First Order reaction Questions in Hindi

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ है।
$99 \%$ पूर्णता के लिए,$[A]_t = 0.01[A]_0$. अतः,$64 = \frac{2.303}{k} \log \frac{100}{1} = \frac{2.303}{k} \times 2$.
$99.9 \%$ पूर्णता के लिए,$[A]_t = 0.001[A]_0$. अतः,$t = \frac{2.303}{k} \log \frac{1000}{1} = \frac{2.303}{k} \times 3$.
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर: $\frac{t}{64} = \frac{3}{2}$.
अतः,$t = 64 \times 1.5 = 96 \text{ min}$.

(A) अभिक्रिया $A_{(g)} \rightarrow 2B_{(g)}$ के लिए,$A$ की प्रारंभिक सांद्रता $[A]_0 = \frac{2 \ mol}{5 \ L} = 0.4 \ M$ है।
मान लीजिए $t = 20 \ min$ पर $A$ की $x$ मात्रा अभिक्रिया करती है।
$t = 20 \ min$ पर,$[A]_t = 0.4 - x$ और $[B]_t = 2x$ है।
दिया गया है कि $[A]_t = \frac{[B]_t}{2}$,इसलिए $0.4 - x = \frac{2x}{2} = x$ है।
अतः,$2x = 0.4$,जिसका अर्थ है $x = 0.2 \ M$ है।
$t = 20 \ min$ पर,$[A]_t = 0.4 - 0.2 = 0.2 \ M$ है।
चूंकि $[A]_t = \frac{[A]_0}{2}$ है,इसलिए $t = 20 \ min$ अभिक्रिया की अर्ध-आयु $t_{1/2}$ है।
अतः,अर्ध-आयु $20 \ min$ है।

(A) माना $A_2$ का प्रारंभिक द्रव्यमान $x \ g$ और $B_2$ का $y \ g$ है।
दिया गया है: $x + y = 10 \ g$ (समीकरण $1$)।
प्रथम कोटि की गतिज ऊर्जा के लिए,शेष मात्रा $N = N_0 \times (1/2)^n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
$A_2$ के लिए: अर्ध-आयु $t_{1/2} = 2 \ hours$। $6 \ hours$ में,$n = 6/2 = 3$ अर्ध-आयु। शेष $A_2 = x \times (1/2)^3 = x/8$।
$B_2$ के लिए: अर्ध-आयु $t_{1/2} = 3 \ hours$। $6 \ hours$ में,$n = 6/3 = 2$ अर्ध-आयु। शेष $B_2 = y \times (1/2)^2 = y/4$।
$6 \ hours$ के बाद कुल शेष द्रव्यमान $= x/8 + y/4 = 2 \ g$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से,$y = 10 - x$।
समीकरण $2$ में रखने पर: $x/8 + (10 - x)/4 = 2$।
$8$ से गुणा करने पर: $x + 2(10 - x) = 16$।
$x + 20 - 2x = 16$।
$-x = -4$,इसलिए $x = 4 \ g$।

(A) अभिक्रिया के लिए वेग नियम इस प्रकार है: $\text{Rate} = k[A]^1[B]^0 = k[A]$.
चूंकि अभिक्रिया $A$ के सापेक्ष प्रथम कोटि की है,इसलिए $A$ के लिए समाकलित वेग समीकरण है: $\ln(a_t) = \ln(a_0) - kt$.
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $a_t = a_0 e^{-kt}$.

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु $t_{50\%} = \frac{\ln 2}{k}$ द्वारा दी जाती है।
$t_{87.5\%}$ के लिए,शेष मात्रा $100 - 87.5 = 12.5\%$ है,जो प्रारंभिक मात्रा का $(1/8)$ है। अतः,$t_{87.5\%} = \frac{\ln 8}{k} = \frac{3 \ln 2}{k} = 3 \cdot t_{50\%}$.
$t_{90\%}$ के लिए,शेष मात्रा $100 - 90 = 10\%$ है,जो प्रारंभिक मात्रा का $(1/10)$ है। अतः,$t_{90\%} = \frac{\ln 10}{k} \approx \frac{2.303}{k} \approx 3.32 \cdot t_{50\%}$.
इसलिए,कथन $t_{90\%} = 4 \cdot t_{50\%}$ $INCORRECT$ (गलत) है।

(B) अभिक्रिया $2A \rightarrow B$ के लिए,अभिक्रिया की दर $Rate = -\frac{1}{2} \frac{d[A]}{dt} = \frac{d[B]}{dt} = K[A]$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $K = 10^{-2} \ min^{-1}$,यह $A$ के सापेक्ष प्रथम कोटि की अभिक्रिया है।
$(1)$ $B$ के निर्माण की दर $\frac{d[B]}{dt} = K[A]$ है। चूँकि $K$ अभिक्रिया का दर स्थिरांक है,$K_B$ ($B$ के निर्माण की दर) $A$ की सांद्रता पर निर्भर करता है,इसलिए विकल्प $A$ गलत है।
$(2)$ अर्ध-आयु $t_{0.5} = \frac{\ln 2}{K} = \frac{0.7}{10^{-2}} = 70 \ min$ है। अतः,विकल्प $B$ सही है।
$(3)$ प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$t_{0.75} = 2 \times t_{0.5} = 2 \times 70 = 140 \ min$ है। अतः,विकल्प $C$ गलत है।

(C) अभिक्रिया $C_2H_4O_{(g)} \to CH_{4(g)} + CO_{(g)}$ के लिए:
$t=0$ पर,$C_2H_4O$ का दाब $P_0 = 80 \ mm$,$P_{CH_4} = 0$,$P_{CO} = 0$. कुल दाब $P_t = 80 \ mm$.
$t=20 \ min$ पर,$C_2H_4O$ का दाब $80-x$,$P_{CH_4} = x$,$P_{CO} = x$. कुल दाब $P_t = (80-x) + x + x = 80+x = 120 \ mm$.
अतः,$x = 40 \ mm$.
शेष अभिकारक का दाब $P_0 - x = 80 - 40 = 40 \ mm$.
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के वेग स्थिरांक सूत्र $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{P_0}{P_0-x} = \frac{2.303}{20} \log \frac{80}{40} = \frac{2.303}{20} \log 2$ का उपयोग करने पर.
चूंकि $\log 2 \approx 0.3010$,$k = \frac{2.303 \times 0.3010}{20} \approx \frac{0.693}{20} \ min^{-1}$.
अर्ध-आयु काल $t_{1/2} = \frac{0.693}{k} = \frac{0.693 \times 20}{0.693} = 20 \ min$.

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु $T_{50} = \frac{0.693}{k}$ है।
औसत आयु $T_{av} = \frac{1}{k} \approx 1.44 \times T_{50}$ है।
$75\%$ पूर्णता के लिए,लिया गया समय $T_{75} = \frac{2.303}{k} \log(\frac{100}{100-75}) = \frac{2.303}{k} \log(4) \approx 2 \times T_{50}$ है।
मानों की तुलना करने पर: $T_{50} \approx 1.00 \times T_{50}$,$T_{av} \approx 1.44 \times T_{50}$,और $T_{75} \approx 2.00 \times T_{50}$।
अतः,बढ़ता हुआ क्रम $T_{50} < T_{av} < T_{75}$ है।

(A) मान लीजिए $N_2O$ का प्रारंभिक दाब $P_0$ है। अभिक्रिया $N_2O_{(g)} \to N_{2(g)} + \frac{1}{2}O_{2(g)}$ है।
$t=0$ पर,दाब $P_0, 0, 0$ है। कुल दाब $P_0 = P_{\infty} / 1.5 = \frac{2}{3}P_{\infty}$ है।
$t$ समय पर,दाब $(P_0 - x), x, 0.5x$ है। कुल दाब $P_t = P_0 - x + x + 0.5x = P_0 + 0.5x$ है।
अतः,$0.5x = P_t - P_0$,जिसका अर्थ है $x = 2(P_t - P_0)$।
$t$ समय पर $N_2O$ का दाब $P_{N_2O} = P_0 - x = P_0 - 2(P_t - P_0) = 3P_0 - 2P_t$ है।
$P_0 = \frac{2}{3}P_{\infty}$ रखने पर,हमें $P_{N_2O} = 3(\frac{2}{3}P_{\infty}) - 2P_t = 2P_{\infty} - 2P_t$ प्राप्त होता है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$K = \frac{1}{t} \ln \left( \frac{P_0}{P_{N_2O}} \right) = \frac{1}{t} \ln \left( \frac{2P_{\infty}/3}{2P_{\infty} - 2P_t} \right) = \frac{1}{t} \ln \left( \frac{P_{\infty}}{3P_{\infty} - 3P_t} \right)$।

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया $A \xrightarrow{K_1} B$ के लिए,दर स्थिरांक $K_1 = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{[A]_0}{[A]_t} \right)$ है।
$A$ का $90\%$ भाग अभिक्रिया कर चुका है,इसलिए $[A]_t = 10\% \text{ of } [A]_0$,अतः $K_1 = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{100}{10} \right) = \frac{2.303}{t} \times 1 = \frac{2.303}{t}$.
अभिक्रिया $B \xrightarrow{K_2} \text{Product}$ के लिए,दर स्थिरांक $K_2 = \frac{2.303}{2t} \log \left( \frac{[B]_0}{[B]_{2t}} \right)$ है।
$B$ का $99\%$ भाग अभिक्रिया कर चुका है,इसलिए $[B]_{2t} = 1\% \text{ of } [B]_0$,अतः $K_2 = \frac{2.303}{2t} \log \left( \frac{100}{1} \right) = \frac{2.303}{2t} \times 2 = \frac{2.303}{t}$.
अतः,अनुपात $\frac{K_1}{K_2} = \frac{2.303/t}{2.303/t} = 1$.

(B) अभिक्रिया $C_4H_8 \rightarrow 2C_2H_4$ है।
मान लीजिए $C_4H_8$ के प्रारंभिक मोल $a$ हैं।
समय $t$ पर,मान लीजिए $x$ मोल $C_4H_8$ अभिक्रिया करते हैं।
$C_4H_8$ के शेष मोल = $a - x$।
बने हुए $C_2H_4$ के मोल = $2x$।
दिया गया है कि मोलर अनुपात $\frac{[C_2H_4]}{[C_4H_8]} = 1$,इसलिए $\frac{2x}{a - x} = 1$।
$2x = a - x$ $\Rightarrow 3x = a$ $\Rightarrow x = \frac{a}{3}$।
समय $t$ पर $C_4H_8$ की शेष सांद्रता $[A]_t = a - \frac{a}{3} = \frac{2a}{3}$ है।
प्रथम कोटि अभिक्रिया के समीकरण $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ का उपयोग करते हुए:
$t = \frac{2.303}{2.3 \times 10^{-4}} \log \frac{a}{2a/3} = 10013 \times \log(1.5)$।
$t = 10013 \times 0.1761 \approx 1763.3 \text{ s}$।
मिनट में बदलने पर: $t = \frac{1763.3}{60} \approx 29.39 \text{ min} \approx 30 \text{ min}$।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष मात्रा $[A] = [A]_0 \times (1/2)^n$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $[A]_0 = 2 \ M$ और $[A] = 0.125 \ M$।
$0.125 = 2 \times (1/2)^n$
$(1/2)^n = 0.125 / 2 = 0.0625 = 1/16 = (1/2)^4$।
अतः,$n = 4$ अर्ध-आयु।
कुल समय $1 \text{ घंटा} = 60 \text{ min}$ है।
चूंकि $n \times t_{1/2} = 60 \text{ min}$,इसलिए $4 \times t_{1/2} = 60 \text{ min}$।
अतः,$t_{1/2} = 60 / 4 = 15 \text{ min}$।

(C) $N_2O_5$ के प्रारंभिक मोल $= \frac{10.8}{108} = 0.1 \text{ mol}$.
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{9.6}{2.4} = 4$.
$4$ अर्ध-आयु के बाद शेष $N_2O_5$ के मोल $= 0.1 \times (\frac{1}{2})^4 = \frac{0.1}{16} = 0.00625 \text{ mol}$.
अभिक्रिया करने वाले $N_2O_5$ के मोल $= 0.1 - 0.00625 = 0.09375 \text{ mol}$.
अभिक्रिया $N_2O_5 \to 2NO_2 + \frac{1}{2} O_2$ के अनुसार,$1 \text{ मोल}$ $N_2O_5$ से $0.5 \text{ मोल}$ $O_2$ प्राप्त होता है।
उत्पन्न $O_2$ के मोल $= 0.5 \times 0.09375 = 0.046875 \text{ mol}$.
$STP$ पर $O_2$ का आयतन $= 0.046875 \times 22.4 = 1.05 \text{ L}$.

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$. दिया गया है कि $\frac{(t_{1/2})_1}{(t_{1/2})_2} = \frac{3}{2}$,इसलिए $\frac{k_2}{k_1} = \frac{3}{2}$.
पहली अभिक्रिया के लिए,$t_1 = \frac{2.303}{k_1} \log \left( \frac{100}{100 - 25} \right) = \frac{2.303}{k_1} \log \left( \frac{4}{3} \right)$.
दूसरी अभिक्रिया के लिए,$t_2 = \frac{2.303}{k_2} \log \left( \frac{100}{100 - 75} \right) = \frac{2.303}{k_2} \log (4)$.
अनुपात लेने पर: $\frac{t_1}{t_2} = \frac{k_2}{k_1} \times \frac{\log(4/3)}{\log(4)} = \frac{3}{2} \times \frac{0.602 - 0.477}{0.602} = \frac{3}{2} \times \frac{0.125}{0.602} \approx 1.5 \times 0.2076 \approx 0.311$.
अतः,अनुपात लगभग $0.3 : 1$ है।

(D) $1^{st}$ कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु $t_{1/2} = \frac{0.693}{K}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $t_{1/2}$ प्रारंभिक सांद्रता $(a)$ से स्वतंत्र है,इसलिए $t_{1/2}$ बनाम $a$ का ग्राफ x-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है।
अतः,इस रेखा का ढाल शून्य है।

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$60 \ \text{min}$ में अर्ध-आयु काल की संख्या $(n)$ $n = \frac{t}{t_{1/2}} = \frac{60}{10} = 6$ है।
शेष अभिकारक का अंश $\frac{[A]_t}{[A]_0} = (\frac{1}{2})^n = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$ है।
विघटित अभिकारक का अंश $(x)$ $1 - \text{शेष अंश} = 1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$ है।

(A) यह अभिक्रिया प्रथम कोटि की अभिक्रिया है क्योंकि अर्ध-आयु काल प्रारंभिक सांद्रता पर निर्भर नहीं करता है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{V_{\infty}}{V_{\infty} - V_t}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $V_{\infty} = 100 \, \text{L}$,$V_t = 20 \, \text{L}$,और $t = 10 \, \text{min}$.
मान रखने पर:
$k = \frac{2.303}{10} \log \frac{100}{100 - 20}$
$k = \frac{2.303}{10} \log \frac{100}{80}$
$k = \frac{2.303}{10} \log \frac{5}{4} \, \text{min}^{-1}$

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$75\%$ पूर्ण होने में लगा समय अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ का दोगुना होता है।
$t_{75\%} = 2 \times t_{1/2}$
दिया गया है $t_{75\%} = 32 \, \text{min}$.
$32 = 2 \times t_{1/2}$
$t_{1/2} = \frac{32}{2} = 16 \, \text{min}$.
चूंकि $50\%$ पूर्णता अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ के बराबर होती है,इसलिए अभिक्रिया $16$ मिनट में $50\%$ पूर्ण हो जाती है।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया $A \to B$ के लिए,अभिक्रिया की दर $Rate = k[A]$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $[A] = [A]_0 e^{-kt}$,इसलिए अभिक्रिया की दर $Rate = k[A]_0 e^{-kt}$ है।
$B$ के निर्माण की दर अभिक्रिया की दर के बराबर है,इसलिए $R = k[A]_0 e^{-kt}$।
यह समीकरण एक चरघातांकीय क्षय वक्र (exponential decay curve) को दर्शाता है,जहाँ दर $R$ समय $t$ के साथ चरघातांकीय रूप से घटती है।

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समाकलित दर नियम है: $[A]_t = [A]_0 e^{-kt}$
दिया गया है कि $t = \frac{1}{k}$,इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$[A]_t = [A]_0 e^{-k \times (1/k)}$
$[A]_t = [A]_0 e^{-1}$
$[A]_t = \frac{[A]_0}{e}$

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k$ का सूत्र है:
$k = \frac{2.303}{t} \log_{10} \frac{a}{a-x}$
यहाँ $t = 10 \, \text{min}$ और $\frac{a}{a-x} = 8$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$k = \frac{2.303}{10} \log_{10} 8$
चूंकि $8 = 2^3$,इसलिए $\log_{10} 8 = 3 \log_{10} 2$।
अतः,$k = \frac{2.303 \times 3 \log 2}{10}$।

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$
यहाँ,$k$ दर स्थिरांक है।
चूंकि $t_{1/2}$ प्रारंभिक सांद्रता $(a)$ से स्वतंत्र है,इसलिए $t_{1/2}$ बनाम $a$ का ग्राफ सांद्रता अक्ष ($a$-अक्ष) के समानांतर एक सीधी रेखा होगी।
अतः,सही वक्र वह है जो $a$ के सापेक्ष $t_{1/2}$ को स्थिर दर्शाता है।

(C) दिया गया दर नियम $\frac{-d[A]}{dt} = k[A]$ प्रथम कोटि की अभिक्रिया को दर्शाता है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समाकलित दर समीकरण $[A] = [A]_0 e^{-kt}$ है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए अर्ध-आयु $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}$ होती है,जिसका अर्थ है $k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$।
दिए गए समय $t = \frac{t_{1/2}}{\ln 2}$ को दर समीकरण में रखने पर:
$[A] = [A]_0 e^{-k \times (\frac{t_{1/2}}{\ln 2})}$
$[A] = [A]_0 e^{-(\frac{\ln 2}{t_{1/2}}) \times (\frac{t_{1/2}}{\ln 2})}$
$[A] = [A]_0 e^{-1} = \frac{[A]_0}{e}$.

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु $t_{1/2} = 50\, min$ है।
वेग स्थिरांक $k = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{50\, min}$ है।
$80\,\%$ पूर्णता के लिए,शेष सांद्रता $100\% - 80\% = 20\%$ है।
समय $t$ के लिए सूत्र: $t = \frac{2.303}{k} \log \left( \frac{[A]_0}{[A]_t} \right)$ है।
मान रखने पर: $t = \frac{2.303}{(0.693/50)} \log \left( \frac{100}{20} \right)$।
$t = \frac{2.303 \times 50}{0.693} \times \log(5)$।
चूंकि $\log(5) \approx 0.699$ और $\frac{2.303}{0.693} \approx 3.32$ है,इसलिए $t \approx 3.32 \times 50 \times 0.699 \approx 116.1\, min$।
निकटतम पूर्णांक में,$t \approx 117\, min$।

(D) दी गई अभिक्रिया प्रथम कोटि की अभिक्रिया है क्योंकि दर नियम $r = K[A]$ है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समाकलित दर समीकरण है: $\ln \frac{[A]_0}{[A]_t} = Kt$ या $\ln \frac{n_0}{n_t} = Kt$.
दिया गया है: $K = 0.023 \ s^{-1}$,$t = 50 \ s$,$n_0 = 2.5 \ moles$.
मान रखने पर: $\ln \frac{2.5}{n_t} = 0.023 \times 50$.
$\ln \frac{2.5}{n_t} = 1.15$.
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $\frac{2.5}{n_t} = e^{1.15} \approx 3.158$.
$n_t = \frac{2.5}{3.158} \approx 0.79 \ moles$.

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए: $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{P_i}{P_{SO_2Cl_2}}$
दी गई अभिक्रिया: $SO_2Cl_{2(g)} \to SO_{2(g)} + Cl_{2(g)}$
$t = 0$ पर,$P_i = 0.5 \text{ atm}$.
$t = 100 \text{ s}$ पर,$P_{total} = 0.6 \text{ atm}$.
मान लीजिए $x$,$SO_2Cl_2$ के दबाव में कमी है।
$P_{total} = (P_i - x) + x + x = P_i + x$.
$0.6 = 0.5 + x \Rightarrow x = 0.1 \text{ atm}$.
$P_{SO_2Cl_2} = P_i - x = 0.5 - 0.1 = 0.4 \text{ atm}$.
$k = \frac{2.303}{100} \log \frac{0.5}{0.4} = \frac{2.303}{100} \log 1.25$.
$k = \frac{2.303 \times 0.0969}{100} = 2.23 \times 10^{-3} \text{ s}^{-1}$.

(A) दिया गया दर नियम $\frac{-d[A]}{dt} = K[A]$ है।
यह अभिकारक $A$ के सापेक्ष प्रथम कोटि की अभिक्रिया को दर्शाता है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए समाकलित दर समीकरण $[A]_t = [A]_0 e^{-Kt}$ है।
यहाँ $[A]_0 = Co$ और $t = \frac{1}{K}$ दिया गया है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[A]_t = Co \, e^{-K \times (\frac{1}{K})}$
$[A]_t = Co \, e^{-1}$
$[A]_t = \frac{Co}{e}$.

(B) अपघटन अभिक्रिया: $N_2O_5(g) \to 2NO_2(g) + \frac{1}{2}O_2(g)$
$t = 0$ पर: $P_{N_2O_5} = 50 \, mm \, Hg$,$P_{NO_2} = 0$,$P_{O_2} = 0$. कुल दबाव $P_0 = 50 \, mm \, Hg$.
$t = 50 \, min$ पर: मान लीजिए $N_2O_5$ के दबाव में कमी $p_1$ है। आंशिक दबाव: $P_{N_2O_5} = 50 - p_1$,$P_{NO_2} = 2p_1$,$P_{O_2} = 0.5p_1$.
कुल दबाव $P_t = (50 - p_1) + 2p_1 + 0.5p_1 = 50 + 1.5p_1 = 87.5 \, mm \, Hg$.
$1.5p_1 = 37.5 \implies p_1 = 25 \, mm \, Hg$.
चूंकि $p_1 = 25$ प्रारंभिक दबाव $50$ का आधा है,इसलिए अर्ध-आयु $t_{1/2} = 50 \, min$ है।
$t = 100 \, min$ $(2 \times t_{1/2})$ पर,$N_2O_5$ का शेष दबाव $50 \times (1/2)^2 = 12.5 \, mm \, Hg$ है।
अतः,$50 - p_2 = 12.5 \implies p_2 = 37.5 \, mm \, Hg$.
$100 \, min$ पर कुल दबाव $= 50 + 1.5p_2 = 50 + 1.5(37.5) = 50 + 56.25 = 106.25 \, mm \, Hg$.

(C) अर्ध-आयु $t_{1/2} = 10 \ days$ है।
दर स्थिरांक $k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{10} = 0.0693 \ days^{-1}$ है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$t = \frac{1}{k} \ln \left( \frac{a}{a - x} \right)$।
यहाँ,$x = \frac{1}{4}a$ है,इसलिए शेष मात्रा $a - x = \frac{3}{4}a$ है।
$t = \frac{1}{0.0693} \ln \left( \frac{4}{3} \right) = \frac{2 \ln 2 - \ln 3}{0.0693} = \frac{2(0.693) - 1.1}{0.0693} = \frac{0.286}{0.0693} \approx 4.1 \ days$.

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ स्थिर होती है।
यह दिया गया है कि $50\%$ अभिक्रिया $100 \ s$ में पूर्ण होती है,अतः अर्ध-आयु $t_{1/2} = 100 \ s$ है।
अगले $100 \ s$ के बाद (कुल $200 \ s$),शेष सांद्रता $A_0/4$ हो जाती है,जिसका अर्थ है कि $75\%$ अभिक्रिया पूर्ण हो चुकी है।
चूंकि दूसरी अर्ध-आयु के लिए लिया गया समय भी $100 \ s$ है,इसलिए अभिक्रिया प्रथम कोटि की है।

(A) अभिक्रिया $2N_2O_5 \,(g) \to 4NO_2 \,(g) + O_2 \,(g)$ के लिए,मान लीजिए $N_2O_5$ का प्रारंभिक दाब $P_0 = 50 \, mmHg$ है।
$t = 30 \, min$ पर,मान लीजिए $N_2O_5$ का दाब $2p$ कम हो जाता है। कुल दाब $P_t = (50 - 2p) + 4p + p = 50 + 3p = 87.5 \, mmHg$ है।
अतः,$3p = 37.5 \, mmHg$,जिससे $p = 12.5 \, mmHg$ प्राप्त होता है।
$t = 30 \, min$ पर शेष $N_2O_5$ का दाब $50 - 2(12.5) = 25 \, mmHg$ है।
चूंकि $N_2O_5$ का दाब $30 \, min$ में आधा हो जाता है,इसलिए अर्ध-आयु $t_{1/2} = 30 \, min$ है।
$t = 60 \, min$ पर $(2 \times t_{1/2})$,शेष $N_2O_5$ का दाब $50 / 4 = 12.5 \, mmHg$ है।
मान लीजिए $50 - 2p' = 12.5$,तो $2p' = 37.5$,जिसका अर्थ है $p' = 18.75 \, mmHg$ है।
$t = 60 \, min$ पर कुल दाब $50 + 3p' = 50 + 3(18.75) = 50 + 56.25 = 106.25 \, mmHg$ होगा।

(C) दिया गया अर्ध-आयु काल $t_{1/2} = 15 \ minutes$ है।
कुल समय $T = 1 \ hr = 60 \ minutes$ है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{T}{t_{1/2}} = \frac{60}{15} = 4$ है।
शेष बचे पदार्थ की मात्रा का सूत्र $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ है।
$n$ का मान रखने पर,$\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$ प्राप्त होता है।
अतः,$1 \ hour$ बाद शेष बचे पदार्थ की मात्रा मूल मात्रा का $\frac{1}{16}$ होगी।

(B) दर नियम $R = k[A]^x [B]^y$ द्वारा दिया जाता है।
प्रयोग $I$ और $II$ से,$[A]$ स्थिर है और $[B]$ बदलता है,लेकिन दर स्थिर रहती है। अतः,$y = 0$ ($B$ के सापेक्ष शून्य कोटि)।
प्रयोग $I$ और $III$ से,जब $[A]$ दोगुना होता है ($0.10$ से $0.20$),तो दर भी दोगुनी हो जाती है ($6.93 \times 10^{-3}$ से $1.386 \times 10^{-2}$)। अतः,$x = 1$ ($A$ के सापेक्ष प्रथम कोटि)।
दर समीकरण $R = k[A]$ है।
प्रयोग $I$ का उपयोग करने पर: $6.93 \times 10^{-3} = k(0.10) \Rightarrow k = 6.93 \times 10^{-2} \ min^{-1}$।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु $t_{1/2} = \frac{0.693}{k} = \frac{0.693}{6.93 \times 10^{-2}} = 10 \ min$।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर $\text{Rate} = K[A]_0$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $\text{Rate} = 0.6932 \times 10^{-2} \ mol \ L^{-1} \ min^{-1}$ और $[A]_0 = 0.1 \ M$।
दर स्थिरांक $K$ की गणना करने पर: $K = \frac{\text{Rate}}{[A]_0} = \frac{0.6932 \times 10^{-2}}{0.1} = 0.6932 \times 10^{-1} \ min^{-1}$।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए अर्ध-आयु $t_{1/2} = \frac{0.693}{K}$ द्वारा दी जाती है।
$K$ का मान रखने पर: $t_{1/2} = \frac{0.693}{0.6932 \times 10^{-1}} \approx \frac{0.693}{0.06932} \approx 10 \ min$।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) अभिक्रिया के लिए: $A_{(g)} \longrightarrow B_{(g)} + C_{(g)}$
$t = 0$ पर: $A$ का प्रारंभिक दबाव = $P_i$,$P_B = 0$,$P_C = 0$.
समय $t$ पर: मान लें कि $A$ के दबाव में कमी $x$ है। तब,$P_A = P_i - x$,$P_B = x$,और $P_C = x$ है।
समय $t$ पर कुल दबाव $P_t = P_A + P_B + P_C = (P_i - x) + x + x = P_i + x$ है।
इससे,$x = P_t - P_i$ प्राप्त होता है।
समय $t$ पर $A$ का आंशिक दबाव $P_A = P_i - x = P_i - (P_t - P_i) = 2P_i - P_t$ है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$K = \frac{2.303}{t} \log \frac{P_{\text{initial}}}{P_{\text{final}}}$.
मान रखने पर,$K = \frac{2.303}{t} \log \frac{P_i}{2P_i - P_t}$।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए समाकलित वेग समीकरण:
$K = \frac{2.303}{t} \log \frac{a}{a-x}$
दिया गया है: $K = 5.78 \times 10^{-5} \ s^{-1}$,$t = 10 \ hours = 36000 \ s$.
मान रखने पर:
$5.78 \times 10^{-5} = \frac{2.303}{36000} \log \frac{a}{a-x}$
$\log \frac{a}{a-x} = \frac{5.78 \times 10^{-5} \times 36000}{2.303} \approx 0.903$
चूंकि $\log 8 \approx 0.903$,इसलिए $\log \frac{a}{a-x} = \log 8$.
अतः,$\frac{a}{a-x} = 8$,जिसका अर्थ है कि शेष भाग $\frac{a-x}{a} = \frac{1}{8}$ है।

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समय $t$ पर अभिकारक की सांद्रता समाकलित दर नियम द्वारा दी जाती है: $[A]_t = [A]_0 e^{-kt}$.
यहाँ,$[A]_0$ प्रारंभिक सांद्रता है और $[A]_t$ समय $t$ पर सांद्रता है।
वियोजित पदार्थ की मात्रा $[A]_0 - [A]_t = [A]_0 - [A]_0 e^{-kt} = [A]_0(1 - e^{-kt})$ है।
वियोजन की मात्रा $(\alpha)$ को वियोजित मात्रा और प्रारंभिक मात्रा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\alpha = \frac{[A]_0(1 - e^{-kt})}{[A]_0} = 1 - e^{-kt}$.

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अभिक्रिया के पूर्ण होने में लगा समय $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ द्वारा दिया जाता है।
$t_{0.5}$ (अर्ध-आयु) के लिए,$[A]_t = 0.5[A]_0$,अतः $t_{0.5} = \frac{2.303}{k} \log 2$ है।
$t_{0.75}$ के लिए,$[A]_t = 0.25[A]_0$,अतः $t_{0.75} = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{0.25[A]_0} = \frac{2.303}{k} \log 4 = \frac{2.303}{k} \log 2^2 = 2 \times \frac{2.303}{k} \log 2$ है।
अतः,$t_{0.75} = 2 \times t_{0.5}$ है।
इसलिए अनुपात $\frac{t_{0.75}}{t_{0.5}} = \frac{2}{1}$ या $2 : 1$ है।

(C) $1^{st}$ कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ का सूत्र $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ है।
चूंकि अर्ध-आयु प्रारंभिक सांद्रता $[A]$ से स्वतंत्र होती है,इसलिए सांद्रता बदलने पर अर्ध-आयु पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
अतः,अर्ध-आयु $5 \ minutes$ ही रहेगी।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $K$ का सूत्र है: $K = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
दिया गया है: $[A]_0 = 0.4 \, M$,$[A]_t = 0.1 \, M$,और $t = 20 \, \min$।
मान रखने पर: $K = \frac{2.303}{20} \log \frac{0.4}{0.1} = \frac{2.303}{20} \log 4$
चूंकि $\log 4 = 0.6020$ है:
$K = \frac{2.303 \times 0.6020}{20} \approx 0.0693 \, \min^{-1}$।

(C) अभिक्रिया $2H_2O_{2(aq)} \to 2H_2O_{(l)} + O_{2(g)}$ है।
दिया गया दर स्थिरांक $k = 3 \times 10^{-3} \ min^{-1}$ है।
$k$ को $s^{-1}$ में बदलने पर: $k = \frac{3 \times 10^{-3}}{60} \ s^{-1} = 5 \times 10^{-5} \ s^{-1}$।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए दर नियम $\text{Rate} = k[H_2O_2]$ है।
दिया गया $\text{Rate} = 2 \times 10^{-4} \ M \ s^{-1}$ है।
$[H_2O_2] = \frac{\text{Rate}}{k} = \frac{2 \times 10^{-4} \ M \ s^{-1}}{5 \times 10^{-5} \ s^{-1}} = 4 \ M$।

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष बचे अभिकारक की मात्रा इस सूत्र द्वारा दी जाती है: $\text{शेष अंश} = \frac{1}{2^n}$.
यहाँ,$n = 3$ अर्ध-आयु है।
अतः,$\text{शेष अंश} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0.125$.
प्रतिशत ज्ञात करने के लिए,$100$ से गुणा करें: $0.125 \times 100 = 12.5\%$.

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए समाकलित वेग समीकरण है: $\ln \frac{a}{a-x} = kt$
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{a-x}{a} = e^{-kt}$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $1 - \frac{x}{a} = e^{-kt}$
वियोजन की मात्रा,जिसे $\alpha$ द्वारा दर्शाया जाता है,प्रारंभिक सांद्रता का वह अंश है जो अभिक्रिया कर चुका है,अर्थात $\alpha = \frac{x}{a}$।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $1 - \alpha = e^{-kt}$
अतः,$\alpha = 1 - e^{-kt}$

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु काल $t_{1/2} = 120 \ min$ है।
दर स्थिरांक $K$ की गणना: $K = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{120} = 5.775 \times 10^{-3} \ min^{-1}$।
$90\%$ अपघटन के लिए,शेष सांद्रता प्रारंभिक सांद्रता का $10\%$ है $([A]_0 = 100, [A]_t = 10)$।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के समीकरण का उपयोग करते हुए: $t = \frac{2.303}{K} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$।
$t_{90\%} = \frac{2.303}{5.775 \times 10^{-3}} \log \frac{100}{10} = \frac{2.303}{5.775 \times 10^{-3}} \times 1 = 398.8 \ min$।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर नियम $r = k[A]$ है।
दिया गया है: $r = 2.0 \times 10^{-5} \ M \ sec^{-1}$ और $[A] = 0.01 \ M$.
मान रखने पर: $2.0 \times 10^{-5} = k \times 0.01$.
$k = \frac{2.0 \times 10^{-5}}{10^{-2}} = 2.0 \times 10^{-3} \ sec^{-1}$.
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए अर्ध-आयु काल $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ होता है।
$t_{1/2} = \frac{0.693}{2.0 \times 10^{-3}} = 0.3465 \times 10^3 = 346.5 \ sec$.

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु काल $t_{1/2} = \frac{0.693}{K}$ होता है।
दिया गया है $t_{1/2} = 6.93 \times 10^{-3} \, \text{min}$,इसलिए $6.93 \times 10^{-3} = \frac{0.693}{K}$.
अतः,$K = \frac{0.693}{6.93 \times 10^{-3}} = 10^2 \, \text{min}^{-1}$.
दिए गए समीकरण में $K$ का मान रखने पर: $\log_{10} (10^2) = 12 - \frac{6 \times 10^3}{T}$.
$2 \log_{10} 10 = 12 - \frac{6 \times 10^3}{T}$.
चूंकि $\log_{10} 10 = 1$,इसलिए $2 = 12 - \frac{6 \times 10^3}{T}$.
$\frac{6 \times 10^3}{T} = 12 - 2 = 10$.
$T = \frac{6 \times 10^3}{10} = 600 \, K$.

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समाकलित दर समीकरण $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ है।
$t_{1/4}$ पर,उपभोग की गई अभिकारक की मात्रा $\frac{1}{4}[A]_0$ है,इसलिए शेष सांद्रता $[A]_t = [A]_0 - \frac{1}{4}[A]_0 = \frac{3}{4}[A]_0$ होगी।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$t_{1/4} = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{\frac{3}{4}[A]_0} = \frac{2.303}{k} \log \frac{4}{3}$.

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $K = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ है।
$75\%$ पूर्णता के लिए,$[A]_t = 100 - 75 = 25$,अतः $t_{75\%} = \frac{2.303}{K} \log \frac{100}{25} = \frac{2.303}{K} \log 4 = 100 \ min$ ...... $(i)$
$87.5\%$ पूर्णता के लिए,$[A]_t = 100 - 87.5 = 12.5$,अतः $t_{87.5\%} = \frac{2.303}{K} \log \frac{100}{12.5} = \frac{2.303}{K} \log 8$ ...... $(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{t_{87.5\%}}{100} = \frac{\log 8}{\log 4} = \frac{\log 2^3}{\log 2^2} = \frac{3 \log 2}{2 \log 2} = 1.5$
$t_{87.5\%} = 1.5 \times 100 = 150 \ min$.

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{a}{a-x}$ है।
$10 \%$ पूर्णता के लिए,$x = 10$ और $t = 20 \, \text{min}$.
$k = \frac{2.303}{20} \log \frac{100}{90} \approx 0.00527 \, \text{min}^{-1}$.
अब,$19 \%$ पूर्णता के लिए,$x = 19$ और $a = 100$.
$t = \frac{2.303}{0.00527} \log \frac{100}{81} \approx 40 \, \text{min}$.

(A) अभिक्रिया $A_{(g)} \to 2B_{(g)} + C_{(g)}$ के लिए:
$t=0$ पर,$A, B, C$ का दाब क्रमशः $P_0, 0, 0$ है।
समय $t$ पर,मान लीजिए कि $A$ का दाब $x$ कम हो जाता है। अतः $P_A = P_0 - x$,$P_B = 2x$,और $P_C = x$ है।
कुल दाब $P_t = (P_0 - x) + 2x + x = P_0 + 2x$ है।
इससे,$2x = P_t - P_0$,अतः $x = \frac{P_t - P_0}{2}$ है।
समय $t$ पर $A$ का दाब $P_A = P_0 - x = P_0 - \frac{P_t - P_0}{2} = \frac{2P_0 - P_t + P_0}{2} = \frac{3P_0 - P_t}{2}$ है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$K = \frac{1}{t} \ln \left( \frac{P_0}{P_A} \right) = \frac{1}{t} \ln \left( \frac{P_0}{(3P_0 - P_t)/2} \right) = \frac{1}{t} \ln \left( \frac{2P_0}{3P_0 - P_t} \right)$।