Perfectly Inelastic Collision Questions in Gujarati

(A) કણનું પ્રારંભિક વેગમાન = $m V_0$.
તંત્રનું (કણ + લોલક) અંતિમ વેગમાન = $(m + m)v = 2mv$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m V_0 = 2mv$
$v = \frac{V_0}{2}$
તંત્રની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા = $\frac{1}{2}(2m)v^2 = \frac{1}{2}(2m)\left(\frac{V_0}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}(2m)\frac{V_0^2}{4} = \frac{m V_0^2}{4}$.
જો તંત્ર $h$ જેટલી મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી ઉપર જાય,તો પ્રાપ્ત થયેલી સ્થિતિઊર્જા $P.E. = (2m)gh$ થાય.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મહત્તમ ઊંચાઈએ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$\frac{m V_0^2}{4} = 2mgh$
$h = \frac{m V_0^2}{4 \cdot 2mg} = \frac{V_0^2}{8g}$.

(C) તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન નીચે મુજબ છે:
$\vec{P}_i = mv\hat{i} + mv\hat{j}$
પ્રારંભિક વેગમાનનું મૂલ્ય:
$|\vec{P}_i| = \sqrt{(mv)^2 + (mv)^2} = \sqrt{2}mv$
અથડામણ બાદ તંત્રનું અંતિમ વેગમાન:
$\vec{P}_f = (2m)\vec{V}$
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\vec{P}_i = \vec{P}_f$:
$\sqrt{2}mv = 2mV$
$V$ માટે ઉકેલતા:
$V = \frac{\sqrt{2}mv}{2m} = \frac{v}{\sqrt{2}}$

(B) પુનઃપ્રાપ્તિનો ગુણાંક $e$ એ સંઘાત અનુભવતા પદાર્થોના છૂટા પડવાના સાપેક્ષ વેગ અને નજીક આવવાના સાપેક્ષ વેગનો ગુણોત્તર છે.
સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં,બે પદાર્થો સંઘાત પછી એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે અને સમાન વેગથી ગતિ કરે છે.
આથી,પદાર્થો એકસાથે ગતિ કરતા હોવાથી,છૂટા પડવાનો સાપેક્ષ વેગ $0$ થાય છે.
તેથી,પુનઃપ્રાપ્તિનો ગુણાંક $e = \frac{\text{છૂટા પડવાનો સાપેક્ષ વેગ}}{\text{નજીક આવવાનો સાપેક્ષ વેગ}} = \frac{0}{v_{approach}} = 0$ થાય છે.

(C) સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,બે અથડાતા પદાર્થો એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે અને અથડામણ પછી સમાન વેગ સાથે ગતિ કરે છે.
સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,પુનઃપ્રાપ્તિનો ગુણાંક (coefficient of restitution) $e = 0$ હોય છે.
આવી અથડામણમાં,અથડામણની તરત પહેલાં અને તરત પછી તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે,પરંતુ પ્રક્રિયા દરમિયાન ગતિ ઊર્જાનો મહત્તમ વ્યય થાય છે.

(B) શરૂઆતમાં,ગોળી $b$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે અને બ્લોક સ્થિર છે. અથડામણ પછી,ગોળી બ્લોકની અંદર ખૂંપી જાય છે અને બંને એકસાથે સામાન્ય વેગ $V$ થી ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
પ્રારંભિક વેગમાન = અંતિમ વેગમાન
$a \cdot b + c \cdot 0 = (a + c) \cdot V$
$a \cdot b = (a + c) \cdot V$
$V = \frac{a \cdot b}{a + c}$

(B) સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાત એવો સંઘાત છે જેમાં પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક (coefficient of restitution) $(e)$ નું મૂલ્ય $0$ હોય છે.
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક એટલે સંઘાત પછીના સાપેક્ષ વેગ અને સંઘાત પહેલાના સાપેક્ષ વેગનો ગુણોત્તર.
અહીં $e = 0$ હોવાથી,સંઘાત પછીનો સાપેક્ષ વેગ $0$ હોવો જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે બંને કણો સંઘાત પછી સમાન વેગથી ગતિ કરે છે,એટલે કે તેઓ સંઘાત પછી સાથે રહે છે.

(C) જ્યારે એક ગોળી બ્લોકમાં અથડાય છે અને તેમાં ખૂંપી જાય છે,ત્યારે આ અથડામણ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક (perfectly inelastic) હોય છે.
કોઈપણ અથડામણમાં જ્યાં સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું નથી,ત્યાં સિસ્ટમનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
જો કે,સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં ગતિઊર્જા સંરક્ષિત રહેતી નથી કારણ કે અથડામણની પ્રક્રિયા દરમિયાન કેટલીક ઊર્જા ગરમી,અવાજ અને વિરૂપણ ઊર્જા તરીકે વ્યય પામે છે.
તેથી,માત્ર વેગમાન જ સંરક્ષિત રહે છે.

(C) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ ન લાગતું હોય તો તંત્રનું કુલ વેગમાન અચળ રહે છે.
તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન = $m(v) + m(-v) = mv - mv = 0$.
ધારો કે સંયુક્ત દળનો અંતિમ વેગ $V$ છે.
બંને પદાર્થો એકબીજા સાથે ચોંટી જતા હોવાથી,તંત્રનું અંતિમ દળ $m + m = 2m$ થશે.
તંત્રનું અંતિમ વેગમાન = $(2m)V$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: પ્રારંભિક વેગમાન = અંતિમ વેગમાન.
$0 = 2mV$.
તેથી,$V = 0$.

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન અને અથડામણ પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોય છે.
ધારો કે દરેક પદાર્થનું દળ $m$ છે.
પ્રથમ પદાર્થનું પ્રારંભિક વેગમાન = $mv$.
બીજા પદાર્થનું પ્રારંભિક વેગમાન = $m \times 0 = 0$.
કુલ પ્રારંભિક વેગમાન = $mv + 0 = mv$.
અથડામણ પછી,બંને પદાર્થો જોડાઈને $M = m + m = 2m$ દળનો સંયુક્ત પદાર્થ બનાવે છે.
ધારો કે અથડામણ પછી સંયુક્ત પદાર્થનો વેગ $V$ છે.
કુલ અંતિમ વેગમાન = $(2m)V$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mv = 2mV$.
$V$ માટે ઉકેલતા,આપણને $V = \frac{mv}{2m} = \frac{v}{2}$ મળે છે.

(D) તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન = $mv$.
તંત્રનું અંતિમ વેગમાન = $(m + M)V$,જ્યાં $V$ એ અથડામણ પછી તંત્રનો સામાન્ય વેગ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$mv = (m + M)V$.
તેથી,સામાન્ય વેગ $V = \frac{mv}{M + m}$.
સંયુક્ત તંત્રની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}(m + M)V^2$ છે.
$V$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $K = \frac{1}{2}(m + M) \left( \frac{mv}{M + m} \right)^2$.
$K = \frac{1}{2}(m + M) \frac{m^2v^2}{(M + m)^2} = \frac{m^2v^2}{2(M + m)}$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) તંત્રની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(K_i)$ = ગોળીની ગતિઊર્જા = $\frac{1}{2} m_B v_B^2 = \frac{1}{2} \times 0.05 \, kg \times (10 \, m/s)^2 = 2.5 \, J$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$m_B v_B = (m_B + M) v_{sys}$.
$0.05 \times 10 = (0.05 + 0.95) \times v_{sys} \implies 0.5 = 1 \times v_{sys} \implies v_{sys} = 0.5 \, m/s$.
તંત્રની અંતિમ ગતિઊર્જા $(K_f)$ = $\frac{1}{2} (m_B + M) v_{sys}^2 = \frac{1}{2} \times 1 \, kg \times (0.5 \, m/s)^2 = 0.125 \, J$.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો = $K_i - K_f = 2.5 - 0.125 = 2.375 \, J$.
ટકાવારીમાં ઘટાડો = $\frac{K_i - K_f}{K_i} \times 100 = \frac{2.375}{2.5} \times 100 = 95\%$.

(B) ધારો કે બે દડાઓનું દળ $m$ છે અને તેઓ અનુક્રમે $x$ અને $y$ અક્ષ પર ગતિ કરે છે.
દડા $1$ નો પ્રારંભિક વેગ: $\vec{v}_1 = 45\sqrt{2} \hat{i} \, m/s$.
દડા $2$ નો પ્રારંભિક વેગ: $\vec{v}_2 = 45\sqrt{2} \hat{j} \, m/s$.
પ્રારંભિક કુલ વેગમાન: $\vec{P}_i = m\vec{v}_1 + m\vec{v}_2 = m(45\sqrt{2} \hat{i} + 45\sqrt{2} \hat{j})$.
પ્રારંભિક વેગમાનનું મૂલ્ય: $|\vec{P}_i| = m \sqrt{(45\sqrt{2})^2 + (45\sqrt{2})^2} = m \sqrt{4050 + 4050} = m \sqrt{8100} = 90m \, kg \cdot m/s$.
અથડામણ પછી,દડાઓ એકબીજા સાથે ચોંટીને $2m$ દળ બનાવે છે જે $\vec{V}$ વેગથી ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\vec{P}_i = \vec{P}_f$.
$90m = (2m)V$.
$V = \frac{90m}{2m} = 45 \, m/s$.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
પ્રારંભિક વેગમાન = $m \times v + 2m \times 0 = mv$.
અંતિમ વેગમાન = $(m + 2m) \times V = 3mV$,જ્યાં $V$ એ સંયુક્ત તંત્રનો અંતિમ વેગ છે.
પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગમાનને સરખાવતા: $mv = 3mV$.
તેથી,તંત્રની ઝડપ $V = v/3$ થશે.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
પ્રારંભિક વેગમાન = $(m \times 3) + (2m \times 0) = 3m \, kg \cdot km/h$.
સંયુક્ત પદાર્થનું અંતિમ દળ = $m + 2m = 3m$.
ધારો કે સંયુક્ત દળનો અંતિમ વેગ $V$ છે.
અંતિમ વેગમાન = $(3m) \times V$.
પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગમાનને સરખાવતા:
$3m = 3m \times V$
$V = \frac{3m}{3m} = 1 \, km/h$.
તેથી,સંયુક્ત વેગ $1 \, km/h$ છે.

(A) જ્યારે દડો રેતી સાથે અથડાય છે અને તેમાં ખૂંપી જાય છે,ત્યારે તે પૃથ્વી-રેતીની સિસ્ટમ સાથે સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ અનુભવે છે.
કોઈપણ અથડામણમાં,સિસ્ટમ (દડો + પૃથ્વી) નું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે,જો સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય આઘાતી બળ લાગતું ન હોય.
જોકે,અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં ગતિઊર્જા સંરક્ષિત રહેતી નથી કારણ કે ઊર્જાનો મોટો ભાગ ઉષ્મા,ધ્વનિ અને રેતીના અવરોધક બળ સામે કરવામાં આવેલા કાર્યમાં વ્યય થાય છે.
તેથી,માત્ર વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.

(B) પ્રથમ દડાનો પ્રારંભિક વેગ,$u_1 = 36 \,km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \,m/s$.
બીજા દડાનો પ્રારંભિક વેગ,$u_2 = 0 \,m/s$.
દળ $m_1 = 2 \,kg$ અને $m_2 = 3 \,kg$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2)V$,જ્યાં $V$ એ અથડામણ પછીનો સામાન્ય વેગ છે.
$2 \times 10 + 3 \times 0 = (2 + 3)V \implies 20 = 5V \implies V = 4 \,m/s$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા,$K_i = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (10)^2 + 0 = 100 \,J$.
અંતિમ ગતિઊર્જા,$K_f = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) V^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times (4)^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 16 = 40 \,J$.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો,$\Delta K = K_i - K_f = 100 - 40 = 60 \,J$.

(D) ધારો કે દરેક પદાર્થનું દળ $m = 2 \, kg$ અને વેગ $v = 10 \, m/s$ છે.
પ્રથમ પદાર્થનું પ્રારંભિક વેગમાન: $\vec{P}_1 = mv \hat{i} = 2 \times 10 \hat{i} = 20 \hat{i} \, kg \cdot m/s$.
બીજા પદાર્થનું પ્રારંભિક વેગમાન: $\vec{P}_2 = mv \hat{j} = 2 \times 10 \hat{j} = 20 \hat{j} \, kg \cdot m/s$.
કુલ પ્રારંભિક વેગમાન: $\vec{P}_{total} = \vec{P}_1 + \vec{P}_2 = 20 \hat{i} + 20 \hat{j}$.
કુલ પ્રારંભિક વેગમાનનું મૂલ્ય: $|\vec{P}_{total}| = \sqrt{20^2 + 20^2} = 20\sqrt{2} \, kg \cdot m/s$.
અથડામણ પછી,બંને પદાર્થો જોડાઈને $M = m + m = 4 \, kg$ દળનો એક પદાર્થ બને છે.
ધારો કે અંતિમ વેગ $V$ છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\vec{P}_{final} = \vec{P}_{total}$.
$MV = |\vec{P}_{total}| \implies 4V = 20\sqrt{2}$.
$V = \frac{20\sqrt{2}}{4} = 5\sqrt{2} \, m/s$.

(B) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
ધારો કે $m_1 = 20\, kg$,$v_1 = 10\, m/s$,$m_2 = 5\, kg$,અને $v_2 = 0\, m/s$.
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_{sys}$
$20 \times 10 + 5 \times 0 = (20 + 5) v_{sys}$
$200 = 25 v_{sys}$
$v_{sys} = \frac{200}{25} = 8\, m/s$
સંયુક્ત દળની ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_{sys}^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$K.E. = \frac{1}{2} \times (20 + 5) \times (8)^2$
$K.E. = \frac{1}{2} \times 25 \times 64$
$K.E. = 25 \times 32 = 800\, J$.

(C) વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન = અથડામણ પછીનું કુલ વેગમાન.
ધારો કે ન્યુટ્રોનનું દળ $m_1 = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$ અને તેનો વેગ $v_1 = 10^8 \ m/s$ છે.
ધારો કે ડ્યુટેરોનનું દળ $m_2 = 3.34 \times 10^{-27} \ kg$ છે,જે શરૂઆતમાં સ્થિર છે $(v_2 = 0)$.
બંને કણો એકબીજા સાથે ચોંટી જતા હોવાથી,તેઓ સામાન્ય વેગ $v$ થી ગતિ કરશે.
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)v$
$(1.67 \times 10^{-27}) \times 10^8 + 0 = (1.67 \times 10^{-27} + 3.34 \times 10^{-27}) \times v$
$1.67 \times 10^{-19} = (5.01 \times 10^{-27}) \times v$
$v = \frac{1.67 \times 10^{-19}}{5.01 \times 10^{-27}}$
$v = \frac{1}{3} \times 10^8 \ m/s = 3.33 \times 10^7 \ m/s$.

(C) સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે, ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $(\Delta K)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \right) (u_1 - u_2)^2$
આપેલ છે:
$m_1 = 40\,kg$, $u_1 = 4\,m/s$
$m_2 = 60\,kg$, $u_2 = 2\,m/s$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{40 \times 60}{40 + 60} \right) (4 - 2)^2$
$\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{2400}{100} \right) (2)^2$
$\Delta K = \frac{1}{2} \times 24 \times 4$
$\Delta K = 12 \times 4 = 48\,J$
તેથી, ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $48\,J$ છે।

(B) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન અને અથડામણ પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોવું જોઈએ.
ધારો કે સંયુક્ત તંત્રનો અંતિમ વેગ $v$ છે.
પ્રારંભિક વેગમાન = $m_1 V + m_2 \times 0 = m_1 V$.
અંતિમ વેગમાન = $(m_1 + m_2)v$.
બંનેને સરખાવતા: $m_1 V = (m_1 + m_2)v$.
તેથી,$v = \frac{m_1}{m_1 + m_2} V$.
અહીં $\frac{m_1}{m_1 + m_2} < 1$ હોવાથી,અંતિમ વેગ $v$ એ પ્રારંભિક વેગ $V$ કરતા ઓછો છે પરંતુ શૂન્ય કરતા વધારે છે (ધારી લઈએ કે $m_1, m_2 > 0$ અને $V > 0$).

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન અને અંતિમ વેગમાન સમાન હોય છે.
$mv + M(0) = (m + M)V$
જ્યાં $V$ એ અથડામણ પછી સંયુક્ત બ્લોકનો વેગ છે.
$V = \frac{mv}{m + M}$
સંયુક્ત બ્લોકની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2}(m + M)V^2$ છે.
$V$ ની કિંમત મૂકતા:
$KE = \frac{1}{2}(m + M) \left( \frac{mv}{m + M} \right)^2$
$KE = \frac{1}{2}(m + M) \frac{m^2 v^2}{(m + M)^2}$
$KE = \frac{1}{2} m v^2 \left( \frac{m}{m + M} \right)$

(C) તંત્રની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(K_i)$ = $\frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2 = \frac{1}{2} \times 4 \times (12)^2 + 0 = 288\, J$.
અથડામણ પછી પદાર્થો ચોંટી જતા હોવાથી,આ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) v$.
$4 \times 12 + 6 \times 0 = (4 + 6) v \implies 48 = 10v \implies v = 4.8\, m/s$.
તંત્રની અંતિમ ગતિઊર્જા $(K_f)$ = $\frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (4.8)^2 = 5 \times 23.04 = 115.2\, J$.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો = $K_i - K_f = 288 - 115.2 = 172.8\, J$.

(D) સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં,અથડાતી વસ્તુઓ એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે અને અથડામણ પછી સમાન વેગથી ગતિ કરે છે.
$A$. બ્લોકમાં ખૂંપી ગયેલી ગોળીનો અર્થ છે કે તેઓ સાથે ગતિ કરે છે. આ એક સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાત છે.
$B$. પરમાણુ દ્વારા ઇલેક્ટ્રોનનું ગ્રહણ થવાથી ઇલેક્ટ્રોન પરમાણુ પ્રણાલીનો ભાગ બની જાય છે. આ એક સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાત છે.
$C$. ગતિમાન હોડી પર કૂદતો માણસ હોડી સાથે ગતિ કરે છે. આ એક સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાત છે.
$D$. એક બેરિંગ બોલ જ્યારે બીજા બેરિંગ બોલ સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેઓ સામાન્ય રીતે એકબીજાથી દૂર ફેંકાય છે,જે સ્થિતિસ્થાપક અથવા આંશિક અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાત છે,સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) $1$. આ કિસ્સામાં,ગોળી અને ચોસલું એક અલગ તંત્ર (isolated system) બનાવે છે કારણ કે તેમના પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું નથી (ટેબલ ઘર્ષણરહિત છે).
$2$. રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અલગ તંત્રનું કુલ વેગમાન અચળ રહે છે.
$3$. ગોળી ચોસલામાં ફસાઈ જતી હોવાથી,આ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાત (perfectly inelastic collision) છે.
$4$. સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી; તે આંશિક રીતે ઉષ્મા,ધ્વનિ અને વિરૂપણ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$5$. તેથી,માત્ર રેખીય વેગમાનનું જ સંરક્ષણ થાય છે.

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સંઘાત પહેલાનું કુલ વેગમાન એ સંઘાત પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = m_1 \times 5 + m_2 \times 0 = 5m_1$.
અંતિમ વેગમાન $P_f = (m_1 + m_2) \times 4 = 4m_1 + 4m_2$.
$P_i$ અને $P_f$ ને સરખાવતા:
$5m_1 = 4m_1 + 4m_2$.
$5m_1 - 4m_1 = 4m_2$.
$m_1 = 4m_2$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{4}{1}$ થાય છે.

(B) સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાત એટલે એવી અથડામણ જેમાં બે અથડાતા પદાર્થો સંઘાત પછી એકબીજા સાથે જોડાઈ જાય છે.
આવા સંઘાતમાં,ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી,પરંતુ તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
કારણ કે અથડામણ પછી પદાર્થો સમાન વેગથી ગતિ કરે છે,તેથી અંતિમ ગતિઊર્જા એ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા કરતાં ઓછી હોય છે.
તેથી,સાચું વર્ણન એ છે કે કણો એકબીજા સાથે જોડાઈ જાય છે અને એક એકમ તરીકે ગતિ કરે છે.

(A) સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં,બંને કણો સંઘાત પછી એકબીજા સાથે જોડાઈ જાય છે અને સામાન્ય વેગ $v_f$ થી ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m_1 u_1 + m_2(0) = (m_1 + m_2)v_f$.
તેથી,$v_f = \frac{m_1 u_1}{m_1 + m_2}$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m_1 u_1^2$ છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_f^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \left( \frac{m_1 u_1}{m_1 + m_2} \right)^2 = \frac{1}{2} \frac{m_1^2 u_1^2}{m_1 + m_2}$ છે.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો (જે ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત થાય છે) $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 - \frac{1}{2} \frac{m_1^2 u_1^2}{m_1 + m_2}$ છે.
$\Delta K = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 \left( 1 - \frac{m_1}{m_1 + m_2} \right) = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 \left( \frac{m_2}{m_1 + m_2} \right)$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જાનો ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત થતો ભાગ $\frac{\Delta K}{K_i} = \frac{m_2}{m_1 + m_2}$ છે.

(A) આ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાતનો કિસ્સો છે જ્યાં ગોળી ટ્રક પરની રેતીની થેલીમાં ખૂંપી જાય છે।
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, સંઘાત પહેલાનું કુલ વેગમાન અને સંઘાત પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોવું જોઈએ।
ધારો કે સંઘાત પછી ટ્રકનો (ગોળી અને રેતીની થેલી સાથે) અંતિમ વેગ $V$ છે।
તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન = $m \cdot u + M \cdot 0 = \mu$.
તંત્રનું અંતિમ વેગમાન = $(M + m) \cdot V$.
બંનેને સરખાવતા: $\mu = (M + m)V$.
$V$ માટે ઉકેલતા: $V = \frac{\mu}{M + m}$.

(B) વિધાન $1$ સાચું છે: સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં,કણો સંઘાત પછી એકબીજા સાથે જોડાઈ જાય છે. ગતિઊર્જાનો વ્યય થાય છે (જે ઉષ્મા,ધ્વનિ અથવા વિરૂપણ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે),પરંતુ તંત્રની કુલ ઊર્જા સંરક્ષિત રહે છે. કણો સામાન્ય વેગ સાથે ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખતા હોવાથી,તંત્ર પાસે કેટલીક ગતિઊર્જા બાકી રહે છે,તેથી કુલ ઊર્જાનો સંપૂર્ણ વ્યય થતો નથી.
વિધાન $2$ સાચું છે: રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ એ ન્યૂટનના નિયમો પરથી તારવેલો મૂળભૂત સિદ્ધાંત છે અને તે તમામ પ્રકારના સંઘાત (સ્થિતિસ્થાપક,અસ્થિતિસ્થાપક અથવા સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક) માટે લાગુ પડે છે,જો તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ ન લાગતું હોય.
નિષ્કર્ષ: બંને વિધાનો સાચા છે,પરંતુ વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ માં ઊર્જાનો સંપૂર્ણ વ્યય કેમ થતો નથી તેની સમજૂતી આપતું નથી.

(D) સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં,કણો એકબીજા સાથે જોડાઈ જાય છે અને સામાન્ય વેગ $V_f = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}$ થી ગતિ કરે છે.
સંઘાત પછી તંત્ર પાસે સામાન્ય વેગ હોવાથી,અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)V_f^2$ શૂન્ય હોતી નથી.
આમ,વિધાન-$1$ સાચું છે કારણ કે તંત્ર તેની બધી ઊર્જા ગુમાવતું નથી.
વિધાન-$2$ પણ સાચું છે કારણ કે રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ એ એક પાયાનો સિદ્ધાંત છે જે બાહ્ય બળોની ગેરહાજરીમાં તમામ પ્રકારના સંઘાતો માટે લાગુ પડે છે.
જોકે,વેગમાનનું સંરક્ષણ (વિધાન-$2$) એ કારણ નથી કે શા માટે થોડી ગતિઊર્જા જળવાઈ રહે છે (વિધાન-$1$); ઊર્જા જળવાઈ રહેવાનું કારણ એ છે કે તંત્રએ સાથે ગતિ કરવાનું હોય છે જેથી વેગમાનનું સંરક્ષણ જળવાય.
તેથી,વિધાન-$1$ અને વિધાન-$2$ બંને સાચા છે,પરંતુ વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(D) વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન તેના અંતિમ વેગમાન જેટલું હોય છે.
$mv + M(0) = (m + M)v'$
$v' = \frac{mv}{m + M}$
જ્યાં $v'$ એ અથડામણ પછી તંત્રનો સામાન્ય વેગ છે.
અથડામણ પછી (બેગ + ગોળી) તંત્રની ગતિઉર્જા નીચે મુજબ મળે છે:
$K = \frac{1}{2}(m + M)(v')^2$
$K = \frac{1}{2}(m + M) \left( \frac{mv}{m + M} \right)^2$
$K = \frac{1}{2}(m + M) \frac{m^2v^2}{(m + M)^2}$
$K = \frac{m^2v^2}{2(m + M)}$

(C) આપેલ છે: $m_1 = 0.50 \ kg$,$u_1 = 2.00 \ m/s$,$m_2 = 1.00 \ kg$,$u_2 = 0 \ m/s$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2)v$.
$(0.50)(2.00) + (1.00)(0) = (0.50 + 1.00)v$.
$1.00 = 1.50v \implies v = \frac{1.00}{1.50} = \frac{2}{3} \ m/s$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 = \frac{1}{2} (0.50) (2.00)^2 = 1.00 \ J$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 = \frac{1}{2} (1.50) (\frac{2}{3})^2 = 0.75 \times \frac{4}{9} = 0.333... \ J$.
ઊર્જાનો વ્યય $\Delta K = K_i - K_f = 1.00 - 0.333 = 0.667 \ J \approx 0.67 \ J$.

(C) સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાન ગતિઊર્જામાં થતો વ્યય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \right) (u_1 - u_2)^2$.
આપેલ છે: $m_1 = 40 \ kg$,$u_1 = 4 \ m/s$,$m_2 = 60 \ kg$,$u_2 = 2 \ m/s$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{40 \times 60}{40 + 60} \right) (4 - 2)^2$.
$\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{2400}{100} \right) (2)^2$.
$\Delta K = \frac{1}{2} \times 24 \times 4$.
$\Delta K = 12 \times 4 = 48 \ J$.

(B) વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1 + m_2)v$.
અહીં $m_1 = 20 \ kg$,$v_1 = 10 \ m/s$,$m_2 = 5 \ kg$,$v_2 = 0 \ m/s$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $20 \times 10 + 5 \times 0 = (20 + 5)v$.
$200 = 25v$,તેથી $v = 8 \ m/s$ મળે.
સંયુક્ત ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2$.
$K = \frac{1}{2}(20 + 5) \times (8)^2 = \frac{1}{2} \times 25 \times 64 = 25 \times 32 = 800 \ J$.

(D) ધારો કે દરેક દડાનું દળ $m$ છે. જ્યારે પ્રથમ દડાને $h$ જેટલી શિરોલંબ ઊંચાઈએથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે સંઘાત પહેલાં તેનો વેગ $v$ ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $v = \sqrt{2gh}$ મળે છે.
સંઘાત સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,બંને દડા એકબીજા સાથે જોડાઈ જાય છે અને સંઘાત પછી સામાન્ય વેગ $V$ થી ગતિ કરે છે. રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$m \cdot v + m \cdot 0 = (m + m) \cdot V$
$m \sqrt{2gh} = 2m \cdot V$
$V = \frac{\sqrt{2gh}}{2} = \sqrt{\frac{2gh}{4}}$
ધારો કે સંયુક્ત તંત્ર નવી શિરોલંબ ઊંચાઈ $h'$ સુધી ઉપર જાય છે. સંયુક્ત તંત્ર માટે ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} (2m) V^2 = (2m) g h'$
$V^2 = 2g h'$
$V^2 = \frac{2gh}{4}$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{2gh}{4} = 2g h'$
$h' = \frac{h}{4}$

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{p}_i = m v \hat{i} + m v \hat{j}$ છે.
અથડામણ પછી,કણો એકબીજા સાથે જોડાઈને $2m$ દળ બનાવે છે જે $\vec{v}'$ વેગથી ગતિ કરે છે.
વેગમાન સંરક્ષણ મુજબ: $m v \hat{i} + m v \hat{j} = (2m) \vec{v}'$.
$2m$ વડે ભાગતા,આપણને $\vec{v}' = \frac{v}{2} \hat{i} + \frac{v}{2} \hat{j}$ મળે છે.
વેગનું મૂલ્ય $v' = \sqrt{(\frac{v}{2})^2 + (\frac{v}{2})^2} = \sqrt{\frac{v^2}{4} + \frac{v^2}{4}} = \sqrt{\frac{v^2}{2}} = \frac{v}{\sqrt{2}}$ થાય છે.
તેની દિશા $\hat{i}$ અને $\hat{j}$ ના પરિણામી સદિશની દિશામાં એટલે કે ઉત્તર-પૂર્વ દિશામાં હશે.

(C) વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
ધારો કે ન્યુટ્રોનનું દળ $m_1 = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$ અને તેનો વેગ $v_1 = 10^8 \ m/s$ છે.
ધારો કે ડ્યુટેરોનનું દળ $m_2 = 3.34 \times 10^{-27} \ kg$ છે,જે શરૂઆતમાં સ્થિર છે $(v_2 = 0)$.
ધારો કે સંયુક્ત તંત્રનું દળ $(m_1 + m_2)$ છે અને તેનો અંતિમ વેગ $v$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)v$
$(1.67 \times 10^{-27}) \times 10^8 + (3.34 \times 10^{-27}) \times 0 = (1.67 \times 10^{-27} + 3.34 \times 10^{-27})v$
$1.67 \times 10^{-19} = (5.01 \times 10^{-27})v$
$v = \frac{1.67 \times 10^{-19}}{5.01 \times 10^{-27}}$
$v = 0.333 \times 10^8 \ m/s = 3.33 \times 10^7 \ m/s$.

(B) અહીં,$m_1 = 2 \ kg$,$u_1 = 36 \ km/hr = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \ m/s$,$m_2 = 3 \ kg$,$u_2 = 0 \ m/s$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2)v$.
$(2)(10) + (3)(0) = (2 + 3)v \implies 20 = 5v \implies v = 4 \ m/s$.
સંઘાત પહેલાની ગતિ-ઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (10)^2 = 100 \ J$.
સંઘાત બાદની ગતિ-ઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 = \frac{1}{2} \times (2 + 3) \times (4)^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 16 = 40 \ J$.
ગતિ-ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K = K_i - K_f = 100 \ J - 40 \ J = 60 \ J$.

(C) સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે,ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta K = \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} (u_1 - u_2)^2$.
આપેલ છે: $m_1 = 40 \ kg$,$u_1 = 4 \ m/s$,$m_2 = 60 \ kg$,$u_2 = 2 \ m/s$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta K = \frac{1}{2} \times \frac{40 \times 60}{40 + 60} \times (4 - 2)^2$.
$\Delta K = \frac{1}{2} \times \frac{2400}{100} \times (2)^2$.
$\Delta K = \frac{1}{2} \times 24 \times 4$.
$\Delta K = 12 \times 4 = 48 \ J$.

(A) ધારો કે બે કારનું દળ $m$ અને વેગ $v$ છે. તેઓ તેમના માર્ગો વચ્ચે $\theta$ ખૂણે અથડાય છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સંયુક્ત ગતિની દિશામાં વેગમાનનો ઘટક સંરક્ષિત રહેવો જોઈએ.
પરિણામી ગતિની દિશામાં દરેક કારનું પ્રારંભિક વેગમાન $mv \cos(\theta/2)$ છે.
બે કાર હોવાથી,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = mv \cos(\theta/2) + mv \cos(\theta/2) = 2mv \cos(\theta/2)$ થશે.
અથડામણ પછી,બંને કાર એકબીજા સાથે જોડાઈ જાય છે અને સામાન્ય વેગ $V$ થી ગતિ કરે છે. કુલ દળ $2m$ છે.
અંતિમ વેગમાન $P_f = (2m)V$ છે.
પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગમાનને સરખાવતા: $2mV = 2mv \cos(\theta/2)$.
તેથી,અંતિમ વેગ $V = v \cos(\theta/2)$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: $m_1 = 2 \ kg$,$u_1 = 36 \ km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \ m/s$,$m_2 = 3 \ kg$,$u_2 = 0 \ m/s$.
પૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાત માટે,ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \right) (u_1 - u_2)^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta K = \frac{1}{2} \left( \frac{2 \times 3}{2 + 3} \right) (10 - 0)^2$
$\Delta K = \frac{1}{2} \times \frac{6}{5} \times 100$
$\Delta K = 0.6 \times 100 = 60 \ J$.

(B) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2)V$
આપેલ છે: $m_1 = 20 \ kg$,$u_1 = 10 \ m/s$,$m_2 = 5 \ kg$,$u_2 = 0 \ m/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$20 \times 10 + 5 \times 0 = (20 + 5)V$
$200 = 25V$
$V = \frac{200}{25} = 8 \ m/s$
તંત્રની સંયુક્ત ગતિઊર્જા $K$ નીચે મુજબ મળે:
$K = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)V^2$
$K = \frac{1}{2}(20 + 5) \times (8)^2$
$K = \frac{1}{2} \times 25 \times 64$
$K = 25 \times 32 = 800 \ J$.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન તેના અંતિમ વેગમાન જેટલું હોવું જોઈએ.
પૂર્વ દિશામાં પ્રારંભિક વેગમાન: $P_x = mv$.
ઉત્તર દિશામાં પ્રારંભિક વેગમાન: $P_y = mv$.
કુલ પ્રારંભિક વેગમાનનું મૂલ્ય $P_i = \sqrt{P_x^2 + P_y^2} = \sqrt{(mv)^2 + (mv)^2} = \sqrt{2}mv$ થાય.
$2m$ દળના સંયુક્ત પદાર્થનું $V$ વેગ સાથેનું અંતિમ વેગમાન $P_f = 2mV$ છે.
પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગમાનને સરખાવતા: $\sqrt{2}mv = 2mV$.
$V$ માટે ઉકેલતા: $V = \frac{\sqrt{2}mv}{2m} = \frac{v}{\sqrt{2}}$.

(C) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
ધારો કે અથડામણ પછી તંત્રનો સંયુક્ત વેગ $V$ છે.
શરૂઆતનું વેગમાન = $m \times v + 2m \times 0 = mv$.
અંતિમ વેગમાન = $(m + 2m) \times V = 3mV$.
બંનેને સરખાવતા: $mv = 3mV$.
તેથી,$V = \frac{v}{3}$.

(B) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલું હોય છે.
ધારો કે બ્લોક-ગોળી તંત્રનો અંતિમ વેગ $V$ છે.
તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન = (ગોળીનું દળ $\times$ ગોળીનો વેગ) + (બ્લોકનું દળ $\times$ બ્લોકનો વેગ) = $a \times b + c \times 0 = ab$.
તંત્રનું અંતિમ વેગમાન = (ગોળીનું દળ + બ્લોકનું દળ) $\times$ અંતિમ વેગ = $(a + c)V$.
પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગમાનને સરખાવતા: $ab = (a + c)V$.
તેથી,બ્લોકનો વેગ $V = \frac{ab}{a + c}$ થાય.

(D) સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_1\vec{u}_1 + m_2\vec{u}_2 = (m_1 + m_2)\vec{V}$
આપેલ છે:
$m_1 = 1 \ g, \vec{u}_1 = 3\hat{i} - 2\hat{j} \ m/s$
$m_2 = 2 \ g, \vec{u}_2 = 4\hat{j} - 6\hat{k} \ m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{V} = \frac{m_1\vec{u}_1 + m_2\vec{u}_2}{m_1 + m_2} = \frac{1(3\hat{i} - 2\hat{j}) + 2(4\hat{j} - 6\hat{k})}{1 + 2}$
$\vec{V} = \frac{3\hat{i} - 2\hat{j} + 8\hat{j} - 12\hat{k}}{3} = \frac{3\hat{i} + 6\hat{j} - 12\hat{k}}{3}$
$\vec{V} = 1\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k} \ m/s$
સંયુક્ત વેગનું મૂલ્ય:
$|\vec{V}| = \sqrt{(1)^2 + (2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21} \approx 4.58 \ m/s \approx 4.6 \ m/s$.

(A) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગોળીનું પ્રારંભિક વેગમાન એ સંયુક્ત તંત્રના અંતિમ વેગમાન જેટલું હોય છે:
$mv = (m + M)V$
જ્યાં $V$ એ સંયુક્ત તંત્રનો અંતિમ વેગ છે.
$V = \frac{mv}{m + M}$
સંયુક્ત તંત્રની ગતિઊર્જા $K$ નીચે મુજબ મળે છે:
$K = \frac{1}{2}(m + M)V^2$
$V$ ની કિંમત મૂકતા:
$K = \frac{1}{2}(m + M) \left( \frac{mv}{m + M} \right)^2$
$K = \frac{1}{2}(m + M) \frac{m^2v^2}{(m + M)^2}$
$K = \frac{1}{2} \frac{m^2v^2}{m + M}$
$K = \left( \frac{1}{2}mv^2 \right) \left( \frac{m}{m + M} \right)$