Perfectly Inelastic Collision Questions in Gujarati

(C) સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,બે પદાર્થો અથડામણ પછી એકબીજા સાથે જોડાઈ જાય છે અને સમાન અંતિમ વેગથી ગતિ કરે છે.
ધારો કે અથડામણ પછી બે પદાર્થોના વેગ $v_1$ અને $v_2$ છે. કારણ કે તેઓ સાથે ગતિ કરે છે,તેથી $v_1 = v_2 = v$.
અથડામણ પછી પદાર્થોનો સાપેક્ષ વેગ તેમના વેગના તફાવત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$v_{\text{rel}} = v_1 - v_2$
સમીકરણમાં $v_1 = v_2 = v$ મૂકતા:
$v_{\text{rel}} = v - v = 0$
તેથી,અથડામણ પછી પદાર્થોનો સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય હોય છે.

(A) $\text{આપેલ છે: દળ}$ $m_1 = 3 \,kg$, $\text{વેગ}$ $v_1 = 8 \,ms^{-1}$.
$\text{દળ}$ $m_2 = 1 \,kg$, $\text{વેગ}$ $v_2 = -4 \,ms^{-1}$ ($\text{કારણ કે તે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે}$).
$\text{રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.}$
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v$
$\text{કિંમતો મૂકતા:}$
$(3 \times 8) + (1 \times -4) = (3 + 1) \times v$
$24 - 4 = 4v$
$20 = 4v$
$v = 5 \,ms^{-1}$
$\text{આમ, સામાન્ય વેગ}$ $5 \,ms^{-1}$ $\text{છે.}$

(B) જ્યારે એક ગોળી લાકડાના બ્લોક સાથે અથડાય છે અને તેમાં ખૂંપી જાય છે,ત્યારે અથડામણ પછી બંને પદાર્થો સમાન વેગથી સાથે ગતિ કરે છે.
આ પ્રકારની અથડામણ,જેમાં પદાર્થો અથડામણ પછી એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે,તેને સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આ પ્રક્રિયામાં,ગતિ ઊર્જાનો વ્યય મહત્તમ હોય છે.

(D) ગોળીનું દળ $= m$. ગોળીની ઝડપ $= v$.
પ્રશ્ન મુજબ,ગોળી થેલીમાં ખૂંપી જાય છે,તેથી તેઓ સામાન્ય વેગ $v_1$ સાથે ગતિ કરશે.
આ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણનો કિસ્સો છે.
ગોળીની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા,$K_i = \frac{1}{2} m v^2$.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m v = (M + m) v_1 \Rightarrow v_1 = \frac{m v}{M + m}$.
તંત્રની અંતિમ ગતિઊર્જા,$K_f = \frac{1}{2} (M + m) v_1^2 = \frac{1}{2} (M + m) \left( \frac{m v}{M + m} \right)^2 = \frac{m^2 v^2}{2(M + m)}$.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $= K_i - K_f = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{m^2 v^2}{2(M + m)}$.
$= \frac{1}{2} m v^2 \left( 1 - \frac{m}{M + m} \right) = \frac{1}{2} m v^2 \left( \frac{M + m - m}{M + m} \right) = \frac{m M v^2}{2(M + m)}$.

(D) સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેની સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં, જ્યાં એક પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય, ત્યારે પદાર્થો તેમના વેગની અદલાબદલી કરે છે。
ધારો કે દડાનું દળ $m$ છે અને લોલકના ગોળાનું દળ $m$ છે。
દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 2 \,ms^{-1}$ અને ગોળાનો પ્રારંભિક વેગ $u_2 = 0 \,ms^{-1}$ છે。
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી, દડો સ્થિર થઈ જાય છે $(v_1 = 0)$ અને ગોળો દડાનો વેગ પ્રાપ્ત કરે છે $(v_2 = u_1 = 2 \,ms^{-1})$.
અથડામણ પછી તરત જ ગોળાની ગતિઊર્જા સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે કારણ કે તે $h$ ઊંચાઈ સુધી ઉપર જાય છે。
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{2}mv_2^2 = mgh$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} \times (2)^2 = 10 \times h$.
$2 = 10h$.
$h = 0.2 \,m = 20 \,cm$.

(D) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
ધારો કે $x$-દિશા ધન છે. તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન:
$p_i = (4m)(v_1) + (2m)(-v_2) = 4mv_1 - 2mv_2$
અથડામણ પછી,બંને બ્લોક એકસાથે $(4m + 2m = 6m)$ દળ તરીકે $x$-દિશામાં $5v_2$ ના અંતિમ વેગ સાથે ગતિ કરે છે:
$p_f = (6m)(5v_2) = 30mv_2$
પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગમાનને સરખાવતા:
$4mv_1 - 2mv_2 = 30mv_2$
$4mv_1 = 32mv_2$
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{32}{4} = 8$

(B) આપેલ છે કે,પ્રથમ પદાર્થનું દળ $m_1 = 3 \ kg$ અને તેનો વેગ $v_1 = (2 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k}) \ m/s$ છે.
બીજા પદાર્થનું દળ $m_2 = 4 \ kg$ અને તેનો વેગ $v_2 = (3 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}) \ m/s$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v$
કિંમતો મૂકતા:
$3(2 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k}) + 4(3 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}) = (3 + 4) v$
$(6 \hat{i}+9 \hat{j}+9 \hat{k}) + (12 \hat{i}+8 \hat{j}-12 \hat{k}) = 7 v$
$(6+12) \hat{i} + (9+8) \hat{j} + (9-12) \hat{k} = 7 v$
$18 \hat{i} + 17 \hat{j} - 3 \hat{k} = 7 v$
$v = \frac{1}{7}(18 \hat{i}+17 \hat{j}-3 \hat{k}) \ m/s$.

(A) ગોળીની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m v_0^2$ છે.
અથડામણ પછી,ગોળી બ્લોકમાં ખૂંપી જાય છે અને તેઓ સામાન્ય વેગ $v$ સાથે ગતિ કરે છે. રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m v_0 = (m + M) v \implies v = \frac{m v_0}{m + M}$.
અથડામણ પછી તરત જ સંયુક્ત તંત્રની ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} (m + M) v^2$ છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા:
$K_f = \frac{1}{2} (m + M) \left( \frac{m v_0}{m + M} \right)^2 = \frac{1}{2} (m + M) \frac{m^2 v_0^2}{(m + M)^2} = \frac{1}{2} \frac{m^2 v_0^2}{m + M}$.
અથડામણમાં ગુમાવાયેલી ઊર્જા $\Delta K = K_i - K_f$ છે:
$\Delta K = \frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{1}{2} \frac{m^2 v_0^2}{m + M} = \frac{1}{2} m v_0^2 \left( 1 - \frac{m}{m + M} \right) = \frac{1}{2} m v_0^2 \left( \frac{m + M - m}{m + M} \right) = \frac{1}{2} m v_0^2 \left( \frac{M}{m + M} \right)$.

(A) અથડામણ પહેલાં બે બ્લોક્સની કુલ ગતિ ઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$ છે.
અથડામણ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક હોવાથી (બ્લોક્સ ઓગળી જાય છે),ગતિ ઊર્જામાં મહત્તમ ઘટાડો કુલ પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા જેટલો એટલે કે $mv^2$ થાય છે.
આ ઊર્જાનો ઉપયોગ બરફનું તાપમાન $-8^{\circ}C$ થી $0^{\circ}C$ સુધી વધારવા અને પછી તેને ઓગળવા માટે થાય છે.
એક બ્લોક માટે જરૂરી ઊર્જા $Q = ms\Delta\theta + mL$ છે.
બે બ્લોક્સ માટે,જરૂરી કુલ ઊર્જા $2(ms\Delta\theta + mL)$ છે.
ઊર્જાના ઘટાડાને જરૂરી ઉષ્મા સાથે સરખાવતા: $mv^2 = 2m(s\Delta\theta + L)$.
બંને બાજુથી $m$ દૂર કરતા: $v^2 = 2(s\Delta\theta + L)$.
આપેલ છે: $s = 2100 \ Jkg^{-1}K^{-1}$,$\Delta\theta = 8^{\circ}C$,$L = 3.36 \times 10^5 \ Jkg^{-1}$.
$v^2 = 2(2100 \times 8 + 3.36 \times 10^5) = 2(16800 + 336000) = 2(352800) = 705600$.
$v = \sqrt{705600} = 840 \ ms^{-1}$.

(D) ગોળીનું દળ $= m$,ગોળીની પ્રારંભિક ઝડપ $= v$.
બ્લોકનું દળ $= M$,બ્લોકની પ્રારંભિક ઝડપ $= 0$.
ધારો કે અથડામણ પછી તંત્રનો સામાન્ય વેગ $V$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m v + M(0) = (m + M)V$
$V = \frac{m v}{m + M}$
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા એ ગતિઊર્જા $(KE)$ માં થતા ઘટાડા જેટલી હોય છે.
$\Delta KE = KE_{initial} - KE_{final}$
$\Delta KE = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} (m + M) V^{2}$
$V$ ની કિંમત મૂકતા:
$\Delta KE = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} (m + M) \left( \frac{m v}{m + M} \right)^{2}$
$\Delta KE = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} (m + M) \frac{m^{2} v^{2}}{(m + M)^{2}}$
$\Delta KE = \frac{1}{2} m v^{2} \left( 1 - \frac{m}{m + M} \right)$
$\Delta KE = \frac{1}{2} m v^{2} \left( \frac{m + M - m}{m + M} \right)$
$\Delta KE = \frac{1}{2} \frac{m M v^{2}}{m + M}$