Kinetic Energy Questions in Hindi

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,कण पर किया गया कार्य $(W)$ उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $(K)$ के बराबर होता है।
चूंकि कण विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है।
अतः,$W = K = \frac{1}{2}mv^2$.
यहाँ,$m$ कण का द्रव्यमान है,जो नियत है।
इस प्रकार,$W \propto v^2$.
यह संबंध $W$-अक्ष की दिशा में खुलने वाले एक परवलय (parabola) को दर्शाता है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $D$ में दिया गया ग्राफ एक परवलयाकार वक्र को दर्शाता है जहाँ $W$,$v$ के वर्ग के साथ बढ़ता है।

(B) $m$ द्रव्यमान वाले पिंड के लिए गतिज ऊर्जा $(K)$ और संवेग $(p)$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $p = \sqrt{2mK}$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों पिंडों की गतिज ऊर्जा $(K)$ समान है,इसलिए संवेग $(p)$ द्रव्यमान के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक है $(p \propto \sqrt{m})$।
चूंकि भारी पिंड का द्रव्यमान $(m)$ हल्के पिंड की तुलना में अधिक है,इसलिए इसका संवेग $(p)$ भी अधिक होगा।

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किसी वस्तु पर नेट बल द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
किया गया कार्य $(W)$ = बल $(F)$ $\times$ विस्थापन $(s)$.
दिया गया है: $F = 10 \ N$,$s = 1 \ m$.
$W = 10 \ N \times 1 \ m = 10 \ J$.
चूंकि वस्तु विरामावस्था से गति शुरू करती है,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन किए गए कार्य के बराबर होता है।
अतः,प्राप्त गतिज ऊर्जा = $10 \ J$.

(B) दिया गया है:
द्रव्यमान,$m = 3 \ kg$
संवेग,$p = 2 \ Ns$
गतिज ऊर्जा $(K)$ और संवेग $(p)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$K = \frac{p^2}{2m}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$K = \frac{(2)^2}{2 \times 3}$
$K = \frac{4}{6}$
$K = \frac{2}{3} \ J$
अतः,वस्तु की गतिज ऊर्जा $\frac{2}{3} \ J$ है.

(C) रैखिक संवेग $P$,द्रव्यमान $m$ और गतिज ऊर्जा $E$ के बीच का संबंध $P = \sqrt{2mE}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों वस्तुओं के लिए गतिज ऊर्जा $E$ समान है,इसलिए $P \propto \sqrt{m}$ होगा।
अतः,उनके संवेगों का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ होगा।
दिया गया है कि $m_1 = 1 \ g$ और $m_2 = 4 \ g$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
इस प्रकार,उनके रैखिक संवेगों का अनुपात $1 : 2$ है।

(A) गतिज ऊर्जा $(K)$ और संवेग $(p)$ के बीच का संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ वस्तु का द्रव्यमान है।
इससे,हम लिख सकते हैं $p = \sqrt{2mK}$।
मान लीजिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1$ है और प्रारंभिक संवेग $p_1 = \sqrt{2mK_1}$ है।
मान लीजिए नई गतिज ऊर्जा $K_2 = 4K_1$ है।
नया संवेग $p_2$ इस प्रकार प्राप्त होता है: $p_2 = \sqrt{2mK_2} = \sqrt{2m(4K_1)}$।
$p_2 = \sqrt{4} \times \sqrt{2mK_1} = 2 \times p_1$।
अतः,नया संवेग उसके प्रारंभिक मान का दोगुना होगा।

(D) औसत वेग $\bar{v} = \frac{d}{t}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $d = 100 \ m$ और $t = 10 \ s$ दिया गया है,इसलिए $\bar{v} = \frac{100}{10} = 10 \ m/s$ है।
यदि हम एथलीट के द्रव्यमान $(m)$ को $50 \ kg$ से $100 \ kg$ के बीच मानते हैं,तो गतिज ऊर्जा $(K = \frac{1}{2}mv^2)$ की गणना इस प्रकार होगी:
$m_1 = 50 \ kg$ के लिए: $K_1 = \frac{1}{2} \times 50 \times (10)^2 = 25 \times 100 = 2,500 \ J$।
$m_2 = 100 \ kg$ के लिए: $K_2 = \frac{1}{2} \times 100 \times (10)^2 = 50 \times 100 = 5,000 \ J$।
अतः,गतिज ऊर्जा की अनुमानित सीमा $2,000 \ J$ से $5,000 \ J$ है।

(C) मान लीजिए कि प्रारंभिक गति $u$ है और व्यक्ति का द्रव्यमान $m$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_1 = \frac{1}{2}mu^2$ है।
अंतिम गति $(u + 2) \ m/s$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $E_2 = \frac{1}{2}m(u + 2)^2$ है।
दिया गया है कि गतिज ऊर्जा दोगुनी हो जाती है, इसलिए $E_2 = 2E_1$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2}m(u + 2)^2 = 2 \times \frac{1}{2}mu^2$।
सरलीकरण करने पर: $(u + 2)^2 = 2u^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $u + 2 = \sqrt{2}u$।
$u$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sqrt{2}u - u = 2 \implies u(\sqrt{2} - 1) = 2$।
$u$ का मान ज्ञात करने पर: $u = \frac{2}{\sqrt{2} - 1}$।
हर का परिमेयकरण करने पर: $u = \frac{2(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{2(\sqrt{2} + 1)}{2 - 1} = 2\sqrt{2} + 2 \ m/s$।

(C) मान लीजिए कि वाहन की मूल गति $v$ है।
गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{1}{2}mv^2$ है।
जब गति $2 \ m/s$ बढ़ जाती है,तो नई गति $(v + 2) \ m/s$ हो जाती है।
नई गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{1}{2}m(v + 2)^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,$K_2 = 2K_1$ है।
इसलिए,$\frac{1}{2}m(v + 2)^2 = 2 \times (\frac{1}{2}mv^2)$।
$(v + 2)^2 = 2v^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $v + 2 = \sqrt{2}v$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2 = \sqrt{2}v - v = v(\sqrt{2} - 1)$।
$v = \frac{2}{\sqrt{2} - 1}$।
हर का परिमेयकरण करने पर: $v = \frac{2(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{2(\sqrt{2} + 1)}{2 - 1} = 2(\sqrt{2} + 1) \ m/s$।

(A) गतिज ऊर्जा $(KE)$ और संवेग $(p)$ के बीच का संबंध $KE = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $p = \sqrt{2m \cdot KE}$।
मान लीजिए कि प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_1 = KE$ है और प्रारंभिक संवेग $p_1 = \sqrt{2m \cdot KE}$ है।
गतिज ऊर्जा में $300\%$ की वृद्धि होती है,इसलिए नई गतिज ऊर्जा $KE_2 = KE + 300\% \text{ of } KE = KE + 3KE = 4KE$ होगी।
नया संवेग $p_2 = \sqrt{2m \cdot KE_2} = \sqrt{2m \cdot 4KE} = 2 \sqrt{2m \cdot KE} = 2p_1$ होगा।
संवेग में प्रतिशत वृद्धि $\frac{p_2 - p_1}{p_1} \times 100\%$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{2p_1 - p_1}{p_1} \times 100\% = \frac{p_1}{p_1} \times 100\% = 100\%$।

(C) गतिज ऊर्जा $E$ और संवेग $p$ के बीच का संबंध $E = \frac{p^2}{2m}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए प्रारंभिक संवेग $p_1 = p$ है और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_1 = \frac{p^2}{2m}$ है।
दिया गया है कि संवेग में $100\ \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए नया संवेग $p_2 = p + 100\% \text{ of } p = p + p = 2p$ होगा।
नई गतिज ऊर्जा $E_2 = \frac{p_2^2}{2m} = \frac{(2p)^2}{2m} = 4 \left( \frac{p^2}{2m} \right) = 4E_1$ होगी।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि $\frac{E_2 - E_1}{E_1} \times 100\ \%$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{4E_1 - E_1}{E_1} \times 100\ \% = \frac{3E_1}{E_1} \times 100\ \% = 300\ \%$।

(A) $p$ संवेग और $m$ द्रव्यमान वाले कण की गतिज ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{p^2}{2m}$ होता है।
चूँकि दोनों कणों के लिए संवेग $p$ समान है,इसलिए $E \propto \frac{1}{m}$ होगा।
दिया गया है कि $m_1 > m_2$,अतः गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होने के कारण $E_1 < E_2$ प्राप्त होता है।

(B) गतिज ऊर्जा $(E)$ और संवेग $(p)$ के बीच का संबंध $E = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $(m)$ स्थिर है,इसलिए $E \propto p^2$ होगा।
मान लीजिए प्रारंभिक संवेग $p_1 = 100$ है और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_1$ है।
यदि संवेग में $50\%$ की वृद्धि होती है,तो नया संवेग $p_2 = 100 + 50 = 150$ होगा।
नई गतिज ऊर्जा $E_2 = \frac{p_2^2}{2m}$ होगी।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि $\frac{E_2 - E_1}{E_1} \times 100$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{(150)^2 - (100)^2}{(100)^2} \times 100$.
$= \frac{22500 - 10000}{10000} \times 100 = \frac{12500}{10000} \times 100 = 125\%$.
अतः,गतिज ऊर्जा में $125\%$ की वृद्धि होगी।

(A) रैखिक संवेग $p$ और गतिज ऊर्जा $E$ के बीच संबंध $p = \sqrt{2mE}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $m$ स्थिर है,इसलिए $p \propto \sqrt{E}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_1 = E$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $E_2 = E + 300\% \text{ of } E = E + 3E = 4E$ होगी।
प्रारंभिक संवेग $p_1 = \sqrt{2mE}$ है।
अंतिम संवेग $p_2 = \sqrt{2m(4E)} = 2\sqrt{2mE} = 2p_1$ होगा।
संवेग में प्रतिशत वृद्धि $\frac{p_2 - p_1}{p_1} \times 100\%$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{2p_1 - p_1}{p_1} \times 100\% = \frac{p_1}{p_1} \times 100\% = 100\%$.

(D) अभिकेंद्र बल का सूत्र $F_c = \frac{mv^2}{r}$ होता है।
यहाँ $F_c = 10 \, N$ और $r = 20 \, cm = 0.2 \, m$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{mv^2}{0.2} = 10$।
इससे $mv^2 = 10 \times 0.2 = 2 \, J$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{1}{2}mv^2$ होता है।
$mv^2 = 2$ का मान रखने पर,$K = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \, J$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए आदमी का द्रव्यमान $M$ है और उसकी प्रारंभिक गति $V$ है। लड़के का द्रव्यमान $m = M/2$ है और उसकी गति $v$ है।
दिया गया है,आदमी की गतिज ऊर्जा लड़के की गतिज ऊर्जा की आधी है:
$\frac{1}{2} M V^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} m v^2 \right)$
$m = M/2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} M V^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{M}{2} \cdot v^2 \right) \implies V^2 = \frac{v^2}{4} \implies v = 2V$ ... $(i)$
जब आदमी अपनी गति में $1 \ m/s$ की वृद्धि करता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा लड़के की गतिज ऊर्जा के बराबर हो जाती है:
$\frac{1}{2} M (V + 1)^2 = \frac{1}{2} m v^2$
$\frac{1}{2} M (V + 1)^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{M}{2} \right) v^2$
$(V + 1)^2 = \frac{v^2}{2}$
वर्गमूल लेने पर: $V + 1 = \frac{v}{\sqrt{2}}$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ से $v = 2V$ को (ii) में रखने पर:
$V + 1 = \frac{2V}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} V$
$1 = V(\sqrt{2} - 1)$
$V = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \ m/s$.

(B) गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $p$ के बीच का संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $m$ स्थिर है,इसलिए $K \propto p^2$ होगा।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें $\frac{\Delta K}{K} = 2 \frac{\Delta p}{p}$ प्राप्त होता है।
संवेग में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta p}{p} \times 100 = 0.01\%$ दिया गया है।
अतः,गतिज ऊर्जा में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta K}{K} \times 100 = 2 \times (0.01\%) = 0.02\%$ होगा।

(C) गतिज ऊर्जा $E$ और संवेग $P$ के बीच का संबंध $E = \frac{P^2}{2m}$ है।
माना प्रारंभिक संवेग $P_1 = P$ है और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_1 = \frac{P^2}{2m}$ है।
चूंकि संवेग में $100 \% $ की वृद्धि होती है,नया संवेग $P_2 = P + 100 \% \text{ of } P = P + P = 2P$ होगा।
नई गतिज ऊर्जा $E_2 = \frac{P_2^2}{2m} = \frac{(2P)^2}{2m} = 4 \left( \frac{P^2}{2m} \right) = 4E_1$ होगी।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि $\frac{E_2 - E_1}{E_1} \times 100 \% $ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$\frac{4E_1 - E_1}{E_1} \times 100 \% = \frac{3E_1}{E_1} \times 100 \% = 300 \%$ प्राप्त होता है।

(C) संवेग $P$,द्रव्यमान $m$ और गतिज ऊर्जा $E$ के बीच का संबंध $P = \sqrt{2mE}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों वस्तुओं के लिए गतिज ऊर्जा $E$ समान है,इसलिए $P \propto \sqrt{m}$ होगा।
अतः,उनके संवेग का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ होगा।
दिया गया है कि $m_1 = 1 \ g$ और $m_2 = 9 \ g$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.
इस प्रकार,उनके संवेग का अनुपात $1 : 3$ है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 300 \ g = 0.3 \ kg$.
वेग सदिश $\vec{v} = (3\hat{i} + 4\hat{j}) \ m/s$.
वेग का परिमाण $v = |\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \ m/s$.
गतिज ऊर्जा का सूत्र $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
मान रखने पर: $K = \frac{1}{2} \times 0.3 \times (5)^2$.
$K = 0.15 \times 25 = 3.75 \ J$.

(C) संवेग $P$,द्रव्यमान $m$ और गतिज ऊर्जा $E$ के बीच का संबंध $P = \sqrt{2mE}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों वस्तुओं के लिए गतिज ऊर्जा $E$ समान है,इसलिए $P \propto \sqrt{m}$ होगा।
अतः,उनके संवेग का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ होगा।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(C) $m$ द्रव्यमान वाले पिंड की $v$ चाल के लिए गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{1}{2}mv^2$ होता है।
चूंकि द्रव्यमान $m$ नियत है,इसलिए $K \propto v^2$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $y = ax^2$ के रूप में है,जो एक परवलय को दर्शाता है।
अतः,चाल $v$ (x-अक्ष पर) और गतिज ऊर्जा $K$ (y-अक्ष पर) के बीच खींचा गया ग्राफ परवलयाकार होता है।

(B) संवेग $P$ और गतिज ऊर्जा $E$ के बीच संबंध $P = \sqrt{2mE}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $m$ स्थिर है,इसलिए $P \propto \sqrt{E}$ होता है।
यदि गतिज ऊर्जा में $36\%$ की कमी होती है,तो नई गतिज ऊर्जा $E_2$ प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_1$ का $100\% - 36\% = 64\%$ होगी।
अतः,$E_2 = 0.64 E_1$ है।
नए संवेग $P_2$ और प्रारंभिक संवेग $P_1$ का अनुपात $\frac{P_2}{P_1} = \sqrt{\frac{E_2}{E_1}} = \sqrt{0.64} = 0.8$ होगा।
इसका अर्थ है कि $P_2 = 0.8 P_1$,जो प्रारंभिक संवेग का $80\%$ है।
अतः संवेग में होने वाली कमी $100\% - 80\% = 20\%$ है।

(A) गतिज ऊर्जा $(K)$ और संवेग $(p)$ के बीच का संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ वस्तु का द्रव्यमान है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\ln K = \ln \left( \frac{p^2}{2m} \right)$
$\ln K = \ln(p^2) - \ln(2m)$
$\ln K = 2 \ln p - \ln(2m)$
$\ln K$ के पदों में $\ln p$ को व्यक्त करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$2 \ln p = \ln K + \ln(2m)$
$\ln p = \frac{1}{2} \ln K + \frac{1}{2} \ln(2m)$
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = \ln p$,$x = \ln K$,ढाल $m = \frac{1}{2}$ और अंतःखंड $c = \frac{1}{2} \ln(2m)$ है।
चूँकि ढाल धनात्मक और स्थिर है,इसलिए $\ln p$ बनाम $\ln K$ का ग्राफ एक सीधी रेखा है।

(C) किसी पिंड की गतिज ऊर्जा $(KE)$ और उसके संवेग $(p)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $KE = \frac{p^2}{2m}$,जहाँ $m$ पिंड का द्रव्यमान है।
मान लीजिए प्रारंभिक संवेग $p_1 = p$ है। तब प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_1 = \frac{p^2}{2m}$ होगी।
जब संवेग में $100\%$ की वृद्धि होती है,तो नया संवेग $p_2$ होगा:
$p_2 = p + 100\% \text{ of } p = p + p = 2p$.
नई गतिज ऊर्जा $KE_2$ इस प्रकार होगी:
$KE_2 = \frac{(2p)^2}{2m} = \frac{4p^2}{2m} = 4 \times KE_1$.
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
$\text{प्रतिशत वृद्धि} = \frac{KE_2 - KE_1}{KE_1} \times 100\%$
$= \frac{4 KE_1 - KE_1}{KE_1} \times 100\%$
$= \frac{3 KE_1}{KE_1} \times 100\% = 300\%$.

(A) एथलीट की औसत चाल $v = \frac{100 \ m}{10 \ s} = 10 \ m/s$ है।
गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ है।
मान लीजिए कि एक एथलीट का द्रव्यमान $(m)$ आमतौर पर $40 \ kg$ से $100 \ kg$ के बीच होता है:
$m = 40 \ kg$ के लिए: $K.E. = \frac{1}{2} \times 40 \times (10)^2 = 20 \times 100 = 2000 \ J$.
$m = 100 \ kg$ के लिए: $K.E. = \frac{1}{2} \times 100 \times (10)^2 = 50 \times 100 = 5000 \ J$.
अतः,गतिज ऊर्जा की सीमा $2000 \ J - 5000 \ J$ है।

(B) गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $P$ के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$K = \frac{P^2}{2m}$
दिए गए ग्राफ से,हम वक्र पर एक बिंदु की पहचान कर सकते हैं जहाँ गतिज ऊर्जा $K = 4$ और संवेग $P = 4$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$4 = \frac{4^2}{2m}$
$4 = \frac{16}{2m}$
$4 = \frac{8}{m}$
$m$ के लिए हल करने पर:
$m = \frac{8}{4} = 2 \ kg$
अतः,गतिमान कण का द्रव्यमान $2 \ kg$ है।

(D) $m$ द्रव्यमान वाली वस्तु के लिए गतिज ऊर्जा $E$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $E = \frac{p^2}{2m}$ है।
जब संवेग $p' = 2p$ हो जाता है,तो नई गतिज ऊर्जा $E'$ इस प्रकार होगी:
$E' = \frac{(p')^2}{2m} = \frac{(2p)^2}{2m} = \frac{4p^2}{2m}$.
$E = \frac{p^2}{2m}$ को $E'$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$E' = 4 \times \left( \frac{p^2}{2m} \right) = 4E$.
अतः,नई गतिज ऊर्जा $4E$ होगी।

(D) ग्राफ से,गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ समय $(t)$ के सीधे आनुपातिक है:
$K.E. = \frac{1}{2} m v^{2} = k t$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)
$v^{2} \propto t \Rightarrow v \propto \sqrt{t}$
माना $v = \alpha \sqrt{t}$,जहाँ $\alpha$ एक स्थिरांक है।
त्वरण $a$ वेग के परिवर्तन की दर है:
$a = \frac{d v}{d t} = \frac{d}{d t} (\alpha \sqrt{t}) = \frac{\alpha}{2 \sqrt{t}}$
पिंड पर कार्य करने वाला बल $F$ न्यूटन के गति के दूसरे नियम द्वारा दिया जाता है:
$F = m a = m \left( \frac{\alpha}{2 \sqrt{t}} \right)$
चूँकि $v = \alpha \sqrt{t}$,इसलिए $\sqrt{t} = \frac{v}{\alpha}$.
इस मान को बल के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$F = m \left( \frac{\alpha}{2 (v / \alpha)} \right) = \frac{m \alpha^{2}}{2 v}$
अतः,$F \propto \frac{1}{v}$.
इसलिए,बल वेग के व्युत्क्रमानुपाती है।

(D) $m$ द्रव्यमान और $p$ संवेग वाले पिंड की गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{p^2}{2m}$ होता है।
चूंकि दोनों पिंडों की गतिज ऊर्जा समान है,इसलिए $K_1 = K_2$ होगा।
अतः,$\frac{p_1^2}{2M_1} = \frac{p_2^2}{2M_2}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{p_1^2}{p_2^2} = \frac{M_1}{M_2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{M_1}{M_2}} = \sqrt{M_1} : \sqrt{M_2}$ प्राप्त होता है।

(C) गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है।
चूंकि द्रव्यमान $m$ स्थिर है,इसलिए $K \propto p^2$ होगा।
मान लीजिए प्रारंभिक संवेग $p_1 = p$ है,तो अंतिम संवेग $p_2 = p + 100\% \text{ of } p = 2p$ होगा।
गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_2}{K_1} = \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^2 = \left(\frac{2p}{p}\right)^2 = 4$ है।
अतः,$K_2 = 4K_1$ होगा।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि $\frac{K_2 - K_1}{K_1} \times 100\% = \frac{4K_1 - K_1}{K_1} \times 100\% = 300\%$ है।

(D) किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र है: $K.E. = \frac{1}{2} mv^2$।
सबसे पहले,द्रव्यमान को ग्राम से किलोग्राम में बदलें: $m = 120\, g = 0.12\, kg$।
इसके बाद,वेग सदिश का स्वयं के साथ अदिश गुणनफल करके वेग के वर्ग का मान $(v^2)$ ज्ञात करें: $v^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} = (2\hat{i} + 5\hat{j}) \cdot (2\hat{i} + 5\hat{j}) = (2^2 + 5^2) = 4 + 25 = 29\, m^2/s^2$।
अब,इन मानों को गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखें:
$K.E. = \frac{1}{2} \times 0.12\, kg \times 29\, m^2/s^2$
$K.E. = 0.06 \times 29 = 1.74\, J$।
अतः,गतिज ऊर्जा $1.74\, J$ है।

(A) $m$ द्रव्यमान और $p$ संवेग वाले कण की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र: $K.E. = \frac{p^2}{2m}$ होता है।
चूंकि दोनों कणों का संवेग समान $(p_1 = p_2 = p)$ है,इसलिए उनकी गतिज ऊर्जा का अनुपात होगा:
$\frac{K.E._1}{K.E._2} = \frac{p^2 / (2m_1)}{p^2 / (2m_2)} = \frac{m_2}{m_1}$।
दिए गए द्रव्यमान $m_1 = 1\,kg$ और $m_2 = 5\,kg$ का मान रखने पर:
$\frac{K.E._1}{K.E._2} = \frac{5}{1} = 5:1$ प्राप्त होता है।

(C) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में हुई हानि,गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है।
यह दिया गया है कि पिंड विरामावस्था से चलना शुरू करता है,इसलिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है।
मान लीजिए पिंड का द्रव्यमान $m$ है।
स्थितिज ऊर्जा में हुई हानि $U$ दी गई है।
गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि $\frac{1}{2}mv^2 - 0 = \frac{1}{2}mv^2$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $U = \frac{1}{2}mv^2$।
$m$ के लिए हल करने पर: $m = \frac{2U}{v^2}$।

(C) गतिज ऊर्जा $E$ और रैखिक संवेग $p$ के बीच संबंध $E = \frac{p^2}{2m}$ है।
प्रतिशत में छोटे परिवर्तनों के लिए,हम अवकलन विधि का उपयोग कर सकते हैं: $\frac{\Delta E}{E} = 2 \left( \frac{\Delta p}{p} \right)$.
यहाँ $\frac{\Delta p}{p} = 5\% = 0.05$ दिया गया है,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\frac{\Delta E}{E} = 2 \times 5\% = 10\%$ होगा।
सटीक सूत्र का उपयोग करने पर: $E' = \frac{(1.05p)^2}{2m} = 1.1025 E$.
प्रतिशत वृद्धि $(1.1025 - 1) \times 100 = 10.25\%$ है।

(C) गोली की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K_i)$ $K_i = \frac{1}{2} m v_i^2$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $m = 50.0 \; g = 0.050 \; kg$ और $v_i = 200 \; m s^{-1}$ दिया गया है।
$K_i = \frac{1}{2} \times 0.050 \times (200)^2 = 0.025 \times 40000 = 1000 \; J$.
गोली अपनी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा के $10 \%$ के साथ बाहर निकलती है,इसलिए अंतिम गतिज ऊर्जा $(K_f)$:
$K_f = 0.10 \times 1000 \; J = 100 \; J$.
मान लीजिए $v_f$ गोली की निर्गत गति है।
सूत्र $K_f = \frac{1}{2} m v_f^2$ का उपयोग करने पर:
$100 = \frac{1}{2} \times 0.050 \times v_f^2$.
$100 = 0.025 \times v_f^2$.
$v_f^2 = \frac{100}{0.025} = 4000$.
$v_f = \sqrt{4000} \approx 63.25 \; m s^{-1}$.
अतः,गोली की निर्गत गति लगभग $63.2 \; m s^{-1}$ है।

(N/A) स्कूल या अस्पताल जैसे क्षेत्रों में वाहन की गति को नियंत्रित करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण कारक $kinetic$ $energy$ (गतिज ऊर्जा) को कम करने के लिए $braking$ $force$ (ब्रेकिंग फोर्स) का अनुप्रयोग है। ब्रेक लगाने से,एक ऋणात्मक त्वरण (मंदन) उत्पन्न होता है,जो वाहन की गति का विरोध करता है। गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ के अनुसार,जहाँ $v$ अंतिम वेग है,$u$ प्रारंभिक वेग है,$a$ त्वरण है,और $s$ विस्थापन है,वेग $v$ को कम करने के लिए $a$ का मान ऋणात्मक होना आवश्यक है। यह सुनिश्चित करता है कि चालक आपात स्थिति में वाहन को कम दूरी में रोक सके,जिससे सुरक्षा बनी रहे।

(A) हाँ,मैं सहमत हूँ। किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{p^2}{2m}$ है,जहाँ $p$ संवेग है और $m$ वस्तु का द्रव्यमान है।
यदि $K = 0$ है,तो $\frac{p^2}{2m} = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $p^2 = 0$,और इसलिए $p = 0$ होगा।
चूंकि संवेग $p = mv$ होता है,यदि $p = 0$ और $m \neq 0$ है,तो वेग $v$ शून्य होना चाहिए।
अतः,जिस वस्तु में गतिज ऊर्जा नहीं है,वह स्थिर अवस्था में होनी चाहिए,और परिणामस्वरूप उसमें कोई संवेग नहीं होता है।

(A) $m$ द्रव्यमान वाले पिंड की गतिज ऊर्जा $(K)$ और रैखिक संवेग $(p)$ के बीच संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $K = \frac{p^2}{2m}$.
इस समीकरण से,हम संवेग को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: $p = \sqrt{2mK}$.
चूंकि द्रव्यमान $(m)$ स्थिर है,इसलिए संवेग $(p)$ गतिज ऊर्जा के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक है $(p \propto \sqrt{K})$।
अतः,यदि किसी पिंड की गतिज ऊर्जा $(K)$ बढ़ती है,तो उसका संवेग $(p)$ भी बढ़ेगा।

(N/A) किसी पिंड की ऊर्जा,उस पिंड की कार्य करने की क्षमता है।
पिंड के द्रव्यमान और उसके वेग के वर्ग के गुणनफल के आधे को पिंड की गतिज ऊर्जा $(K)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\therefore K = \frac{1}{2} mv^2$,जहाँ $m$ पिंड का द्रव्यमान है और $v$ पिंड का वेग या चाल है।
गतिज ऊर्जा का मात्रक कार्य के मात्रक के समान ही होता है। इसका $SI$ मात्रक जूल $(J)$ है और $CGS$ मात्रक अर्ग है। गतिज ऊर्जा का विमीय सूत्र $[M^1 L^2 T^{-2}]$ है।
गतिज ऊर्जा एक अदिश राशि है। यह उस कार्य के परिमाण को इंगित करती है जो एक पिंड अपनी गति के कारण कर सकता है।
गतिज ऊर्जा का उपयोग करके किए जाने वाले कार्यों के उदाहरण:
$1$. बहते हुए पानी की गतिज ऊर्जा का उपयोग अनाज पीसने के लिए किया जाता है।
$2$. पाल वाले जहाज हवा की गतिज ऊर्जा का उपयोग करते हैं।
$3$. पवन चक्कियों द्वारा हवा की गतिज ऊर्जा का उपयोग करके बिजली उत्पन्न की जाती है।

(A) गतिज ऊर्जा को किसी वस्तु द्वारा उसकी गति के कारण निहित ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह सूत्र $K = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $v$ वस्तु की चाल है।
चूंकि द्रव्यमान एक अदिश राशि है और चाल का वर्ग $(v^2)$ भी एक अदिश राशि है,इसलिए $\frac{1}{2}mv^2$ का गुणनफल एक अदिश राशि प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा के साथ कोई दिशा नहीं जुड़ी होती है; इसका केवल परिमाण होता है।
इसलिए,गतिज ऊर्जा एक अदिश राशि है।

(B) $m$ द्रव्यमान और $p$ संवेग वाली वस्तु की गतिज ऊर्जा $K$ को $K = \frac{p^2}{2m}$ संबंध द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों वस्तुओं के लिए संवेग $p$ समान है,इसलिए $K \propto \frac{1}{m}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि गतिज ऊर्जा वस्तु के द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
अतः,जिस वस्तु का द्रव्यमान कम होगा (हल्की वस्तु),उसकी गतिज ऊर्जा अधिक होगी।

(C) $m$ द्रव्यमान और $p$ संवेग वाली वस्तु की गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दी जाती है।
यदि संवेग को दोगुना कर दिया जाए,तो नया संवेग $p' = 2p$ होगा।
नई गतिज ऊर्जा $K' = \frac{(p')^2}{2m} = \frac{(2p)^2}{2m} = \frac{4p^2}{2m} = 4K$ होगी।
गतिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta K = K' - K = 4K - K = 3K$ है।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta K}{K} \times 100 = \frac{3K}{K} \times 100 = 300\%$ होगी।

(N/A) $m$ द्रव्यमान और $v$ वेग से गतिमान वस्तु की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
इस समीकरण को $m$ से गुणा और भाग करने पर:
$K = \frac{1}{2} \frac{m^2v^2}{m} = \frac{(mv)^2}{2m}$.
चूंकि संवेग $p = mv$ होता है,इसलिए इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$K = \frac{p^2}{2m}$.
$p$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$p^2 = 2mK$.
अतः,संवेग $p = \sqrt{2mK}$ है।

(A) गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{1}{2} m v^2$ है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $(m)$ = $2 \, g = 2 \times 10^{-3} \, kg$.
वेग $(v)$ = $500 \, m/s$.
सूत्र में मान रखने पर:
$K = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-3} \, kg) \times (500 \, m/s)^2$.
$K = 10^{-3} \times 250,000$.
$K = 250 \, J$.

(B) किसी निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$,गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $V$ के योग के बराबर होती है,अर्थात $E = K + V$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $K = E - V$ प्राप्त होता है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K$ हमेशा शून्य या शून्य से अधिक होनी चाहिए $(K \ge 0)$,इसलिए $E - V$ का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता है।
अतः,$E - V < 0$ स्थिति संभव नहीं है।

(B) किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{1}{2} mv^2$ होता है।
हम जानते हैं कि रैखिक संवेग $p = mv$,जिसका अर्थ है $m = \frac{p}{v}$।
गतिज ऊर्जा के सूत्र में $m$ का मान रखने पर:
$K = \frac{1}{2} (\frac{p}{v}) v^2$
$K = \frac{1}{2} pv$।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 0.5\, kg$,प्रारंभिक गति $u = 20\, ms^{-1}$।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} mu^2 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (20)^2 = 100\, J$।
विक्षेपण के बाद,अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f$,$K_i$ का $5\%$ है।
$K_f = \frac{5}{100} \times 100 = 5\, J$।
मान लीजिए अंतिम गति $v$ है। तब $K_f = \frac{1}{2} mv^2$।
$5 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times v^2$।
$5 = 0.25 \times v^2$।
$v^2 = \frac{5}{0.25} = 20$।
$v = \sqrt{20} \approx 4.47\, ms^{-1}$।

(B) $m$ द्रव्यमान और $P$ रैखिक संवेग वाले पिंड की गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{P^2}{2m}$ होता है।
चूंकि दोनों ठोस $A$ और $B$ का रैखिक संवेग समान है,इसलिए $P_A = P_B = P$ है।
अतः,गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $K \propto \frac{1}{m}$।
$A$ और $B$ की गतिज ऊर्जाओं का अनुपात लेने पर,$\frac{(K.E.)_A}{(K.E.)_B} = \frac{m_B}{m_A}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $m_A = 1\, kg$ और $m_B = 2\, kg$,इन मानों को रखने पर: $\frac{(K.E.)_A}{(K.E.)_B} = \frac{2}{1}$।
इस अनुपात की तुलना $\frac{A}{1}$ से करने पर,हमें $A = 2$ प्राप्त होता है।