Perfectly Inelastic Collision Questions in Gujarati

(D) પગલું $1$: અથડામણ દરમિયાન રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ કરો.
ધારો કે ગોળીનું દળ $m_1 = 10 \text{ g} = 0.01 \text{ kg}$ અને બ્લોકનું દળ $m_2 = 10 \text{ g} = 0.01 \text{ kg}$ છે.
ગોળીનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 1 \text{ m/s}$ અને બ્લોકનો પ્રારંભિક વેગ $u_2 = 0 \text{ m/s}$ છે.
અથડામણ પછી તરત જ તંત્ર (ગોળી + બ્લોક) નો સામાન્ય વેગ $v$ છે.
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) v$
$0.01 \times 1 + 0.01 \times 0 = (0.01 + 0.01) v$
$0.01 = 0.02 v$
$v = 0.5 \text{ m/s}$.
પગલું $2$: ઊંચાઈ $h$ શોધવા માટે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ કરો.
સંયુક્ત તંત્રની ગતિ ઉર્જા મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$\frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 = (m_1 + m_2) g h$
$h = \frac{v^2}{2g}$
$h = \frac{(0.5)^2}{2 \times 10} = \frac{0.25}{20} = 0.0125 \text{ m}$.
પગલું $3$: ઊંચાઈને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવો.
$h = 0.0125 \text{ m} = 0.0125 \times 100 \text{ cm} = 1.25 \text{ cm}$.

(D) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગોળીનું પ્રારંભિક વેગમાન એ તંત્ર (થેલી + ગોળી) ના અંતિમ વેગમાન જેટલું હોય છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = mv$.
અંતિમ વેગમાન $P_f = (M + m)V$,જ્યાં $V$ એ સામાન્ય વેગ છે.
$mv = (M + m)V \implies V = \frac{mv}{M + m}$.
અથડામણ પછી તંત્રની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}(M + m)V^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V$ ની કિંમત મૂકતા:
$K = \frac{1}{2}(M + m) \left( \frac{mv}{M + m} \right)^2$.
$K = \frac{1}{2}(M + m) \frac{m^2v^2}{(M + m)^2}$.
$K = \frac{m^2v^2}{2(M + m)}$.

(B) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન અને અથડામણ પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોય છે.
ધારો કે સંયુક્ત દળનો અંતિમ વેગ $\vec{v}'$ છે.
$m$ દળનું પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{p}_1 = m v \hat{i}$ છે.
$3m$ દળનું પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{p}_2 = (3m)(2v) \hat{j} = 6mv \hat{j}$ છે.
કુલ પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{p}_{initial} = m v \hat{i} + 6mv \hat{j}$ છે.
અથડામણ પછીનું કુલ દળ $M = m + 3m = 4m$ થાય છે.
અંતિમ વેગમાન $\vec{p}_{final} = (4m) \vec{v}'$ છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$4m \vec{v}' = m v \hat{i} + 6mv \hat{j}$
$\vec{v}' = \frac{mv \hat{i} + 6mv \hat{j}}{4m}$
$\vec{v}' = \frac{1}{4}v \hat{i} + \frac{6}{4}v \hat{j} = \frac{1}{4}v \hat{i} + \frac{3}{2}v \hat{j}$.

(C) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન = $m_1 \times 40 + m_2 \times 0 = 40m_1$.
તંત્રનું અંતિમ વેગમાન = $(m_1 + m_2) \times 30 = 30m_1 + 30m_2$.
પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગમાનને સરખાવતા:
$40m_1 = 30m_1 + 30m_2$
$40m_1 - 30m_1 = 30m_2$
$10m_1 = 30m_2$
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{30}{10} = 3$.
તેથી,તેમના દળનો ગુણોત્તર $3$ છે.

(D) ગોળીની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી,ગોળી રેતીની થેલીમાં ખૂંપી જાય છે અને તંત્ર સામાન્ય વેગ $V$ સાથે ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ:
$mv + M(0) = (m + M)V$
$V = \frac{mv}{m + M}$
તંત્રની અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2}(m + M)V^2$ છે.
$V$ ની કિંમત મૂકતા:
$K_f = \frac{1}{2}(m + M) \left( \frac{mv}{m + M} \right)^2 = \frac{1}{2} \frac{m^2v^2}{m + M}$.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K = K_i - K_f$ છે.
$\Delta K = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2} \frac{m^2v^2}{m + M}$
$\Delta K = \frac{1}{2}mv^2 \left( 1 - \frac{m}{m + M} \right)$
$\Delta K = \frac{1}{2}mv^2 \left( \frac{m + M - m}{m + M} \right)$
$\Delta K = \frac{1}{2}mv^2 \left( \frac{M}{m + M} \right)$.

(B) ધારો કે $2m$ દળ ધરાવતા કણનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. $m$ દળ ધરાવતો કણ સ્થિર છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, સંયુક્ત દળ $(2m + m = 3m)$ નો અંતિમ વેગ $v$ નીચે મુજબ છે:
$(2m)u + (m)(0) = (3m)v$
$v = \frac{2mu}{3m} = \frac{2u}{3}$
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}(2m)u^2 = mu^2$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2}(3m)v^2 = \frac{1}{2}(3m)\left(\frac{2u}{3}\right)^2 = \frac{3m}{2} \cdot \frac{4u^2}{9} = \frac{2}{3}mu^2$.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K = K_i - K_f = mu^2 - \frac{2}{3}mu^2 = \frac{1}{3}mu^2$.
શરૂઆતની ગતિઊર્જાનો ગુમાવાયેલ ભાગ $\frac{\Delta K}{K_i} = \frac{\frac{1}{3}mu^2}{mu^2} = \frac{1}{3}$ છે.

(D) આપેલ છે: $m_1 = 0.50 \ kg$,$u_1 = 2.00 \ m/s$,$m_2 = 1.00 \ kg$,$u_2 = 0 \ m/s$.
અથડામણ પછી પદાર્થો સાથે ગતિ કરતા હોવાથી,આ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ છે.
સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં ઉર્જાના વ્યયનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\Delta K = \frac{m_1 m_2}{2(m_1 + m_2)} (u_1 - u_2)^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta K = \frac{0.50 \times 1.00}{2(0.50 + 1.00)} (2.00 - 0)^2$
$\Delta K = \frac{0.50}{2(1.50)} (4)$
$\Delta K = \frac{0.50}{3.00} \times 4 = \frac{2}{3} \approx 0.67 \ J$.

(B) $x$-દિશામાં તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન: $p_x = m(2v) = 2mv$.
$y$-દિશામાં તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન: $p_y = (2m)v = 2mv$.
કુલ પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા: $K_i = \frac{1}{2}m(2v)^2 + \frac{1}{2}(2m)v^2 = 2mv^2 + mv^2 = 3mv^2$.
અથડામણ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,કણો એકબીજા સાથે જોડાઈ જાય છે. ધારો કે અંતિમ વેગ $V_f$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $p_f = \sqrt{p_x^2 + p_y^2} = \sqrt{(2mv)^2 + (2mv)^2} = 2\sqrt{2}mv$.
વળી,$p_f = (m + 2m)V_f = 3mV_f$.
બંનેને સરખાવતા: $3mV_f = 2\sqrt{2}mv \Rightarrow V_f = \frac{2\sqrt{2}}{3}v$.
અંતિમ ગતિ ઉર્જા: $K_f = \frac{1}{2}(3m)V_f^2 = \frac{3m}{2} \left( \frac{8v^2}{9} \right) = \frac{4}{3}mv^2$.
ઉર્જામાં ઘટાડો: $\Delta K = K_i - K_f = 3mv^2 - \frac{4}{3}mv^2 = \frac{5}{3}mv^2$.
ટકાવારી ઘટાડો: $\frac{\Delta K}{K_i} \times 100 = \frac{(5/3)mv^2}{3mv^2} \times 100 = \frac{5}{9} \times 100 \approx 55.55\% \approx 56\%$.

(A) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન તેના અંતિમ વેગમાન જેટલું હોય છે.
$mv + M(0) = (M + m)V_{\text{common}}$
$\therefore V_{\text{common}} = \frac{mv}{M + m}$
હવે,સંયુક્ત તંત્રની અંતિમ ગતિઊર્જા $(KE_{\text{final}})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$KE_{\text{final}} = \frac{1}{2}(M + m)V_{\text{common}}^2$
$V_{\text{common}}$ ની કિંમત મૂકતા:
$KE_{\text{final}} = \frac{1}{2}(M + m) \left( \frac{mv}{M + m} \right)^2$
$KE_{\text{final}} = \frac{1}{2}(M + m) \frac{m^2v^2}{(M + m)^2}$
$KE_{\text{final}} = \frac{1}{2}mv^2 \times \left( \frac{m}{M + m} \right)$

(A) પગલું $1$: અથડામણ દરમિયાન રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ કરો.
ગોળી બ્લોકમાં ખૂંપી જતી હોવાથી,આ અથડામણ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક છે.
ધારો કે અથડામણ પછી તરત જ સંયુક્ત તંત્ર $(M+m)$ નો વેગ $V'$ છે.
$m V_0 = (M + m) V'$
$V' = \frac{m V_0}{M + m}$
પગલું $2$: અથડામણ પછી તંત્ર માટે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ કરો.
તંત્રની ગતિ ઉર્જા મહત્તમ સંકોચન $X_{\max}$ સમયે સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$\frac{1}{2} (M + m) (V')^2 = \frac{1}{2} k X_{\max}^2$
$(M + m) \left( \frac{m V_0}{M + m} \right)^2 = k X_{\max}^2$
$\frac{m^2 V_0^2}{M + m} = k X_{\max}^2$
$X_{\max}^2 = \frac{m^2 V_0^2}{(M + m)k}$
$X_{\max} = \sqrt{\frac{m^2 V_0^2}{(M + m)k}} = \left( \frac{m^2 V_0^2}{(M + m)k} \right)^{1/2}$

(C) સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,પુનઃપ્રાપ્તિનો ગુણાંક $e = 0$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$M\mu_1 + M\mu_2 = (M + M)V$
$M(\mu_1 + \mu_2) = 2MV$
$V = \frac{\mu_1 + \mu_2}{2}$
પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $(K_i)$:
$K_i = \frac{1}{2}M\mu_1^2 + \frac{1}{2}M\mu_2^2 = \frac{M}{2}(\mu_1^2 + \mu_2^2)$
અંતિમ ગતિ ઉર્જા $(K_f)$:
$K_f = \frac{1}{2}(2M)V^2 = M \left( \frac{\mu_1 + \mu_2}{2} \right)^2 = \frac{M}{4}(\mu_1^2 + \mu_2^2 + 2\mu_1\mu_2)$
ઉર્જામાં થતો ઘટાડો $(\Delta K = K_i - K_f)$:
$\Delta K = \frac{M}{2}(\mu_1^2 + \mu_2^2) - \frac{M}{4}(\mu_1^2 + \mu_2^2 + 2\mu_1\mu_2)$
$\Delta K = \frac{M}{4} [2\mu_1^2 + 2\mu_2^2 - \mu_1^2 - \mu_2^2 - 2\mu_1\mu_2]$
$\Delta K = \frac{M}{4}(\mu_1^2 + \mu_2^2 - 2\mu_1\mu_2)$
$\Delta K = \frac{M}{4}(\mu_1 - \mu_2)^2$

(A) ધારો કે દરેક કણનું દળ $M$ છે અને તેમની ઝડપ $v$ છે. અથડામણ પછી,તેઓ $2M$ દળનો એક કણ $C$ બનાવે છે જે $v'$ વેગથી $X$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે ગતિ કરે છે.
$X$ અને $Y$ અક્ષો પર રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$X$-અક્ષ પર:
$P_{ix} = P_{fx}$
$Mv \cos(60^{\circ}) - Mv \cos(45^{\circ}) = (2M)v' \cos \theta$
$v(\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = 2v' \cos \theta \quad ... (i)$
$Y$-અક્ષ પર:
$P_{iy} = P_{fy}$
$Mv \sin(60^{\circ}) + Mv \sin(45^{\circ}) = (2M)v' \sin \theta$
$v(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = 2v' \sin \theta \quad ... (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\tan \theta = \frac{v(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}})}{v(\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}}$

(D) $1$. પ્લેટફોર્મ સાથે અથડાતા પહેલા $1\,kg$ ના પદાર્થનો વેગ: $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 100} = \sqrt{2000} = 20\sqrt{5}\,m/s.$
$2$. સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાન વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ $(COLM)$ નો ઉપયોગ કરતા: $m_1 v = (m_1 + m_2) v',$
જ્યાં $v'$ એ અથડામણ પછી તરત જ સંયુક્ત દળ $(1+3 = 4\,kg)$ નો વેગ છે.
$1 \times 20\sqrt{5} = 4 \times v' \implies v' = 5\sqrt{5}\,m/s.$
$3$. અથડામણના બિંદુથી મહત્તમ સંકોચન $x$ સુધીની સિસ્ટમ માટે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
સંયુક્ત દળની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જાનું રૂપાંતર સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઉર્જા અને ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જાના ફેરફારમાં થાય છે.
સ્પ્રિંગની સંતુલન સ્થિતિને સંદર્ભ સ્તર તરીકે લેતા. પ્લેટફોર્મ પહેલેથી જ $x_0 = \frac{m_2 g}{k} = \frac{3 \times 10}{1.25 \times 10^6} = 2.4 \times 10^{-5}\,m$ જેટલું સંકોચાયેલું છે,જે અવગણ્ય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણ લાગુ કરતા: $\frac{1}{2} M (v')^2 + M g x = \frac{1}{2} k x^2,$
જ્યાં $M = 4\,kg.$
$\frac{1}{2} \times 4 \times (5\sqrt{5})^2 + 4 \times 10 \times x = \frac{1}{2} \times 1.25 \times 10^6 \times x^2.$
$2 \times 125 + 40x = 6.25 \times 10^5 x^2.$
$6.25 \times 10^5 x^2 - 40x - 250 = 0.$
કારણ કે $x$ ખૂબ નાનું છે,$40x$ એ $250$ અને $6.25 \times 10^5 x^2$ ની સરખામણીમાં અવગણ્ય છે.
$6.25 \times 10^5 x^2 \approx 250 \implies x^2 \approx \frac{250}{6.25 \times 10^5} = 40 \times 10^{-5} = 4 \times 10^{-4}.$
$x = 0.02\,m = 2\,cm.$

(C) પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} (40)(4)^2 + \frac{1}{2} (60)(2)^2 = 320 + 120 = 440\,J$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) V_c$.
$40(4) + 60(2) = (40 + 60) V_c \implies 160 + 120 = 100 V_c \implies 280 = 100 V_c \implies V_c = 2.8\,m/s$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) V_c^2 = \frac{1}{2} (100) (2.8)^2 = 50 \times 7.84 = 392\,J$.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K = K_i - K_f = 440 - 392 = 48\,J$.
વૈકલ્પિક રીતે,સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે: $(\Delta K)_{\text{loss}} = \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} (v_1 - v_2)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{40 \times 60}{100} \times (4 - 2)^2 = \frac{1}{2} \times 24 \times 4 = 48\,J$.

(C) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
ધારો કે સંયુક્ત તંત્રની અંતિમ ઝડપ $v_f$ છે.
તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન $p_i = mv + M(0) = mv$ છે.
તંત્રનું અંતિમ વેગમાન $p_f = (M + m)v_f$ છે.
$p_i = p_f$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$mv = (M + m)v_f$
$v_f$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$v_f = \frac{m}{M + m}v$

(B) તંત્રની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા: $K_i = \frac{1}{2} m u_1^2 + \frac{1}{2} m u_2^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (6)^2 + 0 = 36 \ J$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m u_1 + m u_2 = (m + m) v$.
$2 \times 6 + 2 \times 0 = (2 + 2) v \implies 12 = 4v \implies v = 3 \ m/s$.
તંત્રની અંતિમ ગતિઊર્જા: $K_f = \frac{1}{2} (m + m) v^2 = \frac{1}{2} \times 4 \times (3)^2 = 2 \times 9 = 18 \ J$.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા એ ગતિઊર્જામાં થતા ઘટાડા જેટલી હોય છે: $\Delta K = K_i - K_f = 36 \ J - 18 \ J = 18 \ J$.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદાર્થનું દળ $m_1 = 5\,kg$ અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. ધારો કે બીજા પદાર્થનું દળ $m_2 = 2.5\,kg$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u_2 = 0$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m_1 u + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) v$,જ્યાં $v$ એ અંતિમ સામાન્ય વેગ છે.
$5u + 0 = (5 + 2.5)v \Rightarrow 5u = 7.5v \Rightarrow v = \frac{5}{7.5}u = \frac{2}{3}u$.
સંયુક્ત દળની અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 = 5\,J$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} \times 7.5 \times (\frac{2}{3}u)^2 = 5$.
$3.75 \times \frac{4}{9}u^2 = 5 \Rightarrow \frac{15}{9}u^2 = 5 \Rightarrow \frac{5}{3}u^2 = 5 \Rightarrow u^2 = 3$.
પ્રથમ પદાર્થની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}m_1 u^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 3 = 7.5\,J$ થાય.

(A) તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન,$p_i = mv$ છે.
ધારો કે અથડામણ પછી સંયુક્ત તંત્રનો વેગ $V$ છે.
તંત્રનું અંતિમ વેગમાન,$p_f = (m+M)V$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$p_i = p_f$,તેથી $mv = (m+M)V$.
તેથી,સંયુક્ત બ્લોકનો વેગ $V = \frac{mv}{m+M}$ મળે છે.
સંયુક્ત બ્લોકની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}(m+M)V^2$ છે.
$V$ ની કિંમત મૂકતા,$K = \frac{1}{2}(m+M) \left( \frac{mv}{m+M} \right)^2$ મળે છે.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,$K = \frac{1}{2}(m+M) \frac{m^2v^2}{(m+M)^2} = \frac{1}{2}mv^2 \times \frac{m}{m+M}$ થાય છે.

(C) આપેલ છે: $m_1 = m_2 = 0.25\, kg$,$u_1 = 3\, ms^{-1}$,$u_2 = -1\, ms^{-1}$.
જ્યારે બે પદાર્થો એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોય,ત્યારે એક વેગ ધન અને બીજો ઋણ લેવામાં આવે છે.
આ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ છે જેમાં અથડામણ પછી પદાર્થો એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) v$
કિંમતો મૂકતા:
$(0.25)(3) + (0.25)(-1) = (0.25 + 0.25) v$
$0.75 - 0.25 = 0.5 v$
$0.5 = 0.5 v$
$v = 1\, ms^{-1}$.

(B) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = (m_1 + m_2)\vec{v}_{final}$
અહીં $m_1 = 2 \, kg$,$\vec{v}_1 = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \, m/s$ અને $m_2 = 5 \, kg$,$\vec{v}_2 = (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) \, m/s$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$2(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + 5(\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) = (2 + 5)\vec{v}_{final}$
$(2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) + (5\hat{i} - 10\hat{j} + 15\hat{k}) = 7\vec{v}_{final}$
$(7\hat{i} - 8\hat{j} + 17\hat{k}) = 7\vec{v}_{final}$
$\vec{v}_{final} = \frac{7}{7}\hat{i} - \frac{8}{7}\hat{j} + \frac{17}{7}\hat{k} = (\hat{i} - \frac{8}{7}\hat{j} + \frac{17}{7}\hat{k}) \, m/s$.

(B) વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સંઘાત પહેલાનું કુલ વેગમાન = સંઘાત પછીનું કુલ વેગમાન.
$mv + (2m)(0) = (m + 2m)v'$
$mv = 3mv'$
$v' = \frac{v}{3}$
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_i = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $KE_f = \frac{1}{2}(m + 2m)(v')^2 = \frac{1}{2}(3m)(\frac{v}{3})^2 = \frac{1}{2}(3m)(\frac{v^2}{9}) = \frac{1}{6}mv^2$ છે.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta KE = KE_i - KE_f = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{6}mv^2 = \frac{3-1}{6}mv^2 = \frac{2}{6}mv^2 = \frac{1}{3}mv^2$ છે.
ગતિઊર્જામાં થતો પ્રતિશત ઘટાડો $\frac{\Delta KE}{KE_i} \times 100 = \frac{\frac{1}{3}mv^2}{\frac{1}{2}mv^2} \times 100 = \frac{2}{3} \times 100 = \frac{200}{3}\,\%$ થાય.

(C) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
ધારો કે પ્રથમ પદાર્થનું દળ $m_1 = 2\, kg$ અને તેનો વેગ $u_1 = 3\, m/s$ છે.
ધારો કે બીજા પદાર્થનું દળ $m_2 = 1\, kg$ અને તેનો વેગ $u_2 = -4\, m/s$ છે (કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે).
ધારો કે અથડામણ પછીનો સામાન્ય વેગ $v$ છે.
વેગમાનના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) v$.
કિંમતો મૂકતા: $(2 \times 3) + (1 \times -4) = (2 + 1) v$.
$6 - 4 = 3v$.
$2 = 3v$.
$v = 2/3\, m/s$.

(B) તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન: $\vec{P}_i = m(u\hat{i}) + m\left(\frac{u}{2}\hat{i} + \frac{u}{2}\hat{j}\right) = \frac{3}{2}mu\hat{i} + \frac{1}{2}mu\hat{j}$.
અથડામણ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,કણો એકબીજા સાથે જોડાઈ જાય છે અને સામાન્ય વેગ $\vec{v}_f$ સાથે ગતિ કરે છે. રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\vec{P}_i = (m+m)\vec{v}_f = 2m\vec{v}_f$.
$\vec{v}_f = \frac{1}{2m} \left(\frac{3}{2}mu\hat{i} + \frac{1}{2}mu\hat{j}\right) = \frac{3}{4}u\hat{i} + \frac{1}{4}u\hat{j}$.
પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા: $K_i = \frac{1}{2}mu^2 + \frac{1}{2}m\left|\frac{u}{2}\hat{i} + \frac{u}{2}\hat{j}\right|^2 = \frac{1}{2}mu^2 + \frac{1}{2}m\left(\frac{u^2}{4} + \frac{u^2}{4}\right) = \frac{1}{2}mu^2 + \frac{1}{4}mu^2 = \frac{3}{4}mu^2$.
અંતિમ ગતિ ઉર્જા: $K_f = \frac{1}{2}(2m)|\vec{v}_f|^2 = m\left(\left(\frac{3}{4}u\right)^2 + \left(\frac{1}{4}u\right)^2\right) = m\left(\frac{9}{16}u^2 + \frac{1}{16}u^2\right) = \frac{10}{16}mu^2 = \frac{5}{8}mu^2$.
ગુમાવેલી ઉર્જા: $\Delta K = K_i - K_f = \frac{3}{4}mu^2 - \frac{5}{8}mu^2 = \frac{6-5}{8}mu^2 = \frac{1}{8}mu^2$.

(N/A) ધારો કે $m_{1}$ દળનો કણ $v_{1i}$ વેગથી ગતિ કરે છે અને સ્થિર રહેલા $m_{2}$ દળના કણ સાથે અથડાય છે. સંઘાત બાદ,બંને કણો $v_{1i}$ ની દિશામાં સમાન અંતિમ વેગ $v_{f}$ થી સાથે ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સંઘાત પહેલાનું કુલ વેગમાન અને સંઘાત પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોય છે:
$m_{1} v_{1i} + m_{2} v_{2i} = (m_{1} + m_{2}) v_{f}$
બીજો કણ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,$v_{2i} = 0$:
$m_{1} v_{1i} = (m_{1} + m_{2}) v_{f}$
$v_{f} = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{1i}$
અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી. ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta K = K_{i} - K_{f}$
$\Delta K = \frac{1}{2} m_{1} v_{1i}^{2} - \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) v_{f}^{2}$
$v_{f}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\Delta K = \frac{1}{2} m_{1} v_{1i}^{2} - \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) \left( \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} \right)^{2} v_{1i}^{2}$
$\Delta K = \frac{1}{2} m_{1} v_{1i}^{2} \left( 1 - \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} \right)$
$\Delta K = \frac{1}{2} \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{1i}^{2}$
અહીં $\Delta K > 0$ હોવાથી,સંઘાત દરમિયાન ગતિઊર્જાનો વ્યય થાય છે.

(B) બે પદાર્થોના તંત્રની કુલ ગતિઊર્જા સંઘાત બાદ ત્યારે જ શૂન્ય બને જો સંઘાત સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક હોય અને તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન શૂન્ય હોય.
જો $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો $v_1$ અને $v_2$ વેગથી વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોય જેથી તેમનું કુલ વેગમાન $p = m_1v_1 + m_2v_2 = 0$ થાય,અને તેઓ સંઘાત બાદ એકબીજા સાથે ચોંટી જાય,તો સંયુક્ત દળનો અંતિમ વેગ $V = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2} = 0$ થશે.
અંતિમ વેગ શૂન્ય હોવાથી,અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)V^2 = 0$ થાય.

(B) તંત્રની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = 1/2 mv^2 + 1/2 (2m)(0)^2 = 1/2 mv^2$ છે.
અથડામણ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,બંને પદાર્થો અથડામણ પછી એકબીજા સાથે જોડાઈ જાય છે અને સામાન્ય વેગ $V$ થી ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mv + (2m)(0) = (m + 2m)V$.
$mv = 3mV$,જે આપણને $V = v/3$ આપે છે.
તંત્રની અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = 1/2 (m + 2m)V^2 = 1/2 (3m)(v/3)^2 = 1/2 (3m)(v^2/9) = 1/6 mv^2$ છે.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K = K_i - K_f = 1/2 mv^2 - 1/6 mv^2 = (3/6 - 1/6) mv^2 = 2/6 mv^2 = 1/3 mv^2$ છે.

(B) ધારો કે બે પદાર્થોનું દળ $m$ અને પ્રારંભિક ઝડપ $v_0$ છે. ધારો કે તેમના પ્રારંભિક વેગ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $2\theta$ છે.
સંમિતિ દ્વારા,સંયુક્ત દળ $2m$ એ પ્રારંભિક વેગ સદિશોના ખૂણાના દ્વિભાજકની દિશામાં $v_f = v_0/2$ ની અંતિમ ઝડપ સાથે ગતિ કરશે.
અંતિમ વેગની દિશામાં રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$m v_0 \cos \theta + m v_0 \cos \theta = (2m) v_f$
$2 m v_0 \cos \theta = 2 m (v_0/2)$
$2 m v_0 \cos \theta = m v_0$
$\cos \theta = 1/2$
$\theta = 60^\circ$
પ્રારંભિક વેગ વચ્ચેનો ખૂણો $2\theta = 2 \times 60^\circ = 120^\circ$ છે.

(A) આપેલ છે: $m_1 = 5 \times 10^{3} \, kg$,$u_1 = 2 \, m/s$,$m_2 = 15 \times 10^{3} \, kg$,$u_2 = 0 \, m/s$.
અથડામણ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક $(e = 0)$ હોવાથી,પદાર્થો એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે.
સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $(\Delta K.E.)$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta K.E. = \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} (u_1 - u_2)^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta K.E. = \frac{1}{2} \times \frac{(5 \times 10^{3}) \times (15 \times 10^{3})}{5 \times 10^{3} + 15 \times 10^{3}} \times (2 - 0)^2$
$\Delta K.E. = \frac{1}{2} \times \frac{75 \times 10^{6}}{20 \times 10^{3}} \times 4$
$\Delta K.E. = \frac{1}{2} \times 3.75 \times 10^{3} \times 4$
$\Delta K.E. = 7.5 \times 10^{3} \, J = 7.5 \, kJ$.

(B) તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન: $P_i = m_b v_b + m_s v_s = 0.2 \, kg \times 10 \, ms^{-1} + 9.8 \, kg \times 0 = 2 \, kg \cdot ms^{-1}$.
તંત્રનું અંતિમ વેગમાન: $P_f = (m_b + m_s) v = (0.2 + 9.8) \, kg \times v = 10 \, kg \times v$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $P_i = P_f \implies 2 = 10v \implies v = 0.2 \, ms^{-1}$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા: $K_i = \frac{1}{2} m_b v_b^2 = \frac{1}{2} \times 0.2 \times (10)^2 = 0.1 \times 100 = 10 \, J$.
અંતિમ ગતિઊર્જા: $K_f = \frac{1}{2} (m_b + m_s) v^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.2)^2 = 5 \times 0.04 = 0.2 \, J$.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો: $\Delta K = K_i - K_f = 10 - 0.2 = 9.8 \, J$.

(B) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
ધારો કે $(m + m) = 2m$ દળ ધરાવતા સંયુક્ત તંત્રનો અંતિમ વેગ $V$ છે.
$m v + m(0) = (2m)V$
$m v = 2m V$
$V = v / 2$
હવે,અથડામણ પછી તંત્રની ગતિઊર્જા નીચે મુજબ મળે છે:
$K_f = \frac{1}{2} (2m) V^2$
$V$ ની કિંમત મૂકતા:
$K_f = \frac{1}{2} (2m) \left(\frac{v}{2}\right)^2$
$K_f = m \times \frac{v^2}{4} = \frac{m v^2}{4}$

(C) સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,ગતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta K = \frac{m_1 m_2}{2(m_1 + m_2)} (u_1 - u_2)^2$
આપેલ છે:
$m_1 = 80 \,kg$,$u_1 = 2 \,ms^{-1}$
$m_2 = 20 \,kg$,$u_2 = 4 \,ms^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta K = \frac{80 \times 20}{2(80 + 20)} (2 - 4)^2$
$\Delta K = \frac{1600}{2(100)} (-2)^2$
$\Delta K = \frac{1600}{200} \times 4$
$\Delta K = 8 \times 4 = 32 \,J$
તેથી,ઉર્જાનો વ્યય $32 \,J$ છે.

(B) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
ધારો કે પશ્ચિમ દિશા એ ઋણ $x$-અક્ષ $(-\hat{i})$ ની દિશામાં છે અને દક્ષિણ દિશા એ ઋણ $y$-અક્ષ $(-\hat{j})$ ની દિશામાં છે.
પ્રથમ કણનું પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{p}_1 = m v(-\hat{i}) = -m v \hat{i}$ છે.
બીજા કણનું પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{p}_2 = m v(-\hat{j}) = -m v \hat{j}$ છે.
કુલ પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{P}_i = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = -m v \hat{i} - m v \hat{j}$ છે.
અથડામણ પછી,કણો એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે અને $2m$ દળનો એક નવો કણ બનાવે છે જે $\vec{V}$ વેગથી ગતિ કરે છે.
અંતિમ વેગમાન $\vec{P}_f = (2m) \vec{V}$ છે.
વેગમાનના સંરક્ષણ મુજબ,$\vec{P}_i = \vec{P}_f$,તેથી $(2m) \vec{V} = -m v \hat{i} - m v \hat{j}$.
$2m$ વડે ભાગતા,આપણને $\vec{V} = -\frac{v}{2} \hat{i} - \frac{v}{2} \hat{j}$ મળે છે.
ઝડપ એ વેગ સદિશનું મૂલ્ય છે: $|\vec{V}| = \sqrt{(-\frac{v}{2})^2 + (-\frac{v}{2})^2} = \sqrt{\frac{v^2}{4} + \frac{v^2}{4}} = \sqrt{\frac{v^2}{2}} = \frac{v}{\sqrt{2}}$.

(B) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
ધારો કે $m_1 = 10 \, kg$,$u_1 = 3 \, m/s$,$m_2 = 5 \, kg$,અને $u_2 = 0 \, m/s$.
ધારો કે સંયુક્ત દળ $(m_1 + m_2) = 15 \, kg$ નો અંતિમ વેગ $V$ છે.
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) V$
$10 \times 3 + 5 \times 0 = (10 + 5) V$
$30 = 15 V$
$V = 2 \, m/s$
હવે,સંયુક્ત દળની ગતિઊર્જા $(KE)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$KE = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) V^2$
$KE = \frac{1}{2} \times 15 \times (2)^2$
$KE = \frac{1}{2} \times 15 \times 4$
$KE = 30 \, J$.

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
ધારો કે ગોળીનું દળ $m_1 = 10 \,g = 0.01 \,kg$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $v_1 = 300 \,m/s$ છે.
બરફના બ્લોકનું દળ $m_2 = 5 \,kg$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $v_2 = 0 \,m/s$ છે.
અથડામણ પછી,ગોળી બ્લોકમાં ખૂંપી જાય છે,તેથી કુલ દળ $M = m_1 + m_2 = 0.01 \,kg + 5 \,kg = 5.01 \,kg$ થાય છે.
ધારો કે સિસ્ટમનો અંતિમ વેગ $V$ છે.
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) V$
$(0.01 \,kg)(300 \,m/s) + (5 \,kg)(0 \,m/s) = (5.01 \,kg) V$
$3 = 5.01 V$
$V = \frac{3}{5.01} \approx 0.5988 \,m/s \approx 0.6 \,m/s$.
આને $cm/s$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$V = 0.6 \times 100 = 60 \,cm/s$.

(C) ધારો કે પ્રથમ કણનો વેગ $\vec{v}_1 = v \hat{i}$ છે અને બીજા કણનો વેગ $\vec{v}_2 = v \hat{j}$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન એ કુલ અંતિમ વેગમાન જેટલું હોવું જોઈએ:
$\vec{P}_i = \vec{P}_f$
$m \vec{v}_1 + m \vec{v}_2 = (2m) \vec{V}$
$m(v \hat{i}) + m(v \hat{j}) = 2m \vec{V}$
$m v (\hat{i} + \hat{j}) = 2m \vec{V}$
$\vec{V} = \frac{v}{2} (\hat{i} + \hat{j})$
અંતિમ વેગનું મૂલ્ય $V = \sqrt{(\frac{v}{2})^2 + (\frac{v}{2})^2} = \sqrt{\frac{v^2}{4} + \frac{v^2}{4}} = \sqrt{\frac{v^2}{2}} = \frac{v}{\sqrt{2}}$ છે.
તેની દિશા $(\hat{i} + \hat{j})$ સદિશની દિશામાં એટલે કે ઉત્તર-પૂર્વ દિશામાં છે.
આમ,નવો કણ $\frac{v}{\sqrt{2}}$ વેગથી ઉત્તર-પૂર્વ દિશામાં ગતિ કરશે.

(C) ધારો કે બે દડાઓનું દળ $m$ છે અને તેમના વેગ $\vec{v}_1 = 6 \hat{i} \, m/s$ અને $\vec{v}_2 = 8 \hat{j} \, m/s$ છે.
અથડામણ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,બંને દડાઓ એકબીજા સાથે જોડાઈ જાય છે અને સામાન્ય વેગ $\vec{V}$ થી ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\vec{P}_{initial} = \vec{P}_{final}$
$m \vec{v}_1 + m \vec{v}_2 = (m + m) \vec{V}$
$m(6 \hat{i} + 8 \hat{j}) = 2m \vec{V}$
$\vec{V} = \frac{6 \hat{i} + 8 \hat{j}}{2} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} \, m/s$
સંયુક્ત વેગનું મૂલ્ય:
$V = |\vec{V}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, m/s$.

(D) આપેલ છે:
બોલ $A$ નું દળ,$m_A = 2 \, kg$
બોલ $A$ નો વેગ,$u_A = 5 \, m/s$
બોલ $B$ નું દળ,$m_B = 5 \, kg$
બોલ $B$ નો વેગ,$u_B = -2 \, m/s$ (કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે)
સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,બે પદાર્થો અથડામણ પછી એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે અને સામાન્ય વેગ $v$ થી ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_A u_A + m_B u_B = (m_A + m_B) v$
કિંમતો મૂકતા:
$(2 \, kg)(5 \, m/s) + (5 \, kg)(-2 \, m/s) = (2 \, kg + 5 \, kg) v$
$10 - 10 = 7v$
$0 = 7v$
$v = 0 \, m/s$
આમ,અથડામણ પછી બોલનો વેગ $0 \, m/s$ છે.

(A) તંત્રની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા:
$K_i = \frac{1}{2} m (2v)^2 + \frac{1}{2} (2m) v^2 = 2mv^2 + mv^2 = 3mv^2$
તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન:
$\vec{p}_i = m(2v)\hat{i} + (2m)v\hat{j} = 2mv\hat{i} + 2mv\hat{j}$
અથડામણ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,કણો એકબીજા સાથે જોડાઈ જાય છે અને સામાન્ય વેગ $\vec{V}$ થી ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\vec{p}_f = \vec{p}_i$
$(m + 2m)\vec{V} = 2mv\hat{i} + 2mv\hat{j}$
$3m\vec{V} = 2mv(\hat{i} + \hat{j})$
$\vec{V} = \frac{2v}{3}(\hat{i} + \hat{j})$
તંત્રની અંતિમ ગતિ ઉર્જા:
$K_f = \frac{1}{2} (m + 2m) |\vec{V}|^2 = \frac{1}{2} (3m) \left( \sqrt{(\frac{2v}{3})^2 + (\frac{2v}{3})^2} \right)^2$
$K_f = \frac{3m}{2} \left( \frac{4v^2}{9} + \frac{4v^2}{9} \right) = \frac{3m}{2} \left( \frac{8v^2}{9} \right) = \frac{4}{3} mv^2$
ઉર્જામાં ઘટાડો:
$\Delta K = K_i - K_f = 3mv^2 - \frac{4}{3} mv^2 = \frac{5}{3} mv^2$
ઉર્જામાં ટકાવારી ઘટાડો:
$\text{Percentage Loss} = \frac{\Delta K}{K_i} \times 100 = \frac{\frac{5}{3} mv^2}{3mv^2} \times 100 = \frac{5}{9} \times 100 \approx 55.55\% \approx 56\%$

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું કુલ પ્રારંભિક વેગમાન તેના કુલ અંતિમ વેગમાન જેટલું હોવું જોઈએ.
તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન: $P_i = m \cdot v + 2m \cdot 0 = mv$
અથડામણ પછી,બંને કણો એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે,જેથી કુલ દળ $(m + 2m) = 3m$ થાય છે.
ધારો કે સંયુક્ત દળનો અંતિમ વેગ $v'$ છે.
તંત્રનું અંતિમ વેગમાન: $P_f = (3m) \cdot v'$
પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગમાનને સરખાવતા: $mv = 3m \cdot v'$
$v'$ માટે ઉકેલતા: $v' = \frac{mv}{3m} = \frac{v}{3}$

(A) ધારો કે બંને પદાર્થો $A$ અને $B$ નું દળ $m$ છે.
અથડામણ પહેલાં,પદાર્થ $A$ નો વેગ $v_1$ છે અને પદાર્થ $B$ સ્થિર છે $(v_B = 0)$.
અથડામણ પછી,તે સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ હોવાથી,બંને પદાર્થો એકબીજા સાથે જોડાઈ જાય છે અને સમાન વેગ $v_2$ થી ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
પ્રારંભિક વેગમાન = અંતિમ વેગમાન
$m v_1 + m(0) = (m + m) v_2$
$m v_1 = 2m v_2$
બંને બાજુને $m v_2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{2}{1}$
તેથી,ગુણોત્તર $v_1: v_2$ એ $2: 1$ છે.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન અને અથડામણ પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોય છે.
ધારો કે $m_1 = 2 \ kg$,$v_1 = 3 \ m/s$,$m_2 = 1 \ kg$,અને $v_2 = -4 \ m/s$ (કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે).
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v$
કિંમતો મૂકતા:
$2(3) + 1(-4) = (2 + 1) v$
$6 - 4 = 3v$
$2 = 3v$
$v = \frac{2}{3} \ m/s$
આમ,સામાન્ય વેગ $\frac{2}{3} \ m/s$ છે.

(D) તંત્રની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m u^2$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સંયુક્ત દળ $(m + 4m = 5m)$ નો અંતિમ વેગ $v$ નીચે મુજબ મળે છે:
$m u + (4m)(0) = (5m) v$
$m u = 5m v$
$v = \frac{u}{5}$
તંત્રની અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} (5m) v^2 = \frac{1}{2} (5m) \left(\frac{u}{5}\right)^2 = \frac{1}{2} (5m) \frac{u^2}{25} = \frac{1}{10} m u^2$ છે.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2} m u^2 - \frac{1}{10} m u^2 = \frac{5-1}{10} m u^2 = \frac{4}{10} m u^2 = \frac{2}{5} m u^2$ છે.
ગતિઊર્જામાં થતો પ્રતિશત ઘટાડો $\frac{\Delta K}{K_i} \times 100 = \frac{\frac{2}{5} m u^2}{\frac{1}{2} m u^2} \times 100 = \frac{4}{5} \times 100 = 80 \%$ છે.

(D) આ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાત (perfectly inelastic collision) નો કિસ્સો છે.
કોઈપણ સંઘાત જેમાં બાહ્ય બળો ગેરહાજર હોય,ત્યાં તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
જોકે,અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં,અથડામણ દરમિયાન લાગતા આંતરિક બળોને કારણે કેટલીક ગતિઊર્જા અન્ય સ્વરૂપોમાં (જેમ કે ઉષ્મા અથવા વિરૂપણ ઊર્જા) રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,માત્ર રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે,જ્યારે ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી.

(A)
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન અને અથડામણ પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોય છે.
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2)v$
અહીં $m_1 = 2 \,kg$, $u_1 = 10 \,ms^{-1}$, $m_2 = 3 \,kg$, અને $u_2 = 0 \,ms^{-1}$ આપેલ છે।
$2 \times 10 + 3 \times 0 = (2 + 3)v$
$20 = 5v \implies v = 4 \,ms^{-1}$
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(K_i) = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (10)^2 = 100 \,J$
અંતિમ ગતિઊર્જા $(K_f) = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 = \frac{1}{2} \times (2 + 3) \times (4)^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 16 = 40 \,J$
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $= K_i - K_f = 100 \,J - 40 \,J = 60 \,J$

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
ધારો કે દરેક બ્લોકનું દળ $m$ છે.
પ્રથમ બ્લોકનો પ્રારંભિક વેગ $3 \vec{V}$ છે અને બીજા બ્લોકનો વેગ $0$ છે.
અથડામણ પછી,બંને બ્લોક એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે અને સામાન્ય વેગ $V_{c}$ થી ગતિ કરે છે.
વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$m(3 \vec{V}) + m(0) = (m + m) V_{c}$
$3 m \vec{V} = 2 m V_{c}$
$V_{c} = \frac{3 m \vec{V}}{2 m} = \frac{3}{2} \vec{V}$

(D) પ્રારંભિક દળ $m_1 = m$,પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 3 \ m/s$.
પ્રારંભિક દળ $m_2 = 2m$,પ્રારંભિક વેગ $u_2 = 0 \ m/s$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન = કુલ અંતિમ વેગમાન.
$P_i = m_1 u_1 + m_2 u_2 = m(3) + 2m(0) = 3m$.
અથડામણ પછી,પદાર્થો જોડાઈ જાય છે,તેથી અંતિમ દળ $M = m_1 + m_2 = m + 2m = 3m$ થાય છે.
ધારો કે અંતિમ વેગ $V$ છે.
$P_f = (m_1 + m_2)V = 3mV$.
$P_i = P_f$ લેતા:
$3m = 3mV$.
$V = 1 \ m/s$.

(A) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
$M$ દળનું પ્રારંભિક વેગમાન: $\vec{p}_1 = M V \hat{i}$.
$2M$ દળનું પ્રારંભિક વેગમાન: $\vec{p}_2 = 2M (3V \hat{j}) = 6MV \hat{j}$.
કુલ પ્રારંભિક વેગમાન: $\vec{p}_{initial} = M V \hat{i} + 6MV \hat{j}$.
અથડામણ પછી,બંને પદાર્થો જોડાઈને $3M$ દળનો એક પદાર્થ બનાવે છે જે $\vec{v}_{final}$ વેગથી ગતિ કરે છે.
કુલ અંતિમ વેગમાન: $\vec{p}_{final} = (M + 2M) \vec{v}_{final} = 3M \vec{v}_{final}$.
બંનેને સરખાવતા: $3M \vec{v}_{final} = M V \hat{i} + 6MV \hat{j}$.
$3M$ વડે ભાગતા: $\vec{v}_{final} = \frac{V}{3} \hat{i} + 2V \hat{j}$.

(B) ધારો કે $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $v$ છે. પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mv + (2m)(0) = (m + 2m)v'$,જ્યાં $v'$ એ અંતિમ સામાન્ય વેગ છે.
$mv = 3mv' \implies v' = v/3$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2}(m + 2m)(v')^2 = \frac{1}{2}(3m)(v/3)^2 = \frac{1}{2}(3m)(v^2/9) = \frac{1}{6}mv^2$ છે.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{6}mv^2 = \frac{3-1}{6}mv^2 = \frac{2}{6}mv^2 = \frac{1}{3}mv^2$ છે.
ગુમાવેલી ગતિઊર્જાનો અંશ $\frac{\Delta K}{K_i} = \frac{\frac{1}{3}mv^2}{\frac{1}{2}mv^2} = \frac{1}{3} \times 2 = 2/3$ છે.

(A) દડા $A$ માટે: $m_A = 1 \,kg$, $u_A = 4 \,ms^{-1}$. દડા $B$ માટે: $m_B = 3 \,kg$, $u_B = 0 \,ms^{-1}$.
અથડામણ પહેલાંનું કુલ વેગમાન $p_i = m_A u_A + m_B u_B = (1 \times 4) + (3 \times 0) = 4 \,kg \cdot ms^{-1}$.
અથડામણ પછી, બંને પદાર્થો એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે અને સામાન્ય વેગ $v$ થી ગતિ કરે છે.
અથડામણ પછીનું કુલ વેગમાન $p_f = (m_A + m_B)v = (1 + 3)v = 4v$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $p_i = p_f$, તેથી $4 = 4v$, જેનો અર્થ છે કે $v = 1 \,ms^{-1}$.
દડા $B$ પર લાગતું બળ એ દડા $B$ ના વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર છે:
$F_B = \frac{\Delta p_B}{\Delta t} = \frac{m_B(v - u_B)}{\Delta t} = \frac{3(1 - 0)}{0.1} = \frac{3}{0.1} = 30 \,N$.