Kinetic Energy Questions in Hindi

(A) $m$ द्रव्यमान और $p$ रैखिक संवेग वाले कण की गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{p^2}{2m}$ है।
चूंकि दोनों कणों की गतिज ऊर्जा समान है,इसलिए $K_1 = K_2$ होगा।
सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{p_1^2}{2m_1} = \frac{p_2^2}{2m_2}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $m_1 = 4\, g$ और $m_2 = 16\, g$ दिया गया है,इसलिए $\frac{p_1^2}{2 \times 4} = \frac{p_2^2}{2 \times 16}$ होगा।
इसे सरल करने पर,$\frac{p_1^2}{4} = \frac{p_2^2}{16}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{p_1^2}{p_2^2} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{p_1}{p_2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
हमें दिया गया है कि उनके रैखिक संवेग के परिमाण का अनुपात $n : 2$ है,इसलिए $\frac{p_1}{p_2} = \frac{n}{2}$।
$\frac{n}{2} = \frac{1}{2}$ की तुलना करने पर,हमें $n = 1$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = 4K_1$ है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{P^2}{2m}$ होती है,जहाँ $P$ संवेग है और $m$ द्रव्यमान है,इसलिए $P = \sqrt{2mK}$ होता है।
अतः,अंतिम संवेग $P_2$ और प्रारंभिक संवेग $P_1$ का अनुपात $\frac{P_2}{P_1} = \sqrt{\frac{K_2}{K_1}} = \sqrt{\frac{4K_1}{K_1}} = \sqrt{4} = 2$ है।
इसका अर्थ है कि $P_2 = 2P_1$ है।
संवेग में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{P_2 - P_1}{P_1} \times 100$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{2P_1 - P_1}{P_1} \times 100 = \frac{P_1}{P_1} \times 100 = 100\%$ प्राप्त होता है।

(B) गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $P$ के बीच संबंध $K = \frac{P^2}{2m}$ है,जिसका अर्थ है $P = \sqrt{2mK}$।
चूंकि दोनों पिंडों की गतिज ऊर्जा समान है $(K_1 = K_2 = K)$,इसलिए उनके संवेगों का अनुपात होगा:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{\sqrt{2m_1K}}{\sqrt{2m_2K}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$।
दिए गए द्रव्यमान $m_1 = 8\,kg$ और $m_2 = 2\,kg$ का मान रखने पर:
$\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$।
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 200\,g = 0.2\,kg$,प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = 90\,J$,$t = 1\,s$ पर अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = 40\,J$।
संबंध $K = \frac{1}{2}mv^2$ का उपयोग करके,हम वेग ज्ञात करते हैं:
प्रारंभिक वेग $u = \sqrt{\frac{2K_i}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 90}{0.2}} = \sqrt{900} = 30\,m/s$।
अंतिम वेग $v = \sqrt{\frac{2K_f}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 40}{0.2}} = \sqrt{400} = 20\,m/s$।
स्थिर मंदन मानते हुए,त्वरण $a$ है:
$a = \frac{v - u}{t} = \frac{20 - 30}{1} = -10\,m/s^2$।
स्थिर होने के लिए आवश्यक दूरी $s$ ज्ञात करने के लिए $(v_{final} = 0)$:
$v_{final}^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर,$0 = (30)^2 + 2(-10)s$।
$20s = 900 \implies s = 45\,m$।

(C) गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $P$ के बीच का संबंध $K = \frac{P^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए प्रारंभिक संवेग $P$ है और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{P^2}{2m}$ है।
नया संवेग $P'$ $20\%$ बढ़ जाता है,इसलिए $P' = P + 0.20P = 1.2P$ होगा।
नई गतिज ऊर्जा $K'$ का मान $K' = \frac{(P')^2}{2m} = \frac{(1.2P)^2}{2m} = 1.44 \times \frac{P^2}{2m} = 1.44K$ होगा।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि $\frac{K' - K}{K} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $\frac{1.44K - K}{K} \times 100 = 0.44 \times 100 = 44\%$ प्राप्त होता है।

(B) गतिज ऊर्जा $(K)$ और संवेग $(P)$ के बीच का संबंध $K = \frac{P^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $P = \sqrt{2mK}$।
मान लीजिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = K_1 + 0.44 K_1 = 1.44 K_1$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक संवेग $P_1$ है और अंतिम संवेग $P_2$ है।
चूंकि $P \propto \sqrt{K}$,इसलिए $\frac{P_2}{P_1} = \sqrt{\frac{K_2}{K_1}} = \sqrt{1.44} = 1.2$ है।
अतः,$P_2 = 1.2 P_1$।
संवेग में प्रतिशत वृद्धि $\frac{P_2 - P_1}{P_1} \times 100 = (1.2 - 1) \times 100 = 20 \%$ है।

(C) $m$ द्रव्यमान और $P$ संवेग वाले पिंड की गतिज ऊर्जा $K$ को $K = \frac{P^2}{2m}$ संबंध द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि दोनों पिंडों की गतिज ऊर्जा समान है,हम लिख सकते हैं:
$K_1 = K_2$
$\frac{P_1^2}{2m_1} = \frac{P_2^2}{2m_2}$
संवेग के अनुपात $\frac{P_1}{P_2}$ को ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{P_1^2}{P_2^2} = \frac{m_1}{m_2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) पिंड की गतिज ऊर्जा $(KE)$ और उसके संवेग $(p)$ के बीच संबंध है: $KE = \frac{p^2}{2m}$।
माना प्रारंभिक संवेग $p_i$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_i = \frac{p_i^2}{2m}$ है।
संवेग में $50 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए अंतिम संवेग $p_f = p_i + 0.50 p_i = 1.5 p_i$ होगा।
अंतिम गतिज ऊर्जा $KE_f = \frac{p_f^2}{2m} = \frac{(1.5 p_i)^2}{2m} = \frac{2.25 p_i^2}{2m} = 2.25 KE_i$ होगी।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि $\frac{KE_f - KE_i}{KE_i} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{2.25 KE_i - KE_i}{KE_i} \times 100 = 1.25 \times 100 = 125 \%$।

(C) किसी पिंड की गतिज ऊर्जा $K$ का उसके रैखिक संवेग $P$ और द्रव्यमान $m$ के साथ संबंध $K = \frac{P^2}{2m}$ होता है।
चूंकि दोनों पिंडों की गतिज ऊर्जा समान है, इसलिए $K_1 = K_2$ होगा।
अतः, $\frac{P_1^2}{2m_1} = \frac{P_2^2}{2m_2}$।
संवेग के अनुपात को ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर, $\frac{P_1^2}{P_2^2} = \frac{m_1}{m_2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$।
दिए गए द्रव्यमान $m_1 = 4 \,g$ और $m_2 = 25 \,g$ का मान रखने पर, $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार, उनके रैखिक संवेग का अनुपात $2: 5$ है।

(D) प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_{i} = \frac{1}{2} m v_{i}^2 = \frac{1}{2} m (100)^2 = 5000 m \ J$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_{f} = \frac{1}{2} m v_{f}^2 = \frac{1}{2} m (40)^2 = 800 m \ J$.
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत हानि $= \frac{K_{i} - K_{f}}{K_{i}} \times 100$.
$= \frac{5000 m - 800 m}{5000 m} \times 100$.
$= \frac{4200}{5000} \times 100 = 84 \%$.

(C) किसी कण की गतिज ऊर्जा $KE$ और उसके संवेग $p$ तथा द्रव्यमान $m$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $KE = \frac{p^2}{2m}$.
चूंकि चारों कणों का संवेग $p$ समान है,इसलिए गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(KE \propto \frac{1}{m})$।
अतः,जिस कण का द्रव्यमान सबसे कम होगा,उसकी गतिज ऊर्जा अधिकतम होगी।
द्रव्यमानों की तुलना करने पर: $\frac{m}{2} < m < 2m < 4m$.
कण $A$ का द्रव्यमान सबसे कम $\frac{m}{2}$ है।
इस प्रकार,कण $A$ की गतिज ऊर्जा अधिकतम है।

(A) गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $P$ के बीच का संबंध $K = \frac{P^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ पिंड का द्रव्यमान है।
इससे,हम लिख सकते हैं $P = \sqrt{2mK}$।
मान लीजिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = 36 K_i$ है।
प्रारंभिक संवेग $P_i = \sqrt{2mK_i}$ है और अंतिम संवेग $P_f = \sqrt{2mK_f} = \sqrt{2m(36K_i)} = 6\sqrt{2mK_i} = 6P_i$ है।
संवेग में प्रतिशत वृद्धि $\frac{P_f - P_i}{P_i} \times 100 \%$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{6P_i - P_i}{P_i} \times 100 \% = \frac{5P_i}{P_i} \times 100 \% = 500 \%$।

(A) किसी पिंड की गतिज ऊर्जा $KE$ और उसके रैखिक संवेग $P$ तथा द्रव्यमान $m$ के बीच संबंध $KE = \frac{P^2}{2m}$ होता है।
चूंकि गतिज ऊर्जा समान है, इसलिए $P^2 = 2m(KE)$, जिसका अर्थ है $P = \sqrt{2m(KE)}$.
यहाँ $2$ और $KE$ स्थिरांक हैं, इसलिए रैखिक संवेग द्रव्यमान के वर्गमूल के समानुपाती होता है: $P \propto \sqrt{m}$.
दिए गए द्रव्यमान $m_A = 400 \,g = 0.4 \,kg$, $m_B = 1.2 \,kg$ और $m_C = 1.6 \,kg$ हैं।
उनके संवेग का अनुपात $P_A : P_B : P_C = \sqrt{m_A} : \sqrt{m_B} : \sqrt{m_C}$ होगा।
मान रखने पर: $P_A : P_B : P_C = \sqrt{0.4} : \sqrt{1.2} : \sqrt{1.6}$.
सरल बनाने के लिए $\sqrt{10}$ से गुणा करने पर: $\sqrt{4} : \sqrt{12} : \sqrt{16} = 2 : 2\sqrt{3} : 4$.
$2$ से भाग देने पर, हमें $1 : \sqrt{3} : 2$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ है। अधिकतम ऊँचाई पर,अंतिम वेग $0$ होता है। गति के समीकरण $v_f^2 = v_i^2 - 2gH$ का उपयोग करने पर,हमें $0 = v^2 - 2gH$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $H = \frac{v^2}{2g}$।
आधी ऊँचाई पर,$h = \frac{H}{2} = \frac{v^2}{4g}$।
समीकरण $v'^2 = v^2 - 2gh$ का उपयोग करने पर,ऊँचाई $h$ पर वेग $v'$ का मान $v'^2 = v^2 - 2g(\frac{v^2}{4g}) = v^2 - \frac{v^2}{2} = \frac{v^2}{2}$ होगा।
अतः,$v' = \frac{v}{\sqrt{2}}$।
इस बिंदु पर गतिज ऊर्जा $E'$ का मान $E' = \frac{1}{2}mv'^2 = \frac{1}{2}m(\frac{v^2}{2}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mv^2) = \frac{E}{2}$ होगा।

(C) गतिज ऊर्जा $(K)$ और संवेग $(P)$ के बीच का संबंध $K = \frac{P^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. $K$ और $P$ के बीच ग्राफ के लिए,समीकरण $K = \frac{1}{2m} P^2$ है। यह $y = ax^2$ के रूप में है,जो ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय को दर्शाता है। अतः,ग्राफ $(A)$ सही है।
$2$. $K$ और $P^2$ के बीच ग्राफ के लिए,मान लीजिए $X = P^2$ है। तब समीकरण $K = \frac{1}{2m} X$ हो जाता है। यह $y = mx$ के रूप में है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है। अतः,ग्राफ $(C)$ सही है।
इसलिए,ग्राफ $(A)$ और $(C)$ सही हैं।

(A) किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ और उसके संवेग $(p)$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $K.E. = \frac{p^2}{2m}$.
जब संवेग में $20 \%$ की वृद्धि होती है,तो नया संवेग $p'$ होगा:
$p' = p + 0.20p = 1.2p$.
नई गतिज ऊर्जा $(K.E.')$ होगी:
$K.E.' = \frac{(p')^2}{2m} = \frac{(1.2p)^2}{2m} = \frac{1.44p^2}{2m}$.
चूंकि $K.E. = \frac{p^2}{2m}$,इसलिए $K.E.' = 1.44 \times K.E$.
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि इस प्रकार दी जाती है:
$\Delta K.E. \% = \frac{K.E.' - K.E.}{K.E.} \times 100 \%$
$= \frac{1.44 K.E. - K.E.}{K.E.} \times 100 \%$
$= 0.44 \times 100 \% = 44 \%$.

(D) किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{p^2}{2m}$ होता है,जहाँ $p = mv$ संवेग है।
चूंकि दोनों वस्तुओं की गतिज ऊर्जा समान है,इसलिए $KE_1 = KE_2$ है।
अतः,$\frac{p_1^2}{2M_1} = \frac{p_2^2}{2M_2}$।
इससे हमें $\frac{p_1^2}{p_2^2} = \frac{M_1}{M_2}$,या $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{M_1}{M_2}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $M_2$ द्रव्यमान वाली वस्तु भारी है,इसलिए $M_2 > M_1$,जिसका अर्थ है कि $\frac{M_1}{M_2} < 1$ है।
परिणामस्वरूप,$\frac{p_1}{p_2} < 1$,जो दर्शाता है कि $p_1 < p_2$ है।
चूंकि $p = mv$ है,इसलिए $M_1 V_1 < M_2 V_2$ या $M_2 V_2 > M_1 V_1$ होगा।

(B) गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $p$ के बीच का संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ पिंड का द्रव्यमान है।
इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $p = \sqrt{2mK}$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों पिंडों के लिए गतिज ऊर्जा $K$ समान है,इसलिए संवेग $p$ द्रव्यमान के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक है,अर्थात $p \propto \sqrt{m}$।
इसलिए,जिस पिंड का द्रव्यमान अधिक होगा,उसका संवेग भी अधिक होगा।
अतः,भारी पिंड का संवेग अधिक होता है।

(B) गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $p$ के बीच का संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है।
संवेग के लिए इस सूत्र को व्यवस्थित करने पर,हमें $p^2 = 2mK$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $p = \sqrt{2mK}$।
चूंकि तीनों पिंडों की गतिज ऊर्जा समान है ($K$ स्थिर है),इसलिए संवेग द्रव्यमान के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक है: $p \propto \sqrt{m}$।
द्रव्यमानों की तुलना करने पर: $m_P = m$,$m_Q = 2m$,और $m_R = 3m$।
चूंकि $m_R > m_Q > m_P$,इसलिए $p_R > p_Q > p_P$ होगा।
अतः,सबसे अधिक द्रव्यमान वाला पिंड $R$ सबसे अधिक संवेग रखेगा।

(D) दिया गया है कि पिंड शुरुआत में विरामावस्था में है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,त्वरण $a = \frac{F}{m}$ है।
गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए,समय $t$ पर वेग $v = u + at = 0 + \left(\frac{F}{m}\right)t = \frac{Ft}{m}$ है।
गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{1}{2}mv^{2}$ है।
$v$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $K = \frac{1}{2}m\left(\frac{Ft}{m}\right)^{2}$।
$K = \frac{1}{2}m \frac{F^{2}t^{2}}{m^{2}} = \frac{F^{2}t^{2}}{2m}$।

(B) सही विकल्प $B$ है।
अवधारणा: $\text{कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, किसी पिंड पर कार्य करने वाले सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा } (K.E.) \text{ में परिवर्तन के बराबर होता है।}$
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5 \,kg$, प्रारंभिक वेग $u = 0 \,m/s$, अंतिम वेग $v = 20 \,m/s$।
किया गया कार्य $W = \Delta K.E. = K.E._{final} - K.E._{initial}$।
$W = \frac{1}{2} mv^2 - \frac{1}{2} mu^2$।
$W = \frac{1}{2} \times 5 \times (20)^2 - 0$।
$W = \frac{1}{2} \times 5 \times 400 = 5 \times 200 = 1000 \,J = 10^3 \,J$।

(A) $m$ द्रव्यमान वाली वस्तु की गतिज ऊर्जा $K$ और रैखिक संवेग $p$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $K = \frac{p^2}{2m}$.
इससे,हम संवेग को इस प्रकार लिख सकते हैं: $p = \sqrt{2mK}$.
चूंकि दोनों द्रव्यमानों की गतिज ऊर्जा समान $(K_1 = K_2 = K)$ है,इसलिए उनके संवेग का अनुपात होगा:
$\frac{p_1}{p_2} = \frac{\sqrt{2m_1K}}{\sqrt{2m_2K}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$.
दिए गए द्रव्यमान $m_1 = 4 \,kg$ और $m_2 = 1 \,kg$ का मान रखने पर:
$\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{4}{1}} = \frac{2}{1}$.
अतः,उनके रैखिक संवेग के परिमाण का अनुपात $2: 1$ है.

(A) $m$ द्रव्यमान और $p$ संवेग वाले पिंड की गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{p^2}{2m}$ होता है।
चूंकि दोनों द्रव्यमानों की गतिज ऊर्जा समान है,इसलिए $K_1 = K_2$ होगा।
गतिज ऊर्जा का सूत्र रखने पर,हमें $\frac{p_1^2}{2m_1} = \frac{p_2^2}{2m_2}$ प्राप्त होता है।
संवेगों के अनुपात को ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{p_1^2}{p_2^2} = \frac{m_1}{m_2}$ मिलता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,संवेगों का अनुपात $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ होता है।
यहाँ $m_1 = 1 \ g$ और $m_2 = 4 \ g$ दिया गया है,मान रखने पर:
$\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
अतः,उनके संवेगों का अनुपात $1: 2$ है।

(C) दिया गया है कि $m_{1}$ और $m_{2}$ द्रव्यमान वाले दो कणों की गतिज ऊर्जा $(K)$ समान है।
हम जानते हैं कि गतिज ऊर्जा और संवेग $(p)$ के बीच का संबंध $K = \frac{p^{2}}{2m}$ है।
चूंकि $K_{1} = K_{2}$ है,इसलिए $\frac{p_{1}^{2}}{2m_{1}} = \frac{p_{2}^{2}}{2m_{2}}$ होगा।
संवेग के अनुपात $\frac{p_{1}}{p_{2}}$ को ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{p_{1}^{2}}{p_{2}^{2}} = \frac{m_{1}}{m_{2}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{p_{1}}{p_{2}} = \sqrt{\frac{m_{1}}{m_{2}}} = \frac{\sqrt{m_{1}}}{\sqrt{m_{2}}}$ प्राप्त होता है।
अतः,उनके संवेग का अनुपात $\sqrt{m_{1}}: \sqrt{m_{2}}$ है।

(B) किसी पिंड की गतिज ऊर्जा $K$ और उसके रैखिक संवेग $p$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है,जहाँ $m$ पिंड का द्रव्यमान है।
चूँकि द्रव्यमान $m$ स्थिर रहता है,इसलिए $K \propto p^2$ होगा।
माना प्रारंभिक संवेग $p_1 = p$ है और अंतिम संवेग $p_2 = p + 0.50p = 1.5p$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2$ और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1$ का अनुपात:
$\frac{K_2}{K_1} = \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^2 = \left(\frac{1.5p}{p}\right)^2 = (1.5)^2 = 2.25$।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए:
$\text{प्रतिशत वृद्धि} = \left(\frac{K_2}{K_1} - 1\right) \times 100 \%$।
मान रखने पर: $(2.25 - 1) \times 100 \% = 1.25 \times 100 \% = 125 \%$।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 4 \,kg$, संवेग $p = 6 \,Ns$।
गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है।
सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$K = \frac{6^2}{2 \times 4} = \frac{36}{8} = 4.5 \,J$।
अतः, पिंड की गतिज ऊर्जा $4.5 \,J$ है।

(B) संवेग $P$ और द्रव्यमान $m$ वाले पिंड की गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{P^2}{2m}$ है।
यह दिया गया है कि दोनों पिंडों की गतिज ऊर्जा समान है,इसलिए $K_H = K_L$।
सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{P_H^2}{2 m_H} = \frac{P_L^2}{2 m_L}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{P_H^2}{P_L^2} = \frac{m_H}{m_L}$,जिसका अर्थ है $\frac{P_H}{P_L} = \sqrt{\frac{m_H}{m_L}}$।
चूंकि पिंड भारी है,$m_H > m_L$,जिसका अर्थ है कि $\frac{m_H}{m_L} > 1$।
इसलिए,$\frac{P_H}{P_L} > 1$,जिससे यह सिद्ध होता है कि $P_H > P_L$।

(B) मान लीजिए कि पिंड का द्रव्यमान $m$ है और पिंड का वेग $v$ है,जिससे उसका संवेग $p$ और गतिज ऊर्जा $E$ है।
संवेग $p = mv$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $p^2 = m^2 v^2$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} mv^2$ द्वारा दी जाती है।
हम इसे $E = \frac{m^2 v^2}{2m} = \frac{p^2}{2m}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि किसी दिए गए पिंड के लिए $m$ स्थिर है,इसलिए हमारे पास $E \propto p^2$ है।
यह समीकरण $y = kx^2$ के रूप में है,जो एक परवलय को दर्शाता है।
अतः,किसी पिंड के संवेग और गतिज ऊर्जा के बीच के ग्राफ की प्रकृति परवलय है।

(A) गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है,जिसका अर्थ है $p = \sqrt{2mK}$।
मान लीजिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = K$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = 4K$ है।
प्रारंभिक संवेग $p_1 = \sqrt{2mK_1} = \sqrt{2mK}$ है।
अंतिम संवेग $p_2 = \sqrt{2mK_2} = \sqrt{2m(4K)} = 2\sqrt{2mK}$ है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $p_2 = 2p_1$ प्राप्त होता है।
अतः,संवेग $2$ गुना बढ़ जाएगा।

(C) $m$ द्रव्यमान और $p$ संवेग वाली वस्तु की गतिज ऊर्जा $K$ को $K = \frac{p^2}{2m}$ संबंध द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि गतिज ऊर्जा समान है,इसलिए $K_1 = K_2$ है।
अतः,$\frac{p_1^2}{2m_1} = \frac{p_2^2}{2m_2}$ होगा।
संवेग का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{p_1^2}{p_2^2} = \frac{m_1}{m_2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} = \frac{\sqrt{m_1}}{\sqrt{m_2}}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,अनुपात $p_1: p_2$ का मान $\sqrt{m_1}: \sqrt{m_2}$ है।

(D) माना प्रारंभिक वेग $v$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$ है।
जब वेग $1 \,m/s$ बढ़ाया जाता है, तो नया वेग $v' = v + 1$ हो जाता है।
नई गतिज ऊर्जा $E' = \frac{1}{2}m(v+1)^2$ है।
प्रश्न के अनुसार, गतिज ऊर्जा दोगुनी हो जाती है, इसलिए $E' = 2E$।
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{1}{2}m(v+1)^2 = 2 \times (\frac{1}{2}mv^2)$।
समीकरण को सरल करने पर: $(v+1)^2 = 2v^2$।
बाएं पक्ष का विस्तार करने पर: $v^2 + 2v + 1 = 2v^2$।
द्विघात समीकरण बनाने पर: $v^2 - 2v - 1 = 0$।
द्विघात सूत्र $v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$v = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$।
चूंकि वेग धनात्मक होना चाहिए, इसलिए $v = (1 + \sqrt{2}) \,m/s$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया द्रव्यमान, $m = 100 \,g = 0.1 \,kg$ है।
वेग सदिश, $\vec{v} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) \,m/s$ है।
वेग के वर्ग का परिमाण $v^2 = |\vec{v}|^2 = (1)^2 + (2)^2 + (-3)^2 = 1 + 4 + 9 = 14 \,m^2/s^2$ है।
गतिज ऊर्जा $K$ की गणना सूत्र $K = \frac{1}{2}mv^2$ का उपयोग करके की जाती है।
मान रखने पर, $K = \frac{1}{2} \times 0.1 \,kg \times 14 \,m^2/s^2 = 0.05 \times 14 = 0.7 \,J$।

(C) किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ को सूत्र $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $v$ पिंड की चाल है।
चूंकि द्रव्यमान $m$ स्थिर है,इसलिए गतिज ऊर्जा और चाल के बीच का संबंध $K.E. \propto v^2$ है।
यह समीकरण $y = kx^2$ के रूप में है,जो एक परवलय (parabola) को दर्शाता है।
अतः,$x$-अक्ष पर चाल $(v)$ और $y$-अक्ष पर गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ के बीच खींचा गया ग्राफ एक परवलय होता है।

(C) किसी पिंड की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ होता है।
चूंकि दोनों पिंड समान रैखिक वेग $(v_1 = v_2 = v)$ से गति कर रहे हैं,इसलिए गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के सीधे आनुपातिक है $(K.E. \propto m)$।
अतः,उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात उनके द्रव्यमानों के अनुपात के बराबर होगा:
$\frac{K.E._1}{K.E._2} = \frac{m_1}{m_2}$.
दिया गया है कि $\frac{K.E._1}{K.E._2} = \frac{4}{1}$,इसलिए $\frac{m_1}{m_2} = \frac{4}{1}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,उनके द्रव्यमानों का अनुपात $4: 1$ है।

(C) किसी पिंड की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र है: $KE = \frac{1}{2} m v^2$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $v$ चाल है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक द्रव्यमान $m$ है और प्रारंभिक चाल $v$ है। तब प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_i = \frac{1}{2} m v^2$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,द्रव्यमान को दोगुना $(m' = 2m)$ और चाल को दोगुना $(v' = 2v)$ कर दिया जाता है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $KE_f$ इस प्रकार होगी:
$KE_f = \frac{1}{2} (2m) (2v)^2$
$KE_f = \frac{1}{2} (2m) (4v^2)$
$KE_f = 8 \times (\frac{1}{2} m v^2)$
$KE_f = 8 KE_i$
अतः,गतिज ऊर्जा प्रारंभिक गतिज ऊर्जा की आठ गुनी हो जाती है।

(B) मान लीजिए आदमी का द्रव्यमान $m$ है। तो लड़के का द्रव्यमान $m_b = \frac{m}{2}$ होगा।
मान लीजिए आदमी की प्रारंभिक गति $v_m$ है और लड़के की गति $v_b$ है।
प्रश्न के अनुसार,आदमी की गतिज ऊर्जा लड़के की गतिज ऊर्जा की आधी है:
$\frac{1}{2} m v_m^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m_b v_b^2) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{m}{2} v_b^2) = \frac{1}{8} m v_b^2$.
सरल करने पर,$v_m^2 = \frac{1}{4} v_b^2$,जिससे $v_m = \frac{v_b}{2}$ प्राप्त होता है।
जब आदमी अपनी गति $1 \,ms^{-1}$ बढ़ाता है,तो उसकी नई गति $v_m' = v_m + 1 = \frac{v_b}{2} + 1$ हो जाती है।
अब,उसकी गतिज ऊर्जा लड़के की गतिज ऊर्जा के बराबर है:
$\frac{1}{2} m (\frac{v_b}{2} + 1)^2 = \frac{1}{2} (\frac{m}{2}) v_b^2$.
दोनों पक्षों को $\frac{m}{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $(\frac{v_b}{2} + 1)^2 = \frac{v_b^2}{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{v_b}{2} + 1 = \frac{v_b}{\sqrt{2}}$.
$1 = v_b (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2}) = v_b (\frac{2 - \sqrt{2}}{2\sqrt{2}})$.
$v_b = \frac{2\sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}(2 + \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{4\sqrt{2} + 4}{2} = 2\sqrt{2} + 2 = 2(\sqrt{2} + 1) \,ms^{-1}$.

(B) मान लीजिए कि कण $H$ ऊँचाई से गिरता है और जमीन से $h$ ऊँचाई पर पहुँचता है।
इस ऊँचाई $h$ पर,स्थितिज ऊर्जा $PE = mgh$ है।
कण द्वारा तय की गई दूरी $x = H - h$ है।
इस बिंदु पर गतिज ऊर्जा $KE = mgx = mg(H - h)$ है।
प्रश्न के अनुसार,$KE = 2(PE)$ है।
समीकरणों को रखने पर,$mg(H - h) = 2(mgh)$ प्राप्त होता है।
$H - h = 2h \Rightarrow H = 3h \Rightarrow h = \frac{H}{3}$।
अब,$h = \frac{H}{3}$ ऊँचाई पर गति $v$ ज्ञात करने के लिए,हम गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2ax$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $u = 0$ और $x = H - h = H - \frac{H}{3} = \frac{2H}{3}$ है।
$v^2 = 2g(\frac{2H}{3}) = \frac{4gH}{3}$।
$v = \sqrt{\frac{4gH}{3}} = 2\sqrt{\frac{gH}{3}}$।
अतः,ऊँचाई $\frac{H}{3}$ है और गति $2\sqrt{\frac{gH}{3}}$ है।

(D) पिंड की गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{1}{2}mv^2$ है, जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $v$ वेग का परिमाण है।
सबसे पहले, वेग सदिश $\vec{v} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}) \text{ m/s}$ का परिमाण ज्ञात करें।
$v = |\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29} \text{ m/s}$.
अतः, $v^2 = 29 \text{ m}^2/\text{s}^2$.
दिया गया है $K = 87 \text{ J}$, इन मानों को गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$87 = \frac{1}{2} \times m \times 29$.
$87 = 14.5 \times m$.
$m = \frac{87}{14.5} = 6 \text{ kg}$.
इसलिए, पिंड का द्रव्यमान $6 \text{ kg}$ है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 4 \ kg$. वेग सदिश $\vec{v} = (2 \hat{i} - 4 \hat{j} - \hat{k}) \ ms^{-1}$.
सबसे पहले,वेग का परिमाण $v = |\vec{v}| = \sqrt{(2)^2 + (-4)^2 + (-1)^2}$ ज्ञात करें।
$v = \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21} \ ms^{-1}$.
गतिज ऊर्जा $K.E.$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2} mv^2$ है।
मान रखने पर: $K.E. = \frac{1}{2} \times 4 \times (\sqrt{21})^2$.
$K.E. = 2 \times 21 = 42 \ J$.

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m_1 = 1 \,g$ और $m_2 = 4 \,g$। गतिज ऊर्जा समान है, $K_1 = K_2$.
हम जानते हैं कि गतिज ऊर्जा $K$ और रैखिक संवेग $p$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है, जिसका अर्थ है $p = \sqrt{2mK}$.
चूंकि $K_1 = K_2$, संवेग का अनुपात $\frac{p_1}{p_2} = \frac{\sqrt{2m_1K_1}}{\sqrt{2m_2K_2}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
अतः, उनके रैखिक संवेग का अनुपात $1:2$ है।

(A) गतिज ऊर्जा $(K)$ और रैखिक संवेग $(p)$ के बीच का संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $p = \sqrt{2mK}$।
दिए गए द्रव्यमान $m_1 = m$ और $m_2 = 4m$ हैं।
दी गई गतिज ऊर्जाएँ $K_1$ और $K_2$ हैं,जहाँ $\frac{K_1}{K_2} = \frac{2}{1}$ है।
उनके रैखिक संवेगों का अनुपात $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{2m_1 K_1}{2m_2 K_2}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2} \times \frac{K_1}{K_2}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{m}{4m} \times \frac{2}{1}} = \sqrt{\frac{1}{4} \times 2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,उनके रैखिक संवेगों का अनुपात $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(D) गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f$ है। दिया गया है कि गतिज ऊर्जा में $20 \%$ का परिवर्तन होता है,इसलिए $K_f = 1.20 K_i$ है।
चूंकि $K \propto p^2$,हम लिख सकते हैं कि $\frac{K_f}{K_i} = \left( \frac{p_f}{p_i} \right)^2$।
मान रखने पर,$1.20 = \left( \frac{p_f}{p_i} \right)^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{p_f}{p_i} = \sqrt{1.20} \approx 1.0954$।
संवेग में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{p_f - p_i}{p_i} \times 100 = (1.0954 - 1) \times 100 = 9.54 \%$ है।
चूंकि $9.54 \%$ दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(B) गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $P$ के बीच संबंध $K = \frac{P^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए प्रारंभिक संवेग $P$ है और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{P^2}{2m}$ है।
यदि संवेग में $20 \%$ की वृद्धि होती है,तो नया संवेग $P' = P + 0.20P = 1.2P$ हो जाता है।
नई गतिज ऊर्जा $K' = \frac{(P')^2}{2m} = \frac{(1.2P)^2}{2m} = \frac{1.44P^2}{2m}$ होगी।
$K = \frac{P^2}{2m}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $K' = 1.44K$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि $\frac{K' - K}{K} \times 100 \% = \frac{1.44K - K}{K} \times 100 \% = 0.44 \times 100 \% = 44 \%$ है।