Kinetic Energy Questions in Hindi

(C) $m$ द्रव्यमान और $p$ संवेग वाली वस्तु की गतिज ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{p^2}{2m}$ होता है।
इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $p = \sqrt{2mE}$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों वस्तुओं की गतिज ऊर्जा समान है $(E_1 = E_2 = E)$,इसलिए संवेग $p$ द्रव्यमान के वर्गमूल के समानुपाती है: $p \propto \sqrt{m}$।
अतः,उनके संवेगों का अनुपात $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ होगा।
इस प्रकार,$p_1:p_2$ का अनुपात $\sqrt{m_1}:\sqrt{m_2}$ है।

(A) $m$ द्रव्यमान और $P$ संवेग वाले पिंड की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र है: $K.E. = \frac{P^2}{2m}$।
चूंकि दोनों पिंडों का संवेग $(P)$ समान है,इसलिए गतिज ऊर्जा पिंड के द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(K.E. \propto \frac{1}{m})$।
अतः,जिस पिंड का द्रव्यमान कम होगा (हल्का पिंड),उसकी गतिज ऊर्जा अधिक होगी।

(B) गतिज ऊर्जा के लिए शास्त्रीय सूत्र,$K = \frac{1}{2}mv^2$,न्यूटनियन यांत्रिकी से प्राप्त होता है।
आइंस्टीन के विशेष सापेक्षता के सिद्धांत के अनुसार,एक पिंड की कुल ऊर्जा $E = \gamma mc^2$ होती है,जहाँ $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ है।
गतिज ऊर्जा कुल ऊर्जा और विराम ऊर्जा के बीच का अंतर है: $K = E - mc^2 = mc^2(\gamma - 1)$।
जब $v \ll c$ होता है,तो $\gamma$ के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग करने पर,हमें $\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}$ प्राप्त होता है।
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर,$K \approx mc^2(1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} - 1) = \frac{1}{2}mv^2$।
अतः,शास्त्रीय सूत्र केवल तभी मान्य है जब पिंड का वेग प्रकाश की गति की तुलना में नगण्य हो।

(D) $m$ द्रव्यमान वाले पिंड के लिए गतिज ऊर्जा $(E)$ और संवेग $(P)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$E = \frac{P^2}{2m}$
इस समीकरण से हम देख सकते हैं कि गतिज ऊर्जा संवेग के वर्ग के सीधे आनुपातिक है:
$E \propto P^2$
यदि संवेग $(P)$ को $n$ गुना बढ़ा दिया जाए,तो नया संवेग $P' = nP$ हो जाएगा।
इसे आनुपातिकता में रखने पर:
$E' \propto (nP)^2 = n^2 P^2$
अतः,नई गतिज ऊर्जा $(E')$ मूल गतिज ऊर्जा $(E)$ की $n^2$ गुना हो जाएगी।
इस प्रकार,गतिज ऊर्जा $n^2$ के कारक से बढ़ जाती है।

(C) रैखिक संवेग $P$,द्रव्यमान $m$ और गतिज ऊर्जा $E$ के बीच का संबंध $P = \sqrt{2mE}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों द्रव्यमानों के लिए गतिज ऊर्जा $E$ समान है,इसलिए $P \propto \sqrt{m}$ होगा।
अतः,उनके रैखिक संवेग का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ होगा।
दिए गए मान $m_1 = 1 \,g$ और $m_2 = 4 \,g$ रखने पर,हमें $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,अनुपात $1:2$ है।

(A) माना प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_1 = E$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $E_2 = E + 300\% \text{ of } E = E + 3E = 4E$ होगी।
हम जानते हैं कि संवेग $P$ और गतिज ऊर्जा $E$ के बीच संबंध $P = \sqrt{2mE}$ है,जिसका अर्थ है $P \propto \sqrt{E}$।
इसलिए,अंतिम संवेग $P_2$ और प्रारंभिक संवेग $P_1$ का अनुपात $\frac{P_2}{P_1} = \sqrt{\frac{E_2}{E_1}} = \sqrt{\frac{4E}{E}} = \sqrt{4} = 2$ होगा।
इसका अर्थ है $P_2 = 2P_1$।
संवेग में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{P_2 - P_1}{P_1} \times 100\% = \frac{2P_1 - P_1}{P_1} \times 100\% = 100\%$ है।
अतः,संवेग में $100\%$ की वृद्धि होगी।

(B) गतिज ऊर्जा $E$ और संवेग $P$ के बीच का संबंध $P = \sqrt{2mE}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों पिंडों के लिए गतिज ऊर्जा $E$ समान है,इसलिए $P \propto \sqrt{m}$ होता है।
इसका अर्थ है कि जिस पिंड का द्रव्यमान $m$ अधिक होगा,उसका संवेग $P$ भी अधिक होगा।
अतः,भारी पिंड का संवेग अधिक होगा।

(C) माना कि प्रारंभिक रैखिक संवेग $P_1 = P$ है।
नया रैखिक संवेग $P_2 = P_1 + 0.5P_1 = 1.5P_1 = \frac{3}{2}P_1$ होगा।
गतिज ऊर्जा $E$ और रैखिक संवेग $P$ के बीच संबंध $E = \frac{P^2}{2m}$ है,जिसका अर्थ है $E \propto P^2$।
इसलिए,नई गतिज ऊर्जा $E_2$ और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_1$ का अनुपात $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^2$ होगा।
मान रखने पर,$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{1.5P_1}{P_1} \right)^2 = (1.5)^2 = 2.25$।
इसका अर्थ है $E_2 = 2.25 E_1 = E_1 + 1.25 E_1$।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि $\frac{E_2 - E_1}{E_1} \times 100\% = 1.25 \times 100\% = 125\%$ है।

(D) संवेग $(P)$ और गतिज ऊर्जा $(E)$ के बीच का संबंध सूत्र $P = \sqrt{2mE}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $(m)$ स्थिर है,इसलिए $P \propto \sqrt{E}$ होता है।
यदि गतिज ऊर्जा को दोगुना कर दिया जाए,तो नई गतिज ऊर्जा $E' = 2E$ होगी।
अतः,नया संवेग $P' = \sqrt{2m(2E)} = \sqrt{2} \times \sqrt{2mE} = \sqrt{2}P$ होगा।
इस प्रकार,संवेग $\sqrt{2}$ गुना बढ़ जाएगा।

(A) संवेग $P$ और गतिज ऊर्जा $E$ के बीच संबंध $P = \sqrt{2mE}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $m$ स्थिर है,इसलिए $P \propto \sqrt{E}$ है।
छोटे परिवर्तनों के लिए सन्निकटन का उपयोग करने पर: $\frac{\Delta P}{P} \approx \frac{1}{2} \frac{\Delta E}{E}$।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta E}{E} \times 100 = 0.1\%$ दी गई है।
अतः,संवेग में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta P}{P} \times 100 = \frac{1}{2} \times (0.1\%) = 0.05\%$ होगी।

(C) $m$ द्रव्यमान और $v$ वेग से गतिमान पिंड की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र है: $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $K.E. \propto v^2$।
यदि नया वेग $v' = 2v$ है,तो नई गतिज ऊर्जा $K.E.'$ होगी:
$K.E.' = \frac{1}{2}m(v')^2 = \frac{1}{2}m(2v)^2 = \frac{1}{2}m(4v^2) = 4 \times (\frac{1}{2}mv^2)$।
अतः,$K.E.' = 4 \times K.E.$
इस प्रकार,गतिज ऊर्जा पिछले मान की $4$ गुना हो जाएगी।

(D) रैखिक संवेग $P$,द्रव्यमान $m$ और गतिज ऊर्जा $E$ के बीच संबंध $P = \sqrt{2mE}$ होता है।
चूंकि दोनों पिंडों की गतिज ऊर्जा समान है $(E_A = E_B = E)$,इसलिए उनके रैखिक संवेगों का अनुपात होगा:
$\frac{P_A}{P_B} = \frac{\sqrt{2m_A E}}{\sqrt{2m_B E}} = \sqrt{\frac{m_A}{m_B}}$.
दिया गया है कि द्रव्यमानों का अनुपात $\frac{m_A}{m_B} = \frac{3}{1}$ है,अतः:
$\frac{P_A}{P_B} = \sqrt{\frac{3}{1}} = \sqrt{3} : 1$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) संवेग $P$ और द्रव्यमान $m$ वाली वस्तु की गतिज ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{P^2}{2m}$ होता है।
चूंकि दोनों वस्तुओं का संवेग $P$ समान है,इसलिए $E \propto \frac{1}{m}$ होगा।
अतः,उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{m_2}{m_1}$ होगा।
यहाँ $m_1 = m$ और $m_2 = 2m$ दिया गया है,इसलिए $\frac{E_1}{E_2} = \frac{2m}{m} = \frac{2}{1}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,अनुपात $2:1$ है।

(D) $m$ द्रव्यमान और $p$ रैखिक संवेग वाले पिंड की गतिज ऊर्जा $E$ को इस संबंध द्वारा दर्शाया जाता है: $E = \frac{p^2}{2m}$.
चूंकि दोनों पिंडों के लिए रैखिक संवेग $p$ समान है,इसलिए $E \propto \frac{1}{m}$,जिसका अर्थ है $m \propto \frac{1}{E}$.
दिया गया है कि गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{4}{1}$ है।
अतः,उनके द्रव्यमान का अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{E_2}{E_1} = \frac{1}{4}$ होगा।
इस प्रकार,उनके द्रव्यमान का अनुपात $1:4$ है।

(A) गतिज ऊर्जा $E$ और संवेग $P$ के बीच का संबंध $P = \sqrt{2mE}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $m$ स्थिर है,इसलिए $P \propto \sqrt{E}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_1$ है और प्रारंभिक संवेग $P_1$ है। अतः $P_1 = \sqrt{2mE_1}$।
नई गतिज ऊर्जा $E_2 = 4E_1$ है और नया संवेग $P_2$ है।
अतः $P_2 = \sqrt{2mE_2} = \sqrt{2m(4E_1)} = 2\sqrt{2mE_1} = 2P_1$।
इसलिए,नया संवेग अपने प्रारंभिक मान का दोगुना हो जाएगा।

(C) संवेग $p$,द्रव्यमान $m$ और गतिज ऊर्जा $E$ के बीच का संबंध $p = \sqrt{2mE}$ है।
दो पिंडों के लिए,उनके संवेग का अनुपात $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2} \times \frac{E_1}{E_2}}$ होता है।
यहाँ $m_1 = 2m$,$m_2 = m$ और $\frac{E_1}{E_2} = \frac{8}{1}$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{2m}{m} \times \frac{8}{1}} = \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,उनके संवेग का अनुपात $4:1$ है।

(C) संवेग $P$ और गतिज ऊर्जा $E$ के बीच संबंध $P = \sqrt{2mE}$ द्वारा दिया जाता है।
यह मानते हुए कि द्रव्यमान $m$ स्थिर है,हमारे पास $P \propto \sqrt{E}$ है।
माना प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_1$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $E_2 = E_1 + 0.22E_1 = 1.22E_1$ है।
अंतिम संवेग $P_2$ और प्रारंभिक संवेग $P_1$ का अनुपात $\frac{P_2}{P_1} = \sqrt{\frac{E_2}{E_1}} = \sqrt{1.22} \approx 1.1$ है।
इस प्रकार,$P_2 = 1.1P_1 = (1 + 0.1)P_1 = P_1 + 0.1P_1$ है।
यह संवेग में $0.1 \times 100\% = 10\%$ की वृद्धि को दर्शाता है।

(A) गतिज ऊर्जा $E$ और संवेग $P$ के बीच का संबंध $E = \frac{P^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $m$ स्थिर है,इसलिए $E \propto P^2$ होगा।
मान लीजिए प्रारंभिक संवेग $P_1 = P$ है और अंतिम संवेग $P_2 = P + 0.20P = 1.2P$ है।
गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^2 = \left( \frac{1.2P}{P} \right)^2 = (1.2)^2 = 1.44$ होगा।
इसका अर्थ है कि $E_2 = 1.44 E_1$ है।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि $\frac{E_2 - E_1}{E_1} \times 100\% = (1.44 - 1) \times 100\% = 0.44 \times 100\% = 44\%$ है।
अतः,गतिज ऊर्जा में $44\%$ की वृद्धि होगी।

(A) गतिज ऊर्जा $(E)$,संवेग $(P)$ और द्रव्यमान $(m)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $E = \frac{P^2}{2m}$।
दिया गया है:
द्रव्यमान $(m)$ = $2 \ kg$
संवेग $(P)$ = $2 \ Ns$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E = \frac{(2)^2}{2 \times 2}$
$E = \frac{4}{4}$
$E = 1 \ J$।
अतः,गतिज ऊर्जा $1 \ J$ है।

(B) $m$ द्रव्यमान वाली वस्तु के लिए गतिज ऊर्जा $(E)$ और संवेग $(P)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$E = \frac{P^2}{2m}$
दिया गया है:
द्रव्यमान $(m)$ = $1 \, kg$
संवेग $(P)$ = $10 \, kg \cdot m/s$
सूत्र में मान रखने पर:
$E = \frac{(10)^2}{2 \times 1}$
$E = \frac{100}{2} = 50 \, J$
अतः,वस्तु की गतिज ऊर्जा $50 \, J$ है।

(C) माना आदमी का द्रव्यमान $M$ है और लड़के का द्रव्यमान $m$ है। दिया गया है $m = M/2$।
माना आदमी का प्रारंभिक वेग $V$ है और लड़के का वेग $v$ है।
आदमी की गतिज ऊर्जा $K_M = \frac{1}{2} M V^2$ है और लड़के की गतिज ऊर्जा $K_b = \frac{1}{2} m v^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,$K_M = \frac{1}{2} K_b$,इसलिए $\frac{1}{2} M V^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m v^2) = \frac{1}{4} m v^2$। $m = M/2$ रखने पर,$\frac{1}{2} M V^2 = \frac{1}{4} (M/2) v^2$,जो सरल होकर $V^2 = v^2/4$ या $v = 2V$ देता है।
जब आदमी अपनी गति $1 \, m/s$ बढ़ाता है,तो उसकी नई गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} M (V+1)^2$ होती है। यह लड़के की गतिज ऊर्जा $K_b = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} (M/2) (2V)^2 = M V^2$ के बराबर है।
अतः,$\frac{1}{2} M (V+1)^2 = M V^2$।
$M/2$ से भाग देने पर,$(V+1)^2 = 2V^2$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$V+1 = \sqrt{2} V$।
इसे हल करने पर $1 = V(\sqrt{2} - 1)$,अर्थात $V = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \, m/s$।

(D) संवेग $P$,द्रव्यमान $m$ और गतिज ऊर्जा $E$ के बीच का संबंध $P = \sqrt{2mE}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों पदार्थों की गतिज ऊर्जा $E$ समान है,इसलिए $P \propto \sqrt{m}$ होगा।
अतः,उनके संवेग का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ होगा।
यहाँ $m_1 = 4 \text{ g}$ और $m_2 = 9 \text{ g}$ दिया गया है,मान रखने पर:
$\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.
इस प्रकार,उनके संवेग का अनुपात $2:3$ है।

(D) $P$ संवेग और $m$ द्रव्यमान वाले पिंड की गतिज ऊर्जा $E = \frac{P^2}{2m}$ द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए प्रारंभिक संवेग $P_1 = P$ है और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_1 = \frac{P^2}{2m}$ है।
चूंकि संवेग में $100\%$ की वृद्धि हुई है,नया संवेग $P_2 = P + 100\% \text{ of } P = P + P = 2P$ होगा।
नई गतिज ऊर्जा $E_2 = \frac{P_2^2}{2m} = \frac{(2P)^2}{2m} = 4 \left( \frac{P^2}{2m} \right) = 4E_1$ होगी।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि $\frac{E_2 - E_1}{E_1} \times 100\%$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$\frac{4E_1 - E_1}{E_1} \times 100\% = \frac{3E_1}{E_1} \times 100\% = 300\%$ प्राप्त होता है।

(B) रैखिक संवेग $P$,द्रव्यमान $m$ और गतिज ऊर्जा $E$ के बीच का संबंध $P = \sqrt{2mE}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों द्रव्यमानों के लिए गतिज ऊर्जा $E$ समान है,इसलिए $P \propto \sqrt{m}$ होगा।
अतः,रैखिक संवेग का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ होगा।
दिया गया है कि $m_1 = 1\,kg$ और $m_2 = 16\,kg$,इसलिए $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$।
इस प्रकार,अनुपात $1:4$ है।

(B) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,कण पर लगाया गया आवेग उसके संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
आवेग $J = F \times t = \Delta P$।
चूंकि कण विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए इसका प्रारंभिक संवेग $P_i = 0$ है।
अतः,अंतिम संवेग $P_f = F \times t$ होगा।
कण की गतिज ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{P^2}{2m}$ है।
$P_f$ का मान रखने पर,हमें $E = \frac{(Ft)^2}{2m} = \frac{F^2 t^2}{2m}$ प्राप्त होता है।

(C) रैखिक संवेग $(p)$,द्रव्यमान $(m)$ और गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $p = \sqrt{2m(K.E.)}$।
चूंकि दोनों पिंडों के लिए गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ समान है,इसलिए $p \propto \sqrt{m}$ होगा।
अतः,उनके रैखिक संवेग का अनुपात $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ होगा।
दिया गया है कि $m_1 = m$ और $m_2 = 4m$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{m}{4m}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
इस प्रकार,अनुपात $1:2$ है।

(B) गतिज ऊर्जा $(E)$,संवेग $(P)$ और द्रव्यमान $(m)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $E = \frac{P^2}{2m}$।
दिया गया है:
द्रव्यमान $(m)$ = $3 \,kg$
संवेग $(P)$ = $2 \,N-s$
सूत्र में मान रखने पर:
$E = \frac{(2)^2}{2 \times 3}$
$E = \frac{4}{6}$
$E = \frac{2}{3} \,J$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) $P$ संवेग और $m$ द्रव्यमान वाले कण की गतिज ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{P^2}{2m}$ होता है।
चूंकि दोनों कणों का संवेग समान है $(P_1 = P_2 = P)$,इसलिए गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $E \propto \frac{1}{m}$.
दिया गया है कि $m_1 > m_2$,इसलिए पहले कण की गतिज ऊर्जा दूसरे कण की गतिज ऊर्जा से कम होगी।
अतः,$E_1 < E_2$।

(C) किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2}mv^2$ होता है।
चूंकि दोनों गेंदों को विराम अवस्था से गिराया जाता है और वे समान ऊंचाई $(h = 30\,ft)$ तय करती हैं,इसलिए गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2gh$ (जहां $u = 0$) के अनुसार उनका अंतिम वेग $(v)$ समान होगा।
चूंकि $v$ समान है,इसलिए गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के सीधे समानुपाती है $(KE \propto m)$।
अतः,उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{KE_1}{KE_2} = \frac{m_1}{m_2}$ होगा।
यहाँ $m_1 = 2\,kg$ और $m_2 = 4\,kg$ दिया गया है,इसलिए अनुपात $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ है।

(B) संवेग $P$ और द्रव्यमान $m$ वाले कण की गतिज ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{P^2}{2m}$ है।
चूंकि सभी कणों के लिए संवेग $P$ स्थिर है,इसलिए $E \propto \frac{1}{m}$ होगा।
इसका अर्थ है कि जिस कण का द्रव्यमान सबसे कम होगा,उसकी गतिज ऊर्जा अधिकतम होगी।
दिए गए कणों के द्रव्यमान की तुलना करने पर: $m_{\text{electron}} < m_{\text{proton}} < m_{\text{deuteron}} < m_{\alpha\text{-particle}}$.
अतः,इलेक्ट्रॉन सबसे हल्का कण होने के कारण अधिकतम गतिज ऊर्जा रखता है।

(C) मान लीजिए कि व्यक्ति की प्रारंभिक गति $v$ है और उसका द्रव्यमान $m$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$ ... $(i)$
जब गति में $2 \, m/s$ की वृद्धि होती है,तो नई गति $(v + 2) \, m/s$ हो जाती है।
नई गतिज ऊर्जा $2E = \frac{1}{2}m(v + 2)^2$ ... (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2E}{E} = \frac{\frac{1}{2}m(v + 2)^2}{\frac{1}{2}mv^2}$
$2 = \frac{(v + 2)^2}{v^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{2} = \frac{v + 2}{v}$
$v\sqrt{2} = v + 2$
$v(\sqrt{2} - 1) = 2$
$v = \frac{2}{\sqrt{2} - 1}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$v = \frac{2(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{2 - 1} = 2 + 2\sqrt{2} \, m/s$.

(A) ऊर्जा को कार्य करने की क्षमता के रूप में परिभाषित किया गया है। दिए गए विकल्पों में से, $\text{प्रकाश}$ विद्युत चुम्बकीय ऊर्जा का एक रूप है।
$\text{दाब}$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\text{संवेग}$ द्रव्यमान और वेग का गुणनफल है।
$\text{शक्ति}$ कार्य करने की दर है।
इसलिए, $\text{प्रकाश}$ सही उत्तर है।

(D) गतिज ऊर्जा $(K)$,संवेग $(P)$ और द्रव्यमान $(m)$ के बीच का संबंध $K = \frac{P^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गतिज ऊर्जा समान है $(K_1 = K_2)$,इसलिए $\frac{P_1^2}{2m_1} = \frac{P_2^2}{2m_2}$ होगा।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{P_1^2}{P_2^2} = \frac{m_1}{m_2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,संवेग का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ होगा।
यहाँ $m_1 = 1\, g$ और $m_2 = 9\, g$ दिया गया है,मान रखने पर:
$\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.
अतः,उनके संवेग का अनुपात $1:3$ है।

(B) गतिज ऊर्जा $E$ और संवेग $P$ के बीच का संबंध $E = \frac{P^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पिंड का द्रव्यमान $m$ स्थिर है,इसलिए $E \propto P^2$ होता है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें $\frac{dE}{E} = 2 \frac{dP}{P}$ प्राप्त होता है।
छोटे प्रतिशत परिवर्तनों के लिए,गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि,संवेग में प्रतिशत वृद्धि की लगभग दोगुनी होती है।
यह दिया गया है कि संवेग में प्रतिशत वृद्धि $0.01\%$ है,इसलिए गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि $2 \times 0.01\% = 0.02\%$ होगी।

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी वस्तु पर कुल बल द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि वस्तु स्थिर अवस्था से शुरू होती है,इसलिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है।
किया गया कार्य $W = F \times d$ है।
अतः,अंतिम गतिज ऊर्जा $K.E. = F \times d$ है।
चूंकि बल $F$ और दूरी $d$ नियत हैं,इसलिए प्राप्त गतिज ऊर्जा केवल बल और दूरी के गुणनफल पर निर्भर करती है।
यह वस्तु के द्रव्यमान $m$ पर निर्भर नहीं करती है।
इस प्रकार,गतिज ऊर्जा $m$ से स्वतंत्र है।

(A) मान लीजिए कि कण को $t = 0$ पर $u$ वेग से क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित किया जाता है। वेग का क्षैतिज घटक नियत रहता है, $v_x = u$। समय $t$ पर वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = gt$ है। कुल वेग $v$ को $v^2 = v_x^2 + v_y^2 = u^2 + (gt)^2$ द्वारा दिया जाता है। गतिज ऊर्जा $E$ को $E = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(u^2 + g^2t^2)$ द्वारा दिया जाता है। यह समीकरण $E = At^2 + B$ के रूप के परवलय को दर्शाता है, जहाँ $A = \frac{1}{2}mg^2$ और $B = \frac{1}{2}mu^2$ है। चूँकि $u > 0$, $t = 0$ पर प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_0 = \frac{1}{2}mu^2 > 0$ है। जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है, $E$ परवलयाकार रूप से बढ़ता है। अतः, सही ग्राफ विकल्प $A$ में दर्शाया गया है।

(C) गतिज ऊर्जा $E$ और संवेग $p$ के बीच का संबंध $E = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ कण का द्रव्यमान है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\sqrt{E} = \frac{p}{\sqrt{2m}}$ प्राप्त होता है।
इसे $\sqrt{E} = \frac{1}{\sqrt{2m}} \cdot p$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
हालाँकि,प्रश्न में $\sqrt{E}$ और $\frac{1}{p}$ के बीच का ग्राफ पूछा गया है।
$E = \frac{p^2}{2m}$ से,हमें $p = \sqrt{2mE}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{1}{p} = \frac{1}{\sqrt{2mE}} = \frac{1}{\sqrt{2m}} \cdot \frac{1}{\sqrt{E}}$.
इसका अर्थ है कि $\sqrt{E} = \frac{1}{\sqrt{2m}} \cdot \frac{1}{(1/p)}$.
मान लीजिए $y = \sqrt{E}$ और $x = \frac{1}{p}$ है। तो $y = \frac{k}{x}$,जहाँ $k = \frac{1}{\sqrt{2m}}$ एक स्थिरांक है।
यह एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) का समीकरण है। अतः,$\sqrt{E}$ और $\frac{1}{p}$ के बीच का ग्राफ एक अतिपरवलय है।

(A) $m$ द्रव्यमान वाली वस्तु की $v$ वेग के साथ गतिज ऊर्जा $E$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$E = \frac{1}{2}mv^2$
यह समीकरण दर्शाता है कि $E$ वेग के वर्ग के सीधे आनुपातिक है $(E \propto v^2)$।
यह संबंध एक परवलय (parabola) को दर्शाता है जो $E$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,जहाँ $v$ का मान धनात्मक या ऋणात्मक दिशा में बढ़ने पर $E$ बढ़ता है। इसलिए,सही ग्राफ ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है,जो विकल्प $A$ के अनुरूप है।

(C) गतिज ऊर्जा $(K)$, संवेग $(p)$ और द्रव्यमान $(m)$ के बीच का संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
इससे, संवेग को $p = \sqrt{2mK}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
यह दिया गया है कि गतिज ऊर्जा समान है $(K_1 = K_2 = K)$, इसलिए दोनों कणों के संवेग का अनुपात है:
$\frac{p_1}{p_2} = \frac{\sqrt{2m_1K}}{\sqrt{2m_2K}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$.
द्रव्यमान का अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{2}$ दिया गया है, इसलिए हम इसे समीकरण में रखते हैं:
$\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः, उनके संवेग का अनुपात $1 : \sqrt{2}$ है।

(C) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,जब पिंड प्रक्षेपण बिंदु पर वापस आता है,तो उसका वेग उसी वेग के बराबर होगा जिससे उसे ऊपर फेंका गया था।
चूंकि पिंड को $v = 2 \ m \ s^{-1}$ के वेग से ऊपर फेंका गया है,इसलिए यह जमीन पर उसी वेग $v = 2 \ m \ s^{-1}$ के साथ वापस आएगा।
गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
मान $m = 2 \ kg$ और $v = 2 \ m \ s^{-1}$ रखने पर:
$K = \frac{1}{2} \times 2 \times (2)^2 = 4 \ J$.

(C) मान लीजिए कि प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2$ है।
दिया गया है कि गतिज ऊर्जा में $19\%$ की कमी होती है,इसलिए $K_2 = K_1 - 0.19 K_1 = 0.81 K_1$.
हम जानते हैं कि गतिज ऊर्जा $(K)$ और संवेग $(p)$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है।
इसलिए,$\frac{K_2}{K_1} = \left( \frac{p_2}{p_1} \right)^2$.
मान रखने पर: $0.81 = \left( \frac{p_2}{p_1} \right)^2$.
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर: $\frac{p_2}{p_1} = \sqrt{0.81} = 0.9$.
इसका अर्थ है कि $p_2 = 0.9 p_1$.
संवेग में प्रतिशत कमी $\frac{p_1 - p_2}{p_1} \times 100\%$ द्वारा दी जाती है।
$= \frac{p_1 - 0.9 p_1}{p_1} \times 100\% = 0.1 \times 100\% = 10\%$.

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी वस्तु पर कुल बल द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K.E. = K.E._{final} - K.E._{initial}$
चूंकि वस्तु विराम अवस्था से गति शुरू करती है,इसलिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K.E._{initial} = 0$ है।
अतः,$K.E. = W = F \cdot d$,जहाँ $F$ नियत बल है और $d$ निश्चित दूरी है।
चूंकि $F$ और $d$ दोनों नियत हैं,इसलिए गतिज ऊर्जा $K.E.$ वस्तु के द्रव्यमान $m$ पर निर्भर नहीं करती है।

(C) दिया गया है कि बल $(F)$ गति $(v)$ के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए $F = \frac{k}{v}$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F = ma = m \frac{dv}{dt}$.
$F$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $m \frac{dv}{dt} = \frac{k}{v}$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$mv \, dv = k \, dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int mv \, dv = \int k \, dt$,जिससे $\frac{1}{2} mv^2 = kt + C$ प्राप्त होता है।
यह मानते हुए कि पिंड $t = 0$ पर विरामावस्था से शुरू होता है,स्थिरांक $C = 0$ है।
अतः,गतिज ऊर्जा $(KE = \frac{1}{2} mv^2) = kt$ है।
इसलिए,गतिज ऊर्जा समय के साथ रैखिक रूप से संबंधित है।

(B) गतिज ऊर्जा का सूत्र,$K = \frac{1}{2} mv^2$,चिरसम्मत यांत्रिकी (न्यूटनियन मैकेनिक्स) से प्राप्त किया गया है।
चिरसम्मत यांत्रिकी में,किसी वस्तु का द्रव्यमान $m$ स्थिर माना जाता है,जो उसके वेग से स्वतंत्र होता है।
हालाँकि,आइंस्टीन के विशेष सापेक्षता के सिद्धांत के अनुसार,जैसे-जैसे वस्तु का वेग $v$ प्रकाश की गति $c$ के करीब पहुंचता है,उसका सापेक्ष द्रव्यमान $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ सूत्र के अनुसार बढ़ता है।
इसलिए,चिरसम्मत सूत्र $K = \frac{1}{2} mv^2$ केवल तभी मान्य है जब वेग $v$ प्रकाश की गति से बहुत कम हो $(v \ll c)$,जिसका अर्थ है कि वेग प्रकाश की गति की तुलना में नगण्य है।

(C) $m$ द्रव्यमान और $p$ संवेग वाले पिंड की गतिज ऊर्जा $K$ को $K = \frac{p^2}{2m}$ सूत्र द्वारा दर्शाया जाता है।
इस सूत्र को संवेग के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें $p = \sqrt{2mK}$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों पिंडों के लिए गतिज ऊर्जा $K$ समान है,इसलिए $p \propto \sqrt{m}$ होगा।
अतः,उनके संवेग का अनुपात $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ होगा।
इस प्रकार,$p_1 : p_2 = \sqrt{m_1} : \sqrt{m_2}$ प्राप्त होता है।

(D) किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{P^2}{2M}$ होता है,जहाँ $P$ संवेग है और $M$ द्रव्यमान है।
यह दिया गया है कि दोनों वस्तुओं की गतिज ऊर्जा समान है,इसलिए $KE_1 = KE_2$ है।
इसका अर्थ है कि $\frac{P_1^2}{2M_1} = \frac{P_2^2}{2M_2}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{P_1^2}{P_2^2} = \frac{M_1}{M_2}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{M_1}{M_2}}$ हो जाता है।
चूंकि दूसरी वस्तु भारी है,इसलिए $M_2 > M_1$ है।
अतः,$\sqrt{\frac{M_2}{M_1}} > 1$,जिसका अर्थ है कि $P_2 > P_1$ है।
इस प्रकार,भारी वस्तु का संवेग हल्की वस्तु के संवेग से अधिक है,अर्थात $M_2 V_2 > M_1 V_1$।