First Order reaction Questions in Hindi

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए दर स्थिरांक $k$ का सूत्र है: $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{a}{a - x}$
यहाँ $k = 10^{-3} \ s^{-1}$ और $x = \frac{2}{3}a$ दिया गया है,इसलिए शेष सांद्रता $a - x = a - \frac{2}{3}a = \frac{1}{3}a$ होगी।
समीकरण में मान रखने पर: $10^{-3} = \frac{2.303}{t} \log \frac{a}{a/3}$
$10^{-3} = \frac{2.303}{t} \log 3$
$\log 3 \approx 0.4771$ का उपयोग करने पर:
$10^{-3} = \frac{2.303 \times 0.4771}{t}$
$t = \frac{2.303 \times 0.4771}{10^{-3}} \approx 1099.16 \ s \approx 1100 \ s$.

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $k$ का सूत्र: $k = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{a}{a-x} \right)$ है।
$75\%$ पूर्णता के लिए,$x = 0.75a$ और $t = 32 \text{ मिनट}$:
$k = \frac{2.303}{32} \log \left( \frac{a}{a-0.75a} \right) = \frac{2.303}{32} \log(4) = \frac{2.303}{32} \times 2 \log(2) \dots (i)$.
$50\%$ पूर्णता (अर्ध-आयु) के लिए,$x = 0.5a$:
$k = \frac{2.303}{t_{1/2}} \log \left( \frac{a}{a-0.5a} \right) = \frac{2.303}{t_{1/2}} \log(2) \dots (ii)$.
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{2.303}{32} \times 2 \log(2) = \frac{2.303}{t_{1/2}} \log(2)$.
$t_{1/2} = \frac{32}{2} = 16 \text{ मिनट}$.

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर नियम $Rate = k[N_2O_5]^1$ है।
चूंकि अभिक्रिया प्रथम कोटि की बलगतिकी का पालन करती है,इसलिए अर्ध-आयु काल $(T_{1/2})$ अभिकारक की प्रारंभिक सांद्रता $(a)$ से स्वतंत्र होता है।
अर्ध-आयु के लिए व्यंजक $T_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ है,जो दर्शाता है कि $T_{1/2} \propto a^0$।
अतः,सही कथन $T_{1/2} \propto a^0$ है।

(C) $n^{th}$ कोटि की अभिक्रिया के लिए अर्ध-आयु काल $(t_{1/2})$ और प्रारंभिक सांद्रता $(C)$ के बीच का संबंध $t_{1/2} \propto \frac{1}{C^{n-1}}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$n = 1$ होता है।
सूत्र में $n = 1$ रखने पर: $t_{1/2} \propto \frac{1}{C^{1-1}} = \frac{1}{C^0}$।
अतः,$t_{1/2} \propto C^0$।

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ है।
प्रथम स्थिति में: $k = \frac{2.303}{1} \log \frac{0.8}{0.8 - 0.6} = 2.303 \log 4$.
द्वितीय स्थिति में: $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{0.9}{0.9 - 0.675} = \frac{2.303}{k} \log 4$.
अतः,$t = 1 \ hr$.

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ अभिकारक की प्रारंभिक सांद्रता पर निर्भर नहीं करती है।
दिया गया है कि $DDT$ के जल-अपघटन की अर्ध-आयु $10 \ years$ है।
परिभाषा के अनुसार,अर्ध-आयु वह समय है जो किसी अभिकारक की सांद्रता को उसके प्रारंभिक मान से आधा होने में लगता है।
इसलिए,$10 \ g$ $DDT$ को आधा $(5 \ g)$ होने में लगा समय उसकी अर्ध-आयु के बराबर होगा,जो कि $10 \ years$ है।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु काल $(T_{1/2})$ वह समय है जो सांद्रता को उसके प्रारंभिक मान का आधा होने के लिए आवश्यक होता है।
यह दिया गया है कि सांद्रता $15 \ min$ में $0.8 \ M$ से $0.4 \ M$ हो जाती है,जो एक अर्ध-आयु को दर्शाता है,इसलिए $T_{1/2} = 15 \ min$ है।
सांद्रता को $0.1 \ M$ से $0.025 \ M$ तक बदलने में लगे समय को ज्ञात करने के लिए,हम अर्ध-आयु की संख्या देखते हैं:
$0.1 \ M$ $\xrightarrow{T_{1/2}} 0.05 \ M$ $\xrightarrow{T_{1/2}} 0.025 \ M$।
इस प्रक्रिया में $2$ अर्ध-आयु शामिल हैं।
अतः,कुल लगा समय $= 2 \times T_{1/2} = 2 \times 15 \ min = 30 \ min$।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $K = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ होता है।
दिया गया है कि $1 \ hr$ में सांद्रता $25\%$ हो जाती है,इसलिए $[A]_0 = 100$ और $[A]_t = 25$ है।
$K = \frac{2.303}{1} \log \frac{100}{25} = 2.303 \log 4 = 2.303 \times 2 \log 2$.
अर्ध-आयु काल $t_{1/2} = \frac{0.693}{K} = \frac{2.303 \log 2}{K}$ होता है।
$K$ का मान रखने पर:
$t_{1/2} = \frac{2.303 \log 2}{2.303 \times 2 \log 2} = \frac{1}{2} \ hr = 0.5 \ hr$.

(B) अभिक्रिया $X_{(g)} \to Y_{(g)} + Z_{(g)}$ एक प्रथम कोटि की अभिक्रिया है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $K = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ होता है।
दिया गया है $t_{1/2} = 10 \ min$,इसलिए $K = \frac{0.693}{10} \ min^{-1}$.
समाकलित दर समीकरण $t = \frac{2.303}{K} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ है।
यहाँ,$[A]_t = 10 \% \text{ of } [A]_0$,इसलिए $\frac{[A]_0}{[A]_t} = 10$.
मान रखने पर: $t = \frac{2.303 \times 10}{0.693} \log(10)$.
चूंकि $\log(10) = 1$,इसलिए $t = \frac{2.303 \times 10}{0.693} \approx 33.23 \ min$.
निकटतम पूर्णांक में,$t = 33 \ min$.

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समय $t$ का सूत्र है: $t = \frac{2.303}{K} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
दिया गया है:
प्रारंभिक सांद्रता $[A]_0 = 0.5 \; mol/L$
अंतिम सांद्रता $[A]_t = 0.05 \; mol/L$
वेग स्थिरांक $K = 6 \; sec^{-1}$
मान रखने पर:
$t = \frac{2.303}{6} \log \frac{0.5}{0.05}$
$t = \frac{2.303}{6} \log 10$
चूंकि $\log 10 = 1$,
$t = \frac{2.303}{6} = 0.3838 \; sec \approx 0.384 \; sec$.

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर का व्यंजक है: $\text{Rate} = k[A]$.
दिया गया है: $\text{Rate} = 1.5 \times 10^{-2} \ mol \ L^{-1} \ \min^{-1}$ और $[A] = 0.5 \ M$.
वेग स्थिरांक $k$ ज्ञात करने के लिए:
$1.5 \times 10^{-2} = k \times 0.5$
$k = \frac{1.5 \times 10^{-2}}{0.5} = 3 \times 10^{-2} \ \min^{-1}$.
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए अर्ध-आयु काल $(t_{1/2})$:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{k} = \frac{0.693}{3 \times 10^{-2}} = 23.1 \ \min$.

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $K$ का सूत्र है:
$K = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
दिया गया है:
प्रारंभिक सांद्रता $[A]_0 = \frac{1}{10} \; M = 0.1 \; M$
अंतिम सांद्रता $[A]_t = \frac{1}{100} \; M = 0.01 \; M$
समय $t = 8 \; \text{मिनट} + 20 \; \text{सेकंड} = (8 \times 60) + 20 = 500 \; \sec$
मान रखने पर:
$K = \frac{2.303}{500} \log \frac{0.1}{0.01}$
$K = \frac{2.303}{500} \log 10$
चूंकि $\log 10 = 1$:
$K = \frac{2.303}{500} = 0.004606 \; \sec^{-1}$
$K = 4.606 \times 10^{-3} \; \sec^{-1}$

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर समीकरण $K = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ है।
यह दिया गया है कि सांद्रता अपने प्रारंभिक मान के $3/4$ तक कम हो जाती है,इसलिए $[A]_t = \frac{3}{4} [A]_0$.
अतः,$t_{1/4} = \frac{2.303}{K} \log \frac{[A]_0}{\frac{3}{4} [A]_0} = \frac{2.303}{K} \log \frac{4}{3}$.
$t_{1/4} = \frac{2.303}{K} (\log 4 - \log 3) = \frac{2.303}{K} (0.602 - 0.477) = \frac{2.303}{K} \times 0.125$.
$t_{1/4} \approx \frac{0.2878}{K} \approx \frac{0.29}{K}$.

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर नियम $Rate = K[A]$ है।
दिया गया है: $Rate = 2.0 \times 10^{-5} \ mol \ L^{-1} \ s^{-1}$ और $[A] = 0.01 \ M = 10^{-2} \ M$.
मान रखने पर: $2.0 \times 10^{-5} = K \times 10^{-2}$.
दर स्थिरांक $K$ के लिए हल करने पर: $K = \frac{2.0 \times 10^{-5}}{10^{-2}} = 2.0 \times 10^{-3} \ s^{-1}$.
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए अर्ध-आयु काल $t_{1/2} = \frac{0.693}{K}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$t_{1/2} = \frac{0.693}{2.0 \times 10^{-3}} = \frac{693}{2} = 346.5 \ s \approx 347 \ s$.

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु का सूत्र है: $t_{1/2} = \frac{0.693}{K}$।
दिया गया है $K = 1.7 \times 10^{-5} \ s^{-1}$।
$t_{1/2} = \frac{0.693}{1.7 \times 10^{-5}} \ s = 40764.7 \ s$।
समय को सेकंड से घंटे में बदलने के लिए,$3600$ से विभाजित करें $(1 \ hr = 3600 \ s)$:
$t_{1/2} = \frac{40764.7}{3600} \ hr \approx 11.32 \ hr$।

(D) दर स्थिरांक $k$ की इकाई $s^{-1}$ है,जो इंगित करती है कि यह प्रथम कोटि की अभिक्रिया है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समाकलित दर समीकरण $kt = \ln \frac{[{N_2}{O_5}]_0}{[{N_2}{O_5}]_t}$ है।
अतः,सही समीकरण $\ln \frac{[{N_2}{O_5}]_0}{[{N_2}{O_5}]_t} = kt$ है।

(A) दिया गया समीकरण $Rt = \log C_0 - \log C_t$ है।
इस समीकरण को $y = mx + c$ के रूप में व्यवस्थित करने पर,हमें $\log C_t = -Rt + \log C_0$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$y = \log C_t$,$x = t$,$m = -R$ (ढाल),और $c = \log C_0$ (अंतःखंड) है।
अतः,$\log C_t$ बनाम $time$ का ग्राफ खींचने पर एक सीधी रेखा प्राप्त होती है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(B) $n$ कोटि की अभिक्रिया के लिए अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ और प्रारंभिक सांद्रता '$a$' के बीच संबंध $t_{1/2} \propto a^{1-n}$ होता है।
यदि $t_{1/2}$ और '$a$' के बीच का ग्राफ $x-$अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है,तो $t_{1/2}$ को प्रारंभिक सांद्रता '$a$' से स्वतंत्र होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि '$a$' का घातांक शून्य होना चाहिए,अर्थात $1-n = 0$,जिससे $n = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,यह प्रथम कोटि की अभिक्रिया है।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,सांद्रता $[A]_t = [A]_0 \times (1/2)^n$ के अनुसार घटती है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु काल की संख्या है।
दिया गया है $[A]_0 = 0.1 \, M$ और $[A]_t = 0.025 \, M$,अतः $0.025 = 0.1 \times (1/2)^n$,जिसका अर्थ है $(1/2)^n = 0.25 = (1/2)^2$.
इस प्रकार,$n = 2$ अर्ध-आयु।
चूंकि $2 \times T_{1/2} = 40 \, min$,इसलिए अर्ध-आयु $T_{1/2} = 20 \, min$ है।
वेग स्थिरांक $k = \frac{0.693}{T_{1/2}} = \frac{0.693}{20} \, min^{-1} = 0.03465 \, min^{-1}$ है।
अभिक्रिया की दर $Rate = k \times [X]$ द्वारा दी जाती है।
जब $[X] = 0.01 \, M$ हो,तब $Rate = 0.03465 \times 0.01 = 3.465 \times 10^{-4} \, M \, min^{-1} \approx 3.47 \times 10^{-4} \, M \, min^{-1}$।

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k$ इस प्रकार है:
$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
$k = \frac{2.303}{40} \log \frac{0.1}{0.005} = \frac{2.303}{40} \log 20$
$k = \frac{2.303 \times 1.3010}{40} \approx 0.0749 \, min^{-1}$
अब,अभिक्रिया की दर:
$Rate = k[X] = 0.0749 \times 0.01$
$Rate = 7.49 \times 10^{-4} \, M \, min^{-1} \approx 7.50 \times 10^{-4} \, M \, min^{-1}$

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर नियम है: $Rate = k[A]$.
दिया गया है:
दर स्थिरांक $(k) = 4 \times 10^{-3} \, s^{-1}$
अभिकारक की सांद्रता $([A]) = 0.02 \, M = 2 \times 10^{-2} \, M$
दर समीकरण में मान रखने पर:
$Rate = (4 \times 10^{-3} \, s^{-1}) \times (2 \times 10^{-2} \, M)$
$Rate = 8 \times 10^{-5} \, M \, s^{-1}$

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $K$ का सूत्र है:
$K = \frac{2.303}{t} \log \frac{[R]_0}{[R]_t}$
दिया गया है: $[R]_0 = 800 \ mol/dm^3$,$[R]_t = 50 \ mol/dm^3$,$t = 2 \times 10^4 \ s$.
मान रखने पर:
$K = \frac{2.303}{2 \times 10^4} \log \frac{800}{50}$
$K = \frac{2.303}{2 \times 10^4} \log(16)$
चूंकि $\log(16) = 1.2041$:
$K = \frac{2.303 \times 1.2041}{2 \times 10^4} \approx 1.386 \times 10^{-4} \ s^{-1}$

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$n$ अर्ध-आयु काल के बाद शेष मात्रा इस सूत्र द्वारा दी जाती है: $\text{शेष भाग} = (1/2)^n$।
यहाँ,कुल समय $40 \ \text{minutes}$ है और अर्ध-आयु काल $(t_{1/2})$ $20 \ \text{minutes}$ है।
अर्ध-आयु काल की संख्या $(n)$ = $\frac{\text{कुल समय}}{t_{1/2}} = \frac{40}{20} = 2$।
अतः,शेष भाग = $(1/2)^2 = 1/4$।

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $k = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{a}{a-x} \right)$ होता है।
प्रथम स्थिति के लिए: $x_1 = 20 \%$,$t_1 = 32 \ \text{min}$,$a = 100$.
$k = \frac{2.303}{32} \log \left( \frac{100}{80} \right) = \frac{2.303}{32} \log(1.25)$.
द्वितीय स्थिति के लिए: $x_2 = 60 \%$,$t_2 = ?$,$a = 100$.
$k = \frac{2.303}{t_2} \log \left( \frac{100}{40} \right) = \frac{2.303}{t_2} \log(2.5)$.
$k$ के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{2.303}{32} \log(1.25) = \frac{2.303}{t_2} \log(2.5)$.
$t_2 = 32 \times \frac{\log(2.5)}{\log(1.25)} \approx 131.4 \ \text{min}$.

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समाकलित वेग समीकरण है: $\ln(P_t) = \ln(P_0) - kt$.
इसे $10$ के आधार वाले लघुगणक में बदलने पर: $\log(P_t) = \log(P_0) - \frac{kt}{2.303}$.
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = \log(P_t)$,$x = t$,$m = -\frac{k}{2.303}$ (ढाल),और $c = \log(P_0)$ (अंतःखंड) है।
अतः,$\log(P_{N_2O_5})$ बनाम समय $t$ का आलेख ऋणात्मक ढाल के साथ एक सीधी रेखा देता है।

(A) दिया गया समीकरण $Kt = \ln C_0 - \ln C_t$ है।
इस समीकरण को $y = mx + c$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$\ln C_t = -Kt + \ln C_0$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$y = \ln C_t$,$x = t$,$m = -K$ (ढाल),और $c = \ln C_0$ (अंतःखंड) है।
चूंकि यह एक रैखिक समीकरण है,इसलिए $t$ और $\ln C_t$ के बीच का ग्राफ $-K$ की ऋणात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा है।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k$ अभिकारकों की प्रारंभिक सांद्रता से स्वतंत्र होता है।
यह केवल अभिक्रिया के तापमान पर निर्भर करता है।
इसलिए,सांद्रता इकाई को $n$ के गुणांक से बदलने पर दर स्थिरांक $k$ के मान पर कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा।

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समाकलित दर समीकरण $K = \frac{2.303}{t} \log \frac{[R]_0}{[R]_t}$ है।
दिया गया है कि सांद्रता उसके प्रारंभिक मान की $3/4$ हो जाती है,अतः $[R]_t = \frac{3}{4} [R]_0$.
मान रखने पर: $t_{1/4} = \frac{2.303}{K} \log \frac{[R]_0}{\frac{3}{4} [R]_0} = \frac{2.303}{K} \log \frac{4}{3}$.
$t_{1/4} = \frac{2.303}{K} (\log 4 - \log 3) = \frac{2.303}{K} (0.6020 - 0.4771) = \frac{2.303}{K} \times 0.1249 \approx \frac{0.2877}{K} \approx \frac{0.29}{K}$.

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु काल का सूत्र है: $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$।
दिया गया है $k = 1.155 \times 10^{-3} \ s^{-1}$।
मान रखने पर: $t_{1/2} = \frac{0.693}{1.155 \times 10^{-3}} \ s$।
$t_{1/2} = \frac{693}{1.155} \ s = 600 \ s$।
अतः,$600 \ s$ के बाद अभिकारक की सांद्रता आधी हो जाएगी।

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग नियम है: $\text{Rate} = k[A]$.
दिया गया है: $k = 3 \times 10^{-6} \, s^{-1}$ और $[A] = 0.10 \, M$.
प्रारंभिक वेग $= (3 \times 10^{-6} \, s^{-1}) \times (0.10 \, M) = 3 \times 10^{-7} \, M s^{-1}$.

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ और दर स्थिरांक $(k)$ के बीच संबंध है: $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $t_{1/2} = \frac{0.693}{10^{-2} \ s^{-1}} = 69.3 \ s$।
चूंकि गणना की गई अर्ध-आयु दिए गए मान से मेल खाती है,इसलिए अभिक्रिया प्रथम कोटि की है। अतः,अभिक्रिया की कोटि $1$ है।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k$ का सूत्र है:
$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{a}{a-x}$
यहाँ $t = 40 \ min$,$a = 100$,और $x = 90$ दिया गया है:
$k = \frac{2.303}{40} \log \frac{100}{100-90} = \frac{2.303}{40} \log 10 = \frac{2.303}{40} \approx 0.05757 \ min^{-1}$
अर्ध-आयु $t_{1/2}$ इस प्रकार है:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{k} = \frac{0.693}{0.05757} \approx 12.03 \ min$
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $12.30 \ min$ है।

(A) चरण $1$: $1$ घंटे ($60$ मिनट) के बाद सांद्रता की गणना।
प्रथम कोटि अभिक्रिया के लिए: $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$.
$\log \frac{[A]_0}{[A]_t} = \frac{kt}{2.303} = \frac{4.5 \times 10^{-3} \ min^{-1} \times 60 \ min}{2.303} = 0.11726$.
$\frac{[A]_0}{[A]_t} = \text{antilog}(0.11726) = 1.310$.
$[A]_t = \frac{1 \ M}{1.310} = 0.7633 \ M$.
चरण $2$: $60$ मिनट के बाद दर की गणना।
दर $= k[A]_t = 4.5 \times 10^{-3} \ min^{-1} \times 0.7633 \ M = 3.435 \times 10^{-3} \ M \ min^{-1}$.

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु $t_{1/2}$ और दर स्थिरांक $k$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$
यहाँ $t_{1/2} = 6 \ min$ दिया गया है।
$k$ का मान ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$k = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{6} = 0.1155 \ min^{-1}$

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $k$ इस प्रकार है:
$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t} = \frac{2.303}{40} \log \frac{0.1}{0.025} = \frac{2.303}{40} \log 4$
$k = \frac{2.303 \times 0.6021}{40} \approx 0.0347 \, \text{min}^{-1}$
अब,अभिक्रिया का वेग:
$\text{Rate} = k[A] = 0.0347 \times 0.01 = 3.47 \times 10^{-4} \, M \, \text{min}^{-1}$

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना $n = \frac{t}{t_{1/2}}$ के रूप में की जाती है।
यहाँ $t = 96 \ \text{घंटे}$ और $t_{1/2} = 24 \ \text{घंटे}$ दिया गया है,इसलिए $n = \frac{96}{24} = 4$ है।
$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष मात्रा $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ सूत्र द्वारा प्राप्त की जाती है।
मान रखने पर,$N = 10 \ g \times (\frac{1}{2})^4 = 10 \times \frac{1}{16} = 0.625 \ g$ प्राप्त होता है।
अतः,$96 \ \text{घंटे}$ बाद $0.625 \ g$ $N_2O_5$ शेष रहेगा।

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $K$ अभिकारक की प्रारंभिक सांद्रता से स्वतंत्र होता है।
यह केवल अभिक्रिया के तापमान पर निर्भर करता है।
इसलिए,यदि अभिकारक की सांद्रता बदलती है,तो भी वेग स्थिरांक $K$ का मान स्थिर रहता है।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समय $t$ का सूत्र $t = \frac{2.303}{K} \log \frac{a}{a-x}$ है।
$99.9\%$ पूर्णता के लिए,$x = 0.999a$,अतः $a-x = 0.001a$। इस प्रकार,$t_{99.9\%} = \frac{2.303}{K} \log \frac{a}{0.001a} = \frac{2.303}{K} \log 10^3 = \frac{2.303 \times 3}{K}$।
$50\%$ पूर्णता (अर्ध-आयु) के लिए,$x = 0.5a$,अतः $a-x = 0.5a$। इस प्रकार,$t_{50\%} = \frac{2.303}{K} \log \frac{a}{0.5a} = \frac{2.303}{K} \log 2 \approx \frac{2.303 \times 0.3010}{K}$।
अनुपात $\frac{t_{99.9\%}}{t_{50\%}} = \frac{3}{0.3010} \approx 10$ है।

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर समीकरण है: $K = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{[A]_0}{[A]_t} \right)$.
यदि अभिक्रिया $3/4$ पूर्ण हो जाती है,तो अभिक्रिया की मात्रा $\frac{3}{4}[A]_0$ है।
शेष मात्रा $[A]_t = [A]_0 - \frac{3}{4}[A]_0 = \frac{1}{4}[A]_0$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $K = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{[A]_0}{\frac{1}{4}[A]_0} \right)$.
$K = \frac{2.303}{t} \log(4)$.
समय $t$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $t = \left( \frac{2.303}{K} \right) \log(4)$.

(C) $n$ कोटि की अभिक्रिया के लिए वेग स्थिरांक $k$ की इकाई $(mol \ L^{-1})^{1-n} \ s^{-1}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$n = 1$ है।
सूत्र में $n = 1$ रखने पर: $(mol \ L^{-1})^{1-1} \ s^{-1} = (mol \ L^{-1})^0 \ s^{-1} = 1 \times s^{-1} = s^{-1}$।
अतः,प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए वेग स्थिरांक की इकाई $s^{-1}$ है।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k = \frac{2.303}{t} \log(\frac{[A]_0}{[A]_t})$ द्वारा दिया जाता है।
$t_1 = 30 \, min$ पर,$[A]_0 = 10 \, gL^{-1}$ और $[A]_t = 5 \, gL^{-1}$ है।
$k = \frac{2.303}{30} \log(\frac{10}{5}) = \frac{2.303}{30} \log(2)$.
$t_2 = 90 \, min$ पर,$[A]_0 = 10 \, gL^{-1}$ और $[A]_t = 1.25 \, gL^{-1}$ है।
$k = \frac{2.303}{90} \log(\frac{10}{1.25}) = \frac{2.303}{90} \log(8) = \frac{2.303}{90} \log(2^3) = \frac{2.303 \times 3}{90} \log(2) = \frac{2.303}{30} \log(2)$.
चूंकि दोनों स्थितियों में दर स्थिरांक $k$ समान है,इसलिए अभिक्रिया प्रथम कोटि की है।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $K = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ होता है।
यहाँ $t_{1/2} = 120 \text{ मिनट}$,इसलिए $K = \frac{0.693}{120} \text{ मिनट}^{-1}$।
$90\%$ अपघटन के लिए,शेष मात्रा $100 - 90 = 10\%$ है।
समय $t$ के लिए सूत्र: $t = \frac{2.303}{K} \log \left( \frac{a}{a-x} \right)$।
मान रखने पर: $t = \frac{2.303}{(0.693/120)} \log \left( \frac{100}{10} \right)$।
चूंकि $\log(10) = 1$,इसलिए $t = \frac{2.303 \times 120}{0.693} \approx 398.8 \text{ मिनट}$।

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $K$ का सूत्र है: $K = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
यहाँ $t = 366 \text{ मिनट}$ और $[A]_t = 10\% \text{ of } [A]_0$,इसलिए $\frac{[A]_0}{[A]_t} = \frac{100}{10} = 10$.
$K = \frac{2.303}{366} \log 10 = \frac{2.303}{366}$.
अर्ध-आयु $t_{1/2} = \frac{0.693}{K} = \frac{\ln 2}{K}$.
$K$ का मान रखने पर: $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{(2.303 / 366)} = \frac{366 \times \ln 2}{2.303}$.
चूँकि $2.303 = \ln 10$,इसलिए $t_{1/2} = 366 \left( \frac{\ln 2}{\ln 10} \right)$.

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{45 \text{ min}} = 0.0154 \text{ min}^{-1}$ है।
$99.9\%$ पूर्णता के लिए समय $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[R]_0}{[R]_t}$ सूत्र का उपयोग करके निकाला जाता है।
यहाँ $[R]_0 = 100$ और $[R]_t = 100 - 99.9 = 0.1$ लेने पर,$\frac{[R]_0}{[R]_t} = 1000$ प्राप्त होता है।
$t = \frac{2.303}{0.0154} \times \log(1000) = \frac{2.303}{0.0154} \times 3 \approx 448.6 \text{ मिनट}$।
घंटों में बदलने पर: $t = \frac{448.6}{60} \approx 7.48 \text{ घंटे}$।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर नियम $Rate = k[N_2O_5]^1$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि अभिक्रिया प्रथम कोटि की है,इसलिए अर्ध-आयु काल $(t_{1/2})$ अभिकारक की प्रारंभिक सांद्रता $(a)$ से स्वतंत्र होता है।
अर्ध-आयु के लिए सूत्र $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ है।
अतः,$t_{1/2} \propto a^0$,जिसका अर्थ है कि प्रारंभिक सांद्रता $a$ चाहे जो भी हो,$t_{1/2}$ स्थिर रहता है।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $K = \frac{2.303}{t} \log \frac{a}{a-x}$ होता है।
$t_{1/8}$ के लिए,विघटित मात्रा $x = a/8$ है,इसलिए $a-x = 7a/8$। अतः,$K = \frac{2.303}{t_{1/8}} \log(8/7)$।
$t_{1/10}$ के लिए,विघटित मात्रा $x = a/10$ है,इसलिए $a-x = 9a/10$। अतः,$K = \frac{2.303}{t_{1/10}} \log(10/9)$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{t_{1/8}}{t_{1/10}} = \frac{\log(8/7)}{\log(10/9)} \approx 1.2$।
अतः,$\frac{t_{1/8}}{t_{1/10}} \times 10 \approx 12$।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,प्रत्येक अर्ध-आयु काल $(t_{1/2} = 10 \text{ मिनट})$ में सांद्रता आधी हो जाती है।
चरण $1$: $0.08 \ M \xrightarrow{t_{1/2}} 0.04 \ M$ (लिया गया समय = $10 \text{ मिनट}$)।
चरण $2$: $0.04 \ M \xrightarrow{t_{1/2}} 0.02 \ M$ (लिया गया समय = $10 \text{ मिनट}$)।
कुल लिया गया समय = $10 + 10 = 20 \text{ मिनट}$।

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु काल का सूत्र है: $t_{1/2} = \frac{0.693}{K}$
दिए गए $K = 5.5 \times 10^{-14} \ s^{-1}$ का मान रखने पर:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{5.5 \times 10^{-14}} \ s$
$t_{1/2} = 0.126 \times 10^{14} \ s$
$t_{1/2} = 1.26 \times 10^{13} \ s$