિકોણની બધી બાજુઓ $10 \text{ m}$ કરતા મોટી હોય,પરંતુ પ્રથમ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ બીજા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ કરતા વધારે હોય.
$II$. જો $x, y, z$ બધા અલગ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય,તો $\frac{1}{(x - y)^2} + \frac{1}{(y - z)^2} + \frac{1}{(z - x)^2} = \left( \frac{1}{x - y} + \frac{1}{y - z} + \frac{1}{z - x} \right)^2$.
$III$. $\log_3 x \cdot \log_4 x \cdot \log_5 x = (\log_3 x \cdot \log_4 x) + (\log_4 x \cdot \log_5 x) + (\log_5 x \cdot \log_3 x)$ એ $x$ ની માત્ર એક વાસ્તવિક કિંમત માટે સાચું છે.
$IV$. એક શ્રેણિકમાં $12$ ઘટકો છે. તેની શક્ય કક્ષાઓની સંખ્યા $6$ છે. હવે સાચો વિકલ્પ દર્શાવો.

જો $A$ અને $B$ સમાન કક્ષાના બે વ્યસ્ત શ્રેણિકો છે,જેથી $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$ થાય,તો $(A^2BA^{-1}B^{-1})^3$ ની કિંમત શું થાય?

જો $a_{r} = \cos \frac{2 r \pi}{9} + i \sin \frac{2 r \pi}{9}$,$r = 1, 2, 3, \ldots$,$i = \sqrt{-1}$ હોય,તો નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{lll}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ a_{4} & a_{5} & a_{6} \\ a_{7} & a_{8} & a_{9}\end{array}\right|$ ની કિંમત કેટલી થાય?