Power Questions in Hindi

(B) एक बल $\vec F$ द्वारा $\vec v$ वेग से गति कर रहे कण पर आरोपित तात्क्षणिक शक्ति $P$,बल और वेग सदिशों के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दी जाती है:
$P = \vec F \cdot \vec v$
यहाँ $\vec F = 20\hat i + 15\hat j - 5\hat k \, N$ और $\vec v = 6\hat i - 4\hat j + 3\hat k \, m/s$ दिया गया है।
$P = (20\hat i + 15\hat j - 5\hat k) \cdot (6\hat i - 4\hat j + 3\hat k)$
$P = (20 \times 6) + (15 \times -4) + (-5 \times 3)$
$P = 120 - 60 - 15$
$P = 120 - 75$
$P = 45 \, J/s$.

(C) शक्ति को कार्य करने की दर या ऊर्जा स्थानांतरण की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$P = \frac{W}{t}$ होता है।
कार्य $(W)$ का $SI$ मात्रक जूल $(J)$ है और समय $(t)$ का $SI$ मात्रक सेकंड $(s)$ है।
इसलिए,शक्ति का मात्रक जूल प्रति सेकंड $(J/s)$ है।
परिभाषा के अनुसार,$1 \text{ Watt} = 1 \text{ Joule/second}$ होता है।
अतः,जूल प्रति सेकंड और वाट दोनों ही शक्ति के मान्य मात्रक हैं।

(D) पिंड विरामावस्था $(u = 0)$ से शुरू होता है और $t_1$ समय में $v_1$ वेग प्राप्त करता है।
त्वरण $a = \frac{v_1 - u}{t_1} = \frac{v_1}{t_1}$ है।
किसी भी समय $t$ पर,पिंड का वेग $v = at = \left( \frac{v_1}{t_1} \right)t$ होगा।
पिंड पर कार्य करने वाला बल $F = ma = m \left( \frac{v_1}{t_1} \right)$ है।
पिंड को दी गई तात्क्षणिक शक्ति $P = F \cdot v$ है।
$F$ और $v$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P = \left( m \frac{v_1}{t_1} \right) \times \left( \frac{v_1}{t_1} t \right) = \frac{mv_1^2t}{t_1^2}$.

(D) दिया गया है:
वेग $v = 7.2 \text{ km/hr} = 7.2 \times \frac{5}{18} = 2 \text{ m/s}$.
ढलान $1$ इन $20$ है, इसलिए $\sin \theta = \frac{1}{20}$.
द्रव्यमान $m = 100 \text{ kg}$.
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \text{ m/s}^2$.
जब आदमी और साइकिल पहाड़ी पर ऊपर जाते हैं, तो भार का वह घटक जो गति का विरोध करता है, $F = mg \sin \theta$ है।
आवश्यक शक्ति $P = F \times v$ द्वारा दी जाती है।
$P = (mg \sin \theta) \times v$.
$P = 100 \times 9.8 \times \left( \frac{1}{20} \right) \times 2$.
$P = 98 \text{ W}$.

(A) शक्ति $P$ कार्य करने की दर है,जिसे $P = \frac{W}{t}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
किया गया कार्य $W = F \times s$,जहाँ $F = 40 N$ और $s = 30 m$ है।
अतः,$W = 40 N \times 30 m = 1200 J$.
लिया गया समय $t = 1 \text{ मिनट} = 60 s$.
इसलिए,$P = \frac{1200 J}{60 s} = 20 W$.
इस प्रकार,मोटर द्वारा आपूर्ति की गई शक्ति $20 W$ है।

(B) किसी बल $F$ द्वारा एक स्थिर वेग $v$ से गतिमान वस्तु पर किए गए कार्य की दर (शक्ति) का सूत्र $P = F \cdot v$ है।
दिया गया है:
तनाव (बल) $F = 4500 \, N$
वेग $v = 2 \, m/s$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P = 4500 \, N \times 2 \, m/s = 9000 \, W$
चूंकि $1 \, kW = 1000 \, W$,इसलिए:
$P = 9000 \, W = 9 \, kW$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) शक्ति $P$ को कार्य करने की दर के रूप में परिभाषित किया गया है,जो $P = \frac{W}{t}$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W = mgh$ है,इसलिए शक्ति $P = \frac{mgh}{t}$ होगी।
दिए गए मान हैं: द्रव्यमान $m = 300 \ kg$,ऊँचाई $h = 2 \ m$,समय $t = 3 \ s$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \ m/s^2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P = \frac{300 \times 9.8 \times 2}{3}$
$P = 100 \times 9.8 \times 2$
$P = 1960 \ W$.

(D) शक्ति $P$ का सूत्र $P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$ है।
दिया गया है: $P = 2 \, kW = 2000 \, W$,$g = 10 \, m/s^2$,$h = 10 \, m$,और $t = 1 \, \text{मिनट} = 60 \, s$।
द्रव्यमान $m$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$m = \frac{P \times t}{g \times h} = \frac{2000 \times 60}{10 \times 10} = \frac{120000}{100} = 1200 \, kg$।
चूँकि पानी का घनत्व $1000 \, kg/m^3$ है,आयतन $V$ (घन मीटर में) $V = \frac{m}{\rho} = \frac{1200 \, kg}{1000 \, kg/m^3} = 1.2 \, m^3$ होगा।
चूँकि $1 \, m^3 = 1000 \, \text{लीटर}$ होता है,इसलिए लीटर में आयतन $1.2 \times 1000 = 1200 \, \text{लीटर}$ होगा।

(C) शक्ति $(P)$ कार्य करने की दर है,जिसे $P = \frac{W}{t}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यहाँ,$m$ द्रव्यमान को $h$ ऊँचाई तक उठाने के लिए किया गया कार्य $(W)$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = mgh$.
अतः,$P = \frac{mgh}{t}$.
दी गई मान: $P = 10 \text{ kW} = 10 \times 10^3 \text{ W}$,$m = 200 \text{ kg}$,$h = 40 \text{ m}$,और $g = 10 \text{ m/s}^2$.
समय $(t)$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $t = \frac{mgh}{P}$.
मान रखने पर: $t = \frac{200 \times 10 \times 40}{10 \times 10^3}$.
$t = \frac{80000}{10000} = 8 \text{ s}$.
अतः,लिया गया समय $8 \text{ सेकंड}$ है।

(C) इंजन द्वारा प्रदान की गई शक्ति $P$,इंजन द्वारा लगाए गए बल $F$ और कार के वेग $V$ के गुणनफल के बराबर होती है,अर्थात $P = FV$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,कार पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = ma$ है।
कार पर कार्य करने वाले बल इंजन का बल $F$ (आगे की दिशा में) और प्रतिरोधी बल $R$ (पीछे की दिशा में) हैं।
इसलिए,$F - R = ma$,जिससे इंजन का बल $F = R + ma$ प्राप्त होता है।
इस मान को शक्ति के सूत्र में रखने पर,हमें $P = (R + ma)V$ प्राप्त होता है।

(D) औसत शक्ति $P$ का सूत्र $P = \frac{W}{t}$ है,जहाँ $W$ किया गया कार्य है और $t$ लिया गया समय है।
$m$ द्रव्यमान को $h$ ऊँचाई तक उठाने के लिए किया गया कार्य $W = mgh$ होता है।
दिया गया है: $m = 100 \ kg$,$h = 50 \ m$,$t = 50 \ s$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \ m/s^2$ है।
मान रखने पर: $P = \frac{100 \times 9.8 \times 50}{50}$.
$P = 100 \times 9.8 = 980 \ J/s$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) टर्बाइन को दी गई शक्ति $P$ स्थितिज ऊर्जा के परिवर्तन की दर द्वारा दी जाती है।
$P = \frac{d}{dt}(mgh) = \left( \frac{dm}{dt} \right) gh$
दिया गया है:
द्रव्यमान प्रवाह दर $\frac{dm}{dt} = 100 \ kg/s$
ऊँचाई $h = 100 \ m$
गुरुत्वीय त्वरण $g \approx 10 \ m/s^2$
मान रखने पर:
$P = 100 \ kg/s \times 10 \ m/s^2 \times 100 \ m$
$P = 100,000 \ W$
चूँकि $1 \ kW = 1000 \ W$,इसलिए:
$P = \frac{100,000}{1000} \ kW = 100 \ kW$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) शक्ति $P$ को कार्य करने की दर के रूप में परिभाषित किया गया है,जो $P = \frac{W}{t}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,पानी को ऊपर उठाने के लिए किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है,$W = mgh$।
दिए गए मान हैं: द्रव्यमान $m = 200 \ kg$,ऊँचाई $h = 200 \ m$,समय $t = 10 \ s$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P = \frac{mgh}{t} = \frac{200 \times 10 \times 200}{10} = 40,000 \ W$।
शक्ति को किलोवाट $(kW)$ में बदलने के लिए,हम $1000$ से भाग देते हैं:
$P = \frac{40,000}{1000} = 40 \ kW$।

(C) पानी को ऊपर उठाने के लिए कुल ऊंचाई $H = 20 \text{ m} + 10 \text{ m} = 30 \text{ m}$ है।
पानी का आयतन $V = 22380 \text{ litres} = 22380 \times 10^{-3} \text{ m}^3 = 22.38 \text{ m}^3$.
पानी का घनत्व $\rho = 10^3 \text{ kg/m}^3$,इसलिए द्रव्यमान $m = V \times \rho = 22.38 \times 10^3 \text{ kg} = 22380 \text{ kg}$.
मोटर की शक्ति $P = 10 \text{ H.P.} = 10 \times 746 \text{ W} = 7460 \text{ W}$.
पानी को ऊपर उठाने के लिए किया गया कार्य $W = mgh = 22380 \times 10 \times 30 \text{ J}$ है।
शक्ति $P = \frac{W}{t}$,इसलिए $t = \frac{mgh}{P} = \frac{22380 \times 10 \times 30}{7460} \text{ seconds}$.
$t = \frac{22380 \times 300}{7460} = 3 \times 300 = 900 \text{ seconds}$.
मिनटों में बदलने पर: $t = \frac{900}{60} = 15 \text{ minutes}$.

(B) शक्ति $P$ को कार्य करने की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो गतिज ऊर्जा में परिवर्तन को समय से विभाजित करने के बराबर है।
$P = \frac{\Delta K.E.}{t} = \frac{\frac{1}{2}m(v^2 - u^2)}{t}$
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 2.05 \times 10^6 \; kg$
प्रारंभिक वेग $u = 5 \; m/s$
अंतिम वेग $v = 25 \; m/s$
समय $t = 5 \; min = 5 \times 60 \; s = 300 \; s$
मान रखने पर:
$P = \frac{0.5 \times 2.05 \times 10^6 \times (25^2 - 5^2)}{300}$
$P = \frac{0.5 \times 2.05 \times 10^6 \times (625 - 25)}{300}$
$P = \frac{0.5 \times 2.05 \times 10^6 \times 600}{300}$
$P = 0.5 \times 2.05 \times 10^6 \times 2$
$P = 2.05 \times 10^6 \; W = 2.05 \; MW$
अतः,इंजन की शक्ति $2.05 \; MW$ है।

(C) कार्य करने की दर को शक्ति $(P)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
शक्ति का सूत्र है: $P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$.
चूंकि सीढ़ियाँ समान हैं,इसलिए दोनों व्यक्तियों के लिए ऊँचाई $(h)$ और गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ स्थिर हैं।
अतः,उनकी शक्ति का अनुपात: $\frac{P_1}{P_2} = \frac{m_1}{m_2} \times \frac{t_2}{t_1}$.
दिया गया है: $m_1 = 60 \ kg$,$t_1 = 12 \ s$,$m_2 = 50 \ kg$,$t_2 = 11 \ s$.
मान रखने पर: $\frac{P_1}{P_2} = \frac{60}{50} \times \frac{11}{12}$.
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{6}{5} \times \frac{11}{12} = \frac{66}{60} = \frac{11}{10}$.
इस प्रकार,अनुपात $11:10$ है।

(A) व्यक्ति द्वारा विकसित शक्ति $P$ गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध कार्य करने की दर द्वारा दी जाती है: $P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$.
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 80 \; kg$,ऊँचाई $h = 6 \; m$,समय $t = 10 \; s$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \; m/s^2$.
मान रखने पर: $P = \frac{80 \times 9.8 \times 6}{10} = 470.4 \; W$.
शक्ति को वाट से हॉर्सपावर $(HP)$ में बदलने के लिए,हम रूपांतरण कारक $1 \; HP = 746 \; W$ का उपयोग करते हैं।
अतः,$P = \frac{470.4}{746} \; HP \approx 0.63 \; HP$.

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1000 \ kg$,प्रारंभिक वेग $u = 0$,अंतिम वेग $v = 54 \ km/h = 54 \times \frac{5}{18} \ m/s = 15 \ m/s$,समय $t = 5 \ s$.
औसत शक्ति को कार्य करने की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो गतिज ऊर्जा में परिवर्तन को समय से विभाजित करने पर प्राप्त होती है।
$P_{avg} = \frac{\Delta K.E.}{t} = \frac{\frac{1}{2}mv^2 - 0}{t}$.
मान रखने पर: $P_{avg} = \frac{0.5 \times 1000 \times (15)^2}{5}$.
$P_{avg} = \frac{500 \times 225}{5} = 100 \times 225 = 22500 \ W$.

(A) मोटर की शक्ति $P = \frac{1}{4} \text{ hp} = 0.25 \times 746 \text{ W} = 186.5 \text{ W}$ है।
चूंकि मोटर $600 \text{ r.p.m.}$ की गति से चलती है,आवृत्ति $n = \frac{600}{60} = 10 \text{ चक्कर प्रति सेकंड}$ है।
एक घूर्णन के लिए लिया गया समय $t = \frac{1}{n} = \frac{1}{10} \text{ s} = 0.1 \text{ s}$ है।
एक घूर्णन के लिए इनपुट ऊर्जा $E_{\text{in}} = P \times t = 186.5 \times 0.1 = 18.65 \text{ J}$ है।
दक्षता $40\%$ दी गई है,इसलिए मोटर द्वारा किया गया उपयोगी कार्य $W = \text{दक्षता} \times E_{\text{in}}$ होगा।
$W = 0.40 \times 18.65 \text{ J} = 7.46 \text{ J}$।

(A) शक्ति $P$ कार्य करने की दर है,जिसे $P = \frac{W}{t}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यहाँ,पानी को ऊपर उठाने में किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है,$W = mgh$।
दिए गए मान हैं:
द्रव्यमान $m = 200 \ kg$
ऊँचाई $h = 50 \ m$
समय $t = 10 \ s$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P = \frac{mgh}{t} = \frac{200 \times 10 \times 50}{10}$
$P = 200 \times 50 = 10,000 \ W$
$P = 10 \times 10^3 \ W$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है:
प्रति मिनट गोलियों की संख्या,$n = 360 \text{ गोलियां/मिनट} = \frac{360}{60} \text{ गोलियां/सेकंड} = 6 \text{ गोलियां/सेकंड}$.
प्रत्येक गोली की गति,$v = 360 \ km/h = 360 \times \frac{5}{18} \ m/s = 100 \ m/s$.
प्रत्येक गोली का द्रव्यमान,$m = 20 \ g = 20 \times 10^{-3} \ kg = 2 \times 10^{-2} \ kg$.
बंदूक की शक्ति प्रति इकाई समय में दी गई कुल गतिज ऊर्जा है:
$P = n \times \left( \frac{1}{2}mv^2 \right)$
$P = 6 \times \left( \frac{1}{2} \times 2 \times 10^{-2} \times (100)^2 \right)$
$P = 6 \times (10^{-2} \times 10000)$
$P = 6 \times 100 = 600 \ W$.

(C) शक्ति कार्य करने की दर है,जिसे सूत्र $P = \frac{W}{t}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
चूंकि दोनों व्यक्तियों द्वारा किया गया कार्य $W$ समान है,इसलिए शक्ति $P$ लिए गए समय $t$ के व्युत्क्रमानुपाती है $(P \propto \frac{1}{t})$।
अतः,पहले व्यक्ति $(P_1)$ और दूसरे व्यक्ति $(P_2)$ की शक्ति का अनुपात होगा:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{t_2}{t_1} = \frac{20 \ s}{10 \ s} = \frac{2}{1} = 2$.
इस प्रकार,अनुपात $2$ है।

(C) दिया गया है कि शक्ति $P$ नियत है। हम जानते हैं कि $P = Fv = mav = m \left( \frac{dv}{dt} \right) v$.
इस व्यंजक का समाकलन करने पर: $\frac{P}{m} dt = v dv$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{P}{m} dt = \int v dv \implies \frac{P}{m} t = \frac{v^2}{2}$.
अतः,$v^2 = \frac{2P}{m} t$,जिससे $v = \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $v = \frac{ds}{dt}$,इसलिए $ds = \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2} dt$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $s = \int \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2} dt = \sqrt{\frac{2P}{m}} \left( \frac{t^{3/2}}{3/2} \right) = \sqrt{\frac{2P}{m}} \left( \frac{2}{3} t^{3/2} \right)$.
इसलिए,$s \propto t^{3/2}$.

(B) किसी पिंड को दी गई तात्कालिक शक्ति $P$,उस क्षण बल $F$ और वेग $v$ के गुणनफल के बराबर होती है,अर्थात $P = F \cdot v$।
चूंकि बल $F$ स्थिर है,इसलिए पिंड का त्वरण $a$ भी स्थिर होगा,जो $a = F/m$ द्वारा दिया जाता है।
गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर,जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0$ है,हमें $v = (F/m)t$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,बल को $F = (mv)/t$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
इस मान को शक्ति के सूत्र में रखने पर: $P = F \cdot v = (mv/t) \cdot v = (mv^2)/t$।

(B) शक्ति $P$ को $P = Fv = (ma)v = m(\frac{dv}{dt})v$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $P$ नियत है,$m v dv = P dt$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int_0^v m v dv = \int_0^t P dt$,जिससे $\frac{1}{2} m v^2 = Pt$ प्राप्त होता है।
अतः,$v^2 = \frac{2Pt}{m}$,या $v = (\frac{2P}{m})^{1/2} t^{1/2}$।
चूंकि $v = \frac{ds}{dt}$,इसलिए $\frac{ds}{dt} = (\frac{2P}{m})^{1/2} t^{1/2}$।
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$s = \int_0^t (\frac{2P}{m})^{1/2} t^{1/2} dt$।
$s = (\frac{2P}{m})^{1/2} [\frac{t^{3/2}}{3/2}] = (\frac{2P}{m})^{1/2} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2}$।
$s = (\frac{4}{9} \cdot \frac{2P}{m})^{1/2} t^{3/2} = (\frac{8P}{9m})^{1/2} t^{3/2}$।

(D) शक्ति $p$ को कार्य करने की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,$p = Fv$.
चूंकि $F = ma = m \frac{dv}{dt}$,हम लिख सकते हैं $p = m v \frac{dv}{dt}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $p \, dt = m v \, dv$.
दोनों पक्षों का $t = 0$ से $t$ और $v = 0$ से $v$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{t} p \, dt = \int_{0}^{v} m v \, dv$.
$pt = m \left[ \frac{v^2}{2} \right]_{0}^{v}$.
$pt = \frac{1}{2} m v^2$.
$v$ के लिए हल करने पर,हमें मिलता है $v^2 = \frac{2pt}{m}$,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{\frac{2pt}{m}}$.

(A) शक्ति $P$ कार्य करने की दर है,जिसे $P = \frac{W}{t}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यहाँ,गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W = mgh$ है।
दिया गया है: $m = 80 \ kg$,$g = 9.8 \ m/s^2$,$h = 6 \ m$,और $t = 10 \ s$।
मान रखने पर: $P = \frac{80 \times 9.8 \times 6}{10} = 470.4 \ W$।
शक्ति को वाट से हॉर्सपावर $(HP)$ में बदलने के लिए,हम $1 \ HP = 746 \ W$ रूपांतरण कारक का उपयोग करते हैं।
अतः,$P_{HP} = \frac{470.4}{746} \approx 0.63 \ HP$।

(C) इंजन द्वारा प्रदान की गई शक्ति $P = F_{engine} \cdot v$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $F_{engine}$ इंजन द्वारा लगाया गया बल है और $v$ वेग है।
$F_{engine} = \frac{P}{v} = \frac{30 \times 10^3 \ W}{30 \ m/s} = 1000 \ N$.
कार पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net}$ इंजन बल और प्रतिरोधक बल $F_{resistive}$ का अंतर है।
$F_{net} = F_{engine} - F_{resistive} = 1000 \ N - 750 \ N = 250 \ N$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F_{net} = m \cdot a$,जहाँ $m$ कार का द्रव्यमान है और $a$ त्वरण है।
$a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{250 \ N}{1250 \ kg} = \frac{1}{5} \ m/s^2 = 0.2 \ m/s^2$.

(B) शक्ति $P = Fv = (ma)v = m \left( \frac{dv}{dt} \right) v = \text{स्थिरांक}$.
$v \, dv = \frac{P}{m} \, dt$ का समाकलन करने पर,हमें $\frac{1}{2} v^2 = \frac{P}{m} t$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2}$.
चूंकि $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए $\frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2}$.
समय $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$x = \int \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2} \, dt = \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2}$.
अतः,$x \propto t^{3/2}$.

(A) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 100 \ kg$
वेग $v = 7.2 \ km/hr = 7.2 \times \frac{5}{18} \ m/s = 2 \ m/s$
ढलान की लंबाई $l = 20 \ m$
ऊंचाई $h = 1 \ m$
ढलान की ज्यामिति से,$\sin \theta = \frac{h}{l} = \frac{1}{20}$ है।
एकसमान वेग से ढलान पर ऊपर जाने के लिए आवश्यक बल $F = mg \sin \theta$ है।
शक्ति $P$ को $P = F \cdot v = (mg \sin \theta) \cdot v$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$P = 100 \times 9.8 \times \frac{1}{20} \times 2$
$P = 5 \times 9.8 \times 2 = 98 \ W$.

(A) पानी को दी गई उपयोगी शक्ति $P_{\text{out}} = \frac{mgh}{t}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $P_{\text{out}} = \frac{100 \times 10 \times 10}{5} = 2000 \ W$.
दिया गया है कि इंजन की दक्षता $\eta = 60\% = 0.6$ है,इसलिए इनपुट शक्ति $P_{\text{in}}$ और आउटपुट शक्ति के बीच संबंध $P_{\text{out}} = \eta \times P_{\text{in}}$ है।
अतः,$P_{\text{in}} = \frac{P_{\text{out}}}{\eta} = \frac{2000}{0.6} = 3333.33 \ W$.
$kW$ में बदलने पर: $P_{\text{in}} \approx 3.33 \ kW$.

(C) शक्ति $P$ को $P = Fv = mav = m(dv/dt)v$ द्वारा दर्शाया जाता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(P/m) dt = v dv$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int (P/m) dt = \int v dv$,जिससे $(P/m)t = v^2/2$ प्राप्त होता है।
अतः,$v = (2P/m)^{1/2} t^{1/2}$।
चूंकि $v = ds/dt$,इसलिए $ds = (2P/m)^{1/2} t^{1/2} dt$ होगा।
समाकलन करने पर $s = \int ds = (2P/m)^{1/2} \int t^{1/2} dt = (2P/m)^{1/2} [t^{3/2} / (3/2)]$।
इसलिए,$s = (2/3)(2P/m)^{1/2} t^{3/2}$,जिसका अर्थ है कि $s \propto t^{3/2}$।

(A) शक्ति कार्य करने की दर है,$P = \frac{W}{t}$.
हृदय द्वारा किया गया कार्य दबाव और आयतन में परिवर्तन का गुणनफल है,$W = P \times \Delta V$.
दिया गया है: दबाव $P = 20000 \ N/m^2$,आयतन $\Delta V = 1 \ cc = 1 \times 10^{-6} \ m^3$,और समय $t = 1 \ s$.
मान रखने पर: $P = \frac{20000 \times 1 \times 10^{-6}}{1} \ W$.
$P = 2 \times 10^{-2} \ W = 0.02 \ W$.

(B) पंप द्वारा आवश्यक शक्ति $P$ यांत्रिक ऊर्जा के परिवर्तन की दर द्वारा दी जाती है: $P = \left(gh + \frac{v^{2}}{2}\right) \frac{dm}{dt}$.
सबसे पहले,द्रव्यमान प्रवाह दर $\frac{dm}{dt} = \rho A v$ की गणना करें।
यहाँ $\rho = 1000\; kg/m^{3}$,$A = 10 \times 10^{-4}\; m^{2}$,और $v = 5\; m/s$ है:
$\frac{dm}{dt} = 1000 \times 10 \times 10^{-4} \times 5 = 5\; kg/s$.
अब,$g = 10\; m/s^{2}$,$h = 2.5\; m$,और $v = 5\; m/s$ का उपयोग करके शक्ति समीकरण में मान रखें:
$P = \left(10 \times 2.5 + \frac{5^{2}}{2}\right) \times 5$.
$P = (25 + 12.5) \times 5$.
$P = 37.5 \times 5 = 187.5\; W$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $185\; W$ है।

(A) दिया गया है कि पिंड विरामावस्था $(u = 0)$ से चलना शुरू करता है और $T$ समय में $v$ वेग प्राप्त करता है,जहाँ त्वरण $a$ एकसमान है।
गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर,$v = 0 + aT$,जिसका अर्थ है $a = \frac{v}{T}$।
किसी भी समय $t$ पर,पिंड का वेग $v(t) = at = \left( \frac{v}{T} \right) t$ होगा।
पिंड पर कार्य करने वाला बल $F = ma = m \left( \frac{v}{T} \right)$ है।
तात्क्षणिक शक्ति $P$,बल और वेग का गुणनफल है: $P = F \cdot v(t)$।
मान रखने पर: $P = \left( m \frac{v}{T} \right) \left( \frac{v}{T} t \right) = \frac{mv^2}{T^2} t$।

(A) गिरते हुए पानी द्वारा उत्पन्न शक्ति $P$,स्थितिज ऊर्जा के परिवर्तन की दर के बराबर होती है।
$P = \frac{dU}{dt} = \frac{d(mgh)}{dt} = gh \frac{dm}{dt}$
दिया गया है:
द्रव्यमान प्रवाह की दर $\frac{dm}{dt} = 100 \ kg/s$
ऊँचाई $h = 100 \ m$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$
मान रखने पर:
$P = 10 \ m/s^2 \times 100 \ m \times 100 \ kg/s$
$P = 100,000 \ W = 100 \ kW$
अतः,उत्पन्न शक्ति $100 \ kW$ है।

(D) आउटपुट शक्ति $P_{\text{out}} = \frac{mgh}{t}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $m = 7200 \ kg$, $h = 100 \ m$, $t = 1 \ \text{घंटा} = 3600 \ s$, और $g = 10 \ m/s^2$.
$P_{\text{out}} = \frac{7200 \times 10 \times 100}{3600} = 2000 \ W = 2 \ kW$.
दक्षता $\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}$.
चूंकि $\eta = 50\% = 0.5$, इसलिए $P_{\text{in}} = \frac{P_{\text{out}}}{\eta} = \frac{2 \ kW}{0.5} = 4 \ kW$.

(A) शक्ति को $P = Fv$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूँकि $F = ma$,इसलिए $P = mav$ होता है।
त्वरण की परिभाषा $a = v \frac{dv}{dx}$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $P = m v \frac{dv}{dx} v = m v^2 \frac{dv}{dx}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $P dx = m v^2 dv$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक स्थितियों $x=0$ और $v=0$ के साथ दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_0^x P dx = \int_0^v m v^2 dv$।
$Px = m \frac{v^3}{3}$।
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $v^3 = \frac{3Px}{m}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = {\left( {\frac{{3xP}}{m}} \right)^{1/3}}$।

(C) स्थिर गति से भार उठाने के लिए आवश्यक शक्ति $P$ का सूत्र $P = Fv$ है,जहाँ $F$ बल है और $v$ वेग है।
चूंकि एलिवेटर स्थिर गति से चलती है,इसलिए बल $F$ भार $mg$ के बराबर होता है।
दिया गया है: $m = 500 \ kg$,$g = 9.8 \ m/s^2$,$v = 0.4 \ m/s$.
$P = (mg)v = 500 \times 9.8 \times 0.4 = 1960 \ W$.
शक्ति को वाट से हॉर्स पावर $(H.P.)$ में बदलने के लिए,हम $1 \ H.P. = 746 \ W$ का उपयोग करते हैं।
$P = \frac{1960}{746} \approx 2.62 \ H.P.$

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10,000 \ kg$,ढलान $\sin \theta = \frac{1}{50}$,वेग $v = 36 \ km/hr = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \ m/s$,$g = 10 \ m/s^2$.
ट्रक को ढलान पर ऊपर ले जाने के लिए आवश्यक बल $F = mg \sin \theta$ है।
$F = 10,000 \times 10 \times \frac{1}{50} = 2,000 \ N$.
शक्ति $P$ बल और वेग का गुणनफल है:
$P = F \times v = 2,000 \ N \times 10 \ m/s = 20,000 \ W$.
$kW$ में बदलने पर:
$P = 20 \ kW$.

(C) प्रति मिनट पंप द्वारा बाहर निकाला गया पानी का द्रव्यमान = $2400 \; kg$।
प्रति सेकंड बाहर आने वाले पानी का द्रव्यमान $(m)$ = $\frac{2400}{60} = 40 \; kg/s$।
पानी का वेग $(v)$ = $3 \; m/s$।
प्रति सेकंड गतिज ऊर्जा (शक्ति) = $\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 40 \times (3)^2 = 20 \times 9 = 180 \; W$ (या $J/s$)।
कुल समय $(t)$ = $10 \; \text{घंटे }= 10 \times 3600 = 36000 \; s$।
कुल कार्य = $\text{शक्ति} \times \text{समय} = 180 \times 36000 = 6,480,000 \; J = 6.48 \times 10^6 \; J$।

(A) पानी का द्रव्यमान $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = 30 \ m^3 \times 1000 \ kg/m^3 = 30,000 \ kg$.
पानी को ऊपर उठाने के लिए आवश्यक आउटपुट शक्ति $P_{\text{out}} = \frac{mgh}{t}$.
यहाँ $h = 40 \ m$,$t = 15 \ \text{मिनट} = 15 \times 60 \ s = 900 \ s$,और $g = 9.8 \ m/s^2$.
$P_{\text{out}} = \frac{30,000 \times 9.8 \times 40}{900} = \frac{11,760,000}{900} = 13,066.67 \ W$.
दक्षता $\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} \times 100\%$.
$30 = \frac{13,066.67}{P_{\text{in}}} \times 100$.
$P_{\text{in}} = \frac{13,066.67 \times 100}{30} = 43,555.56 \ W \approx 43.6 \ kW$.

(A) दिया गया है: द्रव्यमान = $m$,प्रारंभिक वेग $u = 0$,$T$ समय पर अंतिम वेग $v$ है।
चूंकि पिंड त्वरित हो रहा है,त्वरण $a$ स्थिर है: $a = \frac{v - u}{T} = \frac{v}{T}$।
किसी भी समय $t$ पर वेग $v(t) = u + at = 0 + (\frac{v}{T})t = \frac{v}{T}t$ द्वारा दिया जाता है।
पिंड पर कार्य करने वाला बल $F = ma = m(\frac{v}{T})$ है।
तात्क्षणिक शक्ति $P = F \cdot v(t)$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $P = (m \cdot \frac{v}{T}) \cdot (\frac{v}{T}t) = \frac{mv^2}{T^2}t$।

(B) दिया गया है कि पिंड विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर,$v_1 = 0 + a t_1$,जिससे त्वरण $a = \frac{v_1}{t_1}$ प्राप्त होता है।
किसी भी समय $t$ पर,पिंड का वेग $v(t) = at = \left( \frac{v_1}{t_1} \right) t$ होगा।
पिंड पर कार्य करने वाला बल $F = ma = m \left( \frac{v_1}{t_1} \right)$ है।
तात्क्षणिक शक्ति $P$ को $P = F \cdot v$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$P = \left( m \frac{v_1}{t_1} \right) \times \left( \frac{v_1}{t_1} t \right) = \frac{m v_1^2 t}{t_1^2}$।

(D) वेटलिफ्टर द्वारा गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $(W)$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = mgh$.
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 300\; kg$,ऊंचाई $h = 2\; m$,समय $t = 3\; s$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8\; m/s^2$.
शक्ति $(P)$ कार्य करने की दर है: $P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$.
मान रखने पर: $P = \frac{300 \times 9.8 \times 2}{3}$.
$P = 100 \times 9.8 \times 2 = 1960\; W$.

(B) शक्ति $P$ बल $F$ और वेग $v$ के गुणनफल द्वारा प्राप्त होती है।
दिया गया है: बल $F = 9000 \ N$,वेग $v = 2 \ ms^{-1}$।
सूत्र $P = F \times v$ का उपयोग करने पर:
$P = 9000 \ N \times 2 \ ms^{-1} = 18000 \ W$।
चूंकि $1 \ kW = 1000 \ W$,इसलिए शक्ति को $kW$ में बदलने पर:
$P = \frac{18000}{1000} \ kW = 18 \ kW$।

(D) शक्ति $P$ को $P = Fv = (ma)v$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $F = ma$,हमारे पास $P = m(dv/dt)v$ है।
$P dt = mv dv$ का समाकलन करने पर,हमें $Pt = (1/2)mv^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{2Pt/m} = \sqrt{2P/m} \cdot t^{1/2}$।
चूंकि $v = ds/dt$,हमारे पास $ds/dt = \sqrt{2P/m} \cdot t^{1/2}$ है।
समय $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$s = \int \sqrt{2P/m} \cdot t^{1/2} dt = \sqrt{2P/m} \cdot (t^{3/2} / (3/2))$।
अतः,$s \propto t^{3/2}$।

(D) शक्ति $P = 2 \; kW = 2000 \; W$. समय $t = 1 \; \text{मिनट} = 60 \; s$. ऊँचाई $h = 10 \; m$. गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \; m/s^2$.
शक्ति के सूत्र का उपयोग करते हुए: $P = \frac{mgh}{t}$.
द्रव्यमान $m$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $m = \frac{P \cdot t}{gh} = \frac{2000 \times 60}{10 \times 10} = \frac{120000}{100} = 1200 \; kg$.
चूंकि पानी का घनत्व $1000 \; kg/m^3$ है, इसलिए आयतन $V$ ($m^3$ में) $V = \frac{m}{\rho} = \frac{1200}{1000} = 1.2 \; m^3$ होगा।
चूंकि $1 \; m^3 = 1000 \; \text{लीटर}$, इसलिए लीटर में आयतन $1.2 \times 1000 = 1200 \; \text{लीटर}$ होगा।