Kinetic Energy Questions in Gujarati

(A) $m$ દળ અને $p$ રેખીય વેગમાન ધરાવતા કણની ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
બંને કણોની ગતિઊર્જા સમાન હોવાથી,$K_1 = K_2$ થાય.
સૂત્ર મૂકતા,$\frac{p_1^2}{2m_1} = \frac{p_2^2}{2m_2}$ મળે.
અહીં $m_1 = 4\, g$ અને $m_2 = 16\, g$ આપેલ છે,તેથી $\frac{p_1^2}{2 \times 4} = \frac{p_2^2}{2 \times 16}$ થાય.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{p_1^2}{4} = \frac{p_2^2}{16}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{p_1^2}{p_2^2} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{p_1}{p_2} = \frac{1}{2}$ મળે.
આપણને આપેલ છે કે તેમના રેખીય વેગમાનના મૂલ્યોનો ગુણોત્તર $n : 2$ છે,તેથી $\frac{p_1}{p_2} = \frac{n}{2}$.
$\frac{n}{2} = \frac{1}{2}$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $n = 1$ મળે છે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1$ છે અને અંતિમ ગતિઊર્જા $K_2 = 4K_1$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{P^2}{2m}$ હોવાથી,જ્યાં $P$ વેગમાન છે અને $m$ દળ છે,તેથી $P = \sqrt{2mK}$ મળે.
તેથી,અંતિમ વેગમાન $P_2$ અને પ્રારંભિક વેગમાન $P_1$ નો ગુણોત્તર $\frac{P_2}{P_1} = \sqrt{\frac{K_2}{K_1}} = \sqrt{\frac{4K_1}{K_1}} = \sqrt{4} = 2$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $P_2 = 2P_1$.
વેગમાનમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{P_2 - P_1}{P_1} \times 100$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{2P_1 - P_1}{P_1} \times 100 = \frac{P_1}{P_1} \times 100 = 100\%$ મળે છે.

(B) ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{P^2}{2m}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $P = \sqrt{2mK}$.
અહીં બંને પદાર્થોની ગતિઊર્જા સમાન છે $(K_1 = K_2 = K)$,તેથી તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{\sqrt{2m_1K}}{\sqrt{2m_2K}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$.
આપેલ દળ $m_1 = 8\,kg$ અને $m_2 = 2\,kg$ મૂકતા:
$\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ થશે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 200\,g = 0.2\,kg$,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = 90\,J$,$t = 1\,s$ સમયે અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = 40\,J$.
સંબંધ $K = \frac{1}{2}mv^2$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે વેગ શોધીએ છીએ:
પ્રારંભિક વેગ $u = \sqrt{\frac{2K_i}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 90}{0.2}} = \sqrt{900} = 30\,m/s$.
અંતિમ વેગ $v = \sqrt{\frac{2K_f}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 40}{0.2}} = \sqrt{400} = 20\,m/s$.
અચળ પ્રતિપ્રવેગ ધારતા,પ્રવેગ $a$:
$a = \frac{v - u}{t} = \frac{20 - 30}{1} = -10\,m/s^2$.
સ્થિર થવા માટે જરૂરી અંતર $s$ શોધવા માટે $(v_{final} = 0)$:
$v_{final}^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = (30)^2 + 2(-10)s$.
$20s = 900 \implies s = 45\,m$.

(C) ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{P^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગમાન $P$ છે અને પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = \frac{P^2}{2m}$ છે.
નવું વેગમાન $P'$ એ $20\%$ વધે છે,તેથી $P' = P + 0.20P = 1.2P$ થાય.
નવી ગતિઊર્જા $K'$ એ $K' = \frac{(P')^2}{2m} = \frac{(1.2P)^2}{2m} = 1.44 \times \frac{P^2}{2m} = 1.44K$ થાય.
ગતિઊર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{K' - K}{K} \times 100$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{1.44K - K}{K} \times 100 = 0.44 \times 100 = 44\%$ મળે છે.

(B) ગતિઊર્જા $(K)$ અને વેગમાન $(P)$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{P^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $P = \sqrt{2mK}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1$ છે અને અંતિમ ગતિઊર્જા $K_2 = K_1 + 0.44 K_1 = 1.44 K_1$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગમાન $P_1$ છે અને અંતિમ વેગમાન $P_2$ છે.
કારણ કે $P \propto \sqrt{K}$,તેથી $\frac{P_2}{P_1} = \sqrt{\frac{K_2}{K_1}} = \sqrt{1.44} = 1.2$.
તેથી,$P_2 = 1.2 P_1$.
વેગમાનમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{P_2 - P_1}{P_1} \times 100 = (1.2 - 1) \times 100 = 20 \%$ છે.

(C) $m$ દળ અને $P$ વેગમાન ધરાવતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $K$ ને $K = \frac{P^2}{2m}$ સંબંધ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
બંને પદાર્થોની ગતિઊર્જા સમાન હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$K_1 = K_2$
$\frac{P_1^2}{2m_1} = \frac{P_2^2}{2m_2}$
વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{P_1^2}{P_2^2} = \frac{m_1}{m_2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ અને તેના વેગમાન $(p)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $KE = \frac{p^2}{2m}$.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગમાન $p_i$ છે. તો પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_i = \frac{p_i^2}{2m}$ થશે.
વેગમાનમાં $50 \%$ નો વધારો થતા,અંતિમ વેગમાન $p_f = p_i + 0.50 p_i = 1.5 p_i$ થશે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $KE_f = \frac{p_f^2}{2m} = \frac{(1.5 p_i)^2}{2m} = \frac{2.25 p_i^2}{2m} = 2.25 KE_i$ થશે.
ગતિઊર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{KE_f - KE_i}{KE_i} \times 100$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2.25 KE_i - KE_i}{KE_i} \times 100 = 1.25 \times 100 = 125 \%$.

(C) પદાર્થની ગતિઊર્જા $K$ અને તેના રેખીય વેગમાન $P$ તથા દળ $m$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{P^2}{2m}$ છે.
અહીં બંને પદાર્થોની ગતિઊર્જા સમાન હોવાથી, $K_1 = K_2$ થાય.
તેથી, $\frac{P_1^2}{2m_1} = \frac{P_2^2}{2m_2}$.
વેગમાનના ગુણોત્તર માટે પદોને ગોઠવતા, $\frac{P_1^2}{P_2^2} = \frac{m_1}{m_2}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા, $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$.
આપેલ દળ $m_1 = 4 \,g$ અને $m_2 = 25 \,g$ ની કિંમતો મૂકતા, $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}$ મળે.
આમ, તેમના રેખીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $2: 5$ છે.

(D) પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_{i} = \frac{1}{2} m v_{i}^2 = \frac{1}{2} m (100)^2 = 5000 m \ J$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_{f} = \frac{1}{2} m v_{f}^2 = \frac{1}{2} m (40)^2 = 800 m \ J$.
ગતિઊર્જામાં થતો ટકાવારી ઘટાડો $= \frac{K_{i} - K_{f}}{K_{i}} \times 100$.
$= \frac{5000 m - 800 m}{5000 m} \times 100$.
$= \frac{4200}{5000} \times 100 = 84 \%$.

(C) કણની ગતિઊર્જા $KE$ અને તેના વેગમાન $p$ તથા દળ $m$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $KE = \frac{p^2}{2m}$.
અહીં ચારેય કણોનું વેગમાન $p$ સમાન હોવાથી,ગતિઊર્જા એ દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(KE \propto \frac{1}{m})$.
તેથી,જે કણનું દળ સૌથી ઓછું હશે તેની ગતિઊર્જા મહત્તમ હશે.
દળની સરખામણી કરતા: $\frac{m}{2} < m < 2m < 4m$.
કણ $A$ નું દળ સૌથી ઓછું $\frac{m}{2}$ છે.
આમ,કણ $A$ મહત્તમ ગતિઊર્જા ધરાવે છે.

(A) ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{P^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ $P = \sqrt{2mK}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i$ છે અને અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = 36 K_i$ છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_i = \sqrt{2mK_i}$ છે અને અંતિમ વેગમાન $P_f = \sqrt{2mK_f} = \sqrt{2m(36K_i)} = 6\sqrt{2mK_i} = 6P_i$ છે.
વેગમાનમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{P_f - P_i}{P_i} \times 100 \%$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{6P_i - P_i}{P_i} \times 100 \% = \frac{5P_i}{P_i} \times 100 \% = 500 \%$.

(A) પદાર્થની ગતિઊર્જા $KE$ અને તેના રેખીય વેગમાન $P$ તથા દળ $m$ વચ્ચેનો સંબંધ $KE = \frac{P^2}{2m}$ છે.
ગતિઊર્જા સમાન હોવાથી, $P^2 = 2m(KE)$, જેનો અર્થ છે કે $P = \sqrt{2m(KE)}$.
અહીં $2$ અને $KE$ અચળ હોવાથી, રેખીય વેગમાન એ દળના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે: $P \propto \sqrt{m}$.
આપેલ દળ $m_A = 400 \,g = 0.4 \,kg$, $m_B = 1.2 \,kg$ અને $m_C = 1.6 \,kg$ છે.
તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર $P_A : P_B : P_C = \sqrt{m_A} : \sqrt{m_B} : \sqrt{m_C}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $P_A : P_B : P_C = \sqrt{0.4} : \sqrt{1.2} : \sqrt{1.6}$.
સરળ બનાવવા માટે $\sqrt{10}$ વડે ગુણતા: $\sqrt{4} : \sqrt{12} : \sqrt{16} = 2 : 2\sqrt{3} : 4$.
$2$ વડે ભાગતા, આપણને $1 : \sqrt{3} : 2$ મળે છે.

(B) ધારો કે દડા દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ,અંતિમ વેગ $0$ છે. ગતિના સમીકરણ $v_f^2 = v_i^2 - 2gH$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $0 = v^2 - 2gH$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $H = \frac{v^2}{2g}$.
અડધી ઊંચાઈએ,$h = \frac{H}{2} = \frac{v^2}{4g}$.
સમીકરણ $v'^2 = v^2 - 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા,ઊંચાઈ $h$ પર વેગ $v'$ એ $v'^2 = v^2 - 2g(\frac{v^2}{4g}) = v^2 - \frac{v^2}{2} = \frac{v^2}{2}$ છે.
આમ,$v' = \frac{v}{\sqrt{2}}$.
આ બિંદુએ ગતિઊર્જા $E'$ એ $E' = \frac{1}{2}mv'^2 = \frac{1}{2}m(\frac{v^2}{2}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mv^2) = \frac{E}{2}$ છે.

(C) ગતિઊર્જા $(K)$ અને વેગમાન $(P)$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{P^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. $K$ અને $P$ વચ્ચેના આલેખ માટે,સમીકરણ $K = \frac{1}{2m} P^2$ છે. આ $y = ax^2$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે ઉપરની તરફ ખુલતા પરવલયને દર્શાવે છે. આમ,આલેખ $(A)$ સાચો છે.
$2$. $K$ અને $P^2$ વચ્ચેના આલેખ માટે,ધારો કે $X = P^2$. તો સમીકરણ $K = \frac{1}{2m} X$ બને છે. આ $y = mx$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે. આમ,આલેખ $(C)$ સાચો છે.
તેથી,આલેખ $(A)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(A) પદાર્થની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ અને તેના વેગમાન $(p)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $K.E. = \frac{p^2}{2m}$.
જ્યારે વેગમાનમાં $20 \%$ નો વધારો થાય,ત્યારે નવું વેગમાન $p'$ નીચે મુજબ મળે:
$p' = p + 0.20p = 1.2p$.
નવી ગતિઊર્જા $(K.E.')$ આ મુજબ થશે:
$K.E.' = \frac{(p')^2}{2m} = \frac{(1.2p)^2}{2m} = \frac{1.44p^2}{2m}$.
આમ,$K.E. = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$K.E.' = 1.44 \times K.E$.
ગતિઊર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$\Delta K.E. \% = \frac{K.E.' - K.E.}{K.E.} \times 100 \%$
$= \frac{1.44 K.E. - K.E.}{K.E.} \times 100 \%$
$= 0.44 \times 100 \% = 44 \%$.

(D) પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{p^2}{2m}$ છે,જ્યાં $p = mv$ એ વેગમાન છે.
બંને પદાર્થોની ગતિઊર્જા સમાન હોવાથી,$KE_1 = KE_2$.
તેથી,$\frac{p_1^2}{2M_1} = \frac{p_2^2}{2M_2}$.
આના પરથી $\frac{p_1^2}{p_2^2} = \frac{M_1}{M_2}$,અથવા $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{M_1}{M_2}}$ મળે.
અહીં $M_2$ દળ ધરાવતો પદાર્થ ભારે હોવાથી,$M_2 > M_1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{M_1}{M_2} < 1$.
પરિણામે,$\frac{p_1}{p_2} < 1$,જે સૂચવે છે કે $p_1 < p_2$.
$p = mv$ હોવાથી,$M_1 V_1 < M_2 V_2$ અથવા $M_2 V_2 > M_1 V_1$ થાય.

(B) ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે.
આ સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $p = \sqrt{2mK}$ મળે છે.
કારણ કે બંને પદાર્થો માટે ગતિઊર્જા $K$ સમાન છે,તેથી વેગમાન $p$ એ દળના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $p \propto \sqrt{m}$.
તેથી,જે પદાર્થનું દળ વધારે હશે તેનું વેગમાન પણ વધારે હશે.
આમ,ભારે પદાર્થનું વેગમાન વધારે હોય છે.

(B) ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
વેગમાન માટે આ સૂત્રને ગોઠવતા,આપણને $p^2 = 2mK$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $p = \sqrt{2mK}$.
તમામ ત્રણ પદાર્થોની ગતિઊર્જા સમાન હોવાથી ($K$ અચળ છે),વેગમાન એ દળના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે: $p \propto \sqrt{m}$.
દળની સરખામણી કરતા: $m_P = m$,$m_Q = 2m$,અને $m_R = 3m$.
અહીં $m_R > m_Q > m_P$ હોવાથી,$p_R > p_Q > p_P$ થશે.
તેથી,સૌથી વધુ દળ ધરાવતો પદાર્થ $R$ સૌથી વધુ વેગમાન ધરાવશે.

(D) આપેલ છે કે પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $a = \frac{F}{m}$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$t$ સમયે વેગ $v = u + at = 0 + \left(\frac{F}{m}\right)t = \frac{Ft}{m}$.
ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}mv^{2}$ છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $K = \frac{1}{2}m\left(\frac{Ft}{m}\right)^{2}$.
$K = \frac{1}{2}m \frac{F^{2}t^{2}}{m^{2}} = \frac{F^{2}t^{2}}{2m}$.

(B) સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
ખ્યાલ: $\text{કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, પદાર્થ પર લાગતા તમામ બળો દ્વારા કરવામાં આવેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જા } (K.E.) \text{ માં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.}$
આપેલ છે: દળ $m = 5 \,kg$, પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \,m/s$, અંતિમ વેગ $v = 20 \,m/s$.
કરેલું કાર્ય $W = \Delta K.E. = K.E._{final} - K.E._{initial}$.
$W = \frac{1}{2} mv^2 - \frac{1}{2} mu^2$.
$W = \frac{1}{2} \times 5 \times (20)^2 - 0$.
$W = \frac{1}{2} \times 5 \times 400 = 5 \times 200 = 1000 \,J = 10^3 \,J$.

(A) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $K$ અને રેખીય વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $K = \frac{p^2}{2m}$.
આના પરથી,વેગમાનને આ રીતે દર્શાવી શકાય: $p = \sqrt{2mK}$.
અહીં બંને દળ માટે ગતિઊર્જા સમાન $(K_1 = K_2 = K)$ હોવાથી,તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર:
$\frac{p_1}{p_2} = \frac{\sqrt{2m_1K}}{\sqrt{2m_2K}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$.
આપેલ દળ $m_1 = 4 \,kg$ અને $m_2 = 1 \,kg$ મૂકતા:
$\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{4}{1}} = \frac{2}{1}$.
આમ,તેમના રેખીય વેગમાનના મૂલ્યનો ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(A) $m$ દળ અને $p$ વેગમાન ધરાવતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $K$ માટેનું સૂત્ર $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
અહીં બંને દળની ગતિઊર્જા સમાન હોવાથી,$K_1 = K_2$ થાય.
ગતિઊર્જાનું સૂત્ર મૂકતા,$\frac{p_1^2}{2m_1} = \frac{p_2^2}{2m_2}$ મળે.
વેગમાનના ગુણોત્તર માટે પદોને ગોઠવતા,$\frac{p_1^2}{p_2^2} = \frac{m_1}{m_2}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ થાય.
અહીં $m_1 = 1 \ g$ અને $m_2 = 4 \ g$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર $1: 2$ છે.

(C) આપેલ છે કે,$m_{1}$ અને $m_{2}$ દળ ધરાવતા બે કણોની ગતિઊર્જા $(K)$ સમાન છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગતિઊર્જા અને વેગમાન $(p)$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^{2}}{2m}$ છે.
અહીં $K_{1} = K_{2}$ હોવાથી,$\frac{p_{1}^{2}}{2m_{1}} = \frac{p_{2}^{2}}{2m_{2}}$ થાય.
વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{p_{1}}{p_{2}}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા,$\frac{p_{1}^{2}}{p_{2}^{2}} = \frac{m_{1}}{m_{2}}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{p_{1}}{p_{2}} = \sqrt{\frac{m_{1}}{m_{2}}} = \frac{\sqrt{m_{1}}}{\sqrt{m_{2}}}$ મળે.
તેથી,તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર $\sqrt{m_{1}}: \sqrt{m_{2}}$ છે.

(B) પદાર્થની ગતિઊર્જા $K$ અને તેના રેખીય વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે.
દળ $m$ અચળ રહેતું હોવાથી,$K \propto p^2$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગમાન $p_1 = p$ છે અને અંતિમ વેગમાન $p_2 = p + 0.50p = 1.5p$ છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_2$ અને પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{K_2}{K_1} = \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^2 = \left(\frac{1.5p}{p}\right)^2 = (1.5)^2 = 2.25$.
ગતિઊર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો શોધવા માટે:
$\text{ટકાવારી વધારો} = \left(\frac{K_2}{K_1} - 1\right) \times 100 \%$.
કિંમત મૂકતા: $(2.25 - 1) \times 100 \% = 1.25 \times 100 \% = 125 \%$.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 4 \,kg$, વેગમાન $p = 6 \,Ns$.
ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
આ સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$K = \frac{6^2}{2 \times 4} = \frac{36}{8} = 4.5 \,J$.
તેથી, પદાર્થની ગતિઊર્જા $4.5 \,J$ છે.

(B) વેગમાન $P$ અને દળ $m$ ધરાવતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{P^2}{2m}$ છે.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થોની ગતિઊર્જા સમાન છે,તેથી $K_H = K_L$.
સૂત્ર મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{P_H^2}{2 m_H} = \frac{P_L^2}{2 m_L}$.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{P_H^2}{P_L^2} = \frac{m_H}{m_L}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{P_H}{P_L} = \sqrt{\frac{m_H}{m_L}}$.
કારણ કે પદાર્થ ભારે છે,$m_H > m_L$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{m_H}{m_L} > 1$.
તેથી,$\frac{P_H}{P_L} > 1$,જે સાબિત કરે છે કે $P_H > P_L$.

(B) ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે અને પદાર્થનો વેગ $v$ છે,જેથી તેનું વેગમાન $p$ અને ગતિઊર્જા $E$ છે.
વેગમાન $p = mv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $p^2 = m^2 v^2$ મળે છે.
ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2} mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે તેને $E = \frac{m^2 v^2}{2m} = \frac{p^2}{2m}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
આપેલ પદાર્થ માટે $m$ અચળ હોવાથી,આપણી પાસે $E \propto p^2$ છે.
આ સમીકરણ $y = kx^2$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે પરવલય દર્શાવે છે.
તેથી,પદાર્થના વેગમાન અને ગતિઊર્જા વચ્ચેના આલેખનો પ્રકાર પરવલય છે.

(A) ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $p = \sqrt{2mK}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = K$ છે અને અંતિમ ગતિઊર્જા $K_2 = 4K$ છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $p_1 = \sqrt{2mK_1} = \sqrt{2mK}$ છે.
અંતિમ વેગમાન $p_2 = \sqrt{2mK_2} = \sqrt{2m(4K)} = 2\sqrt{2mK}$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $p_2 = 2p_1$ મળે છે.
તેથી,વેગમાન $2$ ગણું વધશે.

(C) $m$ દળ અને $p$ વેગમાન ધરાવતી વસ્તુની ગતિઊર્જા $K$ એ $K = \frac{p^2}{2m}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ગતિઊર્જા સમાન છે,તેથી $K_1 = K_2$.
તેથી,$\frac{p_1^2}{2m_1} = \frac{p_2^2}{2m_2}$.
વેગમાનનો ગુણોત્તર શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{p_1^2}{p_2^2} = \frac{m_1}{m_2}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} = \frac{\sqrt{m_1}}{\sqrt{m_2}}$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $p_1: p_2$ એ $\sqrt{m_1}: \sqrt{m_2}$ છે.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $v$ છે।
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$.
જ્યારે વેગમાં $1 \,m/s$ નો વધારો થાય, ત્યારે નવો વેગ $v' = v + 1$ થાય છે।
નવી ગતિઊર્જા $E' = \frac{1}{2}m(v+1)^2$.
પ્રશ્ન મુજબ, ગતિઊર્જા બમણી થાય છે, તેથી $E' = 2E$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2}m(v+1)^2 = 2 \times (\frac{1}{2}mv^2)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $(v+1)^2 = 2v^2$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $v^2 + 2v + 1 = 2v^2$.
દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવતા: $v^2 - 2v - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
વેગ ધન હોવો જોઈએ, તેથી $v = (1 + \sqrt{2}) \,m/s$ મળે છે.

(C) આપેલ દળ, $m = 100 \,g = 0.1 \,kg$.
વેગ સદિશ, $\vec{v} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) \,m/s$.
વેગના વર્ગનું મૂલ્ય $v^2 = |\vec{v}|^2 = (1)^2 + (2)^2 + (-3)^2 = 1 + 4 + 9 = 14 \,m^2/s^2$ થાય.
ગતિઊર્જા $K$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા, $K = \frac{1}{2} \times 0.1 \,kg \times 14 \,m^2/s^2 = 0.05 \times 14 = 0.7 \,J$.

(C) પદાર્થની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ ને સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $v$ એ પદાર્થની ઝડપ છે.
દળ $m$ અચળ હોવાથી,ગતિઊર્જા અને ઝડપ વચ્ચેનો સંબંધ $K.E. \propto v^2$ છે.
આ સમીકરણ $y = kx^2$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે પરવલય દર્શાવે છે.
તેથી,$x$-અક્ષ પર ઝડપ $(v)$ અને $y$-અક્ષ પર ગતિઊર્જા $(K.E.)$ વચ્ચે દોરવામાં આવેલ આલેખ પરવલય છે.

(C) પદાર્થની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
અહીં બંને પદાર્થો સમાન રેખીય વેગ $(v_1 = v_2 = v)$ થી ગતિ કરે છે,તેથી ગતિઊર્જા એ દળના સમપ્રમાણમાં છે $(K.E. \propto m)$.
તેથી,તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર તેમના દળના ગુણોત્તર જેટલો થાય:
$\frac{K.E._1}{K.E._2} = \frac{m_1}{m_2}$.
આપેલ છે કે $\frac{K.E._1}{K.E._2} = \frac{4}{1}$,તેથી $\frac{m_1}{m_2} = \frac{4}{1}$ મળે.
આમ,તેમના દળનો ગુણોત્તર $4: 1$ છે.

(C) પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર: $KE = \frac{1}{2} m v^2$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $v$ એ ઝડપ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક દળ $m$ છે અને પ્રારંભિક ઝડપ $v$ છે. તેથી પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_i = \frac{1}{2} m v^2$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,દળ બમણું $(m' = 2m)$ અને ઝડપ બમણી $(v' = 2v)$ કરવામાં આવે છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $KE_f$ નીચે મુજબ મળે:
$KE_f = \frac{1}{2} (2m) (2v)^2$
$KE_f = \frac{1}{2} (2m) (4v^2)$
$KE_f = 8 \times (\frac{1}{2} m v^2)$
$KE_f = 8 KE_i$
તેથી,ગતિઊર્જા પ્રારંભિક ગતિઊર્જા કરતાં આઠ ગણી થાય છે.

(B) ધારો કે માણસનું દળ $m$ છે। તો છોકરાનું દળ $m_b = \frac{m}{2}$ થશે।
ધારો કે માણસની પ્રારંભિક ઝડપ $v_m$ અને છોકરાની ઝડપ $v_b$ છે।
પ્રશ્ન મુજબ,માણસની ગતિઊર્જા છોકરાની ગતિઊર્જા કરતા અડધી છે:
$\frac{1}{2} m v_m^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m_b v_b^2) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{m}{2} v_b^2) = \frac{1}{8} m v_b^2$.
સાદુરૂપ આપતા,$v_m^2 = \frac{1}{4} v_b^2$,જે દર્શાવે છે કે $v_m = \frac{v_b}{2}$.
જ્યારે માણસ તેની ઝડપમાં $1 \,ms^{-1}$ નો વધારો કરે છે,ત્યારે તેની નવી ઝડપ $v_m' = v_m + 1 = \frac{v_b}{2} + 1$ થાય છે.
હવે,તેની ગતિઊર્જા છોકરાની ગતિઊર્જા જેટલી થાય છે:
$\frac{1}{2} m (\frac{v_b}{2} + 1)^2 = \frac{1}{2} (\frac{m}{2}) v_b^2$.
બંને બાજુ $\frac{m}{2}$ વડે ભાગતા,આપણને $(\frac{v_b}{2} + 1)^2 = \frac{v_b^2}{2}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{v_b}{2} + 1 = \frac{v_b}{\sqrt{2}}$.
$1 = v_b (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2}) = v_b (\frac{2 - \sqrt{2}}{2\sqrt{2}})$.
$v_b = \frac{2\sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}(2 + \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{4\sqrt{2} + 4}{2} = 2\sqrt{2} + 2 = 2(\sqrt{2} + 1) \,ms^{-1}$.

(B) ધારો કે કણ $H$ ઊંચાઈથી નીચે પડે છે અને જમીનથી $h$ ઊંચાઈએ પહોંચે છે.
આ ઊંચાઈ $h$ પર,સ્થિતિઊર્જા $PE = mgh$ છે.
કણ દ્વારા કાપેલું અંતર $x = H - h$ છે.
આ બિંદુએ ગતિઊર્જા $KE = mgx = mg(H - h)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$KE = 2(PE)$.
સમીકરણો મૂકતા,$mg(H - h) = 2(mgh)$.
$H - h = 2h \Rightarrow H = 3h \Rightarrow h = \frac{H}{3}$.
હવે,$h = \frac{H}{3}$ ઊંચાઈએ ઝડપ $v$ શોધવા માટે,આપણે ગતિનું સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2ax$ વાપરીએ,જ્યાં $u = 0$ અને $x = H - h = H - \frac{H}{3} = \frac{2H}{3}$.
$v^2 = 2g(\frac{2H}{3}) = \frac{4gH}{3}$.
$v = \sqrt{\frac{4gH}{3}} = 2\sqrt{\frac{gH}{3}}$.
આમ,ઊંચાઈ $\frac{H}{3}$ છે અને ઝડપ $2\sqrt{\frac{gH}{3}}$ છે.

(D) પદાર્થની ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે, જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $v$ એ વેગનું મૂલ્ય છે.
સૌ પ્રથમ, વેગ સદિશ $\vec{v} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}) \text{ m/s}$ નું મૂલ્ય શોધો.
$v = |\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29} \text{ m/s}$.
તેથી, $v^2 = 29 \text{ m}^2/\text{s}^2$.
આપેલ છે કે $K = 87 \text{ J}$, આ કિંમતોને ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$87 = \frac{1}{2} \times m \times 29$.
$87 = 14.5 \times m$.
$m = \frac{87}{14.5} = 6 \text{ kg}$.
આમ, પદાર્થનું દળ $6 \text{ kg}$ છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 4 \ kg$. વેગ સદિશ $\vec{v} = (2 \hat{i} - 4 \hat{j} - \hat{k}) \ ms^{-1}$.
પ્રથમ,વેગનું મૂલ્ય $v = |\vec{v}| = \sqrt{(2)^2 + (-4)^2 + (-1)^2}$ શોધો.
$v = \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21} \ ms^{-1}$.
ગતિઊર્જા $K.E.$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2} mv^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $K.E. = \frac{1}{2} \times 4 \times (\sqrt{21})^2$.
$K.E. = 2 \times 21 = 42 \ J$.

(C) આપેલ છે: દળ $m_1 = 1 \,g$ અને $m_2 = 4 \,g$. ગતિઊર્જા સમાન છે, $K_1 = K_2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગતિઊર્જા $K$ અને રેખીય વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે, જેનો અર્થ થાય છે $p = \sqrt{2mK}$.
$K_1 = K_2$ હોવાથી, વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{p_1}{p_2} = \frac{\sqrt{2m_1K_1}}{\sqrt{2m_2K_2}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ, તેમના રેખીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(A) ગતિઊર્જા $(K)$ અને રેખીય વેગમાન $(p)$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $p = \sqrt{2mK}$.
આપેલ દળ $m_1 = m$ અને $m_2 = 4m$ છે.
આપેલ ગતિઊર્જા $K_1$ અને $K_2$ છે જેથી $\frac{K_1}{K_2} = \frac{2}{1}$.
તેમના રેખીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{2m_1 K_1}{2m_2 K_2}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2} \times \frac{K_1}{K_2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{m}{4m} \times \frac{2}{1}} = \sqrt{\frac{1}{4} \times 2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,તેમના રેખીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.

(D) ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i$ છે અને અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f$ છે. આપેલ છે કે ગતિઊર્જામાં $20 \%$ નો ફેરફાર થાય છે,તેથી $K_f = 1.20 K_i$.
ચલે $K \propto p^2$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{K_f}{K_i} = \left( \frac{p_f}{p_i} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા,$1.20 = \left( \frac{p_f}{p_i} \right)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{p_f}{p_i} = \sqrt{1.20} \approx 1.0954$.
વેગમાનમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{p_f - p_i}{p_i} \times 100 = (1.0954 - 1) \times 100 = 9.54 \%$.
આમ,$9.54 \%$ એ આપેલા વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(B) ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{P^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગમાન $P$ છે અને પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = \frac{P^2}{2m}$ છે.
જો વેગમાનમાં $20 \%$ નો વધારો થાય,તો નવું વેગમાન $P' = P + 0.20P = 1.2P$ થાય.
નવી ગતિઊર્જા $K' = \frac{(P')^2}{2m} = \frac{(1.2P)^2}{2m} = \frac{1.44P^2}{2m}$ થશે.
$K = \frac{P^2}{2m}$ મૂકતા,આપણને $K' = 1.44K$ મળે છે.
ગતિઊર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{K' - K}{K} \times 100 \% = \frac{1.44K - K}{K} \times 100 \% = 0.44 \times 100 \% = 44 \%$ છે.