Power Questions in Hindi

(B) $v$ वेग से गतिमान बल $F$ द्वारा प्रदान की गई शक्ति $P$ का सूत्र $P = F \times v$ है।
दिया गया है:
बल $F = 4500 N$
वेग $v = 2 ms^{-1}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P = 4500 N \times 2 ms^{-1} = 9000 W$.
चूंकि $1 kW = 1000 W$,इसलिए:
$P = 9000 W = 9 kW$.
अतः,विद्युत मोटर की शक्ति $9 kW$ है।

(B) शक्ति को कार्य करने की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $P = \frac{W}{t}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों व्यक्ति समान द्रव्यमान को समान सीढ़ियों पर ले जाते हैं,इसलिए किया गया कार्य $W$ दोनों के लिए समान है $(W = mgh)$।
अतः,शक्ति समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $P \propto \frac{1}{t}$।
दोनों व्यक्तियों द्वारा उत्पन्न शक्ति का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{t_2}{t_1}$ है।
यहाँ $t_1 = 15 \ s$ और $t_2 = 20 \ s$ दिया गया है,इसलिए $\frac{P_1}{P_2} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$ होगा।

(D) पानी के द्रव्यमान प्रवाह की दर $\frac{dm}{dt} = Av\rho$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$v$ प्रवाह का वेग है,और $\rho$ पानी का घनत्व है।
उतने ही समय में $n$ गुना पानी प्राप्त करने के लिए,नई द्रव्यमान प्रवाह दर $\left(\frac{dm}{dt}\right)' = n \frac{dm}{dt}$ होनी चाहिए।
चूंकि $A$ और $\rho$ स्थिर हैं,इसलिए $v' = nv$ होगा।
पानी को पंप करने के लिए आवश्यक शक्ति $P = \frac{1}{2} \left(\frac{dm}{dt}\right) v^2$ है।
इसलिए,नई शक्ति $P'$ और मूल शक्ति $P$ का अनुपात:
$\frac{P'}{P} = \frac{\frac{1}{2} (n \frac{dm}{dt}) (v')^2}{\frac{1}{2} (\frac{dm}{dt}) v^2} = n \cdot \frac{(nv)^2}{v^2} = n \cdot n^2 = n^3$.
अतः,शक्ति को $n^3$ के कारक से बढ़ाया जाना चाहिए।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $M = 2000 \ kg$,ऊँचाई $h = 30 \ m$,समय $t_1 = 60 \ s$,समय $t_2 = 120 \ s$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \ m/s^2$.
कार को उठाने के लिए किया गया कार्य $W$,स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = Mgh$.
$W = 2000 \times 9.8 \times 30 = 588,000 \ J = 5.88 \times 10^5 \ J$.
शक्ति $P$ कार्य करने की दर है: $P = W/t$.
पहली क्रेन के लिए: $P_1 = W / t_1 = (5.88 \times 10^5) / 60 = 9800 \ W$.
दूसरी क्रेन के लिए: $P_2 = W / t_2 = (5.88 \times 10^5) / 120 = 4900 \ W$.
अतः,प्रत्येक क्रेन द्वारा आपूर्ति की गई शक्ति क्रमशः $9800 \ W$ और $4900 \ W$ है।

(B) हम जानते हैं कि शक्ति $P = Fv = (ma)v$ होती है।
दिया गया है $a = \frac{P}{mv}$,हम त्वरण को $a = v \frac{dv}{ds}$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस मान को शक्ति समीकरण में रखने पर: $P = m(v \frac{dv}{ds})v = m v^2 \frac{dv}{ds}$ प्राप्त होता है।
समाकलन के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $ds = \frac{m}{P} v^2 dv$ मिलता है।
दोनों पक्षों का प्रारंभिक वेग $v_1$ से अंतिम वेग $v_2$ और दूरी $0$ से $s$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{s} ds = \frac{m}{P} \int_{v_1}^{v_2} v^2 dv$.
$s = \frac{m}{P} [\frac{v^3}{3}]_{v_1}^{v_2}$.
$s = \frac{m}{3P} (v_2^3 - v_1^3)$.

(B) तात्क्षणिक शक्ति $P$ बल सदिश $\vec{F}$ और वेग सदिश $\vec{v}$ के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दी जाती है।
$P = \vec{F} \cdot \vec{v}$
$P = (60\hat{i} + 15\hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (2\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k})$
अदिश गुणनफल के नियम $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1, \hat{j} \cdot \hat{j} = 1, \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ और $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$ आदि का उपयोग करते हुए:
$P = (60 \times 2) + (15 \times -4) + (-3 \times 5)$
$P = 120 - 60 - 15$
$P = 45 \, W$
अतः,तात्क्षणिक शक्ति $45 \, W$ है।

(C) कार को $R$ प्रतिरोध के विरुद्ध $a$ त्वरण के साथ चलाने के लिए इंजन द्वारा आवश्यक कुल बल $F$,न्यूटन के गति के दूसरे नियम द्वारा दिया जाता है: $F_{net} = ma$
चूंकि प्रतिरोध $R$ विपरीत दिशा में कार्य करता है,इसलिए इंजन को $F = R + ma$ बल प्रदान करना होगा।
इंजन द्वारा उत्पन्न शक्ति $P$,बल और वेग का गुणनफल है: $P = F \times v$
$F$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $P = (R + ma)v$.

(C) प्रति इकाई समय में ब्लेडों से टकराने वाले वायु का द्रव्यमान $\frac{dm}{dt} = \rho A v$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ वायु का घनत्व है और $A$ ब्लेडों द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल है।
वायु द्वारा ब्लेडों पर लगाया गया बल $F = v \frac{dm}{dt} = v(\rho A v) = \rho A v^{2}$ है।
उत्पन्न शक्ति बल और वेग का गुणनफल है: $P = F \times v$.
बल के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर: $P = (\rho A v^{2}) \times v = \rho A v^{3}$.
अतः,उत्पन्न शक्ति वेग के घन (cube) के समानुपाती होती है,अर्थात $P \propto v^{3}$।

(B) इंजन की शक्ति गतिज ऊर्जा में परिवर्तन की दर के बराबर होती है।
$\text{Power} (P) = \frac{\Delta K.E.}{\Delta t} = \frac{\frac{1}{2} m (v_2^2 - v_1^2)}{t}$
दिया गया है: $m = 2.05 \times 10^6 \ kg$,$v_1 = 5 \ m/s$,$v_2 = 25 \ m/s$,$t = 5 \ minutes = 300 \ s$.
मान रखने पर:
$P = \frac{0.5 \times 2.05 \times 10^6 \times (25^2 - 5^2)}{300}$
$P = \frac{0.5 \times 2.05 \times 10^6 \times (625 - 25)}{300}$
$P = \frac{0.5 \times 2.05 \times 10^6 \times 600}{300}$
$P = 0.5 \times 2.05 \times 10^6 \times 2$
$P = 2.05 \times 10^6 \ W = 2.05 \ MW$.

(A) गिरते हुए पानी द्वारा उत्पन्न शक्ति का सूत्र है: $P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$.
यहाँ द्रव्यमान प्रवाह की दर $\frac{m}{t} = 100 \ kg/s$,ऊँचाई $h = 100 \ m$ और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P = (\frac{m}{t}) \times g \times h$
$P = 100 \ kg/s \times 10 \ m/s^2 \times 100 \ m$
$P = 100,000 \ W = 10^5 \ W$.
चूँकि $1 \ kW = 1000 \ W$,इसलिए $P = 100 \ kW$ प्राप्त होता है।

(A) शक्ति $(P)$ कार्य करने की दर है,जिसे $P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यह मानते हुए कि दोनों व्यक्ति समान ऊँचाई $(h)$ चढ़ते हैं,शक्ति भार $(m)$ के समानुपाती और समय $(t)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $P \propto \frac{m}{t}$।
दिया गया है कि भार का अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{5}{3}$ और समय का अनुपात $\frac{t_1}{t_2} = \frac{11}{9}$ है।
उनकी शक्ति का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{m_1}{m_2} \times \frac{t_2}{t_1}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{5}{3} \right) \times \left( \frac{9}{11} \right)$।
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{45}{33} = \frac{15}{11}$।

$(A)$ प्रति सेकंड उपलब्ध स्थितिज ऊर्जा इनपुट शक्ति है: $P_{in} = \frac{m}{t} g \Delta h$.
यहाँ,$\frac{m}{t} = 2000 \ kg/s$,$g = 10 \ m/s^2$,और $\Delta h = 550 \ m - 50 \ m = 500 \ m$ है।
$P_{in} = 2000 \times 10 \times 500 = 10,000,000 \ W = 10 \ MW$.
टर्बाइन की दक्षता $\eta = 80\% = 0.8$ है।
उत्पन्न शक्ति (आउटपुट शक्ति) $P_{out} = \eta \times P_{in} = 0.8 \times 10 \ MW = 8 \ MW$ होगी।

(C) पानी के प्रवाह की दर $\frac{dm}{dt} = 15\, kg/s$ है।
ऊँचाई $h = 60\, m$ है और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\, m/s^2$ है।
प्रति सेकंड उपलब्ध कुल स्थितिज ऊर्जा (इनपुट शक्ति) $P_{in} = \frac{dm}{dt} \cdot g \cdot h = 15 \times 10 \times 60 = 9000\, W$ है।
घर्षण के कारण नुकसान $10\%$ है,इसलिए टरबाइन की दक्षता $90\%$ है।
टरबाइन द्वारा उत्पन्न शक्ति $P_{out} = P_{in} \times 0.90 = 9000 \times 0.90 = 8100\, W$ है।
किलोवाट में बदलने पर,$P_{out} = 8.1\, kW$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि पानी का वेग $v$ है और प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $m$ है।
प्रति इकाई समय में बहने वाले पानी का द्रव्यमान (द्रव्यमान प्रवाह दर) प्रति इकाई लंबाई के द्रव्यमान और वेग के गुणनफल द्वारा दिया जाता है:
$\text{द्रव्यमान प्रवाह दर} = m \times v$
$v$ वेग से गतिमान $M$ द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} Mv^2$ होती है।
गतिज ऊर्जा प्रदान करने की दर शक्ति $P$ है,जो प्रति इकाई समय की गतिज ऊर्जा है:
$P = \frac{1}{2} (\text{द्रव्यमान प्रवाह दर}) v^2$
$P = \frac{1}{2} (mv) v^2 = \frac{1}{2} mv^3$.

(D) दिया गया है:
पानी के प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान,$\mu = 100\, kg/m$.
पानी का वेग,$v = 2\, m/s$.
पानी के प्रवाह की दर (द्रव्यमान प्रवाह दर) $\frac{dm}{dt} = \mu \cdot v$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$\frac{dm}{dt} = 100\, kg/m \times 2\, m/s = 200\, kg/s$.
इंजन द्वारा प्रदान की जाने वाली शक्ति $P = \mu v^3$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$P = 100 \times (2)^3 = 100 \times 8 = 800\, W$.
अतः,इंजन की शक्ति $800\, W$ है।

(D) कण विराम अवस्था से शुरू होता है,इसलिए इसका प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
दिया गया त्वरण $a$ एकसमान है,इसलिए $T$ समय पर वेग $V = aT$ होगा,जिसका अर्थ है $a = \frac{V}{T}$।
कण पर कार्य करने वाला बल $F = Ma = M \left( \frac{V}{T} \right)$ है।
कण को दी गई शक्ति $P = F \cdot V$ के रूप में परिभाषित है।
$F$ और $V$ के मान रखने पर:
$P = \left( M \frac{V}{T} \right) \cdot V = \frac{MV^2}{T}$।
हालाँकि,औसत शक्ति $P_{avg} = \frac{W}{T} = \frac{\Delta K}{T} = \frac{1}{2} \frac{MV^2}{T}$ होती है।
अतः,विकल्प $D$ कण को दी गई औसत शक्ति को दर्शाता है।

(B) तात्कालिक शक्ति $P_0$ को $P_0 = Fv$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $F = ma = m(dv/dt)$,हम लिख सकते हैं $P_0 = mv(dv/dt)$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P_0 dt = mv dv$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $t=0$ से $t$ और $v=0$ से $v$ तक समाकलन करने पर:
$\int_0^t P_0 dt = \int_0^v mv dv$
$P_0 t = \frac{1}{2}mv^2$।
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $v = \sqrt{\frac{2P_0 t}{m}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$v \propto \sqrt{t}$ या $v \propto t^{1/2}$।

(A) कण को दी गई शक्ति $P$ स्थिर है,इसलिए $P = k$ है।
चूंकि $P = \frac{dW}{dt}$,इसलिए $dW = k dt$ है।
$0$ से $t$ तक दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $W = kt$ प्राप्त होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2 - 0$।
$W$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $kt = \frac{1}{2}mv^2$,जिससे $v = \sqrt{\frac{2kt}{m}}$ प्राप्त होता है।
त्वरण $a$,वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \sqrt{\frac{2k}{m}} t^{1/2} \right) = \sqrt{\frac{2k}{m}} \cdot \frac{1}{2} t^{-1/2} = \sqrt{\frac{k}{2mt}}$।
कण पर लगने वाला बल $F = ma$ है:
$F = m \cdot \sqrt{\frac{k}{2mt}} = \sqrt{\frac{m^2 k}{2mt}} = \sqrt{\frac{mk}{2t}} = \sqrt{\frac{mk}{2}} t^{-1/2}$।

(C) दिया गया है: बल $\overrightarrow{F} = (2t\hat{i} + 3t^2\hat{j})\, N$ और द्रव्यमान $m = 1\, kg$ है।
पिंड का त्वरण $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m} = \frac{2t\hat{i} + 3t^2\hat{j}}{1} = (2t\hat{i} + 3t^2\hat{j})\, m/s^2$ है।
समय $t$ पर वेग $\overrightarrow{v}$ त्वरण का समय के सापेक्ष समाकलन करने पर प्राप्त होता है: $\overrightarrow{v} = \int \overrightarrow{a} dt = \int (2t\hat{i} + 3t^2\hat{j}) dt = t^2\hat{i} + t^3\hat{j}\, m/s$।
बल द्वारा विकसित शक्ति $P$,बल और वेग का अदिश गुणनफल है: $P = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v}$।
$P = (2t\hat{i} + 3t^2\hat{j}) \cdot (t^2\hat{i} + t^3\hat{j}) = (2t)(t^2) + (3t^2)(t^3) = 2t^3 + 3t^5\, W$।

(C) पानी पंप करने के लिए आवश्यक शक्ति स्थितिज ऊर्जा के परिवर्तन की दर द्वारा दी जाती है,$P = \frac{mgh}{t}$।
दिया गया है:
गहराई,$h = 10 \ m$
आयतन प्रवाह दर,$\frac{V}{t} = 10^{-1} \ m^3/s$
पानी का घनत्व,$\rho = 10^3 \ kg/m^3$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 9.8 \ m/s^2$
प्रति इकाई समय में पंप किए गए पानी का द्रव्यमान $\frac{m}{t} = \rho \times \frac{V}{t}$ है।
$\frac{m}{t} = 10^3 \ kg/m^3 \times 10^{-1} \ m^3/s = 100 \ kg/s$।
अब,आवश्यक शक्ति है:
$P = (\frac{m}{t}) \times g \times h$
$P = 100 \ kg/s \times 9.8 \ m/s^2 \times 10 \ m$
$P = 9800 \ W$
किलोवाट में बदलने पर:
$P = \frac{9800}{1000} \ kW = 9.8 \ kW$।

(C) शक्ति को कार्य करने की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $P = Fv$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $F = ma$ और $a = \frac{dv}{dt}$,इसलिए $P = m \left( \frac{dv}{dt} \right) v = k$ (जहाँ $k$ एक नियतांक है)।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $v dv = \frac{k}{m} dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\frac{v^2}{2} = \frac{k}{m} t$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{\frac{2k}{m}} t^{1/2}$।
चूंकि $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए $\frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2k}{m}} t^{1/2}$।
समय $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $x = \int \sqrt{\frac{2k}{m}} t^{1/2} dt = \sqrt{\frac{2k}{m}} \left( \frac{t^{3/2}}{3/2} \right) = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{2k}{m}} t^{3/2}$ प्राप्त होता है।
अतः,विस्थापन $x$ का मान $t^{3/2}$ के समानुपाती है।

(A) दिया गया है कि पिंड विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर,हमें $v = 0 + aT$ प्राप्त होता है,जिससे त्वरण $a = \frac{v}{T}$ मिलता है।
पिंड पर कार्य करने वाला बल $F = ma = m(\frac{v}{T})$ है।
किसी भी समय $t$ पर पिंड का वेग $v(t) = at = (\frac{v}{T})t$ होता है।
तात्क्षणिक शक्ति $P$ को $P = F \cdot v(t)$ द्वारा व्यक्त किया जाता है।
मान रखने पर,$P = (m \cdot \frac{v}{T}) \cdot (\frac{v}{T}t) = \frac{mv^2}{T^2}t$।

(A) तात्क्षणिक शक्ति $P$,बल सदिश $\overrightarrow{F}$ और वेग सदिश $\overrightarrow{V}$ के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दी जाती है।
$P = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{V}$
दिए गए सदिशों का मान रखने पर:
$P = (60 \hat{i} + 15 \hat{j} - 3 \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} - 4 \hat{j} + 5 \hat{k})$
अदिश गुणनफल के गुण का उपयोग करते हुए ($\hat{i} \cdot \hat{i} = 1, \hat{j} \cdot \hat{j} = 1, \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ और अन्य पद $0$ हो जाते हैं):
$P = (60 \times 2) + (15 \times -4) + (-3 \times 5)$
$P = 120 - 60 - 15$
$P = 45 \; W$

(D) शक्ति कार्य करने की दर है,जिसे $P = \frac{W}{t}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{S}$ है।
दिया गया है $\vec{F} = (2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})\,N$ और $\vec{S} = (3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k})\,m$.
$W = (2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}) = (2 \times 3) + (3 \times 4) + (4 \times 5) = 6 + 12 + 20 = 38\,J$.
दिया गया समय $t = 4\,s$.
$P = \frac{38}{4} = 9.5\,W$.

(B) औसत शक्ति $P_{av}$ को कुल किए गए कार्य और कुल लिए गए समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$P_{av} = \frac{W}{t}$
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कुल कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K = K_f - K_i$
दिया गया है,द्रव्यमान $m = 10\, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 0\, m/s$,अंतिम वेग $v = 2\, m/s$,और समय $t = 20\, s$ है।
$K_i = \frac{1}{2} m u^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 0^2 = 0\, J$
$K_f = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 2^2 = 20\, J$
$W = 20\, J - 0\, J = 20\, J$
अब,औसत शक्ति की गणना करने पर:
$P_{av} = \frac{20\, J}{20\, s} = 1\, W$.

(A) वस्तु विराम अवस्था से शुरू होती है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
चूंकि इसे $T$ समय में $v$ गति तक समान रूप से त्वरित किया जाता है,इसलिए त्वरण $a = \frac{v - u}{T} = \frac{v}{T}$ है।
किसी भी समय $t$ पर वेग $v(t) = at = \frac{v}{T}t$ होगा।
वस्तु पर कार्य करने वाला बल $F = ma = m\left(\frac{v}{T}\right)$ है।
तात्क्षणिक शक्ति $P = F \cdot v(t)$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$P = \left(m \frac{v}{T}\right) \left(\frac{v}{T}t\right) = \frac{mv^2}{T^2}t$ प्राप्त होता है।

(D) बल $F$ द्वारा प्रदान की गई शक्ति $P$ सूत्र $P = F \cdot v$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ पिंड का वेग है।
चूंकि बल $F$ स्थिर है,इसलिए पिंड का त्वरण $a$ भी स्थिर रहता है,जो $a = F/m$ है।
विरामावस्था $(u = 0)$ से शुरू करते हुए,किसी भी समय $t$ पर वेग $v = u + at = 0 + (F/m)t = (F/m)t$ होता है।
इसे शक्ति के सूत्र में रखने पर,हमें $P = F \cdot ((F/m)t) = (F^2/m)t$ प्राप्त होता है।
यहाँ $F$ और $m$ स्थिर हैं,इसलिए $P \propto t$ है।
यह शक्ति $P$ और समय $t$ के बीच एक रैखिक संबंध को दर्शाता है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
इसलिए,समय $t$ के साथ शक्ति $P$ में रैखिक वृद्धि दिखाने वाला ग्राफ सही है,जो विकल्प $D$ के अनुरूप है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2\, kg$,शक्ति $P = \frac{3t^2}{2}$,और प्रारंभिक वेग $v(0) = 0$.
हम जानते हैं कि शक्ति $P = F \cdot v = (m \cdot a) \cdot v = m \cdot v \cdot \frac{dv}{dt}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $2 \cdot v \cdot \frac{dv}{dt} = \frac{3t^2}{2}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $v \cdot dv = \frac{3t^2}{4} \cdot dt$.
दोनों पक्षों का $t = 0$ से $t = 2$ और $v = 0$ से $v = V$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{V} v \, dv = \int_{0}^{2} \frac{3t^2}{4} \, dt$.
$\left[ \frac{v^2}{2} \right]_{0}^{V} = \frac{3}{4} \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{2}$.
$\frac{V^2}{2} = \frac{1}{4} \cdot (2^3 - 0^3) = \frac{8}{4} = 2$.
$V^2 = 4$,जिससे $V = 2\, m/s$ प्राप्त होता है।

(D) शक्ति कार्य करने की दर है,जिसे $P = \frac{W_{work}}{t} = \frac{mgh}{t} = \frac{W_{weight}h}{t}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों व्यक्ति एक ही सीढ़ी चढ़ते हैं,इसलिए ऊंचाई $h$ दोनों के लिए समान है।
भार का अनुपात $W_1 : W_2 = 4 : 3$ और समय का अनुपात $t_1 : t_2 = 12 : 11$ दिया गया है।
उनकी शक्तियों का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{W_1}{W_2} \times \frac{t_2}{t_1}$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{P_1}{P_2} = \frac{4}{3} \times \frac{11}{12} = \frac{44}{36} = \frac{11}{9}$।
अतः,पहले और दूसरे व्यक्ति की शक्ति का अनुपात $11/9$ है।

(D) $v$ गति से चलने वाली हवा के $m$ द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ होती है।
$t$ समय में $A$ क्षेत्रफल से गुजरने वाली हवा का द्रव्यमान $m = \rho A v t$ है,जहाँ $\rho$ हवा का घनत्व है।
गतिज ऊर्जा के प्रवाह की दर (शक्ति) $P = \frac{dK}{dt} = \frac{1}{2} \left(\frac{dm}{dt}\right) v^2$ है।
चूंकि $\frac{dm}{dt} = \rho A v$,हम इसे शक्ति समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$P = \frac{1}{2} (\rho A v) v^2 = \frac{1}{2} \rho A v^3$.
चूंकि जनरेटर इस ऊर्जा के एक निश्चित अंश को परिवर्तित करता है,इसलिए विद्युत शक्ति आउटपुट $v^3$ के समानुपाती होता है।

(D) पानी का आयतन $V = 9\,m^3$ है। पानी का घनत्व $\rho = 1000\,kg/m^3$ मानते हुए,पानी का द्रव्यमान $m = \rho V = 1000 \times 9 = 9000\,kg$ है।
पानी को $h = 10\,m$ की ऊंचाई तक उठाने के लिए किया गया कार्य $W = mgh = 9000 \times 10 \times 10 = 9 \times 10^5\,J$ है।
लिया गया समय $t = 5\,minutes = 5 \times 60 = 300\,s$ है।
आउटपुट शक्ति $P_{out} = \frac{W}{t} = \frac{9 \times 10^5}{300} = 3000\,W = 3\,kW$ है।
इनपुट शक्ति $P_{in} = 10\,kW$ है।
दक्षता $\eta = \left(\frac{P_{out}}{P_{in}}\right) \times 100 = \left(\frac{3\,kW}{10\,kW}\right) \times 100 = 30\%$ है।

(C) किसी बल $F$ द्वारा एक स्थिर वेग $v$ से गतिमान वस्तु पर दी गई शक्ति $P$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$P = F \times v$
दिया गया है:
बल $F = 500\, N$
वेग $v = 3.0\, m/s$
मान रखने पर:
$P = 500\, N \times 3.0\, m/s = 1500\, W$
चूंकि $1\, kW = 1000\, W$,हम शक्ति को किलोवाट में बदलते हैं:
$P = \frac{1500}{1000}\, kW = 1.5\, kW$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) किया गया कार्य $(W)$ = बल $\times$ दूरी
$W = 40\, N \times 30\, m = 1200\, J$
शक्ति $(P)$ को कार्य करने की दर के रूप में परिभाषित किया गया है:
$P = \frac{W}{t}$
दिया गया समय $t = 1\, \text{मिनट} = 60\, s$
$P = \frac{1200\, J}{60\, s} = 20\, W$

(A) आवश्यक कुल शक्ति,पानी को गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध ऊपर उठाने के लिए आवश्यक शक्ति और पानी को गतिज ऊर्जा प्रदान करने के लिए आवश्यक शक्ति का योग है।
शक्ति $P = \frac{W}{t} = \frac{mgh + \frac{1}{2}mv^2}{t}$
दिया गया है: $m = 1000 \, kg$,$t = 60 \, s$,$h = 10 \, m$,$v = 10 \, m/s$,$g = 10 \, m/s^2$.
$P = \frac{1000 \times 10 \times 10 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (10)^2}{60}$
$P = \frac{100000 + 50000}{60} = \frac{150000}{60} = 2500 \, W$.
चूंकि $1 \, HP = 746 \, W$,इसलिए हॉर्सपावर में शक्ति:
$P_{HP} = \frac{2500}{746} \approx 3.35 \, HP$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $3.33 \, HP$ है।

(D) शक्ति कार्य करने की दर है,जिसे $P = \frac{W}{t}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
चूंकि किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{S}$ है,इसलिए शक्ति $P = \frac{\vec{F} \cdot \vec{S}}{t}$ होगी।
दिया गया है: $\vec{F} = (2\hat i + 3\hat j + 4\hat k) \text{ N}$,$\vec{S} = (3\hat i + 4\hat j + 5\hat k) \text{ m}$,और $t = 4 \text{ s}$।
डॉट प्रोडक्ट की गणना करने पर: $\vec{F} \cdot \vec{S} = (2 \times 3) + (3 \times 4) + (4 \times 5) = 6 + 12 + 20 = 38 \text{ J}$।
अतः,$P = \frac{38}{4} = 9.5 \text{ W}$।

(C) बल $\vec{F}$ द्वारा $\vec{v}$ वेग से गतिमान कण पर कार्य करने वाली तात्क्षणिक शक्ति $P$,बल और वेग सदिशों के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दी जाती है:
$P = \vec{F} \cdot \vec{v}$
दिया गया है:
$\vec{v} = (5\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}) \text{ m/s}$
$\vec{F} = (10\hat{i} + 10\hat{j} + 20\hat{k}) \text{ N}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P = (10\hat{i} + 10\hat{j} + 20\hat{k}) \cdot (5\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k})$
अदिश गुणनफल के नियम $(a_x\hat{i} + a_y\hat{j} + a_z\hat{k}) \cdot (b_x\hat{i} + b_y\hat{j} + b_z\hat{k}) = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$ का उपयोग करते हुए:
$P = (10 \times 5) + (10 \times -3) + (20 \times 6)$
$P = 50 - 30 + 120$
$P = 140 \text{ W}$ (या $\text{J/s}$)
अतः,तात्क्षणिक शक्ति $140 \text{ J/s}$ है।

(B) एथलीट का द्रव्यमान $m = 60\, kg$ है।
प्रत्येक चरण की ऊँचाई $h = 25\, cm = 0.25\, m = \frac{1}{4}\, m$ है।
प्रति मिनट चरणों की संख्या $n = 20$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8\, m/s^2$ है।
एक चरण में किया गया कार्य $W_{step} = mgh = 60 \times 9.8 \times 0.25 = 147\, J$ है।
एक मिनट में किया गया कुल कार्य $W_{total} = n \times W_{step} = 20 \times 147 = 2940\, J$ है।
विकसित शक्ति $P = \frac{W_{total}}{t}$ है,जहाँ $t = 60\, s$ है।
$P = \frac{2940}{60} = 49\, W$.

(A) शक्ति $P$ को बल $F$ और वेग $v$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $P = F \cdot v$ द्वारा दिया जाता है।
यदि शक्ति $P$ को नियत रहना है,तो $F \cdot v = \text{नियत}$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $F = \frac{\text{नियत}}{v}$।
अतः,बल को गति के व्युत्क्रमानुपाती होना चाहिए,जिसे $F \propto \frac{1}{v}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

(C) $v$ वेग से गति कर रहे कण पर कार्य करने वाले बल $F$ द्वारा दी गई शक्ति $P$ को $P = F \cdot v$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
बल $F = \frac{K}{v}$ के दिए गए व्यंजक को शक्ति के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P = \left( \frac{K}{v} \right) \cdot v = K$ प्राप्त होता है।
चूँकि $K$ एक स्थिरांक है,बल द्वारा दी गई शक्ति समय के साथ स्थिर रहती है।
स्थिर शक्ति $P$ द्वारा समय अंतराल $t$ में किया गया कार्य $W$ सूत्र $W = P \cdot t$ द्वारा दिया जाता है।
$P = K$ रखने पर,हमें $W = K \cdot t$ प्राप्त होता है।

(A) कार को दी गई शक्ति $P = Fv$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $F = ma = m \frac{dv}{dt} = m \frac{dv}{ds} \frac{ds}{dt} = mv \frac{dv}{ds}$,हम इसे शक्ति समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$P = (mv \frac{dv}{ds}) v = mv^2 \frac{dv}{ds}$.
वेग और दूरी के संबंध में समाकलन करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$v^2 dv = \frac{P}{m} ds$.
दोनों पक्षों का प्रारंभिक वेग $v$ से अंतिम वेग $2v$ और दूरी $0$ से $S$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{v}^{2v} v^2 dv = \int_{0}^{S} \frac{P}{m} ds$.
समाकलन का मान प्राप्त करने पर:
$\left[ \frac{v^3}{3} \right]_{v}^{2v} = \frac{P}{m} S$.
$\frac{(2v)^3 - v^3}{3} = \frac{PS}{m}$.
$\frac{8v^3 - v^3}{3} = \frac{PS}{m}$.
$\frac{7v^3}{3} = \frac{PS}{m}$.
$S$ के लिए हल करने पर:
$S = \frac{7mv^3}{3P}$.

(C) निकाय में दो द्रव्यमान $m_1$ और $m_2$ एक घिरनी से गुजरने वाली डोरी से जुड़े हैं।
चूंकि $m_2 > m_1$,गुरुत्वाकर्षण के कारण $m_2$ नीचे की ओर गति करने की प्रवृत्ति रखता है,जो $m_1$ को ऊपर की ओर खींचता है।
$m_1$ को $v$ के नियत वेग से ऊपर खींचने के लिए,एक बाहरी बल $F_{ext}$ लगाया जाना चाहिए।
निकाय के नियत वेग से गति करने के लिए,निकाय पर कुल बल शून्य होना चाहिए।
निकाय पर कार्य करने वाले बल हैं: $m_2$ पर गुरुत्वाकर्षण बल ($m_2g$ नीचे की ओर),$m_1$ पर गुरुत्वाकर्षण बल ($m_1g$ नीचे की ओर),और $m_1$ पर कार्य करने वाला बाहरी बल $F_{ext}$ (नीचे की ओर)।
संतुलन के लिए बलों को बराबर करने पर: $F_{ext} + m_1g = m_2g$।
अतः,$F_{ext} = (m_2 - m_1)g$।
बाहरी एजेंट द्वारा प्रदान की गई तात्कालिक शक्ति $P = F_{ext} \cdot v$ द्वारा दी जाती है।
$F_{ext}$ का मान रखने पर,हमें $P = (m_2 - m_1)gv$ प्राप्त होता है।

(B) वायुगतिकीय ड्रैग बल $F$,गति $V$ के समानुपाती है,इसलिए $F = kV$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
शक्ति $P$ को बल और वेग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $P = F \cdot V$.
शक्ति समीकरण में $F = kV$ रखने पर,हमें $P = (kV) \cdot V = kV^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $P \propto V^2$,या $V \propto \sqrt{P}$.
यदि शक्ति आउटपुट $P$ को दोगुना करके $2P$ कर दिया जाए,तो नई गति $V'$ होगी $V' \propto \sqrt{2P} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{P}$.
अतः,नई गति $V'$,मूल गति $V$ की $\sqrt{2}$ गुना होगी।

(A) पिंड विराम अवस्था $(u = 0)$ से शुरू होता है और $T$ समय में $v$ गति प्राप्त करने के लिए समान रूप से त्वरित होता है।
त्वरण $a$ का मान $a = \frac{v - u}{T} = \frac{v}{T}$ है।
किसी भी समय $t$ पर वेग $v(t) = at = \frac{v}{T} t$ है।
पिंड पर कार्य करने वाला बल $F = ma = m \left( \frac{v}{T} \right)$ है।
तात्कालिक शक्ति $P$ को $P = F \cdot v(t)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$F$ और $v(t)$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P = \left( m \frac{v}{T} \right) \left( \frac{v}{T} t \right)$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$P = \frac{m v^2 t}{T^2}$.

(B) पानी को पंप करने के लिए आवश्यक शक्ति $P$ गतिज ऊर्जा के परिवर्तन की दर द्वारा दी जाती है।
$P = \frac{d}{dt} (\frac{1}{2} m v^2) = \frac{1}{2} v^2 \frac{dm}{dt}$.
यहाँ,$\frac{dm}{dt}$ द्रव्यमान प्रवाह दर है,जिसे $\frac{dm}{dt} = \lambda v$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $\lambda$ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $(100\, kg/m)$ है और $v$ वेग $(2\, m/s)$ है।
अतः,$\frac{dm}{dt} = 100\, kg/m \times 2\, m/s = 200\, kg/s$.
इस मान को शक्ति के सूत्र में रखने पर:
$P = \frac{1}{2} \times (200\, kg/s) \times (2\, m/s)^2$.
$P = \frac{1}{2} \times 200 \times 4 = 400\, W$.

(C) व्यक्तियों का कुल द्रव्यमान $M_p = 10 \times 68 \; kg = 680 \; kg$ है।
लिफ्ट प्रणाली का कुल द्रव्यमान $M = M_p + M_{elevator} = 680 \; kg + 920 \; kg = 1600 \; kg$ है।
गुरुत्वाकर्षण के कारण नीचे की ओर लगने वाला कुल बल $F_g = M \times g = 1600 \; kg \times 10 \; m/s^{2} = 16000 \; N$ है।
ऊपर की ओर गति का विरोध करने वाला घर्षण बल $f = 6000 \; N$ है।
चूंकि लिफ्ट स्थिर गति से चलती है,इसलिए त्वरण शून्य है। अतः,केबल में तनाव $T$ को नीचे की ओर लगने वाले कुल बल को संतुलित करना चाहिए:
$T = F_g + f = 16000 \; N + 6000 \; N = 22000 \; N$.
मोटर द्वारा दी गई शक्ति $P = T \times v$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ वेग है।
$P = 22000 \; N \times 3 \; m/s = 66000 \; W$.

(C) मान लीजिए कि लिफ्ट $V$ की स्थिर गति से ऊपर की ओर बढ़ रही है।
लिफ्ट पर कार्य करने वाला कुल नीचे की ओर बल गुरुत्वाकर्षण बल और घर्षण बल का योग है।
$T = mg + f_r$
यहाँ $m = 2000\; kg$,$g = 10\; ms^{-2}$,और $f_r = 4000\; N$ दिया गया है।
$T = (2000 \times 10) + 4000 = 20000 + 4000 = 24000\; N$.
मोटर की शक्ति $P = T \times V$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $P = 60\; HP = 60 \times 746\; W = 44760\; W$ है।
शक्ति को बराबर करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$44760 = 24000 \times V$
$V = \frac{44760}{24000} = 1.865\; m/s$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,गति लगभग $1.9\; m/s$ है।

(N/A) लिफ्ट पर कार्य करने वाला कुल नीचे की ओर बल,गुरुत्वाकर्षण बल और घर्षण बल का योग है।
$F = mg + F_{f} = (1800 \times 10) + 4000 = 18000 + 4000 = 22000 \; N$.
चूंकि लिफ्ट स्थिर गति से चल रही है,इसलिए मोटर को कुल नीचे की ओर बल के बराबर ऊपर की ओर बल लगाना होगा।
शक्ति $P$,बल और वेग का गुणनफल है: $P = F \cdot v$.
$P = 22000 \; N \times 2 \; m s^{-1} = 44000 \; W$.
शक्ति को हॉर्सपावर $(hp)$ में बदलने के लिए,हम रूपांतरण कारक $1 \; hp = 746 \; W$ का उपयोग करते हैं।
$P = \frac{44000}{746} \approx 58.98 \; hp \approx 59 \; hp$.

(C) शक्ति कार्य करने की दर है, जिसे $P = Fv$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $F = ma = m(dv/dt)$, इसलिए $P = mv(dv/dt) = \text{नियतांक} (k)$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $v dv = (k/m) dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें $v^2/2 = (k/m)t$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $v = \sqrt{2k/m} \cdot t^{1/2}$।
चूंकि वेग $v = dx/dt$ है, इसलिए $dx/dt = \sqrt{2k/m} \cdot t^{1/2}$।
समय $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर, हमें $x = \int \sqrt{2k/m} \cdot t^{1/2} dt = \sqrt{2k/m} \cdot (t^{3/2} / (3/2)) = (2/3) \sqrt{2k/m} \cdot t^{3/2}$ प्राप्त होता है।
अतः, विस्थापन $x$ का मान $t^{3/2}$ के समानुपाती है।

(D) टंकी का आयतन, $V = 30 \; m^{3}$.
कार्य का समय, $t = 15 \; min = 15 \times 60 = 900 \; s$.
टंकी की ऊँचाई, $h = 40 \; m$.
पंप की दक्षता, $\eta = 30 \% = 0.3$.
पानी का घनत्व, $\rho = 10^{3} \; kg/m^{3}$.
पानी का द्रव्यमान, $m = \rho \times V = 10^{3} \times 30 = 30,000 \; kg$.
आउटपुट पावर $(P_{out})$ गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध कार्य करने की दर है:
$P_{out} = \frac{mgh}{t} = \frac{30,000 \times 9.8 \times 40}{900} = \frac{11,760,000}{900} = 13,066.67 \; W \approx 13.067 \; kW$.
इनपुट पावर $(P_{in})$ और आउटपुट पावर के बीच संबंध: $\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}}$.
$P_{in} = \frac{P_{out}}{\eta} = \frac{13.067 \; kW}{0.3} = 43.556 \; kW$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, खपत की गई शक्ति $43.6 \; kW$ है।

(C) पवनचक्की द्वारा घेरे गए वृत्त का क्षेत्रफल $= A$
हवा का वेग $= v$
हवा का घनत्व $= \rho$
पवनचक्की से प्रति सेकंड बहने वाली हवा का आयतन $= A v$
पवनचक्की से प्रति सेकंड बहने वाली हवा का द्रव्यमान $= \rho A v$
$t$ समय में पवनचक्की से बहने वाली हवा का द्रव्यमान $m = \rho A v t$
हवा की गतिज ऊर्जा $= \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} (\rho A v t) v^{2} = \frac{1}{2} \rho A v^{3} t$
दिया गया है: $A = 30\;m^{2}, v = 36\;km/h = 10\;m/s, \rho = 1.2\;kg\;m^{-3}$
उत्पन्न विद्युत ऊर्जा $= 25\%$ पवन ऊर्जा $= \frac{25}{100} \times (\frac{1}{2} \rho A v^{3} t) = \frac{1}{8} \rho A v^{3} t$
विद्युत शक्ति $= \frac{\text{विद्युत ऊर्जा}}{\text{समय}} = \frac{1}{8} \rho A v^{3}$
शक्ति $= \frac{1}{8} \times 1.2 \times 30 \times (10)^{3} = 4.5 \times 10^{3}\;W = 4.5\;kW$