Potential Energy Questions in Gujarati

(D) કણ સંતુલનમાં હોય તે માટે,ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dU}{dx} = 0$. આ તે બિંદુઓને અનુરૂપ છે જ્યાં $U-x$ આલેખનો ઢાળ શૂન્ય છે.
$x_2$ પર,સ્થિતિ ઊર્જા $U$ મહત્તમ છે. સ્થિતિ ઊર્જા મહત્તમ હોય ત્યારે સંતુલન અસ્થિર હોય છે કારણ કે કોઈપણ નાનું સ્થાનાંતર એવું બળ ઉત્પન્ન કરે છે જે કણને સંતુલન સ્થિતિથી દૂર ધકેલે છે.
$x_1$ અને $x_3$ પર,ઢાળ શૂન્ય નથી,તેથી આ બિંદુઓ પર કણ સંતુલનમાં નથી.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ દર્શાવેલ બિંદુઓ પર કણની સ્થિતિનું યોગ્ય વર્ણન કરતું નથી.

(A) બળના ઘટકો સ્થિતિઊર્જાના ઋણ વિકલન દ્વારા મેળવવામાં આવે છે:
$F_x = -\frac{\partial U}{\partial x} = -a$
$F_y = -\frac{\partial U}{\partial y} = -b$
પરિણામી બળ $F$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ છે:
$F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{(-a)^2 + (-b)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $a_{acc}$ છે:
$a_{acc} = \frac{F}{m} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{m} = \frac{(a^2 + b^2)^{1/2}}{m}$

(B) ધારો કે સાંકળની કુલ લંબાઈ $L = 2\,m$ અને કુલ દળ $M = 4\,kg$ છે.
લટકતા ભાગની લંબાઈ $l = 60\,cm = 0.6\,m$ છે.
સાંકળના એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = \frac{M}{L} = \frac{4}{2} = 2\,kg/m$ છે.
લટકતા ભાગનું દળ $m = \lambda \times l = 2 \times 0.6 = 1.2\,kg$ છે.
લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની ધારથી $h = \frac{l}{2} = \frac{0.6}{2} = 0.3\,m$ નીચે છે.
સાંકળને ટેબલ પર ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય એ લટકતા ભાગની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે,જે $W = mgh$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = 1.2 \times 10 \times 0.3 = 3.6\,J$.

(C) ધારો કે $x$ એ સંદર્ભ બિંદુ (જ્યાં સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય છે) ની જમીનથી ઊંચાઈ છે.
સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = mgh'$ છે,જ્યાં $h'$ એ સંદર્ભ બિંદુની સાપેક્ષ ઊંચાઈ છે.
પ્રથમ પદાર્થ માટે: $m_1 = 2\, kg$,$h_1 = 5\, m$,$U_1 = 70\, J$,અને $g = 10\, m/s^2$.
$70 = 2 \times 10 \times (5 - x)$
$70 = 20(5 - x)$
$3.5 = 5 - x$
$x = 1.5\, m$.
બીજા પદાર્થ માટે: $m_2 = 3\, kg$,$h_2 = 1\, m$,અને $g = 10\, m/s^2$.
$U_2 = m_2 \times g \times (h_2 - x)$
$U_2 = 3 \times 10 \times (1 - 1.5)$
$U_2 = 30 \times (-0.5)$
$U_2 = -15\, J$.

(N/A) તંત્રની કુલ ઊર્જા $E = P.E. + K.E.$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $K.E. = E - P.E.$. ગતિ ઊર્જા $(K.E.)$ હંમેશા અઋણ હોવી જોઈએ,તેથી કણ એવા વિસ્તારોમાં અસ્તિત્વ ધરાવી શકતો નથી જ્યાં $P.E. > E$ હોય.
$(i)$ પ્રથમ આકૃતિ માટે: કણ $x > a$ વિસ્તારમાં અસ્તિત્વ ધરાવી શકતો નથી કારણ કે $V(x) = V_0 > E$ છે. જરૂરી લઘુત્તમ કુલ ઊર્જા $0$ છે.
(ii) બીજી આકૃતિ માટે: દર્શાવેલ તમામ વિસ્તારોમાં સ્થિતિ ઊર્જા $V(x)$ એ $E$ કરતા વધારે છે. તેથી,કણ આમાંથી કોઈ પણ વિસ્તારમાં અસ્તિત્વ ધરાવી શકતો નથી. જરૂરી લઘુત્તમ કુલ ઊર્જા $V_0$ છે.
(iii) ત્રીજી આકૃતિ માટે: કણ એવા વિસ્તારોમાં અસ્તિત્વ ધરાવી શકતો નથી જ્યાં $V(x) > E$ હોય. અહીં,$x < a$ અને $x > b$ માટે $V(x) = V_0$ છે. તેથી,કણ $a < x < b$ વિસ્તારમાં મર્યાદિત છે. જરૂરી લઘુત્તમ કુલ ઊર્જા $-V_1$ છે.
(iv) ચોથી આકૃતિ માટે: કણ જ્યાં $V(x) > E$ હોય ત્યાં અસ્તિત્વ ધરાવી શકતો નથી. આલેખના આધારે,આ $x < -b/2$,$-a/2 < x < a/2$,અને $x > b/2$ માટે થાય છે. કણ ફક્ત $-b/2 < x < -a/2$ અને $a/2 < x < b/2$ વિસ્તારોમાં જ અસ્તિત્વ ધરાવી શકે છે. જરૂરી લઘુત્તમ કુલ ઊર્જા $-V_1$ છે.

(N/A) પદાર્થની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $(E)$ એ તેની ગતિ ઉર્જા $(K)$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $(U)$ નો સરવાળો છે.
$E = K + U$
$H$ ઊંચાઈએ સ્થિર રહેલા $m$ દળના પદાર્થ માટે,તેનો વેગ $(v)$ $0$ છે.
તેથી,ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(0)^2 = 0$ થાય.
જમીનની સાપેક્ષે $H$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઉર્જા $U = mgH$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E = 0 + mgH = mgH$ થાય છે.

(B) $W = -mgh$ સમીકરણમાં ઋણ ચિહન એ દર્શાવે છે કે કાર્ય ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ દિશામાં કરવામાં આવે છે. જ્યારે કોઈ પદાર્થને શિરોલંબ દિશામાં ઉપર તરફ લઈ જવામાં આવે છે,ત્યારે સ્થાનાંતર ઉપરની તરફ હોય છે જ્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ નીચેની તરફ લાગે છે. બળ અને સ્થાનાંતર પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થતું કાર્ય ઋણ મળે છે.

(B) જ્યારે ધનુષની દોરીને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે ધનુષ પર કાર્ય થાય છે,જે ધનુષ અને દોરીમાં સ્થિતિસ્થાપકીય સ્થિતિઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે. જ્યારે તીર છોડવામાં આવે છે,ત્યારે આ સંગ્રહિત સ્થિતિઊર્જાનું તીરની ગતિઊર્જામાં રૂપાંતર થાય છે.

(B) કણની કુલ ઉર્જા $E = V + K$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ સ્થિતિ ઉર્જા છે અને $K$ એ ગતિ ઉર્જા છે. કારણ કે $K = E - V$ અને ગતિ ઉર્જા $K$ હંમેશા અ-ઋણ $(K \ge 0)$ હોવી જોઈએ,તેથી કણ ફક્ત ત્યારે જ અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે જો $E - V \ge 0$,જેનો અર્થ છે $V \le E$.
$1.$ વિસ્તાર $A$ $(V > E)$: અહીં,$K = E - V < 0$. ગતિ ઉર્જા ઋણ હોઈ શકતી નથી,તેથી કણ આ વિસ્તારમાં મળી શકે નહીં.
$2.$ વિસ્તાર $B$ $(V < E)$: અહીં,$K = E - V > 0$. ગતિ ઉર્જા ધન હોવાથી,કણ આ વિસ્તારમાં મળી શકે છે.
$3.$ વિસ્તાર $C$ $(K < E)$: $K = E - V$ હોવાથી,$K < E$ શરતનો અર્થ છે $E - V < E$,જેનું સાદું રૂપ $V > 0$ થાય છે. જ્યાં સુધી સ્થિતિ ઉર્જા $V$ ધન હોય,ત્યાં સુધી આ શરત સંતોષાય છે. આમ,કણ આ વિસ્તારમાં મળી શકે છે.
$4.$ વિસ્તાર $D$ $(V > E)$: વિસ્તાર $A$ ની જેમ,અહીં પણ $K = E - V < 0$. ગતિ ઉર્જા ઋણ હોઈ શકતી નથી,તેથી કણ આ વિસ્તારમાં મળી શકે નહીં.

(B) ભૌતિકશાસ્ત્રમાં,જ્યારે કોઈ પ્રણાલીની સ્થિતિ ઊર્જા (potential energy) લઘુત્તમ મૂલ્ય પર હોય ત્યારે તેને સ્થાયી સંતુલનની સ્થિતિમાં ગણવામાં આવે છે.
ન્યૂનતમ સ્થિતિ ઊર્જાના સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રણાલીઓ કુદરતી રીતે એવી ગોઠવણી તરફ જવાનું વલણ ધરાવે છે જે તેમની કુલ સ્થિતિ ઊર્જાને ઘટાડે છે જેથી મહત્તમ સ્થિરતા પ્રાપ્ત કરી શકાય.
તેથી,પ્રણાલીની સ્થિરતા માટે તેની સ્થિતિ ઊર્જા શક્ય તેટલી ઓછી હોવી જોઈએ.

(C) સ્થિતિઊર્જા $U(r) = -\frac{A}{r^6} + \frac{B}{r^{12}}$ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,બળ $F = -\frac{dU}{dr} = 0$ થાય.
વિકલન કરતા: $\frac{dU}{dr} = -A(-6r^{-7}) + B(-12r^{-13}) = \frac{6A}{r^7} - \frac{12B}{r^{13}}$.
$\frac{dU}{dr} = 0$ લેતા: $\frac{6A}{r^7} = \frac{12B}{r^{13}} \Rightarrow r^6 = \frac{12B}{6A} = \frac{2B}{A}$.
આમ,સંતુલન અંતર $r = \left(\frac{2B}{A}\right)^{1/6}$ મળે છે.
આ કિંમતને સ્થિતિઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$U = -\frac{A}{(2B/A)} + \frac{B}{(2B/A)^2} = -\frac{A^2}{2B} + \frac{B \cdot A^2}{4B^2} = -\frac{A^2}{2B} + \frac{A^2}{4B} = -\frac{A^2}{4B}$.

(B) તંત્ર સંતુલનમાં હોય ત્યારે ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે અંતરની સાપેક્ષમાં સ્થિતિ ઊર્જાનું વિકલન શૂન્ય હોવું જોઈએ: $\frac{dU}{dr} = 0$.
આપેલ છે $U = \alpha r^{-10} - \beta r^{-5} - 3$.
$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dU}{dr} = -10\alpha r^{-11} + 5\beta r^{-6} = 0$.
પદોને ગોઠવતા:
$5\beta r^{-6} = 10\alpha r^{-11}$.
બંને બાજુ $5\beta r^{-11}$ વડે ભાગતા:
$r^5 = \frac{10\alpha}{5\beta} = \frac{2\alpha}{\beta}$.
$r = \left(\frac{2\alpha}{\beta}\right)^{\frac{1}{5}}$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $\left(\frac{2\alpha}{\beta}\right)^{\frac{a}{b}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{a}{b} = \frac{1}{5}$ મળે છે.
આમ,$a = 1$.

(C) સંતુલન સ્થિતિ ત્યાં મળે છે જ્યાં બળ $F = -\frac{dU}{dr} = 0$ થાય.
આપેલ છે કે $U = A r^{-10} - B r^{-5}$.
$r$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{dU}{dr} = -10 A r^{-11} + 5 B r^{-6}$.
સંતુલન માટે $\frac{dU}{dr} = 0$ લેતા:
$-10 A r^{-11} + 5 B r^{-6} = 0$.
$5 B r^{-6} = 10 A r^{-11}$.
$r^5 = \frac{10A}{5B} = \frac{2A}{B}$.
તેથી,સંતુલન અંતર $r = \left(\frac{2A}{B}\right)^{\frac{1}{5}}$ થશે.

(C) કણની સ્થિતિ ઉર્જા $U(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંતુલન બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $U(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ:
$\frac{dU}{dx} = x^3 - x = x(x^2 - 1) = 0$.
આનાથી $x = 0$ અને $x = \pm 1$ પર નિર્ણાયક બિંદુઓ મળે છે.
દ્વિતીય વિકલન કસોટીનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{d^2U}{dx^2} = 3x^2 - 1$.
$x = 0$ પર,$\frac{d^2U}{dx^2} = -1$ (સ્થાનિક મહત્તમ).
$x = \pm 1$ પર,$\frac{d^2U}{dx^2} = 2$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
સ્થિતિ ઉર્જાનો આલેખ $x = 0$ પર અવરોધ દ્વારા અલગ પડેલા બે કૂવા દર્શાવે છે. કારણ કે કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ નાની અને ઋણ છે (ખાસ કરીને,$E < U(0) = 0$),કણ એક સ્થિતિ ઉર્જાના કૂવામાં ફસાયેલો છે.
આપેલ છે કે $t = 0 \, s$ પર,કણ $x = -0.5 \, m$ પર છે,તેથી તે ડાબી બાજુના સ્થિતિ ઉર્જાના કૂવામાં સ્થિત છે. કારણ કે કુલ ઉર્જા $x = 0$ પરના સ્થિતિ ઉર્જા અવરોધ કરતા ઓછી છે,કણ અવરોધને ઓળંગી શકશે નહીં અને $x = -1.0 \, m$ થી $x = 0.0 \, m$ ના વિસ્તારમાં ટર્નિંગ પોઈન્ટ્સની વચ્ચે સીમિત રહેશે.

(B) કણ ઉગમબિંદુ $(x=0)$ પર છે અને તેને જમણી તરફ ફેંકવામાં આવે છે. જમણી બાજુ અનંત અંતરે જવા માટે,તેણે $4 \,J$ નો સ્થિતિઊર્જા અવરોધ પાર કરવો પડે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $K_i + V_i = K_f + V_f$.
ઉગમબિંદુ પર,$V_i = 0$ અને $K_i = \frac{1}{2}mv^2$.
અવરોધને પાર કરવા માટે,ટોચ પર $(V_f = 4 \,J)$ અંતિમ ગતિઊર્જા ઓછામાં ઓછી $0$ હોવી જોઈએ.
$\frac{1}{2} \times 0.5 \times v^2 = 4 \Rightarrow 0.25 \times v^2 = 4 \Rightarrow v^2 = 16 \Rightarrow v = 4 \,m/s$.
જો કે,જો કણ પાસે જમણી બાજુનો અવરોધ પાર કરવા માટે પૂરતી ઊર્જા ન હોય,તો તે ડાબી તરફ પાછો ફેંકાશે. ડાબી બાજુએ $1 \,J$ નો નાનો સ્થિતિઊર્જા અવરોધ છે.
જો કણ પરાવર્તિત થાય,તો તે ડાબી તરફ ગતિ કરે છે અને ડાબી બાજુએ અનંત અંતરે જવા માટે તેણે $1 \,J$ નો અવરોધ પાર કરવો પડે.
આ માટે,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા ઓછામાં ઓછી $1 \,J$ હોવી જોઈએ:
$\frac{1}{2} \times 0.5 \times v^2 = 1 \Rightarrow 0.25 \times v^2 = 1 \Rightarrow v^2 = 4 \Rightarrow v = 2 \,m/s$.
આમ,$2 \,m/s < 4 \,m/s$ હોવાથી,કણ માટે અનંત અંતરે જવા માટે જરૂરી ન્યૂનતમ ઝડપ $2 \,m/s$ છે.

(D) લટકતા ભાગની લંબાઈ $l = \frac{L}{5}$ છે.
લટકતા ભાગનું દળ $m = \frac{M}{L} \times \frac{L}{5} = \frac{M}{5}$ છે.
લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ($C$.$M$.) ટેબલની ધારથી $h = \frac{l}{2} = \frac{L/5}{2} = \frac{L}{10}$ જેટલા અંતરે નીચે છે.
લટકતા ભાગને પાછો ટેબલ પર ખેંચવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ લટકતા ભાગની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = mgh = \left( \frac{M}{5} \right) g \left( \frac{L}{10} \right) = \frac{M g L}{50}$.

(A) સળિયાની સ્થિતિ ઊર્જા તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સાથે સંકળાયેલી છે.
શરૂઆતમાં,સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ધરી બિંદુથી $h_1 = \frac{l}{2}$ અંતરે છે.
જ્યારે સળિયાને શિરોલંબથી $\theta$ ખૂણે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ધરી બિંદુથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું શિરોલંબ અંતર $h_2 = \frac{l}{2} \cos \theta$ થાય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊંચાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta h = h_1 - h_2 = \frac{l}{2} - \frac{l}{2} \cos \theta = \frac{l}{2}(1 - \cos \theta)$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = mg \Delta h = mg \frac{l}{2}(1 - \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(B) જ્યારે પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય ત્યારે તે સંતુલન સ્થિતિમાં કહેવાય છે.
સંરક્ષી બળ ક્ષેત્ર માટે,બળ $F$ અને સ્થિતિઊર્જા $U$ વચ્ચેનો સંબંધ $F = -\frac{dU}{dx}$ છે.
સંતુલન ત્યારે મળે છે જ્યારે $F = 0$ હોય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dU}{dx} = 0$.
આલેખની દ્રષ્ટિએ,$\frac{dU}{dx}$ એ $U-x$ વક્રનો ઢાળ દર્શાવે છે.
બિંદુ $B$ પર,વક્રનો સ્પર્શક આડો (ક્ષિતિજ સમાંતર) છે,જેનો અર્થ છે કે ઢાળ $\frac{dU}{dx} = 0$ છે.
તેથી,પદાર્થ બિંદુ $B$ પર સંતુલન સ્થિતિમાં છે.

(D) સ્થિતિઊર્જા $U(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંતુલન બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે બળ $F = -\frac{dU}{dx} = 0$ લઈએ છીએ.
$\frac{dU}{dx} = x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0$,તેથી $x = 0$ અથવા $x = 1$.
આપણે દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2U}{dx^2} = 2x - 1$ તપાસીએ છીએ.
$x = 0$ આગળ,$\frac{d^2U}{dx^2} = -1 < 0$ (અસ્થાયી સંતુલન).
$x = 1$ આગળ,$\frac{d^2U}{dx^2} = 1 > 0$ (સ્થાયી સંતુલન,ન્યૂનતમ સ્થિતિઊર્જા).
ન્યૂનતમ સ્થિતિઊર્જા $U_{min} = \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6} \, J$ છે.
કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E = K + U = 4 \, J$ છે.
મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $U$ ન્યૂનતમ હોય: $K_{max} = E - U_{min} = 4 - (-\frac{1}{6}) = \frac{25}{6} \, J$.
$K_{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2$ સૂત્રમાં $m = 2 \, kg$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} (2) v_{max}^2 = \frac{25}{6} \implies v_{max}^2 = \frac{25}{6} \implies v_{max} = \frac{5}{\sqrt{6}} \, m \, s^{-1}$.

(C) સ્થિતિઊર્જા વિધેય $U = 2x^2 + 3y^3 + 2z$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બળનો $x$-ઘટક $F_x$ એ સ્થિતિઊર્જા સાથે $F_x = -\frac{\partial U}{\partial x}$ સંબંધ ધરાવે છે.
$y$ અને $z$ ને અચળ રાખીને $U$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2x^2 + 3y^3 + 2z) = 4x$ મળે છે.
તેથી,$F_x = -4x$.
બિંદુ $P(1, 2, 3) \ m$ પર,$x$ નું મૂલ્ય $1 \ m$ છે.
$F_x$ ના સમીકરણમાં $x = 1$ મૂકતા,આપણને $F_x = -4(1) = -4 \ N$ મળે છે.
બળના $x$-ઘટકનું મૂલ્ય $|F_x| = |-4| = 4 \ N$ થાય છે.

(D) બળ $F$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $U$ વચ્ચેનો સંબંધ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$dU = -F dx$.
આપેલ છે કે $F = -2x$,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$dU = -(-2x) dx = 2x dx$.
ઉગમબિંદુ પર $U = 0$ છે તે શરત સાથે બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int_0^U dU = \int_0^x 2x dx$.
$U = [x^2]_0^x = x^2$.
સ્થિતિ ઉર્જાનું વિધેય $U = x^2$ છે,જે ઉપરની તરફ ખુલતા પરવલય (parabola) ને દર્શાવે છે જેનું શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ પર છે. આ આલેખ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ છે.

(B) કાર્પેટની ઘનતા $\rho = M/V$ અચળ રહે છે.
ધારો કે $M_1 = M$ અને $R_1 = R$. કદ $V = \pi R^2 l$ છે,જ્યાં $l$ એ કાર્પેટની લંબાઈ છે.
જ્યારે તેને $R_2 = R/2$ ત્રિજ્યા સુધી ખોલવામાં આવે,ત્યારે નળાકાર સ્વરૂપમાં રહેલી કાર્પેટનું દળ $M_2$ એ તેના કદના પ્રમાણમાં હોય છે.
$M_2 = \frac{M}{\pi R^2 l} \times \pi (R/2)^2 l = \frac{M}{4}$.
શરૂઆતની લપેટાયેલી કાર્પેટની સ્થિતિ ઊર્જા (દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $R$ ઊંચાઈ પર છે તેમ ધારતા) $U_1 = MgR$ છે.
અંતિમ લપેટાયેલી કાર્પેટની સ્થિતિ ઊર્જા ($R_2 = R/2$ ત્રિજ્યા અને $M_2 = M/4$ દળ સાથે) $U_2 = M_2 g R_2 = (M/4) g (R/2) = \frac{1}{8} MgR$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_1 - U_2 = MgR - \frac{1}{8} MgR = \frac{7}{8} MgR$ થાય.

(B) સાંકળની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ, $\lambda = \frac{M}{L} = \frac{4 \,kg}{2 \,m} = 2 \,kg/m$.
ધારો કે ટેબલ પરથી લટકતી સાંકળની લંબાઈ $l = 0.6 \,m$ છે।
લટકતા ભાગનું દળ $m = \lambda \times l = 2 \times 0.6 = 1.2 \,kg$ છે।
લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની ધારથી $x = \frac{l}{2} = \frac{0.6}{2} = 0.3 \,m$ નીચે છે।
સાંકળને ટેબલ પર ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય એ લટકતા ભાગની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે, જે તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને ટેબલની સપાટી સુધી ઊંચકવા સમાન છે।
$W = m \times g \times x = 1.2 \,kg \times 10 \,m/s^2 \times 0.3 \,m = 3.6 \,J$.

(A) કણની સ્થિતિઊર્જા $U(x) = 5x(x-4) = 5x^2 - 20x \ J$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંરક્ષી ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા કણ પર લાગતું બળ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા મળે છે.
$F = -\frac{d}{dx}(5x^2 - 20x) = -(10x - 20) = 20 - 10x$.
જ્યારે કણ પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય (સંતુલન સ્થિતિ),ત્યારે કણની ઝડપ મહત્તમ હોય છે.
$F = 0$ લેતા,આપણને $20 - 10x = 0$ મળે છે.
$10x = 20$,જેનો અર્થ છે કે $x = 2 \ m$.
આ સ્થાને સ્થિતિઊર્જા ન્યૂનતમ હોય છે,અને ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગતિઊર્જા મહત્તમ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે ઝડપ મહત્તમ છે.

(C) પદાર્થની સ્થિતિ ઊર્જા $U = (4x^2 + 2x) \,J$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પદાર્થ પર લાગતું બળ $F$ એ સ્થિતિ ઊર્જા $U$ સાથે $F = -\frac{dU}{dx}$ સંબંધ ધરાવે છે.
$U$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$F = -\frac{d}{dx}(4x^2 + 2x) = -(8x + 2) \,N$.
$x = 2 \,m$ ના સ્થાને, બળનું મૂલ્ય:
$|F| = |-(8(2) + 2)| = |-(16 + 2)| = |-18| = 18 \,N$.
તેથી, પદાર્થ પર લાગતું બળ $18 \,N$ છે.

(D) ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ પદાર્થને ઊંચકવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે.
આપેલ છે:
પદાર્થનું દળ, $m = 2 \,kg$
ઊંચાઈ, $h = 4 \,m$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ, $g = 10 \,ms^{-2}$
કાર્યનું સૂત્ર, $W = mgh$
કિંમતો મૂકતા:
$W = 2 \,kg \times 10 \,ms^{-2} \times 4 \,m$
$W = 80 \,J$
તેથી, કરવામાં આવેલ કાર્ય $80 \,J$ છે.

(A) સાંકળના લટકતા ભાગને ટેબલ પર ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય તે ભાગની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા વધારા જેટલું હોય છે.
ધારો કે લટકતા ભાગનું દળ $m' = \frac{m}{6}$ છે અને તેની લંબાઈ $l' = \frac{l}{6}$ છે.
લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની ધારથી $h = \frac{l'}{2} = \frac{l/6}{2} = \frac{l}{12}$ જેટલા અંતરે નીચે છે.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ આ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને ટેબલની સપાટી સુધી લાવવા માટે જરૂરી સ્થિતિ ઊર્જા જેટલું છે:
$W = m' g h$
$W = \left(\frac{m}{6}\right) g \left(\frac{l}{12}\right)$
$W = \frac{m g l}{72}$

(C) કણની સ્થિતિ ઉર્જા $U(x) = 2 - 20x + 5x^2 \text{ J}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતની સ્થિતિ $x_i = -3 \text{ m}$ પર,પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા:
$U_i = 2 - 20(-3) + 5(-3)^2 = 2 + 60 + 45 = 107 \text{ J}$.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત થાય છે,તેથી તેની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ તેની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$E = U_i = 107 \text{ J}$.
કણ જ્યારે તેની ગતિ ઉર્જા શૂન્ય થાય ત્યારે તેના મહત્તમ $x$ સ્થાન પર પહોંચશે,જેનો અર્થ છે કે તે બિંદુ $x_f$ પર તેની સ્થિતિ ઉર્જા કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ જેટલી હોવી જોઈએ:
$U(x_f) = E$
$2 - 20x_f + 5x_f^2 = 107$
$5x_f^2 - 20x_f - 105 = 0$
$5$ વડે ભાગતા:
$x_f^2 - 4x_f - 21 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x_f - 7)(x_f + 3) = 0$
આનાથી બે ઉકેલો મળે છે: $x_f = 7 \text{ m}$ અથવા $x_f = -3 \text{ m}$.
કણ $x = -3 \text{ m}$ થી શરૂ થાય છે અને મહત્તમ $x$ સુધી પહોંચવા માટે ગતિ કરે છે,તેથી મહત્તમ મૂલ્ય $x = 7 \text{ m}$ છે.

(C) સાંકળને ટેબલ પર ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય એ સાંકળની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
ધારો કે ટેબલની સપાટી સંદર્ભ સ્તર $(U = 0)$ છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $(U_i)$ સાંકળના લટકતા ભાગને કારણે છે,જેનું દળ $M/2$ છે અને તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની નીચે $L/4$ અંતરે છે.
$U_i = -(\frac{M}{2}) g (\frac{L}{4}) = -\frac{M g L}{8}$.
આખી સાંકળને ટેબલ પર ખેંચ્યા પછી,અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા $(U_f)$ $0$ થાય છે કારણ કે આખી સાંકળ ટેબલની સપાટી પર છે.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = U_f - U_i = 0 - (-\frac{M g L}{8}) = \frac{M g L}{8}$.

(B) ધારો કે સાંકળ દ્વારા અર્ધગોળાના કેન્દ્ર પર આંતરેલો ખૂણો $\alpha = l/R$ છે.
પાયાથી $\theta$ ખૂણે $dl$ લંબાઈના સાંકળના એક નાના ઘટકનો વિચાર કરો.
પાયાથી આ ઘટકની ઊંચાઈ $h = R \sin \theta$ છે.
ઘટકની લંબાઈ $dl = R d\theta$ છે.
આ ઘટકનું દળ $dm = \frac{m}{l} dl = \frac{m}{l} R d\theta$ છે.
આ ઘટકની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $dU = (dm)gh = \left(\frac{m}{l} R d\theta\right) g (R \sin \theta) = \frac{mgR^2}{l} \sin \theta d\theta$ છે.
સાંકળ ટોચ $(\theta = \pi/2)$ થી $\theta = \pi/2 - \alpha = \pi/2 - l/R$ ખૂણા સુધી વિસ્તરેલી છે.
$\pi/2 - l/R$ થી $\pi/2$ સુધી $dU$ નું સંકલન કરતા:
$U = \int_{\pi/2 - l/R}^{\pi/2} \frac{mgR^2}{l} \sin \theta d\theta = \frac{mgR^2}{l} [-\cos \theta]_{\pi/2 - l/R}^{\pi/2}$
$U = \frac{mgR^2}{l} [-\cos(\pi/2) - (-\cos(\pi/2 - l/R))]$
$U = \frac{mgR^2}{l} [0 + \sin(l/R)] = \frac{mgR^2}{l} \sin \left(\frac{l}{R}\right)$.

(D) જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ દાદર ચઢે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવામાં આવે છે જે નીચેની દિશામાં કાર્યરત હોય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ આ કાર્ય વ્યક્તિના શરીરના આંતરિક બળો (સ્નાયુઓના સંકોચન) દ્વારા રાસાયણિક ઊર્જાનું યાંત્રિક કાર્યમાં રૂપાંતર કરીને કરવામાં આવે છે.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા વધારાનો સ્ત્રોત વ્યક્તિના શરીરના આંતરિક બળો દ્વારા થયેલું કાર્ય છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો જવાબ છે.

(A) કેન્દ્રીય બળ $F$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $U(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ $F = -\frac{dU}{dr}$ છે.
આપેલ છે $U(r) = r^{-2} - r^{-1}$.
બળની ગણતરી કરતા: $F = -\frac{d}{dr}(r^{-2} - r^{-1}) = -(-2r^{-3} + r^{-2}) = \frac{2}{r^3} - \frac{1}{r^2}$.
મહત્તમ આકર્ષી બળ માટે,આપણે $\frac{dF}{dr} = 0$ લઈને $F$ નું અંતિમ મૂલ્ય શોધીએ છીએ.
$\frac{dF}{dr} = \frac{d}{dr}(2r^{-3} - r^{-2}) = -6r^{-4} + 2r^{-3} = 0$.
$2r^{-3} = 6r^{-4} \Rightarrow \frac{2}{r^3} = \frac{6}{r^4} \Rightarrow r = 3$.
$r = 3$ ને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = \frac{2}{(3)^3} - \frac{1}{(3)^2} = \frac{2}{27} - \frac{1}{9} = \frac{2-3}{27} = -\frac{1}{27}$.
બળનું મૂલ્ય $|F| = \frac{1}{27}$ થાય છે.

(C) આપેલ છે: ધાતુની સાંકળનું દળ $m = 2 \,kg$, કુલ લંબાઈ $l = 90 \,cm = 0.9 \,m$.
લટકતા ભાગની લંબાઈ $l' = (90 - 60) \,cm = 30 \,cm = 0.3 \,m$.
લટકતા ભાગનું દળ $m'$ તેની લંબાઈના પ્રમાણમાં હોય છે: $m' = (l'/l) \times m = (0.3 / 0.9) \times 2 = 2/3 \,kg$.
લટકતા ભાગનું ગુરુત્વકેન્દ્ર ટેબલની સપાટીથી $l_c = l'/2 = 0.3 / 2 = 0.15 \,m$ નીચે છે.
લટકતા ભાગને ટેબલ પર લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = m' g l_c$.
કિંમતો મૂકતા: $W = (2/3) \times 10 \times 0.15 = 1 \,J$.

(C) સંતુલન બિંદુઓ ત્યાં હોય છે જ્યાં બળ $F = -\frac{dV}{dx} = 0$ હોય,જે $V(x)$ વિરુદ્ધ $x$ ના આલેખમાં જ્યાં ઢાળ શૂન્ય હોય તે બિંદુઓને અનુરૂપ છે (એટલે કે વક્રના શિખરો અને ખીણો).
આલેખ જોતા,આવા ત્રણ બિંદુઓ છે: બે સ્થાનિક મહત્તમ (શિખરો) અને એક સ્થાનિક ન્યૂનતમ (ખીણ).
$1$. સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુએ,સ્થિતિ ઊર્જા ન્યૂનતમ હોય છે,તેથી $\frac{d^2V}{dx^2} > 0$. આ એક સ્થાયી સંતુલન બિંદુ દર્શાવે છે.
$2$. સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુએ,સ્થિતિ ઊર્જા મહત્તમ હોય છે,તેથી $\frac{d^2V}{dx^2} < 0$. આ એક અસ્થાયી સંતુલન બિંદુ દર્શાવે છે.
આમ,બે શિખરો (અસ્થાયી) અને એક ખીણ (સ્થાયી) હોવાથી,કુલ ત્રણ સંતુલન બિંદુઓ છે: એક સ્થાયી અને બે અસ્થાયી.