Power Questions in Hindi

(N/A) $m$ द्रव्यमान और $v$ वेग से गतिमान वस्तु की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
समय $t$ के सापेक्ष गतिज ऊर्जा में परिवर्तन की दर $\frac{dK}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}mv^2)$ है।
यदि द्रव्यमान $m$ स्थिर है,तो चेन नियम का उपयोग करने पर: $\frac{dK}{dt} = \frac{1}{2}m \cdot 2v \cdot \frac{dv}{dt} = mv \cdot \frac{dv}{dt}$ प्राप्त होता है।
चूंकि त्वरण $a = \frac{dv}{dt}$ है,इसलिए $\frac{dK}{dt} = mva$ होगा।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,अतः $\frac{dK}{dt} = Fv$ है।
शक्ति $P$ कार्य करने की दर है,$P = \frac{dW}{dt} = F \cdot v$।
इस प्रकार,गतिज ऊर्जा के परिवर्तन की दर बल द्वारा प्रदान की गई शक्ति के बराबर है,अर्थात $\frac{dK}{dt} = P$।

(N/A) कार्य करने की समय दर को शक्ति कहा जाता है।
शक्ति को प्रति इकाई समय में किए गए कार्य या जिस दर पर कार्य किया जाता है या ऊर्जा रूपांतरित होती है,उस समय दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यदि $\Delta t$ समयांतराल में किया गया कार्य $\Delta W$ है,तो $\Delta t$ समयांतराल में औसत शक्ति $\langle P \rangle = \frac{\Delta W}{\Delta t}$ है।
अतः,$t$ समय पर तात्कालिक शक्ति:
$P = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta W}{\Delta t} = \frac{dW}{dt} \quad (1)$
यदि विस्थापन $d\vec{r}$ के दौरान बल $\vec{F}$ द्वारा किया गया कार्य $dW$ है,तो $dW = \vec{F} \cdot d\vec{r}$।
समीकरण $(1)$ में $dW$ का मान रखने पर:
$P = \frac{d}{dt}(\vec{F} \cdot d\vec{r}) = \vec{F} \cdot \frac{d\vec{r}}{dt} \quad [\because \vec{F} \text{ नियत है}]$
$P = \vec{F} \cdot \vec{v} \quad [\because \frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v}]$
शक्ति एक अदिश राशि है। इसका विमीय सूत्र $M^{1} L^{2} T^{-3}$ है। शक्ति का $SI$ मात्रक $J s^{-1}$ है। भाप इंजन के आविष्कारक जेम्स वाट के सम्मान में इस मात्रक को $watt$ नाम दिया गया है।
$1 W = 1 J s^{-1}$।
शक्ति के बड़े मात्रक:
$1 kW = 10^{3} W, 1 MW = 10^{6} W$।
व्यावहारिक रूप से वाहनों और पानी के पंपों की शक्ति को मापने के लिए हॉर्सपावर $(hp)$ का उपयोग किया जाता है,जो ब्रिटिश प्रणाली का एक मात्रक है।
$1 hp = 746 W$।

(FALSE) यह कथन असत्य है।
$1\,kWh$ (किलोवाट-घंटा) ऊर्जा की एक इकाई है,शक्ति की नहीं।
शक्ति को कार्य करने की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसे वाट $(W)$ या किलोवाट $(kW)$ में मापा जाता है।
ऊर्जा को शक्ति और समय के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसीलिए $1\,kWh = 1\,kW \times 1\,h = 1000\,W \times 3600\,s = 3.6 \times 10^6\,J$ होता है।

(N/A) जब लिफ्ट नीचे उतर रही होती है,तो लिफ्ट की गति को नियंत्रित करने और इसे गुरुत्वाकर्षण के तहत मुक्त पतन (free fall) में जाने से रोकने के लिए विद्युत शक्ति की आवश्यकता होती है।
इसके अतिरिक्त,जैसे-जैसे लिफ्ट के अंदर कुल वजन बढ़ता है,उस पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल बढ़ जाता है,जिससे नीचे उतरने की गति अनियंत्रित रूप से बढ़ सकती है। इसलिए,यह सुनिश्चित करने के लिए कि ब्रेकिंग सिस्टम लोड को सुरक्षित रूप से संभाल सके,यात्रियों की संख्या पर एक सीमा होनी चाहिए।

(A) दिया गया है:
द्रव्यमान,$m = 100 \, kg$
ऊँचाई,$h = 10 \, m$
समय,$t = 20 \, s$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 9.8 \, m/s^2$
क्रेन द्वारा किया गया कार्य $(W)$ द्रव्यमान द्वारा प्राप्त स्थितिज ऊर्जा के बराबर होता है: $W = mgh$.
शक्ति $(P)$ कार्य करने की दर है: $P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$.
मान रखने पर:
$P = \frac{100 \times 9.8 \times 10}{20}$
$P = \frac{9800}{20}$
$P = 490 \, W$.

(0.6 W) प्रति धड़कन किया गया कार्य $= 0.5 \, J$ है।
$72$ धड़कनों के लिए कुल कार्य:
$W = 72 \times 0.5 \, J = 36 \, J$ है।
$72$ धड़कनों के लिए लिया गया समय $1 \, \text{minute} = 60 \, s$ है।
शक्ति कार्य करने की दर है:
$P = \frac{W}{t} = \frac{36 \, J}{60 \, s} = 0.6 \, W$ है।
अतः,हृदय द्वारा उपयोग की जाने वाली शक्ति $0.6 \, W$ है।

(C) कण को दी गई शक्ति $P$ स्थिर है। चूंकि शक्ति गतिज ऊर्जा के परिवर्तन की दर है,हमारे पास $\frac{dK}{dt} = P$ है। समय के सापेक्ष इसका समाकलन करने पर,हमें $K = Pt$ प्राप्त होता है (यह मानते हुए कि प्रारंभिक गतिज ऊर्जा शून्य है)।
चूंकि $K = \frac{1}{2}mv^2$,हमारे पास $\frac{1}{2}mv^2 = Pt$ है,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2}$।
चूंकि वेग $v = \frac{ds}{dt}$,हमारे पास $\frac{ds}{dt} = \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2}$ है।
समय के सापेक्ष समाकलन करने पर,$s = \int \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2} dt = \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2}$।
इस प्रकार,$s \propto t^{3/2}$।
$s \propto t^{3/2}$ के लिए $s$ बनाम $t$ का ग्राफ एक ऐसा वक्र है जो ऊपर की ओर अवतल (बढ़ती ढलान) है,जो ग्राफ $C$ के अनुरूप है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2\, kg$,पावर $P = 1\, J/s$,समय $t = 9\, s$,प्रारंभिक वेग $u = 0$.
पावर को $P = F \cdot v = (m \cdot a) \cdot v = m \cdot \frac{dv}{dt} \cdot v$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $m \cdot v \cdot dv = P \cdot dt$.
विरामावस्था से दोनों पक्षों का समाकलन करने पर ($t=0$ पर $v=0$): $\int_{0}^{v} m \cdot v \cdot dv = \int_{0}^{t} P \cdot dt$.
$m \cdot \frac{v^2}{2} = P \cdot t \Rightarrow v^2 = \frac{2Pt}{m} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2Pt}{m}}$.
चूंकि $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए $\frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot t^{1/2}$.
दूरी $x$ ज्ञात करने के लिए समाकलन करने पर: $\int_{0}^{x} dx = \sqrt{\frac{2P}{m}} \int_{0}^{t} t^{1/2} dt$.
$x = \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} = \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot \frac{2}{3} \cdot t^{3/2}$.
मान $m = 2$,$P = 1$,$t = 9$ रखने पर: $x = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2}} \cdot \frac{2}{3} \cdot 9^{3/2} = 1 \cdot \frac{2}{3} \cdot (3^2)^{3/2} = \frac{2}{3} \cdot 27 = 18\, m$.

(B) शक्ति $P$ नियत है, इसलिए $P = F \cdot V = \text{नियत}$.
चूंकि $F = m \cdot a = m \frac{dV}{dt}$, हमारे पास $m \frac{dV}{dt} \cdot V = \text{नियत}$ है।
इसका अर्थ है कि $V \frac{dV}{dt} \propto 1$, जिसका समाकलन करने पर $\frac{V^2}{2} \propto t$, या $V^2 \propto t$ प्राप्त होता है।
अतः, $V \propto t^{1/2}$.
चूंकि $V = \frac{dx}{dt}$, हमारे पास $\frac{dx}{dt} \propto t^{1/2}$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें $x \propto \int t^{1/2} dt$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार, $x \propto t^{3/2}$.

(C) दिया गया है कि मशीन द्वारा प्रदान की गई शक्ति $P$ नियत है।
समय $t$ में मशीन द्वारा किया गया कार्य $W = P \cdot t$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K = \frac{1}{2} m v^2 - 0 = \frac{1}{2} m v^2$।
दोनों को बराबर करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{2} m v^2 = P \cdot t$।
इसका अर्थ है $v^2 \propto t$,या $v \propto t^{1/2}$।
चूंकि वेग $v = \frac{dx}{dt}$ है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = k \cdot t^{1/2}$ (जहाँ $k$ एक नियतांक है)।
दूरी $x$ ज्ञात करने के लिए समय $t$ के सापेक्ष समाकलन (integration) करने पर:
$x = \int k \cdot t^{1/2} dt = k \cdot \frac{t^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = k \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2}$।
अतः,$x \propto t^{3/2}$।

(A) शक्ति $P$ को $P = Fv = (ma)v = m \left(\frac{dv}{dt}\right)v$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
चूंकि $P$ स्थिर है,$P = mv \frac{dv}{dt}$.
समय के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int_{0}^{v} mv \, dv = \int_{0}^{t} P \, dt$.
$\frac{1}{2}mv^2 = Pt \implies v = \sqrt{\frac{2Pt}{m}} = \left(\frac{2P}{m}\right)^{1/2} t^{1/2}$.
चूंकि $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए $\frac{dx}{dt} = \left(\frac{2P}{m}\right)^{1/2} t^{1/2}$.
स्थिति और समय के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int_{0}^{x} dx = \int_{0}^{t} \left(\frac{2P}{m}\right)^{1/2} t^{1/2} dt$.
$x = \left(\frac{2P}{m}\right)^{1/2} \left[ \frac{t^{3/2}}{3/2} \right] = \left(\frac{2P}{m}\right)^{1/2} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2}$.
$x = \left( \frac{4}{9} \cdot \frac{2P}{m} \right)^{1/2} t^{3/2} = \left( \frac{8P}{9m} \right)^{1/2} t^{3/2}$.

(B) आउटपुट शक्ति $P$,गिरते हुए पानी की प्रति सेकंड स्थितिज ऊर्जा का $50 \%$ है।
शक्ति $P = 0.50 \times \left( \frac{mgh}{t} \right)$.
चूंकि द्रव्यमान $m = \rho V$,जहाँ $\rho$ पानी का घनत्व $(1000 \,kg/m^3)$ है और $V$ आयतन है,इसलिए:
$P = 0.50 \times \left( \frac{V}{t} \right) \rho g h$.
दिया गया है $P = 1.00 \times 10^9 \,W$,$g = 10 \,ms^{-2}$,$\rho = 1000 \,kg/m^3$,और $h = 500 \,m$.
प्रवाह दर $\frac{V}{t}$ के लिए सूत्र:
$\frac{V}{t} = \frac{P}{0.50 \times \rho \times g \times h}$.
$\frac{V}{t} = \frac{1.00 \times 10^9}{0.50 \times 1000 \times 10 \times 500}$.
$\frac{V}{t} = \frac{1.00 \times 10^9}{2.5 \times 10^6} = 400 \,m^3/s$.

(B) दिया गया है:
इनपुट पावर $(P_{\text{in}})$ = $750 \,W$
पानी का आयतन $(V)$ = $300 \,L$,इसलिए द्रव्यमान $(m)$ = $300 \,kg$ (चूंकि पानी का घनत्व $1 \,kg/L$ है)
ऊँचाई $(h)$ = $6 \,m$
समय $(t)$ = $1 \,minute = 60 \,s$
गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ = $10 \,m/s^2$
उपयोगी पावर आउटपुट $(P_{\text{out}})$ गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध कार्य करने की दर है:
$P_{\text{out}} = \frac{mgh}{t} = \frac{300 \times 10 \times 6}{60} = \frac{18000}{60} = 300 \,W$
दक्षता $(\eta)$ को उपयोगी पावर आउटपुट और इनपुट पावर के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} = \frac{300}{750} = 0.4$
प्रतिशत में बदलने पर:
$\eta = 0.4 \times 100 = 40 \%$

(C) दिया गया है: शक्ति $P = 4 \,kW = 4000 \,W$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m/s^2$,ऊँचाई $h = 20 \,m$,और समय $t = 1 \,minute = 60 \,s$.
शक्ति का सूत्र $P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$ है।
मान रखने पर: $4000 = \frac{m \times 10 \times 20}{60}$.
समीकरण को सरल करने पर: $4000 = \frac{200m}{60} = \frac{10m}{3}$.
$m$ के लिए हल करने पर: $m = \frac{4000 \times 3}{10} = 1200 \,kg$.
चूंकि पानी का घनत्व $1 \,kg/litre$ है,इसलिए पानी का आयतन $1200 \,litres$ होगा।

(C) शक्ति $P$ कार्य करने की दर है,जिसे $P = \frac{W}{t}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
यहाँ,किया गया कार्य $W$ पानी द्वारा प्राप्त स्थितिज ऊर्जा के बराबर है,$W = mgh$।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 500 \,kg$
ऊँचाई $h = 100 \,m$
समय $t = 10 \,s$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m/s^2$
मान रखने पर:
$W = 500 \times 10 \times 100 = 500,000 \,J$
$P = \frac{500,000 \,J}{10 \,s} = 50,000 \,W$
चूँकि $1 \,kW = 1,000 \,W$,इसलिए:
$P = \frac{50,000}{1,000} \,kW = 50 \,kW$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) इंजन द्वारा प्रदान की गई शक्ति को गतिज ऊर्जा के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$P = \frac{dK}{dt}$
विरामावस्था $(K_i = 0)$ से अंतिम गतिज ऊर्जा $K$ तक पहुँचने के लिए इस समीकरण का समय $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$P \cdot t = K_f - K_i$
चूंकि अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} m v^2$ है और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है:
$P \cdot t = \frac{1}{2} m v^2$
समय $t$ के लिए हल करने पर:
$t = \frac{m v^2}{2 P}$

(A) टर्बाइन को दी गई शक्ति $P$,गिरते हुए पानी की स्थितिज ऊर्जा के परिवर्तन की दर के बराबर होती है।
$P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$
दिया गया है कि द्रव्यमान प्रवाह की दर $\frac{m}{t} = 100 \,kg/s$,ऊँचाई $h = 100 \,m$ और गुरुत्वीय त्वरण $g \approx 10 \,m/s^2$ लेने पर:
$P = \left(\frac{m}{t}\right) \times g \times h$
$P = 100 \,kg/s \times 10 \,m/s^2 \times 100 \,m$
$P = 100,000 \,W$
चूँकि $1 \,kW = 1000 \,W$,इसलिए:
$P = \frac{100,000}{1000} \,kW = 100 \,kW$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है कि नाव को स्थिर वेग $v$ से चलाने के लिए आवश्यक बल $F$ उसकी गति के वर्ग के समानुपाती है:
$F \propto v^2$
हम जानते हैं कि शक्ति $P$ बल और वेग का गुणनफल है:
$P = F \cdot v$
बल की समानुपातिकता को शक्ति के समीकरण में रखने पर:
$P \propto v^2 \cdot v = v^3$
मान लीजिए $P_1$ गति $v$ के लिए आवश्यक शक्ति है,और $P_2$ गति $2v$ के लिए आवश्यक शक्ति है:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{2v}{v} \right)^3 = 2^3 = 8$
दिया गया है $P_1 = 4 \, kW$:
$P_2 = 8 \times P_1 = 8 \times 4 \, kW = 32 \, kW$
अतः,$2v \, km/h$ की गति के लिए आवश्यक शक्ति $32 \, kW$ है।

(D) सही विकल्प $D$ है।
पावर (शक्ति) को कार्य करने की दर या ऊर्जा के स्थानांतरण की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है। गणितीय रूप से,पावर $P$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$P = \frac{W}{t}$
जहाँ $W$ किया गया कार्य है और $t$ वह समय अंतराल है जिसमें कार्य किया गया है।
इसलिए,एक ऑटोमोबाइल के पावर आउटपुट को निर्धारित करने के लिए,यह जानना आवश्यक है कि कुल कितना कार्य किया गया और उस कार्य को करने में कितना समय लगा।

(C) दिया गया बल: $\vec{F} = t \hat{i} + 3t^2 \hat{j} \ N$ और द्रव्यमान $m = 1 \ kg$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$\vec{F} = m \vec{a} = m \frac{d\vec{v}}{dt}$।
चूँकि $m = 1 \ kg$ है,$\frac{d\vec{v}}{dt} = t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}$।
समय $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर ($t=0$ पर प्रारंभिक वेग शून्य मानते हुए): $\vec{v} = \int (t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) dt = \frac{t^2}{2} \hat{i} + t^3 \hat{j} \ m/s$।
शक्ति $P$,बल और वेग का अदिश गुणनफल है: $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$।
$P = (t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \cdot (\frac{t^2}{2} \hat{i} + t^3 \hat{j}) = \frac{t^3}{2} + 3t^5$।
$t = 2 \ s$ पर,$P = \frac{2^3}{2} + 3(2^5) = \frac{8}{2} + 3(32) = 4 + 96 = 100 \ W$।

(C) दिया गया है,द्रव्यमान $m = 2 \ kg$ और शक्ति $P$ नियत है।
समय $t$ में स्रोत द्वारा किया गया कार्य $W = P \times t$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,$W = \Delta K = \frac{1}{2} m v^2 - 0$।
अतः,$\frac{1}{2} m v^2 = P t \implies v = \sqrt{\frac{2 P t}{m}}$।
चूंकि $v = \frac{dx}{dt}$,हमारे पास $\frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2 P}{m}} \cdot t^{1/2}$ है।
$t = 0$ से $4 \ s$ तक समाकलन करने पर:
$x = \int_0^4 \sqrt{\frac{2 P}{m}} \cdot t^{1/2} dt = \sqrt{\frac{2 P}{m}} \left[ \frac{t^{3/2}}{3/2} \right]_0^4$।
$m = 2 \ kg$ रखने पर:
$x = \sqrt{\frac{2 P}{2}} \cdot \frac{2}{3} \cdot (4)^{3/2} = \sqrt{P} \cdot \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3} \sqrt{P}$।
दिया गया विस्थापन $\frac{1}{3} \alpha^2 \sqrt{P}$ है।
$\frac{16}{3} \sqrt{P} = \frac{1}{3} \alpha^2 \sqrt{P}$ की तुलना करने पर,$\alpha^2 = 16$,अतः $\alpha = 4$ प्राप्त होता है।

(C) लिफ्ट प्रणाली का कुल द्रव्यमान $M = 1400\,kg$ है।
लिफ्ट $v = 3\,m/s$ की एकसमान गति से ऊपर की ओर बढ़ रही है। चूंकि गति एकसमान है,इसलिए त्वरण शून्य है।
मोटर को गुरुत्वाकर्षण बल और घर्षण बल दोनों को दूर करने के लिए बल $F$ प्रदान करना होगा।
गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = M \times g = 1400\,kg \times 10\,m/s^2 = 14000\,N$ है।
घर्षण बल $f = 2000\,N$ है।
इसलिए,मोटर द्वारा आवश्यक कुल बल $F = F_g + f = 14000\,N + 2000\,N = 16000\,N$ है।
मोटर द्वारा उपयोग की जाने वाली शक्ति $P$,$P = F \times v$ द्वारा दी जाती है।
$P = 16000\,N \times 3\,m/s = 48000\,W$।
किलोवाट में बदलने पर,$P = 48\,kW$।

(D) औसत शक्ति कुल कार्य और कुल समय का अनुपात होती है।
$P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$
दिया गया शक्ति का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$ है।
पहली मोटर के लिए: $m_1 = 300 \ kg$,$t_1 = 5 \ minute = 300 \ s$,$h = 100 \ m$.
दूसरी मोटर के लिए: $m_2 = 50 \ kg$,$t_2 = 2 \ minute = 120 \ s$,$h = 100 \ m$.
शक्ति का अनुपात ज्ञात करने पर:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{m_1 g h / t_1}{m_2 g h / t_2} = \frac{m_1}{t_1} \times \frac{t_2}{m_2}$
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{300}{5} \times \frac{2}{50} = 60 \times 0.04 = 2.4$
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} = 2.4$
$3 \sqrt{x} = 2.4 \sqrt{x} + 2.4$
$0.6 \sqrt{x} = 2.4$
$\sqrt{x} = 4$
$x = 16$

(D) दिया गया बल $\overrightarrow{F} = (6t \hat{i} + 6t^2 \hat{j}) \ N$ और द्रव्यमान $m = 2 \ kg$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m} = \frac{6t \hat{i} + 6t^2 \hat{j}}{2} = (3t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \ m/s^2$.
वेग $\overrightarrow{v}$ ज्ञात करने के लिए,हम त्वरण का समय के सापेक्ष समाकलन करेंगे: $\overrightarrow{v} = \int \overrightarrow{a} \ dt = \int (3t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \ dt = (\frac{3t^2}{2} \hat{i} + t^3 \hat{j}) \ m/s$.
शक्ति $P$,बल और वेग का अदिश गुणनफल है: $P = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v} = (6t \hat{i} + 6t^2 \hat{j}) \cdot (\frac{3t^2}{2} \hat{i} + t^3 \hat{j})$.
$P = (6t \cdot \frac{3t^2}{2}) + (6t^2 \cdot t^3) = 9t^3 + 6t^5 \ W$.

(C) दिया गया है कि शक्ति $P$ स्थिर है।
चूंकि $P = F \cdot v = m \cdot a \cdot v = m \cdot \frac{dv}{dt} \cdot v$,इसलिए $m \cdot v \cdot \frac{dv}{dt} = P$ है।
समय के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int m \cdot v \cdot dv = \int P \cdot dt$।
इससे $\frac{1}{2} m v^2 = P \cdot t$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $v^2 \propto t$,या $v \propto t^{1/2}$।
चूंकि वेग $v = \frac{ds}{dt}$ है,इसलिए $\frac{ds}{dt} \propto t^{1/2}$ होगा।
समय के सापेक्ष समाकलन करने पर: $s = \int t^{1/2} dt = \frac{t^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} t^{3/2}$।
अतः,विस्थापन $s \propto t^{3/2}$ है।

(D) दिया गया है:
विस्थापन $x = 2t - 1 \,m$
बल $F = 5 \,N$
चरण $1$: कण का वेग ज्ञात कीजिए।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2t - 1) = 2 \,m/s$
चरण $2$: तात्क्षणिक शक्ति की गणना कीजिए।
शक्ति $P = F \cdot v$
$P = 5 \,N \times 2 \,m/s = 10 \,W$
अतः, तात्क्षणिक शक्ति $10 \,W$ है।

(C) कण को दी गई शक्ति नियत है,$P = 0.5 \ W$।
चूंकि प्रारंभिक चाल शून्य है,इसलिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0 \ J$ है।
$t = 5 \ s$ समय में बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
किया गया कार्य $W = P \times t = 0.5 \ W \times 5 \ s = 2.5 \ J$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,$W = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2 - 0$।
$2.5 \ J = \frac{1}{2} \times 0.2 \ kg \times v^2$।
$2.5 = 0.1 \times v^2$।
$v^2 = 25$।
$v = 5 \ m/s$।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 4 \ kg$,बल $\overrightarrow{F} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \ N$,विस्थापन $\overrightarrow{d} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = (6-3) \hat{i} + (10-4) \hat{j} = (3 \hat{i} + 6 \hat{j}) \ m$,समय $t = 4 \ s$.
किया गया कार्य $W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \cdot (3 \hat{i} + 6 \hat{j}) = (2 \times 3) + (3 \times 6) = 6 + 18 = 24 \ J$.
औसत शक्ति $\langle P \rangle = \frac{W}{t} = \frac{24}{4} = 6 \ W$.
त्वरण $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m} = \frac{2 \hat{i} + 3 \hat{j}}{4} = (0.5 \hat{i} + 0.75 \hat{j}) \ m/s^2$.
$t = 4 \ s$ पर वेग $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{a}t = 0 + (0.5 \hat{i} + 0.75 \hat{j}) \times 4 = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \ m/s$.
तात्क्षणिक शक्ति $P_{ins} = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \cdot (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) = 4 + 9 = 13 \ W$.
औसत शक्ति और तात्क्षणिक शक्ति का अनुपात $\frac{\langle P \rangle}{P_{ins}} = \frac{6}{13}$ है।

(D) दिया गया बल $\vec{F} = (2t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \ N$ और द्रव्यमान $m = 1000 \ g = 1 \ kg$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$\vec{F} = m\vec{a}$,इसलिए $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = (2t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \ m/s^2$ है।
चूंकि $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$,हम समय के सापेक्ष समाकलन करते हैं (मानते हुए कि $t = 0$ पर प्रारंभिक वेग $\vec{v} = 0$ है):
$\vec{v} = \int \vec{a} \ dt = \int (2t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \ dt = t^2 \hat{i} + t^3 \hat{j} \ m/s$ है।
शक्ति $P$ बल और वेग का अदिश गुणनफल है: $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$।
$P = (2t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) \cdot (t^2 \hat{i} + t^3 \hat{j})$।
$P = (2t)(t^2) + (3t^2)(t^3) = 2t^3 + 3t^5 \ W$।

(A) किसी वस्तु पर बल $\vec{F}$ द्वारा लगाई गई शक्ति $P$,जब वस्तु $\vec{v}$ वेग से गति कर रही हो,तो वह अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दी जाती है: $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$।
दिया गया है,$\vec{F} = (4 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) \text{ N}$ और $\vec{v} = (2 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \text{ m s}^{-1}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P = (4 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k})$
$P = (4 \times 2) + (1 \times 2) + (-2 \times 3)$
$P = 8 + 2 - 6$
$P = 4 \text{ W}$।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \ kg$,बल $\vec{F} = t \hat{i} + 2t^2 \hat{j}$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$\vec{F} = m \vec{a}$,इसलिए $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = t \hat{i} + 2t^2 \hat{j}$.
वेग $\vec{v} = \int \vec{a} \ dt = \int (t \hat{i} + 2t^2 \hat{j}) \ dt = \frac{t^2}{2} \hat{i} + \frac{2t^3}{3} \hat{j}$ (प्रारंभिक वेग शून्य मानते हुए)।
शक्ति $P = \vec{F} \cdot \vec{v} = (t \hat{i} + 2t^2 \hat{j}) \cdot (\frac{t^2}{2} \hat{i} + \frac{2t^3}{3} \hat{j})$.
$P = \frac{t^3}{2} + \frac{4t^5}{3}$.
$t = 3 \ s$ पर:
$P = \frac{3^3}{2} + \frac{4(3^5)}{3} = \frac{27}{2} + 4(3^4) = 13.5 + 4(81) = 13.5 + 324 = 337.5 \ W$.

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \ kg$,प्रारंभिक वेग $u = 0$,समय $t = 2 \ s$,अंतिम वेग $v = 10 \ m/s$।
सबसे पहले,$v = u + at$ का उपयोग करके त्वरण $a$ ज्ञात करें:
$10 = 0 + a(2) \implies a = 5 \ m/s^2$।
अब,$t = 1 \ s$ पर वेग $v_1$ ज्ञात करें:
$v_1 = u + a(1) = 0 + 5(1) = 5 \ m/s$।
किसी भी क्षण $t$ पर शक्ति $P$ का सूत्र $P = F \cdot v = (ma) \cdot v$ है।
$t = 1 \ s$ पर:
$P = (1 \ kg) \times (5 \ m/s^2) \times (5 \ m/s) = 25 \ W$।

(A) प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{1}{2} mu^2$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{1}{2} m(2u)^2 = \frac{1}{2} m(4u^2) = 2mu^2$ है।
किया गया कार्य $W = \Delta K = K_2 - K_1 = 2mu^2 - \frac{1}{2} mu^2 = \frac{3}{2} mu^2$ है।
शक्ति $P = \frac{W}{t} = \frac{3mu^2}{2t}$ होगी।

(A) पानी का द्रव्यमान $m = 6 \text{ टन} = 6000 \ kg$ है।
कुल ऊंचाई $h$ जहाँ तक पानी उठाया जाता है = कुएं की गहराई + पहली मंजिल की ऊंचाई = $25 \ m + 35 \ m = 60 \ m$ है।
लिया गया समय $t = 20 \text{ मिनट} = 20 \times 60 \ s = 1200 \ s$ है।
किया गया कार्य $W = mgh = 6000 \ kg \times 10 \ ms^{-2} \times 60 \ m = 3,600,000 \ J$ है।
शक्ति $P = \frac{W}{t} = \frac{3,600,000 \ J}{1200 \ s} = 3000 \ W$ है।
चूंकि $1 \ kW = 1000 \ W$ होता है,इसलिए पंप की शक्ति $3 \ kW$ है।

(B) मान लीजिए कि पिंड विरामावस्था $(u = 0)$ से चलना शुरू करता है और नियत त्वरण $a$ के साथ गति करता है।
किसी समय $t$ पर,पिंड का वेग $v$ गति के पहले समीकरण द्वारा दिया जाता है: $v = u + at = 0 + at = at$।
पिंड पर कार्य करने वाला बल $F$ न्यूटन के गति के दूसरे नियम द्वारा दिया जाता है: $F = ma$।
पिंड को दी गई शक्ति $P$ को बल और वेग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $P = F \cdot v$।
$F$ और $v$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $P = (ma) \cdot (at) = ma^2t$।
चूंकि द्रव्यमान $m$ और त्वरण $a$ नियत हैं,इसलिए पद $ma^2$ नियत है।
अतः,$P \propto t$।

(D) किसी बल द्वारा प्रदान की गई औसत शक्ति, बल द्वारा किए गए कार्य और लिए गए समय का अनुपात होती है।
$P_{av} = \frac{W_g}{t}$
उच्चतम बिंदु पर, ऊर्ध्वाधर विस्थापन अधिकतम ऊँचाई $H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
जब वस्तु जमीन से उच्चतम बिंदु तक जाती है, तो गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_g = mgH_{\max}$ है।
उच्चतम बिंदु तक पहुँचने में लगा समय $t = \frac{u \sin \theta}{g}$ है।
अतः, औसत शक्ति का परिमाण:
$P_{av} = \frac{mg H_{\max}}{t} = \frac{mg \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)}{\left( \frac{u \sin \theta}{g} \right)}$
$P_{av} = \frac{mgu \sin \theta}{2}$

(D) किसी बल $\vec{F}$ द्वारा $\vec{v}$ वेग से गतिमान वस्तु पर लगाई गई शक्ति $P$, बल और वेग सदिशों के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दी जाती है: $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$।
दिया गया है:
$\vec{v} = 7 \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k} \text{ m/s}$
$\vec{F} = 9 \hat{i} + 3 \hat{j} - 3 \hat{k} \text{ N}$
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$P = (9 \hat{i} + 3 \hat{j} - 3 \hat{k}) \cdot (7 \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k})$
$P = (9 \times 7) + (3 \times 2) + (-3 \times -5)$
$P = 63 + 6 + 15$
$P = 84 \text{ W}$

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2000 \ kg$,शक्ति $P = 10 \ kW = 10000 \ W$,समय $t = 10 \ s$.
हम जानते हैं कि शक्ति $P = F \cdot v = (m \cdot a) \cdot v = m \cdot \frac{dv}{dt} \cdot v$.
अतः,$P \cdot dt = m \cdot v \cdot dv$.
दोनों पक्षों का $t = 0$ से $t = 10 \ s$ और $v = 0$ से $v = v$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{10} P \, dt = \int_{0}^{v} m \cdot v \, dv$.
$P \cdot t = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$.
$10000 \times 10 = \frac{1}{2} \times 2000 \times v^2$.
$100000 = 1000 \times v^2$.
$v^2 = 100$.
$v = 10 \ m \ s^{-1}$.

(B) दिया गया है: ट्रेन का द्रव्यमान $m = 10^6 \ kg$,गति $v = 108 \ km/h$।
सबसे पहले,गति को $SI$ इकाइयों में बदलें: $v = 108 \times \frac{5}{18} \ m/s = 30 \ m/s$।
प्रति $100 \ kg$ घर्षण बल $0.5 \ N$ है।
कुल घर्षण बल $F = \frac{10^6 \ kg}{100 \ kg} \times 0.5 \ N = 10^4 \times 0.5 \ N = 5000 \ N$।
चूंकि ट्रेन स्थिर गति से चल रही है,इसलिए ड्राइविंग बल घर्षण बल के बराबर होना चाहिए: $F_{drive} = F = 5000 \ N$।
शक्ति $P = F_{drive} \times v = 5000 \ N \times 30 \ m/s = 150,000 \ W = 150 \ kW$।

(D) शक्ति $(P)$ को कार्य करने की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है, $P = Fv$. चूंकि $P$ स्थिर है, $Fv = \text{स्थिरांक}$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, $F = ma = m \frac{dv}{dt}$.
अतः, $m \frac{dv}{dt} v = P$, जिसका अर्थ है $v dv = \frac{P}{m} dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, $\int v dv = \int \frac{P}{m} dt$, हमें $\frac{1}{2} v^2 = \frac{P}{m} t + C$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि पिंड $t=0$ पर विरामावस्था से शुरू होता है, तो $C=0$, इसलिए $v^2 = \frac{2P}{m} t$, या $v = \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2}$.
चूंकि $v = \frac{ds}{dt}$, हमारे पास $\frac{ds}{dt} = k t^{1/2}$ है जहाँ $k = \sqrt{\frac{2P}{m}}$.
समय के सापेक्ष समाकलन करने पर, $s = \int k t^{1/2} dt = k \frac{t^{3/2}}{3/2} = \frac{2k}{3} t^{3/2}$.
इसलिए, $s \propto t^{3/2}$, जिसका अर्थ है कि $x = \frac{3}{2}$.

(D) कोयले को ऊपर उठाने के लिए किया गया कार्य $(W)$, $W = mgh$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $m = 8000 \ kg$, $g = 10 \ m \ s^{-2}$, और $h = 108 \ m$ है。
$W = 8000 \times 10 \times 108 = 8.64 \times 10^6 \ J$.
लिया गया समय $(t)$ $1 \ \text{घंटा} = 3600 \ s$ है。
उपयोगी शक्ति आउटपुट $(P_{out})$ $P_{out} = W / t = (8.64 \times 10^6) / 3600 = 2400 \ W = 2.4 \ kW$ है。
दी गई दक्षता $(\eta)$ $80 \% = 0.8$ है, इसलिए इनपुट शक्ति $(P_{in})$ $P_{in} = P_{out} / \eta$ होगी。
$P_{in} = 2.4 / 0.8 = 3 \ kW$.
अतः, क्रेन की शक्ति $3 \ kW$ है।

(D) शक्ति को बल और वेग के अदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पिंड '$v$' की एकसमान चाल से गति कर रहा है,न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए।
चित्र से,बल $F_1$ और $F_2$ विपरीत दिशाओं में कार्य कर रहे हैं। इसलिए,कुल बल $F_{net} = F_1 - F_2 = 0$ है।
कुल शक्ति $P_{net}$ कुल बल द्वारा दी गई शक्ति है:
$P_{net} = F_{net} \cdot v = (F_1 - F_2) \cdot v$.
एकसमान गति के लिए $F_1 = F_2$ होने के कारण,$P_{net} = 0 \cdot v = 0$ होगा।

(C) प्रति घंटे पंप किए गए पानी का द्रव्यमान $m = 7560 \text{ kg}$ है।
लिया गया समय $t = 1 \text{ घंटा} = 3600 \text{ s}$ है।
कुएं की गहराई $h = 100 \text{ m}$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \text{ m s}^{-2}$ है।
प्रति सेकंड किया गया उपयोगी कार्य (आउटपुट ऊर्जा) पावर आउटपुट $P_{\text{out}} = \frac{mgh}{t}$ है।
$P_{\text{out}} = \frac{7560 \times 10 \times 100}{3600} = \frac{7560000}{3600} = 2100 \text{ W} = 2.1 \text{ kW}$.
दी गई दक्षता $\eta = 70 \% = 0.7$ है, इसलिए पावर इनपुट $P_{\text{in}}$ को $\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$P_{\text{in}} = \frac{P_{\text{out}}}{\eta} = \frac{2.1 \text{ kW}}{0.7} = 3 \text{ kW}$.
अतः, पंप की शक्ति $3 \text{ kW}$ है।

(A) औसत शक्ति का सूत्र $P_{av} = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$ है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 90 \ kg$
ऊँचाई $h = 600 \ m$
समय $t = 90 \ minutes = 90 \times 60 \ s = 5400 \ s$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ ms^{-2}$.
मान रखने पर:
$P_{av} = \frac{90 \times 10 \times 600}{90 \times 60} = \frac{540000}{5400} = 100 \ W$.

(D) मशीन गन की शक्ति $P$ को प्रति इकाई समय में दी गई कुल गतिज ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$P = \frac{\text{कुल गतिज ऊर्जा}}{\text{समय}}$
$P = \frac{n \times (\frac{1}{2}mv^2)}{t} = \frac{n}{t} \times \frac{1}{2}mv^2$
दिया गया है:
गोलियों की संख्या $n = 300$
समय $t = 60 \,s$
प्रत्येक गोली का द्रव्यमान $m = 4 \,g = 4 \times 10^{-3} \,kg$
वेग $v = 500 \,ms^{-1}$
मान रखने पर:
$P = \frac{300}{60} \times \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-3}) \times (500)^2$
$P = 5 \times \frac{1}{2} \times 0.004 \times 250000$
$P = 5 \times 0.002 \times 250000$
$P = 5 \times 500 = 2500 \,W$
$P = 2.5 \,kW$

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 400 \ g = 0.4 \ kg$,शक्ति $P = 1.2 \ W$,समय $t = 6 \ s$,प्रारंभिक वेग $u = 0 \ m \ s^{-1}$।
बल द्वारा किया गया कार्य $W = P \times t$ द्वारा दिया जाता है।
$W = 1.2 \times 6 = 7.2 \ J$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,बल द्वारा किया गया कार्य मनके की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K.E. = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m u^2$।
चूंकि $u = 0$,इसलिए $W = \frac{1}{2} m v^2$।
$7.2 = \frac{1}{2} \times 0.4 \times v^2$।
$7.2 = 0.2 \times v^2$।
$v^2 = \frac{7.2}{0.2} = 36$।
$v = \sqrt{36} = 6 \ m \ s^{-1}$।

(C)
बल द्वारा कार्य करने की दर को शक्ति $(P)$ कहा जाता है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 50 \,kg$
गति $v = 4 \,ms^{-1}$
बल $F = 500 \,N$
कोण $\theta = 30^\circ$ (क्षैतिज के साथ)
शक्ति का सूत्र:
$P = \vec{F} \cdot \vec{v} = Fv \cos \theta$
मान रखने पर:
$P = 500 \times 4 \times \cos 30^\circ$
$P = 2000 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$P = 1000 \sqrt{3} \,W$
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर:
$P = 1000 \times 1.732 = 1732 \,W$

(C) दिया गया है: बल $F = 5 \,N$, प्रारंभिक वेग $u = 0$, समय $t = 3 \,s$, और तात्कालिक शक्ति $P = 5 \,W$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{5}{m}$ प्राप्त होता है।
$t = 3 \,s$ पर पिंड का वेग $v = u + at = 0 + (\frac{5}{m}) \times 3 = \frac{15}{m} \,m/s$ होगा।
तात्कालिक शक्ति का सूत्र $P = F \cdot v$ है।
मान रखने पर: $5 = 5 \times (\frac{15}{m})$।
$m$ के लिए हल करने पर: $1 = \frac{15}{m}$, जिससे $m = 15 \,kg$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि, $\text{Power} = \frac{\text{Work done}}{\text{Time}}$.
$\Rightarrow P = \frac{W}{t} = \frac{F \times s}{t}$.
$\Rightarrow P = \frac{mgh}{t}$ ... $(i)$.
यहाँ, यात्रियों का कुल वजन $mg = 50 \times 600 \,N = 30,000 \,N$ है।
ऊँचाई $h = 100 \,m$ है।
शक्ति $P = 15 \,kW = 15,000 \,W$ है।
समीकरण $(i)$ में इन मानों को रखने पर:
$t = \frac{mgh}{P}$.
$t = \frac{30,000 \times 100}{15,000}$.
$t = \frac{3,000,000}{15,000} = 200 \,s$.

(D) दिया गया है,शक्ति $P = \frac{1}{4} \ hp = \frac{746}{4} = 186.5 \ W$।
प्रभावी शक्ति $P^{\prime} = 186.5 \times \frac{60}{100} = 111.9 \ W$।
कोणीय वेग $\omega = \frac{2 \pi \times 600}{60} = 20 \pi \ rad/s$।
एक घूर्णन में लगा समय $t = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{20 \pi} = 0.1 \ s$।
एक घूर्णन में किया गया कार्य $W = P^{\prime} \times t = 111.9 \times 0.1 = 11.19 \ J$।