First Order reaction Questions in Hindi

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ का सूत्र है:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$
दिया गया है $k = 5.5 \times 10^{-14} \ s^{-1}$.
$k$ का मान रखने पर:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{5.5 \times 10^{-14} \ s^{-1}}$
$t_{1/2} = 0.126 \times 10^{14} \ s = 1.26 \times 10^{13} \ s$.

प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $k$ का सूत्र $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[R]_0}{[R]}$ है।
जब अभिक्रिया $99.9 \%$ पूर्ण हो जाती है,तो शेष सांद्रता $[R] = [R]_0 - 0.999[R]_0 = 0.001[R]_0 = 10^{-3}[R]_0$ होती है।
इस मान को वेग समीकरण में रखने पर:
$k = \frac{2.303}{t_{99.9}} \log \frac{[R]_0}{10^{-3}[R]_0} = \frac{2.303}{t_{99.9}} \log 10^3 = \frac{2.303 \times 3}{t_{99.9}} = \frac{6.909}{t_{99.9}}$.
अतः,$t_{99.9} = \frac{6.909}{k}$.
प्रथम कोटि की अभिक्रिया की अर्ध-आयु के लिए,$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ होता है।
अनुपात लेने पर:
$\frac{t_{99.9}}{t_{1/2}} = \frac{6.909 / k}{0.693 / k} \approx 10$.
इसलिए,$t_{99.9} = 10 \times t_{1/2}$.

(N/A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समाकलित वेग समीकरण इस प्रकार है:
$t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[R]_0}{[R]}$
दिया गया है:
प्रारंभिक मात्रा $[R]_0 = 5 \, g$
अंतिम मात्रा $[R] = 3 \, g$
वेग स्थिरांक $k = 1.15 \times 10^{-3} \, s^{-1}$
मान रखने पर:
$t = \frac{2.303}{1.15 \times 10^{-3}} \log \frac{5}{3}$
$t = \frac{2.303}{1.15 \times 10^{-3}} \times (\log 5 - \log 3)$
$t = \frac{2.303}{1.15 \times 10^{-3}} \times (0.6989 - 0.4771)$
$t = \frac{2.303}{1.15 \times 10^{-3}} \times 0.2218$
$t \approx 444.38 \, s$
अतः,लगा समय लगभग $444 \, s$ है।

(N/A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु काल का सूत्र है:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$
यहाँ $t_{1/2} = 60 \ min$ दिया गया है,इसलिए वेग स्थिरांक $k$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को इस प्रकार व्यवस्थित किया जा सकता है:
$k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$
मान रखने पर:
$k = \frac{0.693}{60} \ min^{-1}$
$k = 0.01155 \ min^{-1}$
वैज्ञानिक संकेतन में:
$k = 1.155 \times 10^{-2} \ min^{-1}$

$(i) \ \text{अर्ध-आयु}, t_{1/2} = \frac{0.693}{k} = \frac{0.693}{200 \ s^{-1}} = 3.465 \times 10^{-3} \ s \approx 3.47 \times 10^{-3} \ s$
$(ii) \ \text{अर्ध-आयु}, t_{1/2} = \frac{0.693}{k} = \frac{0.693}{2 \ min^{-1}} = 0.3465 \ min \approx 0.35 \ min$
$(iii) \ \text{अर्ध-आयु}, t_{1/2} = \frac{0.693}{k} = \frac{0.693}{4 \ years^{-1}} = 0.17325 \ years \approx 0.173 \ years$

(N/A) रेडियोधर्मी क्षय प्रथम कोटि की बलगतिकी का पालन करता है।
दिया गया है: $t_{1/2} = 5730 \text{ वर्ष}$,$[R]_0 = 100$,$[R] = 80$.
सबसे पहले,क्षय स्थिरांक $k$ की गणना करें:
$k = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{5730} \text{ वर्ष}^{-1}$.
प्रथम कोटि के समाकलित वेग समीकरण का उपयोग करते हुए:
$t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[R]_0}{[R]}$
$t = \frac{2.303}{0.693 / 5730} \times \log \left( \frac{100}{80} \right)$
$t = \frac{2.303 \times 5730}{0.693} \times \log(1.25)$
$t \approx 19039.5 \times 0.0969 \approx 1845 \text{ वर्ष}$.
अतः,नमूने की आयु लगभग $1845 \text{ वर्ष}$ है।

(N/A) $(i)$ $[N_2O_5]$ बनाम $t$ का ग्राफ प्रथम कोटि की अभिक्रिया को दर्शाता है।
$(ii)$ प्रारंभिक सांद्रता $[N_2O_5]_0 = 1.63 \times 10^{-2} \, mol \, L^{-1}$ है। अर्ध-आयु काल तब होता है जब सांद्रता आधी हो जाती है,यानी $0.815 \times 10^{-2} \, mol \, L^{-1}$। ग्राफ से,$t_{1/2} \approx 1450 \, s$ प्राप्त होता है।
$(iii)$ $\log[N_2O_5]$ बनाम $t$ का ग्राफ एक सीधी रेखा देता है।
$(iv)$ चूँकि $\log[N_2O_5]$ बनाम $t$ का ग्राफ एक सीधी रेखा है,इसलिए अभिक्रिया प्रथम कोटि की है। दर नियम है: $\text{Rate} = k[N_2O_5]$।
$(v)$ $\log[N_2O_5]$ बनाम $t$ ग्राफ की ढाल (slope) $= \frac{-k}{2.303}$।
बिंदुओं $(0, -1.79)$ और $(3200, -2.46)$ का उपयोग करते हुए:
$\text{ढाल} = \frac{-2.46 - (-1.79)}{3200 - 0} = \frac{-0.67}{3200} = -2.09 \times 10^{-4} \, s^{-1}$।
$k = -\text{ढाल} \times 2.303 = 2.09 \times 10^{-4} \times 2.303 \approx 4.82 \times 10^{-4} \, s^{-1}$।
$(vi)$ $t_{1/2} = \frac{0.693}{k} = \frac{0.693}{4.82 \times 10^{-4}} \approx 1438 \, s$। यह मान $(ii)$ में प्राप्त मान के साथ निकटता से मेल खाता है।

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समय $t$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[R]_0}{[R]}$
यहाँ $k = 60 \ s^{-1}$ और $[R] = \frac{[R]_0}{16}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{[R]_0}{[R]} = 16$ है।
मान रखने पर:
$t = \frac{2.303}{60} \log(16)$
$t = \frac{2.303}{60} \times 1.204$
$t \approx 0.0462 \ s = 4.62 \times 10^{-2} \ s$.
अतः,आवश्यक समय $4.62 \times 10^{-2} \ s$ है।

प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समाकलित वेग समीकरण $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ है।
$99 \%$ पूर्णता के लिए,$[A]_t = [A]_0 - 0.99[A]_0 = 0.01[A]_0$। अतः,$t_{99\%} = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{0.01[A]_0} = \frac{2.303}{k} \log 100 = \frac{2.303}{k} \times 2$।
$90 \%$ पूर्णता के लिए,$[A]_t = [A]_0 - 0.90[A]_0 = 0.10[A]_0$। अतः,$t_{90\%} = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{0.10[A]_0} = \frac{2.303}{k} \log 10 = \frac{2.303}{k} \times 1$।
दोनों की तुलना करने पर,$t_{99\%} = 2 \times t_{90\%}$।
अतः,$99 \%$ पूर्ण होने में लगा समय $90 \%$ पूर्ण होने में लगे समय का दोगुना होता है।

(N/A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $k$ इस प्रकार है:
$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[R]_0}{[R]}$
यहाँ $t = 40 \ min$ और $[R] = [R]_0 - 0.30[R]_0 = 0.70[R]_0$ दिया गया है,
$k = \frac{2.303}{40} \log \frac{100}{70} = \frac{2.303}{40} \log(1.4286)$
$k = \frac{2.303}{40} \times 0.1549 = 8.918 \times 10^{-3} \ min^{-1}$
अब,अर्ध-आयु $t_{1/2}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{k} = \frac{0.693}{8.918 \times 10^{-3}} \ min$
$t_{1/2} \approx 77.7 \ min$

(N/A) अपघटन अभिक्रिया: $(CH_3)_2CHN=NCH(CH_3)_2(g) \rightarrow C_6H_{14}(g) + N_2(g)$ है।
माना $t=0$ पर एज़ोआइसोप्रोपेन का प्रारंभिक दाब $P_0$ है। $t$ समय पर,एज़ोआइसोप्रोपेन के दाब में कमी $p$ है।
कुल दाब $P_t = (P_0 - p) + p + p = P_0 + p$ है।
अतः,$p = P_t - P_0$ है।
$t$ समय पर एज़ोआइसोप्रोपेन का दाब $P_0 - p = P_0 - (P_t - P_0) = 2P_0 - P_t$ है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए: $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{P_0}{2P_0 - P_t}$ है।
$t = 360 \ s$ पर: $k = \frac{2.303}{360} \log \frac{35.0}{2(35.0) - 54.0} \approx 2.175 \times 10^{-3} \ s^{-1}$ है।
$t = 720 \ s$ पर: $k = \frac{2.303}{720} \log \frac{35.0}{2(35.0) - 63.0} \approx 2.235 \times 10^{-3} \ s^{-1}$ है।
औसत $k = \frac{2.175 \times 10^{-3} + 2.235 \times 10^{-3}}{2} = 2.21 \times 10^{-3} \ s^{-1}$ है।

(D) स्थिर आयतन पर $SO_{2}Cl_{2}$ का तापीय अपघटन निम्नलिखित समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

समय चरण	अभिक्रिया: $SO_{2}Cl_{2(g)} \longrightarrow SO_{2(g)} + Cl_{2(g)}$
$t=0$ पर	$P_{0} \longrightarrow 0 + 0$
$t=t$ पर	$(P_{0} - p) \longrightarrow p + p$

$t$ समय के बाद,कुल दाब $P_{t} = P_{0} + p$,इसलिए $p = P_{t} - P_{0}$।
$t$ समय पर $SO_{2}Cl_{2}$ का दाब $P_{SO_{2}Cl_{2}} = 2P_{0} - P_{t}$ है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{P_{0}}{2P_{0} - P_{t}}$।
$t = 100 \ s$ और $P_{t} = 0.6 \ atm$ के लिए,$k = \frac{2.303}{100} \log \frac{0.5}{0.4} \approx 2.231 \times 10^{-3} \ s^{-1}$।
जब $P_{t} = 0.65 \ atm$ हो,तो $P_{SO_{2}Cl_{2}} = 2(0.5) - 0.65 = 0.35 \ atm$।
अभिक्रिया की दर $= k \times P_{SO_{2}Cl_{2}} = (2.231 \times 10^{-3}) \times (0.35) = 7.81 \times 10^{-4} \ atm \ s^{-1}$।

दिया गया है: $k = 2.0 \times 10^{-2} \ s^{-1}$,$t = 100 \ s$,$[A]_{0} = 1.0 \ mol \ L^{-1}$।
चूंकि $k$ की इकाई $s^{-1}$ है,यह प्रथम कोटि की अभिक्रिया है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए समाकलित वेग समीकरण:
$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_{0}}{[A]}$
मान रखने पर:
$2.0 \times 10^{-2} = \frac{2.303}{100} \log \frac{1.0}{[A]}$
$\log \frac{1.0}{[A]} = \frac{2.0 \times 10^{-2} \times 100}{2.303} = \frac{2}{2.303} \approx 0.8684$
$\frac{1.0}{[A]} = \text{antilog}(0.8684) \approx 7.385$
$[A] = \frac{1.0}{7.385} \approx 0.135 \ mol \ L^{-1}$।

(N/A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $t_{1/2} = 3.00 \ h$,इसलिए $k = \frac{0.693}{3.00 \ h} = 0.231 \ h^{-1}$।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए समाकलित वेग समीकरण $\log \frac{[R]_0}{[R]} = \frac{kt}{2.303}$ है।
मान रखने पर: $\log \frac{[R]_0}{[R]} = \frac{0.231 \ h^{-1} \times 8 \ h}{2.303} = \frac{1.848}{2.303} \approx 0.8024$।
प्रतिलॉग (antilog) लेने पर,$\frac{[R]_0}{[R]} = 10^{0.8024} \approx 6.3445$।
शेष अंश $\frac{[R]}{[R]_0} = \frac{1}{6.3445} \approx 0.1576$ है।
अतः,$8 \ h$ के बाद सुक्रोज का शेष अंश लगभग $0.158$ है।

(N/A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया: वह अभिक्रिया जिसका वेग अभिकारक $R$ की सांद्रता की प्रथम घात के समानुपाती होता है,उसे प्रथम कोटि की अभिक्रिया कहते हैं।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया का वेग $\propto [R]^1$.
अभिक्रिया $R \to P$ के लिए अवकलित वेग समीकरण:
$Rate = -\frac{d[R]}{dt} = k[R]$
$\therefore \frac{d[R]}{[R]} = -k dt \dots (i)$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{d[R]}{[R]} = -\int k dt$
$\ln [R] = -kt + I \dots (ii)$
यहाँ,$I$ समाकलन स्थिरांक है।
जब $t = 0$,तब $[R] = [R]_0$,जहाँ $[R]_0$ अभिकारक की प्रारंभिक सांद्रता है। इन मानों को समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$\ln [R]_0 = -k(0) + I \implies I = \ln [R]_0 \dots (iii)$
$I = \ln [R]_0$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$\ln [R] = -kt + \ln [R]_0 \dots (iv)$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$kt = \ln [R]_0 - \ln [R]$
$kt = \ln \frac{[R]_0}{[R]}$
$k = \frac{1}{t} \ln \frac{[R]_0}{[R]} \dots (v)$
आधार $10$ के लघुगणक में बदलने पर:
$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[R]_0}{[R]} \dots (vi)$
समीकरण $(iv)$ का एंटीलॉग लेने पर:
$[R] = [R]_0 e^{-kt} \dots (vii)$

(N/A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए समाकलित वेग समीकरण इस प्रकार हैं:
$1. \ln [R] = -k(t) + \ln [R]_0$
$2. \log [R] = -\frac{k}{2.303}(t) + \log [R]_0$
ये समीकरण सरल रेखा समीकरण $y = mx + c$ के रूप में हैं। अतः,$\ln [R]$ बनाम $t$ और $\log [R]$ बनाम $t$ के आलेख ऋणात्मक ढाल वाली सीधी रेखाएं हैं,जो $Y$-अक्ष पर अंतःखंड बनाती हैं।
- $\ln [R]$ बनाम $t$ के आलेख के लिए: ढाल $-k$ है और अंतःखंड $\ln [R]_0$ है।
- $\log [R]$ बनाम $t$ के आलेख के लिए: ढाल $-\frac{k}{2.303}$ है और अंतःखंड $\log [R]_0$ है।
इसके अतिरिक्त,समाकलित वेग समीकरण $\log \frac{[R]_0}{[R]} = \frac{k}{2.303}(t)$ के आधार पर,$\log \frac{[R]_0}{[R]}$ बनाम $t$ का आलेख मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है,जिसकी ढाल $\frac{k}{2.303}$ है।

(N/A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए समाकलित वेग समीकरण इस प्रकार है:
$\ln [R] = -kt + \ln [R]_0$ $\quad \dots (I)$
समय $t_1$ पर,सांद्रता $[R]_1$ है:
$\ln [R]_1 = -kt_1 + \ln [R]_0$ $\quad \dots (II)$
समय $t_2$ पर,सांद्रता $[R]_2$ है:
$\ln [R]_2 = -kt_2 + \ln [R]_0$ $\quad \dots (III)$
समीकरण $(II)$ से समीकरण $(III)$ को घटाने पर:
$\ln [R]_1 - \ln [R]_2 = (-kt_1 + \ln [R]_0) - (-kt_2 + \ln [R]_0)$
$\ln [R]_1 - \ln [R]_2 = -kt_1 + kt_2$
$\ln \frac{[R]_1}{[R]_2} = k(t_2 - t_1)$
$10$ के आधार वाले लघुगणक में बदलने पर:
$2.303 \log \frac{[R]_1}{[R]_2} = k(t_2 - t_1)$
$\log \frac{[R]_1}{[R]_2} = \frac{k}{2.303}(t_2 - t_1)$

(N/A) निम्नलिखित प्रथम कोटि की अभिक्रियाओं के उदाहरण हैं:
$1$. एथीन का हाइड्रोजनीकरण:
$C_{2}H_{4(g)} + H_{2(g)} \rightarrow C_{2}H_{6(g)}$
$Rate = k[C_{2}H_{4}]$
$2$. सभी प्राकृतिक और कृत्रिम रेडियोधर्मी क्षय प्रक्रियाएं प्रथम कोटि की गतिज का पालन करती हैं।
$3$. $N_{2}O_{5}$ का अपघटन:
$2N_{2}O_{5(g)} \rightarrow 4NO_{2(g)} + O_{2(g)}$
$Rate = k[N_{2}O_{5}]$
$4$. $SO_{2}Cl_{2}$ का अपघटन:
$SO_{2}Cl_{2(g)} \rightarrow SO_{2(g)} + Cl_{2(g)}$
$Rate = k[SO_{2}Cl_{2}]$
$5$. सुक्रोज का अम्ल-उत्प्रेरित जल-अपघटन (आभासी प्रथम कोटि):
$C_{12}H_{22}O_{11} + H_{2}O \xrightarrow{H^+} C_{6}H_{12}O_{6} + C_{6}H_{12}O_{6}$

(N/A) अभिक्रिया है: $A_{(g)} \to B_{(g)} + C_{(g)}$
| समय | $A_{(g)}$ | $B_{(g)}$ | $C_{(g)}$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $t = 0$ | $p_i \ atm$ | $0 \ atm$ | $0 \ atm$ |
| $t = t$ | $(p_i - x) \ atm$ | $x \ atm$ | $x \ atm$ |
यहाँ,$p_i$,$t = 0$ पर $A$ का प्रारंभिक दबाव है,और $x$,समय $t$ पर $A$ के दबाव में कमी है।
समय $t$ पर कुल दबाव $p_t$,आंशिक दबावों के योग द्वारा दिया जाता है:
$p_t = (p_i - x) + x + x = p_i + x$
इससे,हम $x$ को $p_t$ और $p_i$ के संदर्भ में व्यक्त कर सकते हैं:
$x = p_t - p_i$
समय $t$ पर $A$ का आंशिक दबाव है:
$p_A = p_i - x = p_i - (p_t - p_i) = 2p_i - p_t$
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समाकलित वेग समीकरण है:
$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[R]_0}{[R]_t}$
सांद्रता के लिए आंशिक दबावों को प्रतिस्थापित करने पर:
$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{p_i}{p_A} = \frac{2.303}{t} \log \frac{p_i}{2p_i - p_t}$

(N/A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $(k)$ निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है: $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[R]_{0}}{[R]}$ ...$(i)$
अर्ध-आयु काल पर,$t = t_{1/2}$ और अभिकारक की सांद्रता $[R] = \frac{[R]_{0}}{2}$ होती है।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$k = \frac{2.303}{t_{1/2}} \log \frac{[R]_{0}}{[R]_{0}/2}$
$k = \frac{2.303}{t_{1/2}} \log 2$
चूंकि $\log 2 \approx 0.3010$:
$k = \frac{2.303 \times 0.3010}{t_{1/2}}$
$k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$
अतः,$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$.
निष्कर्ष: प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु काल अभिकारक की प्रारंभिक सांद्रता से स्वतंत्र होता है।

(N/A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $k$ का सूत्र है: $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
दिया गया है:
प्रारंभिक सांद्रता $[A]_0 = 1.24 \times 10^{-2} \ mol \ L^{-1}$
अंतिम सांद्रता $[A]_t = 0.20 \times 10^{-2} \ mol \ L^{-1}$
समय $t = 60 \ min$
मान रखने पर:
$k = \frac{2.303}{60} \log \frac{1.24 \times 10^{-2}}{0.20 \times 10^{-2}}$
$k = \frac{2.303}{60} \log(6.2)$
$k = \frac{2.303}{60} \times 0.7924$
$k \approx 0.0304 \ min^{-1}$

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $k$ का सूत्र है: $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$।
दिया गया है: $k = 1.20 \times 10^{-3} \, s^{-1}$,$[A]_0 = 5 \, g$,और $[A]_t = 3 \, g$।
मान रखने पर: $1.20 \times 10^{-3} = \frac{2.303}{t} \log \frac{5}{3}$।
$t = \frac{2.303}{1.20 \times 10^{-3}} \times \log(1.666)$।
$t = \frac{2.303}{1.20 \times 10^{-3}} \times 0.2218$।
$t \approx 425.6 \, s \approx 426 \, s$।

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु काल $(t_{1/2})$ का सूत्र है: $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$।
दिया गया है,$t_{1/2} = 60 \ min$।
सूत्र में मान रखने पर: $60 = \frac{0.693}{k}$।
अतः,$k = \frac{0.693}{60} \ min^{-1}$।
$k = 0.01155 \ min^{-1}$।

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समाकलित दर समीकरण है: $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$.
दिया गया है,$k = 70 \, s^{-1}$ और $[A]_t = \frac{1}{18} [A]_0$,जिसका अर्थ है $\frac{[A]_0}{[A]_t} = 18$.
मान रखने पर: $t = \frac{2.303}{70} \log(18)$.
चूंकि $\log(18) \approx 1.255$,इसलिए $t = \frac{2.303 \times 1.255}{70}$.
$t = \frac{2.890}{70} \approx 0.0413 \, s$.

(N/A) $(i)$ प्रारंभिक वेग $= k[N_2O_5]_0 = (5.0 \times 10^{-4} \ s^{-1}) \times (0.25 \ mol \ L^{-1}) = 1.25 \times 10^{-4} \ mol \ L^{-1} \ s^{-1}$.
$(ii)$ अर्ध-आयु $t_{1/2} = \frac{0.693}{k} = \frac{0.693}{5.0 \times 10^{-4} \ s^{-1}} = 1386 \ s$.
$(iii)$ $75\%$ पूर्णता के लिए,$t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{[A]} = \frac{2.303}{5.0 \times 10^{-4}} \log \frac{100}{25} = 4606 \times 0.6021 \approx 2773 \ s$.
$(iv)$ $t = 30 \ min = 1800 \ s$ के बाद,$[N_2O_5] = [N_2O_5]_0 e^{-kt} = 0.25 \times e^{-(5.0 \times 10^{-4} \times 1800)} = 0.25 \times e^{-0.9} \approx 0.1016 \ mol \ L^{-1}$.
अभिक्रिया की मात्रा $= 0.25 - 0.1016 = 0.1484 \ mol \ L^{-1}$.
चूंकि $1 \ mol \ N_2O_5$ से $2 \ mol \ NO_2$ प्राप्त होता है,$[NO_2] = 2 \times 0.1484 = 0.2968 \ mol \ L^{-1} \approx 0.30 \ mol \ L^{-1}$.

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $k$ का सूत्र है: $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $k = \frac{2.303}{45 \, min} \log \frac{0.80}{0.06}$
$k = \frac{2.303}{45} \log(13.33) \approx 0.05756 \, min^{-1}$
अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$
$t_{1/2} = \frac{0.693}{0.05756} \approx 12.04 \, min$.

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ है।
$15\%$ पूर्ण होने के लिए $t = 20 \ min$ दिया गया है,अतः $[A]_t = 100 - 15 = 85\%$ $[A]_0$ होगा।
$k = \frac{2.303}{20} \log \frac{100}{85} \approx 0.00813 \ min^{-1}$।
अब,$75\%$ पूर्ण होने के लिए,$[A]_t = 100 - 75 = 25\%$ $[A]_0$ होगा।
$t = \frac{2.303}{0.00813} \log \frac{100}{25} \approx 170.58 \ min$।

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समाकलित दर समीकरण $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ है।
दिया गया है: $t = 100 \ min$,$[A]_t = \frac{1}{8} [A]_0$,इसलिए $\frac{[A]_0}{[A]_t} = 8$.
मान रखने पर: $k = \frac{2.303}{100} \log(8) = \frac{2.303}{100} \times 0.903 = 2.08 \times 10^{-2} \ min^{-1}$.
अर्ध-आयु काल की गणना $t_{1/2} = \frac{0.693}{k} = \frac{0.693}{2.08 \times 10^{-2}} \approx 33.3 \ min$ के रूप में की जाती है।

(A) अभिक्रिया $N_2O_{5(soln)} \to 2NO_{2(soln)} + \frac{1}{2}O_{2(g)}$ के लिए,मान लीजिए $N_2O_5$ की प्रारंभिक सांद्रता $[A]_0 = 0.25 \ mol \ L^{-1}$ है।
मान लीजिए समय $t$ पर $x$ मात्रा में $N_2O_5$ वियोजित होता है।
स्टोइकियोमेट्री के अनुसार,$[NO_2] = 2x = 0.20 \ mol \ L^{-1}$,इसलिए $x = 0.10 \ mol \ L^{-1}$ है।
समय $t$ पर बची हुई $N_2O_5$ की सांद्रता $[A]_t = [A]_0 - x = 0.25 - 0.10 = 0.15 \ mol \ L^{-1}$ है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$k = \frac{2.303}{t} \log(\frac{[A]_0}{[A]_t})$ है।
मान रखने पर: $5.0 \times 10^{-4} = \frac{2.303}{t} \log(\frac{0.25}{0.15})$।
$t = \frac{2.303}{5.0 \times 10^{-4}} \log(1.666) \approx 4606 \times 0.2218 \approx 1022 \ s$।

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $k$ का समीकरण है: $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$.
दिया गया है: $k = 5 \times 10^{-4} \ s^{-1}$,$[A]_0 = 0.2 \ mol \ L^{-1}$,और $[A]_t = 25 \% \text{ of } [A]_0 = 0.25 \times [A]_0$.
मान रखने पर: $5 \times 10^{-4} = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{0.25[A]_0}$.
$5 \times 10^{-4} = \frac{2.303}{t} \log(4)$.
चूंकि $\log(4) \approx 0.6021$,इसलिए $t = \frac{2.303 \times 0.6021}{5 \times 10^{-4}}$.
$t = \frac{1.3866}{5 \times 10^{-4}} = 2773.2 \ s \approx 2773 \ s$.

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु $t_{1/2} = 16 \ min$ है।
$n$ अर्ध-आयु के लिए आवश्यक समय $t = n \times t_{1/2}$ द्वारा दिया जाता है।
$87.5 \%$ पूर्णता के लिए,शेष मात्रा $100 \% - 87.5 \% = 12.5 \%$ है।
चूंकि $12.5 \% = (1/2)^3 \times 100 \%$ है,इसलिए अभिक्रिया ने $3$ अर्ध-आयु $(n=3)$ पूरी कर ली है।
अतः,$t = 3 \times 16 \ min = 48 \ min$.

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग नियम $Rate = k[R]$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए अर्ध-आयु काल $(t_{1/2})$ का व्यंजक $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k} \approx \frac{0.693}{k}$ है।
चूंकि $t_{1/2}$ प्रारंभिक सांद्रता $[R]_0$ से स्वतंत्र है,इसे $t_{1/2} \propto [R]_0^0$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जिसका अर्थ है कि $t_{1/2}$ प्रारंभिक सांद्रता की $0$ घात के समानुपाती है।
दोनों कथन $(i)$ और $(ii)$ सही हैं। अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ का सूत्र $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k} \approx \frac{0.693}{k}$ होता है।
कथन $1$: $t_{1/2} = \frac{0.693}{2k}$ असत्य है क्योंकि सही व्यंजक $\frac{0.693}{k}$ है।
कथन $2$: $t_{1/2} \propto k$ असत्य है क्योंकि $t_{1/2}$ वेग स्थिरांक के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(t_{1/2} \propto \frac{1}{k})$।
अतः,दोनों कथन असत्य $(F, F)$ हैं।

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया $R \rightarrow P$ के लिए,दर नियम $\text{Rate} = k[R]^1$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि अभिकारक $R$ के लुप्त होने की दर को $-\frac{d[R]}{dt}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए हमारे पास $\text{Rate} = -\frac{d[R]}{dt} = k[R]$ है।
अतः,कथन $I$ सत्य $(T)$ है।
कथन $II$ बताता है कि $\text{Rate} = -k[R]$,जो गलत है क्योंकि अभिक्रिया की दर हमेशा एक धनात्मक राशि होनी चाहिए और दर स्थिरांक $k$ धनात्मक होता है। इसलिए,कथन $II$ असत्य $(F)$ है।

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समाकलित वेग समीकरण इस प्रकार है:
$[R] = [R]_{0} e^{-kt}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln [R] = \ln ([R]_{0} e^{-kt})$
$\ln(ab) = \ln a + \ln b$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\ln [R] = \ln [R]_{0} + \ln(e^{-kt})$
चूंकि $\ln(e^x) = x$,इसलिए:
$\ln [R] = -kt + \ln [R]_{0}$
दिए गए कथनों से तुलना करने पर:
कथन $(i)$ $\ln [R] = -kt + \ln [R]_{0}$ है,जो $True$ $(T)$ है।
कथन $(ii)$ $\ln [R] = +kt + \ln [R]_{0}$ है,जो $False$ $(F)$ है।
अतः,सही विकल्प $i-T, ii-F$ है।

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया $R \rightarrow P$ के लिए,समाकलित वेग समीकरण इस प्रकार है:
$k = \frac{1}{t} \ln \frac{[R]_0}{[R]}$
जहाँ $[R]_0$ प्रारंभिक सांद्रता है और $[R]$ समय $t$ पर सांद्रता है।
कथन $I$ इस सूत्र से मेल खाता है,इसलिए यह सत्य $(T)$ है।
कथन $II$ है $k = \frac{1}{t} \ln \frac{[R]}{[R]_0}$,जो सही समीकरण का व्युत्क्रम है,इसलिए यह असत्य $(F)$ है।
अतः,सही विकल्प $I-T, II-F$ है।

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए समाकलित वेग समीकरण $k = \frac{1}{t} \ln \frac{[R]_0}{[R]_t}$ है।
दो अलग-अलग समय $t_1$ और $t_2$ पर:
$k = \frac{1}{t_1} \ln \frac{[R]_0}{[R]_1}$ और $k = \frac{1}{t_2} \ln \frac{[R]_0}{[R]_2}$ प्राप्त होता है।
इन समीकरणों से $k = \frac{1}{t_2 - t_1} \ln \frac{[R]_1}{[R]_2}$ प्राप्त होता है।
अतः,दिए गए दोनों कथन गलत $(F)$ हैं।

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समाकलित वेग समीकरण इस प्रकार है:
$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[R]_0}{[R]}$
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{kt}{2.303} = \log \frac{[R]_0}{[R]}$
चूंकि $\log \frac{[R]_0}{[R]} = -\log \frac{[R]}{[R]_0}$,हम लिख सकते हैं:
$\frac{kt}{2.303} = -\log \frac{[R]}{[R]_0}$
या,$\log \frac{[R]}{[R]_0} = -\frac{kt}{2.303}$
अतः,कथन $I$ $True$ $(T)$ है और कथन $II$ $False$ $(F)$ है।

(N/A) छद्म प्रथम कोटि अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{C_{0}}{C}$ द्वारा दिया जाता है।
$t = 30 \ min$ पर: $k_{1} = \frac{2.303}{30} \log \frac{0.850}{0.800} = 2.02 \times 10^{-3} \ min^{-1}$.
$t = 60 \ min$ पर: $k_{2} = \frac{2.303}{60} \log \frac{0.850}{0.754} = 1.996 \times 10^{-3} \ min^{-1}$.
$t = 90 \ min$ पर: $k_{3} = \frac{2.303}{90} \log \frac{0.850}{0.710} = 2.00 \times 10^{-3} \ min^{-1}$.
चूंकि $k$ स्थिर है,यह एक छद्म प्रथम कोटि अभिक्रिया है। औसत $k \approx 2.00 \times 10^{-3} \ min^{-1}$.
वेग नियम $Rate = k^{\prime} [Ester][H_{2}O]$ है। $[H_{2}O]$ स्थिर होने के कारण,$k = k^{\prime} [H_{2}O]$.
$k^{\prime} = \frac{k}{[H_{2}O]} = \frac{2.00 \times 10^{-3}}{55} = 3.636 \times 10^{-5} \ L \ mol^{-1} \ min^{-1}$.

(N/A) औसत दर $= -\frac{\Delta[R]}{\Delta t} = -\frac{0.173 - 0.312}{60 - 30} = -\frac{-0.139}{30} = 4.63 \times 10^{-3} \ mol \ L^{-1} \ s^{-1}$.
$(b)$ प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[R]_0}{[R]_t}$.
$t = 30 \ s$ पर डेटा का उपयोग करते हुए: $k = \frac{2.303}{30} \log \frac{0.551}{0.312} = 0.07677 \times \log(1.766) = 1.896 \times 10^{-2} \ s^{-1}$.
$t = 60 \ s$ पर डेटा का उपयोग करते हुए: $k = \frac{2.303}{60} \log \frac{0.551}{0.173} = 0.03838 \times \log(3.185) = 1.930 \times 10^{-2} \ s^{-1}$.
औसत लेने पर,$k \approx 1.9 \times 10^{-2} \ s^{-1}$.

(N/A) छद्म प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k'$ का सूत्र है:
$k' = \frac{2.303}{t} \log \frac{C_0}{C_t}$
यहाँ $C_0 = 0.850 \text{ mol L}^{-1}$ है।
$t = 30 \text{ min}$ पर,$C_t = 0.800 \text{ mol L}^{-1}$:
$k'_1 = \frac{2.303}{30} \log \frac{0.850}{0.800} \approx 0.00202 \text{ min}^{-1}$.
$t = 60 \text{ min}$ पर,$C_t = 0.754 \text{ mol L}^{-1}$:
$k'_2 = \frac{2.303}{60} \log \frac{0.850}{0.754} \approx 0.00200 \text{ min}^{-1}$.
$t = 90 \text{ min}$ पर,$C_t = 0.710 \text{ mol L}^{-1}$:
$k'_3 = \frac{2.303}{90} \log \frac{0.850}{0.710} \approx 0.00200 \text{ min}^{-1}$.
चूंकि $k'$ के मान लगभग स्थिर हैं,अभिक्रिया छद्म प्रथम कोटि की गतिज का पालन करती है।
$k'$ का औसत मान $\approx 2.00 \times 10^{-3} \text{ min}^{-1}$ है।

(N/A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k$ का सूत्र है: $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{V_{\infty} - V_0}{V_{\infty} - V_t}$।
यहाँ,$V_0 = 24.40 \, mL$,$V_{\infty} = 47.50 \, mL$,और $V_t$ समय $t$ पर आयतन है।
$1$. $t = 20 \, min$ पर: $k = \frac{2.303}{20} \log \frac{47.50 - 24.40}{47.50 - 25.82} = \frac{2.303}{20} \log \frac{23.10}{21.68} \approx 0.00308 \, min^{-1}$।
$2$. $t = 75 \, min$ पर: $k = \frac{2.303}{75} \log \frac{47.50 - 24.40}{47.50 - 29.35} = \frac{2.303}{75} \log \frac{23.10}{18.15} \approx 0.00315 \, min^{-1}$।
$3$. $t = 120 \, min$ पर: $k = \frac{2.303}{120} \log \frac{47.50 - 24.40}{47.50 - 31.75} = \frac{2.303}{120} \log \frac{23.10}{15.75} \approx 0.00318 \, min^{-1}$।
चूंकि $k$ का मान अलग-अलग समय अंतराल पर लगभग स्थिर रहता है,इसलिए अभिक्रिया प्रथम कोटि की गतिज का पालन करती है।

(T, T, T) सत्य $(T)$: एस्टर का जल-अपघटन इस अभिक्रिया का पालन करता है: $RCOOR' + H_2O \rightarrow RCOOH + R'OH$। यह एक कार्बोक्सिलिक अम्ल और एक अल्कोहल उत्पन्न करता है।
$(b)$ सत्य $(T)$: एस्टर के जल-अपघटन में,पानी को बहुत अधिक मात्रा में लिया जाता है। इसलिए,पूरी अभिक्रिया के दौरान इसकी सांद्रता प्रभावी रूप से स्थिर रहती है।
$(c)$ सत्य $(T)$: चूंकि पानी बहुत अधिक मात्रा में होता है,इसलिए अभिक्रिया के दौरान इसकी सांद्रता $[H_2O]$ में कोई महत्वपूर्ण परिवर्तन नहीं होता है,यही कारण है कि यह अभिक्रिया छद्म-प्रथम कोटि (pseudo-first-order) की गतिज का पालन करती है।

(N/A) अम्ल उत्प्रेरक $(H^{+})$ की उपस्थिति में सुक्रोज $(C_{12}H_{22}O_{11})$ का जल-अपघटन ग्लूकोज और फ्रुक्टोज उत्पन्न करता है। अभिक्रिया इस प्रकार है:
$C_{12}H_{22}O_{11} + H_2O \xrightarrow{H^{+}} C_6H_{12}O_6 (\text{glucose}) + C_6H_{12}O_6 (\text{fructose})$

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ होता है।
$75 \%$ पूर्णता के लिए,$[A]_t = 0.25[A]_0$,अतः $k = \frac{2.303}{90} \log \frac{1}{0.25} = \frac{2.303}{90} \log 4 = \frac{2.303 \times 0.6}{90} \ \text{min}^{-1}$.
$60 \%$ पूर्णता के लिए,$[A]_t = 0.40[A]_0$,अतः $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{1}{0.4} = \frac{2.303}{k} \log 2.5$.
$k$ का मान रखने पर: $t = \frac{2.303 \times 90}{2.303 \times 0.6} \times 0.4 = \frac{36}{0.6} = 60 \ \text{minutes}$.

(D) प्रथम-कोटि की अभिक्रिया के लिए,समय $t$ पर सांद्रता $[C]_t = [C]_0 e^{-kt}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$ है।
दिया गया है कि $[A]_0 = [B]_0,$ हमें $t$ ज्ञात करना है ताकि $[A]_t = 4[B]_t$ हो।
मान रखने पर: $[A]_0 e^{-(\ln 2 / 300)t} = 4[B]_0 e^{-(\ln 2 / 180)t}.$
चूँकि $[A]_0 = [B]_0,$ इसलिए $e^{-(\ln 2 / 300)t} = 4 e^{-(\ln 2 / 180)t}$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $e^{(\frac{\ln 2}{180} - \frac{\ln 2}{300})t} = 4.$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $(\frac{\ln 2}{180} - \frac{\ln 2}{300})t = \ln 4 = 2 \ln 2.$
$\ln 2$ से विभाजित करने पर: $(\frac{1}{180} - \frac{1}{300})t = 2.$
$t$ के लिए हल करने पर: $(\frac{300 - 180}{180 \times 300})t = 2 \Rightarrow \frac{120}{54000}t = 2.$
$t = \frac{2 \times 54000}{120} = 900 \ s.$

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर समीकरण है: $k = \frac{2.303}{t} \log_{10} \frac{[A]_0}{[A]_t}$
दिया गया है: $k = 4.606 \times 10^{-3} \ s^{-1}$,$[A]_0 = 2.0 \ g$,$[A]_t = 0.2 \ g$
मान रखने पर: $4.606 \times 10^{-3} = \frac{2.303}{t} \log_{10} \frac{2.0}{0.2}$
$4.606 \times 10^{-3} = \frac{2.303}{t} \log_{10} (10)$
चूंकि $\log_{10} (10) = 1$,इसलिए: $4.606 \times 10^{-3} = \frac{2.303}{t}$
$t = \frac{2.303}{4.606 \times 10^{-3}} = \frac{1}{2} \times 10^3 = 500 \ s$

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समाकलित दर नियम $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ है।
अर्ध-आयु पर,$t = t_{1/2}$ और $[A]_t = \frac{[A]_0}{2}$ होता है।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$k = \frac{2.303}{t_{1/2}} \log \frac{[A]_0}{[A]_0 / 2} = \frac{2.303}{t_{1/2}} \log 2$.
चूंकि $\log 2 \approx 0.3010$,इसलिए $k = \frac{2.303 \times 0.3010}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{t_{1/2}}$.
अतः,$t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$.
यह समीकरण दर्शाता है कि प्रथम कोटि की अभिक्रिया की अर्ध-आयु अभिकारक की प्रारंभिक सांद्रता पर निर्भर नहीं करती है।

(D) $1^{st}$ कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर समीकरण इस प्रकार है:
$t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
चूंकि अभिक्रिया $\frac{2}{3}$ पूर्ण हो चुकी है,इसलिए अभिक्रिया की मात्रा $x = \frac{2}{3} a$ है,जहाँ $a$ प्रारंभिक सांद्रता है।
अतः,शेष सांद्रता $[A]_t = a - \frac{2}{3} a = \frac{a}{3}$ होगी।
समीकरण में मान रखने पर:
$t = \frac{2.303}{4.3 \times 10^{-4}} \log \frac{a}{a/3}$
$t = \frac{2.303}{4.3 \times 10^{-4}} \log 3$
$\log 3 \approx 0.4771$ का उपयोग करने पर:
$t = \frac{2.303 \times 0.4771}{4.3 \times 10^{-4}} \approx 2555 \, s$
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$t = 2.5 \times 10^{3} \, s$।

(B) अभिक्रिया $A_{(g)} \rightarrow 2 B_{(g)} + C_{(g)}$ है।
माना समय $t$ पर $A$ के दाब में कमी $P$ है।
कुल दाब $P_t = (P_0 - P) + 2P + P = P_0 + 2P$ है।
अतः,$2P = P_t - P_0$,जिससे $P = \frac{P_t - P_0}{2}$ प्राप्त होता है।
समय $t$ पर $A$ का दाब $P_A = P_0 - P = \frac{3P_0 - P_t}{2}$ है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए समाकलित वेग समीकरण $k = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{P_0}{P_A} \right)$ है।
$P_A$ का मान रखने पर:
$k = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{2P_0}{3P_0 - P_t} \right)$।