Kinetic Energy Questions in Gujarati

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,કણ પર થતું કાર્ય $(W)$ તેની ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર $(K)$ જેટલું હોય છે.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરતો હોવાથી,પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $0$ છે.
તેથી,$W = K = \frac{1}{2}mv^2$.
અહીં,$m$ એ કણનું દળ છે,જે અચળ છે.
આમ,$W \propto v^2$.
આ સંબંધ $W$-અક્ષની દિશામાં ખુલતા પરવલય (parabola) ને દર્શાવે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $D$ માં આપેલો આલેખ પરવલયાકાર વક્ર દર્શાવે છે જ્યાં $W$ એ $v$ ના વર્ગ સાથે વધે છે.

(B) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થ માટે ગતિ ઊર્જા $(K)$ અને વેગમાન $(p)$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $p = \sqrt{2mK}$ મળે છે.
બંને પદાર્થોની ગતિ ઊર્જા $(K)$ સમાન હોવાથી,વેગમાન $(p)$ એ દળના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે $(p \propto \sqrt{m})$.
ભારે પદાર્થનું દળ $(m)$ હલકા પદાર્થ કરતા વધારે હોવાથી,તેનું વેગમાન $(p)$ પણ વધારે હશે.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર લાગતા પરિણામી બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય તેની ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
થયેલું કાર્ય $(W)$ = બળ $(F)$ $\times$ સ્થાનાંતર $(s)$.
આપેલ છે: $F = 10 \ N$,$s = 1 \ m$.
$W = 10 \ N \times 1 \ m = 10 \ J$.
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિની શરૂઆત કરે છે તેમ માનતા,ગતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ થયેલા કાર્ય જેટલો જ હોય છે.
તેથી,મેળવેલી ગતિ ઊર્જા = $10 \ J$.

(B) આપેલ છે:
દળ,$m = 3 \ kg$
વેગમાન,$p = 2 \ Ns$
ગતિઊર્જા $(K)$ અને વેગમાન $(p)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$K = \frac{p^2}{2m}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$K = \frac{(2)^2}{2 \times 3}$
$K = \frac{4}{6}$
$K = \frac{2}{3} \ J$
તેથી,પદાર્થની ગતિઊર્જા $\frac{2}{3} \ J$ છે.

(C) રેખીય વેગમાન $P$,દળ $m$ અને ગતિ ઊર્જા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $P = \sqrt{2mE}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બંને પદાર્થો માટે ગતિ ઊર્જા $E$ સમાન હોવાથી,$P \propto \sqrt{m}$ થાય.
તેથી,તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ થશે.
આપેલ છે કે $m_1 = 1 \ g$ અને $m_2 = 4 \ g$,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,તેમના રેખીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $1 : 2$ છે.

(A) ગતિ ઊર્જા $(K)$ અને વેગમાન $(p)$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ $p = \sqrt{2mK}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $K_1$ છે અને પ્રારંભિક વેગમાન $p_1 = \sqrt{2mK_1}$ છે.
ધારો કે નવી ગતિ ઊર્જા $K_2 = 4K_1$ છે.
નવું વેગમાન $p_2$ આ મુજબ મળે: $p_2 = \sqrt{2mK_2} = \sqrt{2m(4K_1)}$.
$p_2 = \sqrt{4} \times \sqrt{2mK_1} = 2 \times p_1$.
તેથી,નવું વેગમાન તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા બમણું થશે.

(D) સરેરાશ વેગ $\bar{v} = \frac{d}{t}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $d = 100 \ m$ અને $t = 10 \ s$ આપેલ છે,તેથી $\bar{v} = \frac{100}{10} = 10 \ m/s$.
ખેલાડીનું દળ $(m)$ $50 \ kg$ થી $100 \ kg$ ની વચ્ચે ધારીએ,તો ગતિઊર્જા $(K = \frac{1}{2}mv^2)$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય:
$m_1 = 50 \ kg$ માટે: $K_1 = \frac{1}{2} \times 50 \times (10)^2 = 25 \times 100 = 2,500 \ J$.
$m_2 = 100 \ kg$ માટે: $K_2 = \frac{1}{2} \times 100 \times (10)^2 = 50 \times 100 = 5,000 \ J$.
આમ,ગતિઊર્જાનો અંદાજિત વિસ્તાર $2,000 \ J$ થી $5,000 \ J$ છે.

(C) ધારો કે માણસની પ્રારંભિક ઝડપ $u$ છે અને તેનું દળ $m$ છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E_1 = \frac{1}{2}mu^2$ છે.
અંતિમ ઝડપ $(u + 2) \ m/s$ છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $E_2 = \frac{1}{2}m(u + 2)^2$ છે.
આપેલ છે કે ગતિઊર્જા બમણી થાય છે, તેથી $E_2 = 2E_1$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2}m(u + 2)^2 = 2 \times \frac{1}{2}mu^2$.
સાદુરૂપ આપતા: $(u + 2)^2 = 2u^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $u + 2 = \sqrt{2}u$.
$u$ માટે પદ ગોઠવતા: $\sqrt{2}u - u = 2 \implies u(\sqrt{2} - 1) = 2$.
$u$ ની કિંમત શોધતા: $u = \frac{2}{\sqrt{2} - 1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $u = \frac{2(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{2(\sqrt{2} + 1)}{2 - 1} = 2\sqrt{2} + 2 \ m/s$.

(C) ધારો કે વાહનની મૂળ ઝડપ $v$ છે.
ગતિ ઊર્જા $K_1 = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
જ્યારે ઝડપમાં $2 \ m/s$ નો વધારો થાય,ત્યારે નવી ઝડપ $(v + 2) \ m/s$ થાય છે.
નવી ગતિ ઊર્જા $K_2 = \frac{1}{2}m(v + 2)^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$K_2 = 2K_1$ છે.
તેથી,$\frac{1}{2}m(v + 2)^2 = 2 \times (\frac{1}{2}mv^2)$.
$(v + 2)^2 = 2v^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $v + 2 = \sqrt{2}v$.
પદોને ગોઠવતા: $2 = \sqrt{2}v - v = v(\sqrt{2} - 1)$.
$v = \frac{2}{\sqrt{2} - 1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $v = \frac{2(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{2(\sqrt{2} + 1)}{2 - 1} = 2(\sqrt{2} + 1) \ m/s$.

(A) ગતિ ઊર્જા $(KE)$ અને વેગમાન $(p)$ વચ્ચેનો સંબંધ $KE = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $p = \sqrt{2m \cdot KE}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $KE_1 = KE$ છે અને પ્રારંભિક વેગમાન $p_1 = \sqrt{2m \cdot KE}$ છે.
ગતિ ઊર્જામાં $300\%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવી ગતિ ઊર્જા $KE_2 = KE + 300\% \text{ of } KE = KE + 3KE = 4KE$ થશે.
નવું વેગમાન $p_2 = \sqrt{2m \cdot KE_2} = \sqrt{2m \cdot 4KE} = 2 \sqrt{2m \cdot KE} = 2p_1$ થશે.
વેગમાનમાં થતો પ્રતિશત વધારો $\frac{p_2 - p_1}{p_1} \times 100\%$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2p_1 - p_1}{p_1} \times 100\% = \frac{p_1}{p_1} \times 100\% = 100\%$.

(C) ગતિઊર્જા $E$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{p^2}{2m}$ સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગમાન $p_1 = p$ છે અને પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E_1 = \frac{p^2}{2m}$ છે.
આપેલ છે કે વેગમાનમાં $100\ \%$ વધારો થાય છે,તેથી નવું વેગમાન $p_2 = p + 100\% \text{ of } p = p + p = 2p$ થાય.
નવી ગતિઊર્જા $E_2 = \frac{p_2^2}{2m} = \frac{(2p)^2}{2m} = 4 \left( \frac{p^2}{2m} \right) = 4E_1$ થાય.
ગતિઊર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{E_2 - E_1}{E_1} \times 100\ \%$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{4E_1 - E_1}{E_1} \times 100\ \% = \frac{3E_1}{E_1} \times 100\ \% = 300\ \%$.

(A) $p$ વેગમાન અને $m$ દળ ધરાવતા કણની ગતિ ઊર્જા $E$ માટેનું સૂત્ર $E = \frac{p^2}{2m}$ છે.
અહીં બંને કણો માટે વેગમાન $p$ સમાન હોવાથી,$E \propto \frac{1}{m}$ થાય.
આપેલ છે કે $m_1 > m_2$,તેથી ગતિ ઊર્જા એ દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $E_1 < E_2$ મળે.

(B) ગતિઊર્જા $(E)$ અને વેગમાન $(p)$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ $(m)$ અચળ હોવાથી,$E \propto p^2$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગમાન $p_1 = 100$ છે અને પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E_1$ છે.
જો વેગમાનમાં $50\%$ નો વધારો થાય,તો નવું વેગમાન $p_2 = 100 + 50 = 150$ થાય.
નવી ગતિઊર્જા $E_2 = \frac{p_2^2}{2m}$ થશે.
ગતિઊર્જામાં ટકાવારી વધારો $\frac{E_2 - E_1}{E_1} \times 100$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{(150)^2 - (100)^2}{(100)^2} \times 100$.
$= \frac{22500 - 10000}{10000} \times 100 = \frac{12500}{10000} \times 100 = 125\%$.
આમ,ગતિઊર્જામાં $125\%$ નો વધારો થશે.

(A) રેખીય વેગમાન $p$ અને ગતિઊર્જા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $p = \sqrt{2mE}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ $m$ અચળ હોવાથી,$p \propto \sqrt{E}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E_1 = E$ છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $E_2 = E + 300\% \text{ of } E = E + 3E = 4E$ થશે.
પ્રારંભિક વેગમાન $p_1 = \sqrt{2mE}$ છે.
અંતિમ વેગમાન $p_2 = \sqrt{2m(4E)} = 2\sqrt{2mE} = 2p_1$ થશે.
વેગમાનમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{p_2 - p_1}{p_1} \times 100\%$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2p_1 - p_1}{p_1} \times 100\% = \frac{p_1}{p_1} \times 100\% = 100\%$.

(D) કેન્દ્રગામી બળનું સૂત્ર $F_c = \frac{mv^2}{r}$ છે.
અહીં $F_c = 10 \, N$ અને $r = 20 \, cm = 0.2 \, m$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{mv^2}{0.2} = 10$.
આથી $mv^2 = 10 \times 0.2 = 2 \, J$ મળે.
ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
$mv^2 = 2$ ની કિંમત મૂકતા,$K = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \, J$ મળે.

(C) ધારો કે માણસનું દળ $M$ છે અને તેની મૂળ ઝડપ $V$ છે. છોકરાનું દળ $m = M/2$ છે અને તેની ઝડપ $v$ છે.
આપેલ છે કે,માણસની ગતિઊર્જા છોકરાની ગતિઊર્જા કરતાં અડધી છે:
$\frac{1}{2} M V^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} m v^2 \right)$
$m = M/2$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} M V^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{M}{2} \cdot v^2 \right) \implies V^2 = \frac{v^2}{4} \implies v = 2V$ ... $(i)$
જ્યારે માણસ તેની ઝડપમાં $1 \ m/s$ નો વધારો કરે છે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા છોકરાની ગતિઊર્જા સમાન થાય છે:
$\frac{1}{2} M (V + 1)^2 = \frac{1}{2} m v^2$
$\frac{1}{2} M (V + 1)^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{M}{2} \right) v^2$
$(V + 1)^2 = \frac{v^2}{2}$
વર્ગમૂળ લેતા: $V + 1 = \frac{v}{\sqrt{2}}$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ માંથી $v = 2V$ ને (ii) માં મૂકતા:
$V + 1 = \frac{2V}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} V$
$1 = V(\sqrt{2} - 1)$
$V = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \ m/s$.

(B) ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
અહીં $m$ અચળ હોવાથી,$K \propto p^2$ થાય.
લઘુગણકીય વિકલન લેતા,આપણને $\frac{\Delta K}{K} = 2 \frac{\Delta p}{p}$ મળે છે.
વેગમાનમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta p}{p} \times 100 = 0.01\%$ આપેલ છે.
તેથી,ગતિઊર્જામાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta K}{K} \times 100 = 2 \times (0.01\%) = 0.02\%$ થાય.

(C) ગતિઊર્જા $E$ અને વેગમાન $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{P^2}{2m}$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગમાન $P_1 = P$ છે અને પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E_1 = \frac{P^2}{2m}$ છે.
વેગમાનમાં $100 \% $નો વધારો થતો હોવાથી,નવું વેગમાન $P_2 = P + 100 \% \text{ of } P = P + P = 2P$ થશે.
નવી ગતિઊર્જા $E_2 = \frac{P_2^2}{2m} = \frac{(2P)^2}{2m} = 4 \left( \frac{P^2}{2m} \right) = 4E_1$ થશે.
ગતિઊર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{E_2 - E_1}{E_1} \times 100 \% $ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{4E_1 - E_1}{E_1} \times 100 \% = \frac{3E_1}{E_1} \times 100 \% = 300 \%$ મળે છે.

(C) વેગમાન $P$,દળ $m$ અને ગતિઊર્જા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $P = \sqrt{2mE}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બંને પદાર્થો માટે ગતિઊર્જા $E$ સમાન હોવાથી,$P \propto \sqrt{m}$ થાય.
તેથી,તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ થશે.
આપેલ છે કે $m_1 = 1 \ g$ અને $m_2 = 9 \ g$,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.
આમ,તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર $1 : 3$ છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 300 \ g = 0.3 \ kg$.
વેગ સદિશ $\vec{v} = (3\hat{i} + 4\hat{j}) \ m/s$.
વેગનું મૂલ્ય $v = |\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \ m/s$.
ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $K = \frac{1}{2} \times 0.3 \times (5)^2$.
$K = 0.15 \times 25 = 3.75 \ J$.

(C) વેગમાન $P$,દળ $m$ અને ગતિઊર્જા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $P = \sqrt{2mE}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
અહીં બંને પદાર્થો માટે ગતિઊર્જા $E$ સમાન હોવાથી,$P \propto \sqrt{m}$ મળે છે.
તેથી,તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની $v$ ઝડપ માટે ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
અહીં દળ $m$ અચળ હોવાથી,$K \propto v^2$ મળે છે.
આ સમીકરણ $y = ax^2$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે પરવલય દર્શાવે છે.
તેથી,ઝડપ $v$ (x-અક્ષ પર) અને ગતિઊર્જા $K$ (y-અક્ષ પર) વચ્ચે દોરવામાં આવેલ આલેખ પરવલય આકારનો હોય છે.

(B) વેગમાન $P$ અને ગતિઊર્જા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $P = \sqrt{2mE}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $m$ અચળ હોવાથી,$P \propto \sqrt{E}$ થાય.
જો ગતિઊર્જામાં $36\%$ નો ઘટાડો થાય,તો નવી ગતિઊર્જા $E_2$ એ મૂળ ગતિઊર્જા $E_1$ ના $100\% - 36\% = 64\%$ થાય.
તેથી,$E_2 = 0.64 E_1$.
નવા વેગમાન $P_2$ અને મૂળ વેગમાન $P_1$ નો ગુણોત્તર $\frac{P_2}{P_1} = \sqrt{\frac{E_2}{E_1}} = \sqrt{0.64} = 0.8$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $P_2 = 0.8 P_1$,જે મૂળ વેગમાનના $80\%$ છે.
તેથી વેગમાનમાં થતો ઘટાડો $100\% - 80\% = 20\%$ છે.

(A) ગતિઊર્જા $(K)$ અને વેગમાન $(p)$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln K = \ln \left( \frac{p^2}{2m} \right)$
$\ln K = \ln(p^2) - \ln(2m)$
$\ln K = 2 \ln p - \ln(2m)$
$\ln K$ ના પદમાં $\ln p$ ને દર્શાવવા માટે પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$2 \ln p = \ln K + \ln(2m)$
$\ln p = \frac{1}{2} \ln K + \frac{1}{2} \ln(2m)$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = \ln p$,$x = \ln K$,ઢાળ $m = \frac{1}{2}$ અને અંતઃખંડ $c = \frac{1}{2} \ln(2m)$ છે.
જેથી ઢાળ ધન અને અચળ હોવાથી,$\ln p$ વિરુદ્ધ $\ln K$ નો આલેખ એક સીધી રેખા મળે છે.

(C) પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ અને તેના વેગમાન $(p)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $KE = \frac{p^2}{2m}$,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગમાન $p_1 = p$ છે. તેથી પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_1 = \frac{p^2}{2m}$ થશે.
જ્યારે વેગમાનમાં $100\%$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે નવું વેગમાન $p_2$ નીચે મુજબ મળે:
$p_2 = p + 100\% \text{ of } p = p + p = 2p$.
નવી ગતિઊર્જા $KE_2$ આ પ્રમાણે થશે:
$KE_2 = \frac{(2p)^2}{2m} = \frac{4p^2}{2m} = 4 \times KE_1$.
ગતિઊર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$\text{ટકાવારી વધારો} = \frac{KE_2 - KE_1}{KE_1} \times 100\%$
$= \frac{4 KE_1 - KE_1}{KE_1} \times 100\%$
$= \frac{3 KE_1}{KE_1} \times 100\% = 300\%$.

(A) એથ્લેટની સરેરાશ ઝડપ $v = \frac{100 \ m}{10 \ s} = 10 \ m/s$ છે.
ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ધારો કે એથ્લેટનું દળ $(m)$ સામાન્ય રીતે $40 \ kg$ થી $100 \ kg$ ની વચ્ચે હોય છે:
$m = 40 \ kg$ માટે: $K.E. = \frac{1}{2} \times 40 \times (10)^2 = 20 \times 100 = 2000 \ J$.
$m = 100 \ kg$ માટે: $K.E. = \frac{1}{2} \times 100 \times (10)^2 = 50 \times 100 = 5000 \ J$.
આમ,ગતિઊર્જાની રેન્જ $2000 \ J - 5000 \ J$ છે.

(B) ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $P$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$K = \frac{P^2}{2m}$
આપેલ આલેખ પરથી,આપણે વક્ર પર એક બિંદુ ઓળખી શકીએ છીએ જ્યાં ગતિઊર્જા $K = 4$ અને વેગમાન $P = 4$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$4 = \frac{4^2}{2m}$
$4 = \frac{16}{2m}$
$4 = \frac{8}{m}$
$m$ માટે ઉકેલતા:
$m = \frac{8}{4} = 2 \ kg$
તેથી,ગતિ કરતા કણનું દળ $2 \ kg$ છે.

(D) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થ માટે ગતિઊર્જા $E$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{p^2}{2m}$ છે.
જ્યારે વેગમાન $p' = 2p$ થાય,ત્યારે નવી ગતિઊર્જા $E'$ નીચે મુજબ મળે:
$E' = \frac{(p')^2}{2m} = \frac{(2p)^2}{2m} = \frac{4p^2}{2m}$.
$E = \frac{p^2}{2m}$ ને $E'$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$E' = 4 \times \left( \frac{p^2}{2m} \right) = 4E$.
તેથી,નવી ગતિઊર્જા $4E$ થશે.

(D) આલેખ પરથી,ગતિઊર્જા $(K.E.)$ એ સમય $(t)$ ના સમપ્રમાણમાં છે:
$K.E. = \frac{1}{2} m v^{2} = k t$ (જ્યાં $k$ અચળાંક છે)
$v^{2} \propto t \Rightarrow v \propto \sqrt{t}$
ધારો કે $v = \alpha \sqrt{t}$,જ્યાં $\alpha$ અચળાંક છે.
પ્રવેગ $a$ એ વેગમાં થતા ફેરફારનો દર છે:
$a = \frac{d v}{d t} = \frac{d}{d t} (\alpha \sqrt{t}) = \frac{\alpha}{2 \sqrt{t}}$
પદાર્થ પર લાગતું બળ $F$ ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = m a = m \left( \frac{\alpha}{2 \sqrt{t}} \right)$
કારણ કે $v = \alpha \sqrt{t}$,તેથી $\sqrt{t} = \frac{v}{\alpha}$.
આ કિંમતને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = m \left( \frac{\alpha}{2 (v / \alpha)} \right) = \frac{m \alpha^{2}}{2 v}$
આમ,$F \propto \frac{1}{v}$.
તેથી,બળ એ વેગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

(D) $m$ દળ અને $p$ વેગમાન ધરાવતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $K$ માટેનું સૂત્ર $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
અહીં બંને પદાર્થોની ગતિઊર્જા સમાન હોવાથી,$K_1 = K_2$ થાય.
તેથી,$\frac{p_1^2}{2M_1} = \frac{p_2^2}{2M_2}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{p_1^2}{p_2^2} = \frac{M_1}{M_2}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{M_1}{M_2}} = \sqrt{M_1} : \sqrt{M_2}$ મળે છે.

(C) ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
અહીં દળ $m$ અચળ હોવાથી,$K \propto p^2$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગમાન $p_1 = p$ છે,તો અંતિમ વેગમાન $p_2 = p + 100\% \text{ of } p = 2p$ થશે.
ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_2}{K_1} = \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^2 = \left(\frac{2p}{p}\right)^2 = 4$ મળે.
આમ,$K_2 = 4K_1$ થાય.
ગતિઊર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{K_2 - K_1}{K_1} \times 100\% = \frac{4K_1 - K_1}{K_1} \times 100\% = 300\%$ છે.

(D) પદાર્થની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ શોધવાનું સૂત્ર: $K.E. = \frac{1}{2} mv^2$ છે.
પ્રથમ,દળને ગ્રામમાંથી કિલોગ્રામમાં ફેરવો: $m = 120\, g = 0.12\, kg$.
ત્યારબાદ,વેગના સદિશનો તેની સાથે જ અદિશ ગુણાકાર કરીને વેગના વર્ગનું મૂલ્ય $(v^2)$ શોધો: $v^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} = (2\hat{i} + 5\hat{j}) \cdot (2\hat{i} + 5\hat{j}) = (2^2 + 5^2) = 4 + 25 = 29\, m^2/s^2$.
હવે,આ કિંમતોને ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકો:
$K.E. = \frac{1}{2} \times 0.12\, kg \times 29\, m^2/s^2$
$K.E. = 0.06 \times 29 = 1.74\, J$.
આમ,ગતિઊર્જા $1.74\, J$ છે.

(A) $m$ દળ અને $p$ વેગમાન ધરાવતા કણની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર: $K.E. = \frac{p^2}{2m}$ છે.
અહીં બંને કણોનું વેગમાન સમાન $(p_1 = p_2 = p)$ હોવાથી,તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{K.E._1}{K.E._2} = \frac{p^2 / (2m_1)}{p^2 / (2m_2)} = \frac{m_2}{m_1}$ થાય.
આપેલ દળ $m_1 = 1\,kg$ અને $m_2 = 5\,kg$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{K.E._1}{K.E._2} = \frac{5}{1} = 5:1$ મળે.

(C) યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ ગતિ ઊર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે.
આપેલ છે કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે,તેથી પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $0$ છે.
ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $U$ આપેલ છે.
ગતિ ઊર્જામાં થતો વધારો $\frac{1}{2}mv^2 - 0 = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $U = \frac{1}{2}mv^2$.
$m$ માટે ઉકેલતા: $m = \frac{2U}{v^2}$.

(C) ગતિઊર્જા $E$ અને રેખીય વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{p^2}{2m}$ છે.
નાના ટકાવારી ફેરફારો માટે,આપણે વિકલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ: $\frac{\Delta E}{E} = 2 \left( \frac{\Delta p}{p} \right)$.
અહીં $\frac{\Delta p}{p} = 5\% = 0.05$ આપેલ છે,તેથી ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\frac{\Delta E}{E} = 2 \times 5\% = 10\%$ થાય.
ચોક્કસ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $E' = \frac{(1.05p)^2}{2m} = 1.1025 E$.
ટકાવારી વધારો $(1.1025 - 1) \times 100 = 10.25\%$ છે.

(C) ગોળીની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(K_i)$ $K_i = \frac{1}{2} m v_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $m = 50.0 \; g = 0.050 \; kg$ અને $v_i = 200 \; m s^{-1}$ આપેલ છે.
$K_i = \frac{1}{2} \times 0.050 \times (200)^2 = 0.025 \times 40000 = 1000 \; J$.
ગોળી તેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જાના $10 \%$ સાથે બહાર આવે છે,તેથી અંતિમ ગતિઊર્જા $(K_f)$:
$K_f = 0.10 \times 1000 \; J = 100 \; J$.
ધારો કે $v_f$ એ ગોળીની બહાર નીકળતી વખતે ઝડપ છે.
સૂત્ર $K_f = \frac{1}{2} m v_f^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$100 = \frac{1}{2} \times 0.050 \times v_f^2$.
$100 = 0.025 \times v_f^2$.
$v_f^2 = \frac{100}{0.025} = 4000$.
$v_f = \sqrt{4000} \approx 63.25 \; m s^{-1}$.
આમ,ગોળીની બહાર નીકળતી વખતે ઝડપ આશરે $63.2 \; m s^{-1}$ છે.

(N/A) શાળા કે હોસ્પિટલ જેવા વિસ્તારોમાં વાહનની ગતિને નિયંત્રિત કરવા માટેનું સૌથી મહત્વનું પરિબળ $kinetic$ $energy$ (ગતિ ઊર્જા) ઘટાડવા માટે $braking$ $force$ (બ્રેકિંગ ફોર્સ) નો ઉપયોગ છે. બ્રેક લગાવવાથી,ઋણ પ્રવેગ (મંદન) ઉત્પન્ન થાય છે,જે વાહનની ગતિનો વિરોધ કરે છે. ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ મુજબ,જ્યાં $v$ એ અંતિમ વેગ છે,$u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$a$ એ પ્રવેગ છે અને $s$ એ સ્થાનાંતર છે,વેગ $v$ ઘટાડવા માટે $a$ નું મૂલ્ય ઋણ હોવું જરૂરી છે. આનાથી ડ્રાઈવર કટોકટીના સમયે ટૂંકા અંતરમાં વાહન ઉભું રાખી શકે છે,જે સુરક્ષા સુનિશ્ચિત કરે છે.

(A) હા,હું સહમત છું. પદાર્થની ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{p^2}{2m}$ છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે અને $m$ એ પદાર્થનું દળ છે.
જો $K = 0$ હોય,તો $\frac{p^2}{2m} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $p^2 = 0$,અને તેથી $p = 0$.
વેગમાન $p = mv$ હોવાથી,જો $p = 0$ અને $m \neq 0$ હોય,તો વેગ $v$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
આમ,જે પદાર્થ પાસે ગતિઊર્જા નથી તે સ્થિર અવસ્થામાં હોવો જોઈએ,અને પરિણામે તેની પાસે કોઈ વેગમાન હોતું નથી.

(A) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $(K)$ અને રેખીય વેગમાન $(p)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $K = \frac{p^2}{2m}$.
આ સમીકરણ પરથી,આપણે વેગમાનને આ રીતે દર્શાવી શકીએ: $p = \sqrt{2mK}$.
અહીં દળ $(m)$ અચળ હોવાથી,વેગમાન $(p)$ એ ગતિઊર્જાના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે $(p \propto \sqrt{K})$.
તેથી,જો પદાર્થની ગતિઊર્જા $(K)$ વધે,તો તેનું વેગમાન $(p)$ પણ વધશે.

(N/A) કોઈપણ પદાર્થની કાર્ય કરવાની ક્ષમતાને તે પદાર્થની ઊર્જા કહેવામાં આવે છે.
પદાર્થના દળ અને તેના વેગના વર્ગના ગુણાકારના અડધા મૂલ્યને પદાર્થની ગતિઊર્જા $(K)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\therefore K = \frac{1}{2} mv^2$,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે અને $v$ એ પદાર્થનો વેગ અથવા ઝડપ છે.
ગતિઊર્જાનો એકમ કાર્યના એકમ સમાન જ હોય છે. તેનો $SI$ એકમ જૂલ $(J)$ છે અને $CGS$ એકમ અર્ગ છે. ગતિઊર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^2 T^{-2}]$ છે.
ગતિઊર્જા એ અદિશ રાશિ છે. તે પદાર્થની ગતિને કારણે તે પદાર્થ દ્વારા થઈ શકતા કાર્યનું મૂલ્ય દર્શાવે છે.
ગતિઊર્જાનો ઉપયોગ કરીને થતા કાર્યોના ઉદાહરણો:
$1$. વહેતા પાણીની ગતિઊર્જાનો ઉપયોગ અનાજ દળવા માટે કરવામાં આવે છે.
$2$. વહાણો પવનની ગતિઊર્જાનો ઉપયોગ કરીને મુસાફરી કરે છે.
$3$. પવનચક્કી દ્વારા પવનની ગતિઊર્જાનો ઉપયોગ કરીને વીજળી ઉત્પન્ન કરવામાં આવે છે.

(A) ગતિઊર્જા એટલે પદાર્થની ગતિને કારણે તેમાં રહેલી ઊર્જા.
તેનું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $v$ એ પદાર્થની ઝડપ છે.
દળ એ અદિશ રાશિ છે અને ઝડપનો વર્ગ $(v^2)$ પણ અદિશ રાશિ છે,તેથી $\frac{1}{2}mv^2$ નો ગુણાકાર અદિશ રાશિ આપે છે.
ગતિઊર્જાને કોઈ દિશા હોતી નથી; તેને માત્ર મૂલ્ય હોય છે.
તેથી,ગતિઊર્જા એ અદિશ રાશિ છે.

(B) $m$ દળ અને $p$ વેગમાન ધરાવતા પદાર્થની ગતિ-ઊર્જા $K$ ને $K = \frac{p^2}{2m}$ સંબંધ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
બંને પદાર્થો માટે વેગમાન $p$ સમાન હોવાથી,$K \propto \frac{1}{m}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે ગતિ-ઊર્જા એ પદાર્થના દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,જે પદાર્થનું દળ ઓછું હશે (હલકો પદાર્થ),તેની ગતિ-ઊર્જા વધુ હશે.

(C) $m$ દળ અને $p$ વેગમાન ધરાવતા પદાર્થની ગતિ-ઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો વેગમાન બમણું કરવામાં આવે,તો નવું વેગમાન $p' = 2p$ થાય.
નવી ગતિ-ઊર્જા $K' = \frac{(p')^2}{2m} = \frac{(2p)^2}{2m} = \frac{4p^2}{2m} = 4K$ થાય.
ગતિ-ઊર્જામાં થયેલ વધારો $\Delta K = K' - K = 4K - K = 3K$ છે.
ગતિ-ઊર્જામાં થતો પ્રતિશત વધારો $\frac{\Delta K}{K} \times 100 = \frac{3K}{K} \times 100 = 300\%$ થાય.

(N/A) $m$ દળ ધરાવતા અને $v$ વેગથી ગતિ કરતા પદાર્થની ગતિ-ઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણને $m$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$K = \frac{1}{2} \frac{m^2v^2}{m} = \frac{(mv)^2}{2m}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વેગમાન $p = mv$ છે,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$K = \frac{p^2}{2m}$.
$p$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$p^2 = 2mK$.
આમ,વેગમાન $p = \sqrt{2mK}$ થાય છે.

(A) ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
આપેલ છે:
દળ $(m)$ = $2 \, g = 2 \times 10^{-3} \, kg$.
વેગ $(v)$ = $500 \, m/s$.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-3} \, kg) \times (500 \, m/s)^2$.
$K = 10^{-3} \times 250,000$.
$K = 250 \, J$.

(B) તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ એ ગતિઉર્જા $K$ અને સ્થિતિઉર્જા $V$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે,એટલે કે $E = K + V$.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $K = E - V$ મળે છે.
ગતિઉર્જા $K$ હંમેશા શૂન્ય અથવા શૂન્ય કરતા મોટી હોવી જોઈએ $(K \ge 0)$,તેથી $E - V$ ની કિંમત ઋણ હોઈ શકે નહીં.
તેથી,$E - V < 0$ સ્થિતિ શક્ય નથી.

(B) પદાર્થની ગતિ-ઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} mv^2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે રેખીય વેગમાન $p = mv$,જેનો અર્થ છે કે $m = \frac{p}{v}$.
ગતિ-ઊર્જાના સૂત્રમાં $m$ ની કિંમત મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} (\frac{p}{v}) v^2$
$K = \frac{1}{2} pv$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 0.5\, kg$,પ્રારંભિક ઝડપ $u = 20\, ms^{-1}$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} mu^2 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (20)^2 = 100\, J$.
વિચલન પછી,અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f$ એ $K_i$ ના $5\%$ છે.
$K_f = \frac{5}{100} \times 100 = 5\, J$.
ધારો કે અંતિમ ઝડપ $v$ છે. તો $K_f = \frac{1}{2} mv^2$.
$5 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times v^2$.
$5 = 0.25 \times v^2$.
$v^2 = \frac{5}{0.25} = 20$.
$v = \sqrt{20} \approx 4.47\, ms^{-1}$.

(B) $m$ દળ અને $P$ રેખીય વેગમાન ધરાવતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{P^2}{2m}$ છે.
અહીં બંને પદાર્થો $A$ અને $B$ સમાન રેખીય વેગમાન ધરાવે છે,તેથી $P_A = P_B = P$.
આથી,ગતિઊર્જા એ દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $K \propto \frac{1}{m}$.
$A$ અને $B$ ની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર લેતા,$\frac{(K.E.)_A}{(K.E.)_B} = \frac{m_B}{m_A}$ મળે.
આપેલ છે કે $m_A = 1\, kg$ અને $m_B = 2\, kg$,તેથી કિંમતો મૂકતા: $\frac{(K.E.)_A}{(K.E.)_B} = \frac{2}{1}$.
આ ગુણોત્તરને $\frac{A}{1}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = 2$ મળે છે.