Stationary Waves (Standing wave) Questions in Gujarati

(C) જ્યારે કોઈ તરંગ દ્રઢ સીમા (અથવા જડિત છેડા) પરથી પરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે પરાવર્તિત તરંગમાં $\pi$ રેડિયન જેટલો કળાનો ફેરફાર થાય છે.
આવું એટલા માટે થાય છે કારણ કે દ્રઢ સીમા દોરી પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લગાડે છે,જેના પરિણામે તરંગ પલ્સ ઉલટાઈ જાય છે.
તેથી,કળામાં થતો ફેરફાર $\pi$ છે.

(D) જ્યારે ખેંચાયેલી દોરી પર મુસાફરી કરતું તરંગ પલ્સ નિશ્ચિત છેડે પહોંચે છે,ત્યારે તે છેડો એક સખત સીમા અથવા ઘટ્ટ માધ્યમ તરીકે કાર્ય કરે છે.
પરાવર્તનના નિયમો અનુસાર,જ્યારે તરંગ નિશ્ચિત સીમા પરથી પરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે તેમાં $\pi$ રેડિયન (અથવા $180^o$) નો ફેઝ ફેરફાર થાય છે.
તરંગ હવે વિરુદ્ધ દિશામાં મુસાફરી કરી રહ્યું હોવાથી,તેનો વેગ સદિશ પણ ઉલટાય છે.
તેથી,પરાવર્તિત પલ્સમાં $180^o$ નો ફેઝ ફેરફાર થાય છે અને તેનો વેગ ઉલટાય છે.

(B) ધ્વનિનો સ્ત્રોત અને દીવાલ પરથી તેનું પરાવર્તન વ્યતિકરણને કારણે સ્થિત તરંગોની ભાત બનાવે છે.
આપેલ આવૃત્તિ $f = 170 \, Hz$ અને ધ્વનિની ઝડપ $v = 340 \, m/s$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{170} = 2 \, m$ છે.
સ્થિત તરંગમાં લઘુત્તમ તીવ્રતા (નિસ્પંદ બિંદુઓ) ધરાવતી સ્થિતિઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે.
તેથી,લઘુત્તમ તીવ્રતા ધરાવતી બે નજીકની સ્થિતિઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2} = \frac{2}{2} = 1 \, m$ થશે.

(C) સ્થિર તરંગમાં,ન્યૂનતમ સ્થાનાંતર ધરાવતા બિંદુઓને નિસ્પંદ બિંદુઓ $(N)$ કહેવામાં આવે છે,અને મહત્તમ સ્થાનાંતર ધરાવતા બિંદુઓને પ્રસ્પંદ બિંદુઓ $(A)$ કહેવામાં આવે છે.
બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે.
બે ક્રમિક પ્રસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે.
નિસ્પંદ બિંદુ અને તેના નજીકના પ્રસ્પંદ બિંદુ વચ્ચેનું અંતર એ બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર કરતા અડધું હોય છે,જે $\frac{1}{2} \times \frac{\lambda}{2} = \frac{\lambda}{4}$ થાય છે.

(C) સ્થિર તરંગમાં,નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) એવા બિંદુઓ છે જ્યાં કણોનું સ્થાનાંતર હંમેશા શૂન્ય હોય છે. કારણ કે સ્થાનાંતરનો ઢાળ (જે વિકૃતિ સાથે સંબંધિત છે) આ બિંદુઓ પર સૌથી વધુ હોય છે,તેથી દબાણમાં ફેરફાર અને વિકૃતિ નિસ્પંદ બિંદુઓ પર મહત્તમ હોય છે. તેનાથી વિપરીત,પ્રસ્પંદ બિંદુઓ (antinodes) પર સ્થાનાંતર મહત્તમ હોય છે,પરંતુ વિકૃતિ લઘુત્તમ હોય છે.

(C) સ્થિર તરંગમાં,એક જ લૂપમાં રહેલા તમામ કણો એકબીજા સાથે સમાન કળામાં કંપન કરે છે.
પાસે-પાસેના લૂપમાં રહેલા કણો એક નિસ્પંદ બિંદુ (node) દ્વારા અલગ પડે છે.
જ્યારે બે કણો નિસ્પંદ બિંદુની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર સ્થિત હોય છે,ત્યારે તેઓ વિરુદ્ધ કળામાં કંપન કરે છે.
તેથી,તેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત $\pi \text{ રેડિયન}$ છે,જે $180^o$ ની બરાબર છે.

(C) સાચો જવાબ $C$ છે.
પ્રગામી તરંગમાં,જેમ તરંગ આગળ વધે છે તેમ માધ્યમમાં એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી ઊર્જાનું સતત વહન થાય છે.
તેનાથી વિપરીત,સ્થિત (અથવા સ્થાયી) તરંગ એ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બે સમાન તરંગોના સંપાતપણાથી બને છે,જેના પરિણામે માધ્યમના કોઈપણ બિંદુ પર ઊર્જાનું ચોખ્ખું વહન થતું નથી.

(B) સ્થિર તરંગો (જેને સ્ટેન્ડિંગ વેવ્સ પણ કહેવાય છે) ત્યારે રચાય છે જ્યારે સમાન આવૃત્તિ (અથવા તરંગલંબાઈ) અને સમાન કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે તરંગો એક જ માર્ગ પર વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરીને સંપાત થાય છે.
સૂત્ર $v = f \lambda$ મુજબ, જો આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ સમાન હોય, તો તેમની ઝડપ પણ સમાન હોય છે.
તેથી, શરત એ છે કે સમાન તરંગલંબાઈ, સમાન કંપવિસ્તાર અને સમાન ઝડપ ધરાવતા બે તરંગો એક જ માર્ગ પર વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે.
આમ, વિકલ્પ $B$ સાચો જવાબ છે.

(B) સ્થિત તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = 2a \sin \frac{2\pi x}{\lambda} \cos \omega t$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 5 \sin \frac{\pi x}{3} \cos 40\pi t$ ની સરખામણી પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે કરતા,આપણને પ્રસરણ અચળાંક $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = 6 \ cm$ મળે છે.
સ્થિત તરંગમાં બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,અંતર = $\frac{6}{2} = 3 \ cm$ થાય.

(D) આપેલ તરંગ સમીકરણ $\overrightarrow{\phi}(x, t) = \overrightarrow{j} \sin \left( \frac{2\pi}{\lambda} vt \right) \cos \left( \frac{2\pi}{\lambda} x \right)$ છે.
$1$. સ્થિત વિરુદ્ધ પ્રગામી: જો તરંગમાં નિસ્પંદ બિંદુઓ (જ્યાં કંપવિસ્તાર હંમેશા શૂન્ય હોય) હોય,તો તે તરંગ સ્થિત તરંગ છે. જો આપણે $x = \frac{(2n+1)\lambda}{4}$ લઈએ,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$,તો $\cos \left( \frac{2\pi}{\lambda} x \right)$ પદ શૂન્ય થાય છે. આ બિંદુઓ સમય $t$ પર આધારિત નથી,તેથી કંપવિસ્તાર હંમેશા શૂન્ય રહે છે. આમ,આ તરંગ સ્થિત તરંગ છે.
$2$. લંબગત વિરુદ્ધ સંગત: સ્થાનાંતર સદિશ $\overrightarrow{\phi}$ એ $\overrightarrow{j}$ ની દિશામાં ($y$-દિશા) છે. તરંગ વિધેય $x$ પર આધારિત છે,જે દર્શાવે છે કે તરંગ $x$-અક્ષની દિશામાં પ્રસરણ પામે છે. કંપનની દિશા ($y$-અક્ષ) એ પ્રસરણની દિશા ($x$-અક્ષ) ને લંબ હોવાથી,આ તરંગ લંબગત છે.
તેથી,આ સમીકરણ લંબગત સ્થિત તરંગ દર્શાવે છે. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) સ્થિર તરંગમાં,કોઈપણ કણનું સ્થાનાંતર $y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણો સ્થિર રહે તે માટે,વેગ $v = \frac{dy}{dt} = -A \omega \sin(kx) \sin(\omega t)$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
આ શરત ત્યારે સંતોષાય છે જ્યારે $\sin(\omega t) = 0$ હોય,જે $\omega t = 0, \pi, 2\pi, \dots$ પર થાય છે.
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી $\sin(\omega t) = 0$ ની શરતનો અર્થ છે $t = 0, \frac{T}{2}, T, \dots$
આમ,માધ્યમના તમામ કણો દરેક દોલન સમયગાળા $T$ માં બે વાર એકસાથે સ્થિર થાય છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) સ્થિર તરંગ સમાન આવૃત્તિ અને કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે તરંગોના વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરવાથી બને છે.
આપેલ આપાત તરંગ $y_1 = a \cos (kx - \omega t)$ છે.
બિંદુ $x = 0$ નિસ્પંદ બિંદુ હોવા માટે,$x = 0$ પર તમામ સમય $t$ માટે પરિણામી સ્થાનાંતર શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે બીજું તરંગ $y_2 = a \cos (kx + \omega t + \phi)$ છે.
પરિણામી તરંગ $y = y_1 + y_2 = a [\cos (kx - \omega t) + \cos (kx + \omega t + \phi)]$ છે.
નિત્યસમ $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = 2a \cos (kx + \phi/2) \cos (\omega t + \phi/2)$ મળે છે.
$x = 0$ પર,$y = 2a \cos (\phi/2) \cos (\omega t + \phi/2)$ થાય.
આ બિંદુ નિસ્પંદ બિંદુ (શૂન્ય સ્થાનાંતર) હોવા માટે,$\cos (\phi/2) = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\phi/2 = \pi/2$,એટલે કે $\phi = \pi$.
બીજા તરંગના સમીકરણમાં $\phi = \pi$ મૂકતા:
$y_2 = a \cos (kx + \omega t + \pi) = -a \cos (kx + \omega t)$.

(D) સ્થિર તરંગમાં,કુલ ઊર્જા ગતિ ઊર્જા અને સ્થિતિ ઊર્જા વચ્ચે દોલન કરે છે.
જ્યારે દોરીની ગતિ ઊર્જા મહત્તમ હોય,ત્યારે સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય હોય છે.
સ્થિતિ ઊર્જા દોરીના વિરૂપણ (સ્થાનાંતર) સાથે સંકળાયેલી છે.
સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય હોવાથી,તે ક્ષણે દોરી પરના દરેક કણનું સ્થાનાંતર શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,બધા કણો એકસાથે તેમના સરેરાશ સ્થાનમાંથી પસાર થઈ રહ્યા છે.
પરિણામે,દોરી સંતુલન અક્ષ પર એક સીધી રેખા તરીકે દેખાય છે.

(B) સ્થિત તરંગ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.15 \sin(5x) \cos(300t)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 5 \text{ rad/m}$ મળે છે.
તરંગ સંખ્યા $k$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા,$5 = \frac{2\pi}{\lambda}$ મળે છે.
તેથી,$\lambda = \frac{2\pi}{5} = \frac{2 \times 3.14159}{5} = \frac{6.283}{5} = 1.2566 \text{ m}$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$\lambda \approx 1.26 \text{ m}$ મળે છે.

(D) સ્થિર તરંગમાં,એન્ટિનોડ્સ (પ્રસ્પંદ બિંદુઓ) એ સ્થાનાંતરના મહત્તમ કંપવિસ્તાર ધરાવતા બિંદુઓ છે.
આ બિંદુઓ પર,દબાણમાં ફેરફાર ન્યૂનતમ હોય છે કારણ કે હવાના કણો મહત્તમ વેગ સાથે ગતિ કરે છે અને ઘનતામાં ફેરફાર ન્યૂનતમ હોય છે.
તેનાથી વિપરીત,નોડ્સ (નિસ્પંદ બિંદુઓ) એ શૂન્ય સ્થાનાંતર ધરાવતા બિંદુઓ છે,જ્યાં દબાણનો ફેરફાર મહત્તમ હોય છે.
તેથી,એન્ટિનોડ્સ મહત્તમ સ્થાનાંતર અને ન્યૂનતમ દબાણ ફેરફાર સાથે સંકળાયેલા છે.

(D) સ્થિત તરંગમાં,બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેના તમામ કણો સમાન આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે.
તેઓ સમાન કળામાં હોવાથી,તેઓ બધા એક જ સમયે તેમના સરેરાશ સ્થાન પર પહોંચે છે.
જો કે,દરેક કણ માટે કંપવિસ્તાર તેના નિસ્પંદ બિંદુઓથી અંતર $x$ પર આધાર રાખે છે,જે $A(x) = A_0 \sin(kx)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સરળ આવર્ત ગતિમાં કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$ હોવાથી,સરેરાશ સ્થાન $(y = 0)$ પર વેગ $v = \omega A$ થાય છે.
નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેના વિવિધ કણો માટે કંપવિસ્તાર $A$ અલગ-અલગ હોવાથી,સરેરાશ સ્થાન પર મહત્તમ વેગ દરેક કણ માટે અલગ-અલગ હોય છે.
તેથી,તમામ કણો એક જ સમયે પરંતુ જુદા જુદા વેગ સાથે સરેરાશ સ્થાનમાંથી પસાર થાય છે.

(D) સ્થિત તરંગો સમાન આવૃત્તિ અને ઝડપ ધરાવતા પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બે તરંગોના સંપાતીકરણથી રચાય છે.
$(a)$ બંને છેડે જડેલી દોરી પર તરંગોનું પરાવર્તન થવાથી સ્થિત તરંગો રચાય છે.
$(b)$ એક છેડે જડેલી અને બીજા છેડે મુક્ત દોરી પર પણ પરાવર્તનને કારણે સ્થિત તરંગો ઉત્પન્ન થાય છે.
$(c)$ જ્યારે આપાત તરંગ દીવાલ સાથે અથડાય છે,ત્યારે તે પરાવર્તિત થાય છે અને આપાત તથા પરાવર્તિત તરંગોના સંપાતીકરણથી સ્થિત તરંગો રચાય છે.
આમ,આપેલી તમામ પરિસ્થિતિઓમાં સ્થિત તરંગો ઉત્પન્ન થઈ શકે છે. સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે.
$3$ નિસ્પંદ બિંદુઓ અને $2$ પ્રસ્પંદ બિંદુઓ ધરાવતા સ્થિત તરંગમાં $2$ લૂપ હોય છે.
બે અંતિમ નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેની કુલ લંબાઈ $L = 2 \times \frac{\lambda}{2} = \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બે અણુઓ (જે અંતિમ નિસ્પંદ બિંદુઓ તરીકે કાર્ય કરે છે) વચ્ચેનું અંતર $1.21 \; \mathring{A}$ છે,તેથી $L = 1.21 \; \mathring{A}$.
આમ,તરંગલંબાઈ $\lambda = 1.21 \; \mathring{A}$ થાય.

(D) સ્થિર તરંગમાં,નિસ્પંદ બિંદુ અને તેના નજીકના પ્રસ્પંદ બિંદુ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{\lambda}{4} = 20 \ cm$,તેથી તરંગલંબાઈ $\lambda = 80 \ cm$ થાય.
$\Delta x$ જેટલું અંતર ધરાવતા બે કણો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\Delta \phi$ એ $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\Delta x = 60 \ cm$ અને $\lambda = 80 \ cm$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{80} \times 60 = \frac{120\pi}{80} = \frac{3\pi}{2}$ રેડિયન.

(A) તરંગનો વેગ $v = n\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ આવૃત્તિ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે.
અહીં $v = 1200\, m/s$ અને $n = 300\, Hz$ આપેલ છે.
તરંગલંબાઇની ગણતરી કરતા: $\lambda = \frac{v}{n} = \frac{1200}{300} = 4\, m$.
સ્થિત તરંગમાં નિસ્પંદ બિંદુ અને તેની નજીકના સ્પંદ બિંદુ વચ્ચેનું અંતર હંમેશા $\frac{\lambda}{4}$ હોય છે.
તેથી,જરૂરી અંતર $= \frac{4\, m}{4} = 1\, m$.

(A) સ્થિત તરંગો ઉત્પન્ન કરવા માટે બે તરંગો સમાન આવૃત્તિ,સમાન કંપવિસ્તાર ધરાવતા હોવા જોઈએ અને તેઓ એક જ રેખા પર પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવા જોઈએ.
તરંગ $A$ $(z_1 = a\cos(kx - \omega t))$ એ ધન $x$-દિશામાં ગતિ કરે છે.
તરંગ $B$ $(z_2 = a\cos(kx + \omega t))$ એ ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરે છે.
તરંગ $A$ અને $B$ બંને સમાન કંપવિસ્તાર $a$,સમાન કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને સમાન તરંગ સંખ્યા $k$ ધરાવે છે,અને તેઓ એક જ અક્ષ ($x$-અક્ષ) પર પ્રસરણ પામે છે.
તરંગ $C$ $(z_3 = a\cos(ky - \omega t))$ એ $y$-અક્ષ પર પ્રસરણ પામે છે,તેથી તે $A$ અથવા $B$ સાથે સ્થિત તરંગ બનાવી શકતું નથી.
તેથી,$A$ અને $B$ ના સંપાતીકરણથી સ્થિત તરંગ મળે છે: $z = z_1 + z_2 = a[\cos(kx - \omega t) + \cos(kx + \omega t)] = 2a\cos(kx)\cos(\omega t)$.

(A) સ્થિત તરંગ માટેનું આપેલ સમીકરણ $Y = A \sin(100t) \cos(0.01x)$ છે.
આ સમીકરણને સ્થિત તરંગના પ્રમાણિત સમીકરણ $Y = A \sin(\omega t) \cos(kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \ rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 0.01 \ rad/m$ મળે છે.
તરંગનો વેગ $v$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને તરંગ સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{100}{0.01} = 10000 \ m/s$.

(B) જડિત છેડા પર હંમેશા નિસ્પંદ બિંદુ (node) રચાય છે.
આપેલ છે કે જડિત છેડાથી $10 \, cm$ ના અંતરે એક નિસ્પંદ બિંદુ રચાય છે,જે બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર દર્શાવે છે.
બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2} = 10 \, cm$ છે.
તેથી,તરંગલંબાઈ $\lambda = 20 \, cm = 0.2 \, m$ થાય.
તરંગની ઝડપ $v$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $v = f \lambda$ છે,જ્યાં $f = 100 \, Hz$ છે.
$v = 100 \times 0.2 = 20 \, m/s$.

(C) સ્થિત તરંગ સમાન આવૃત્તિ અને કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે તરંગો જે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,તેમના સંપાતપણાથી રચાય છે.
આપેલ પ્રથમ તરંગ $y_1 = a \cos (kx + \omega t)$ છે.
સ્થિત તરંગ માટે $x = 0$ પર નિસ્પંદ બિંદુ હોવા માટે,પરિણામી સ્થાનાંતર $y = y_1 + y_2$ એ દરેક $t$ માટે $x = 0$ પર શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,$y_1(0, t) + y_2(0, t) = 0$.
$a \cos (\omega t) + y_2(0, t) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $y_2(0, t) = -a \cos (\omega t)$.
તરંગો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,જો પ્રથમ તરંગ ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરતું હોય (જે $kx + \omega t$ દ્વારા સૂચવાય છે),તો બીજું તરંગ ધન $x$-દિશામાં ગતિ કરતું હોવું જોઈએ,જેનું સ્વરૂપ $y_2 = a' \cos (kx - \omega t + \phi)$ છે.
$x = 0$ પર,$y_2(0, t) = a' \cos (- \omega t + \phi) = a' \cos (\omega t - \phi)$.
આને $-a \cos (\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a' = a$ અને $\phi = \pi$ મળે છે.
આમ,$y_2 = a \cos (kx - \omega t + \pi) = -a \cos (kx - \omega t)$.

(B) સ્થિત તરંગમાં બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વેગ $v = 20 \ m/s$ અને આવૃત્તિ $f = n$ આપેલ છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ ની ગણતરી $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{20}{n}$ મુજબ થાય છે.
તેથી,બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{20}{n} = \frac{10}{n}$ થશે.

(A) સ્થિત તરંગ (જેને સ્ટેન્ડિંગ વેવ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બે સમાન તરંગોના સુપરપોઝિશન દ્વારા રચાય છે.
સ્થિત તરંગમાં,ઊર્જા નોડ્સ (nodes) ની વચ્ચે ફસાયેલી રહે છે અને માધ્યમમાં આગળ વધતી નથી.
જોકે ઊર્જા વિવિધ બિંદુઓ પર ગતિજ અને સ્થિતિજ સ્વરૂપો વચ્ચે દોલન કરે છે,પરંતુ માધ્યમમાં ઊર્જાનું કોઈ ચોખ્ખું સ્થળાંતર થતું નથી.
તેનાથી વિપરીત,પ્રગામી તરંગો,લંબગત તરંગો અને વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો એ બધા ઊર્જાને એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી લઈ જવા માટે જાણીતા છે.
તેથી,સાચો જવાબ $A$ છે.

(C) સ્થિત તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \cos(kx) \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 5 \cos(\pi x / 3) \sin(40 \pi t)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = \pi / 3$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $k = 2\pi / \lambda$,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા: $\pi / 3 = 2\pi / \lambda$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = 6 \, cm$ મળે છે.
સ્થિત તરંગમાં બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\lambda / 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,અંતર = $6 / 2 = 3 \, cm$ થાય.

(D) જ્યારે સમાન આવૃત્તિ અને કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે સાઈનસૉઈડલ તરંગો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેઓ સ્થિત તરંગ (stationary wave) બનાવે છે.
સ્થિત તરંગમાં,દોરી એક આવર્તકાળ $T$ માં બે વાર સપાટ થાય છે (બધા કણો તેમના સરેરાશ સ્થાનમાંથી પસાર થાય છે).
તેથી,દોરી સપાટ હોય તેવા બે ક્રમિક ક્ષણો વચ્ચેનો સમયગાળો $\frac{T}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$\frac{T}{2} = 0.5 \, s$,જેનો અર્થ છે કે $T = 1.0 \, s$.
તરંગલંબાઈ $\lambda$,તરંગની ઝડપ $v$ અને આવર્તકાળ $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = v \times T$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\lambda = 10 \, ms^{-1} \times 1.0 \, s = 10 \, m$.

(C) સ્થિર તરંગમાં,તરંગની ભાત માધ્યમમાં આગળ વધતી નથી.
જોકે માધ્યમના વ્યક્તિગત કણો વિવિધ કંપવિસ્તાર સાથે $SHM$ કરે છે,પરંતુ તરંગ પોતે તરંગ પ્રસરણની દિશામાં એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી ઉર્જાનું વહન કરતું નથી.
તેથી,માધ્યમના કોઈપણ આડછેદમાંથી ચોખ્ખો ઉર્જા પ્રવાહ શૂન્ય હોય છે.
ઉર્જાના વહનનો આ અભાવ એ મુખ્ય લાક્ષણિકતા છે જે સ્થિર તરંગોને તેમનું નામ આપે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) સ્થિત તરંગમાં બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\lambda/2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે તરંગોનો વેગ $v = 16 \ m/s$ અને આવૃત્તિ $n$ છે.
વેગ,આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઇ વચ્ચેનો સંબંધ $v = n\lambda$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = v/n$.
નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરના સૂત્રમાં $\lambda$ ની કિંમત મૂકતા:
અંતર $= \lambda/2 = (v/n)/2 = v/(2n)$.
$v = 16 \ m/s$ મૂકતા:
અંતર $= 16/(2n) = 8/n$.

(D) સ્થિર તરંગો સમાન આવૃત્તિ અને કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે તરંગોના વિરુદ્ધ દિશામાં સુપરપોઝિશન (અધ્યાપન) દ્વારા રચાય છે.
તરંગો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,કોઈપણ આડછેદ પર ચોખ્ખું ઉર્જા વહન શૂન્ય હોય છે.
સ્થિર તરંગોમાં શૂન્ય સ્થાનાંતર ધરાવતા નિશ્ચિત બિંદુઓને નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) કહેવામાં આવે છે અને મહત્તમ સ્થાનાંતર ધરાવતા બિંદુઓને પ્રસ્પંદ બિંદુઓ (antinodes) કહેવામાં આવે છે.
તેથી,વિધાન $(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(B) સ્થિત તરંગમાં,માધ્યમ નોડ્સ (શૂન્ય સ્થાનાંતર ધરાવતા બિંદુઓ) દ્વારા વિવિધ વિભાગોમાં વહેંચાયેલું હોય છે.
એક વિભાગમાં (એટલે કે બે ક્રમિક નોડ્સ વચ્ચેના વિસ્તારમાં) રહેલા તમામ કણો કોઈપણ સમયે એક જ દિશામાં ગતિ કરે છે અને એકસાથે તેમના અંતિમ સ્થાનો પર પહોંચે છે.
તેથી,બે નોડ્સ વચ્ચેના વિસ્તારમાં રહેલા તમામ કણો સમાન કળામાં કંપન કરે છે.

(A) સ્થિત તરંગ એ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બે સમાન તરંગોના સંપાતીકરણથી રચાય છે.
જો આપાત તરંગ ${y_1} = a \sin(\omega t - kx)$ હોય અને પરાવર્તિત તરંગ ${y_2} = a \sin(\omega t + kx)$ હોય,તો પરિણામી સ્થિત તરંગ ${y} = {y_1} + {y_2} = 2a \sin(\omega t) \cos(kx)$ મળે છે.
આ સમીકરણમાં,કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ એ વ્યક્તિગત તરંગો જેટલી જ રહે છે.
તેથી,સ્થિત તરંગની આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi}$ એ વ્યક્તિગત તરંગોની આવૃત્તિ જેટલી જ હોય છે.

(B) સ્થિર તરંગમાં,નિસ્પંદ બિંદુ (node) એ એવું બિંદુ છે જ્યાં કંપવિસ્તાર હંમેશા શૂન્ય રહે છે,અને પ્રસ્પંદ બિંદુ (antinode) એ એવું બિંદુ છે જ્યાં કંપવિસ્તાર હંમેશા મહત્તમ હોય છે.
તરંગની ઉર્જા તેના કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(E \propto A^2)$,નિસ્પંદ બિંદુઓ પર ઉર્જા શૂન્ય (જ્યાં $A = 0$) હોય છે અને પ્રસ્પંદ બિંદુઓ પર મહત્તમ (જ્યાં $A$ મહત્તમ છે) હોય છે.
તેથી,ઉર્જા નિસ્પંદ બિંદુઓ પર ન્યૂનતમ અને પ્રસ્પંદ બિંદુઓ પર મહત્તમ હોય છે.

(A) સ્થિર તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 10 \sin \left( \frac{\pi x}{4} \right) \cos(20 \pi t)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{4}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = 8$.
સ્થિર તરંગમાં બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,અંતર $= \frac{8}{2} = 4$.

(A) લંબગત સ્થિર તરંગોમાં,નિસ્પંદ બિંદુઓ એવા બિંદુઓ છે જ્યાં કણોનું સ્થાનાંતર હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
આ બિંદુઓ પર કણો ગતિ કરતા ન હોવાથી,ત્યાં સંઘનન અને વિઘનન સૌથી વધુ તીવ્ર હોય છે.
પરિણામે,નિસ્પંદ બિંદુઓ પર દબાણ અને ઘનતામાં થતો ફેરફાર મહત્તમ હોય છે.
તેનાથી વિપરીત,પ્રસ્પંદ બિંદુઓ (antinodes) પર સ્થાનાંતર મહત્તમ હોય છે,પરંતુ દબાણ અને ઘનતામાં ફેરફાર ન્યૂનતમ હોય છે.

(A) સ્થિત તરંગ (standing wave) ત્યારે રચાય છે જ્યારે સમાન આવૃત્તિ અને કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે તરંગો એક જ રેખા પર વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોય અને તેમનું સંપાતીકરણ થાય.
આપેલ છે:
$z_1 = A \sin(kx - \omega t)$ ($+x$ દિશામાં ગતિ કરે છે)
$z_2 = A \sin(kx + \omega t)$ ($-x$ દિશામાં ગતિ કરે છે)
$z_3 = A \sin(ky - \omega t)$ ($+y$ દિશામાં ગતિ કરે છે)
$z_1$ અને $z_2$ નો સરવાળો કરતા:
$z_1 + z_2 = A \sin(kx - \omega t) + A \sin(kx + \omega t)$
નિત્યસમ $\sin(C) + \sin(D) = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$z_1 + z_2 = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)$
આ સમીકરણ સ્થિત તરંગ દર્શાવે છે કારણ કે તેમાં અવકાશી ભાગ $\sin(kx)$ અને સમય આધારિત ભાગ $\cos(\omega t)$ અલગ પડે છે.
તરંગો $z_3$ અને $z_1$ (અથવા $z_2$) અલગ-અલગ દિશામાં ($y$ અને $x$) ગતિ કરે છે,તેથી તેઓ સ્થિત તરંગ બનાવતા નથી.

(A) જ્યારે સમાન આવૃત્તિ અને સમાન કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે પ્રગામી તરંગો એક જ રેખા પર વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોય અને તેમનું સંપાતીકરણ થાય,ત્યારે સ્થિત તરંગ રચાય છે.
$1$. $Z_1 = A \cos(\omega t - kx)$ એ $+x$ દિશામાં ગતિ કરતું તરંગ દર્શાવે છે જેની આવૃત્તિ $\omega$ છે.
$2$. $Z_2 = A \cos(\omega t + kx)$ એ $-x$ દિશામાં ગતિ કરતું તરંગ દર્શાવે છે જેની આવૃત્તિ $\omega$ અને કંપવિસ્તાર $A$ છે.
$3$. $Z_1$ અને $Z_2$ બંનેની આવૃત્તિ સમાન છે અને તેઓ એક જ અક્ષ ($x$-અક્ષ) પર વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી તેમના સંપાતીકરણથી સ્થિત તરંગ રચાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) સમાન આવૃત્તિ અને કંપવિસ્તાર ધરાવતા વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બે તરંગોના સંપાતીકરણથી સ્થિત તરંગ રચાય છે.
સંપાતીકરણના સિદ્ધાંત મુજબ,પરિણામી તરંગ $y = y_1 + y_2 = A\sin[k(x - ct)] + A\sin[k(x + ct)]$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(C) + \sin(D) = 2\sin(\frac{C+D}{2})\cos(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = 2A\sin(kx)\cos(kct)$.
નિસ્પંદ બિંદુઓ ત્યાં રચાય છે જ્યાં સ્થાનાંતર દરેક સમય $t$ માટે શૂન્ય હોય,જે $\sin(kx) = 0$ હોય ત્યારે થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $kx = n\pi$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$.
નિસ્પંદ બિંદુઓના સ્થાન $x = \frac{n\pi}{k}$ છે.
બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર એ ક્રમિક સ્થાનો વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta x = \frac{(n+1)\pi}{k} - \frac{n\pi}{k} = \frac{\pi}{k}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$k = \frac{2\pi}{\lambda}$ હોવાથી,ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2} = \frac{\pi}{k}$ થાય છે.

(D) સ્થિત તરંગ માટે આપેલ સમીકરણ $y = 5 \sin \left( \frac{2\pi x}{3} \right) \cos (20\pi t)$ છે.
આ સમીકરણને સ્થિત તરંગના પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin \left( \frac{2\pi x}{\lambda} \right) \cos (\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{3}$ મળે છે.
તેથી,તરંગલંબાઈ $\lambda = 3 \ cm$ થાય.
સ્થિત તરંગમાં બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંતર $= \frac{3}{2} = 1.5 \ cm$.

(C) દોરીની લંબાઈ $l = 10 \; m$ છે. વિભાગોની સંખ્યા $p = 5$ છે. તરંગનો વેગ $v = 20 \; m/s$ છે.
જ્યારે દોરી $p$ વિભાગોમાં કંપન કરતી હોય,ત્યારે લંબાઈ $l$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $l = p \cdot \frac{\lambda}{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$10 = 5 \cdot \frac{\lambda}{2}$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\lambda = \frac{10 \cdot 2}{5} = 4 \; m$ મળે છે.
આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{v}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$f = \frac{20 \; m/s}{4 \; m} = 5 \; Hz$ મળે છે.

(C) સ્થિત તરંગમાં,બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ જેટલું હોય છે.
આપેલ છે કે,નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $5.0 \ cm = 0.05 \ m$ છે.
તેથી,$\frac{\lambda}{2} = 0.05 \ m$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 0.1 \ m$.
તરંગનો વેગ $v = 2 \ m/s$ આપેલ છે.
આવૃત્તિ $f$ ની ગણતરી $v = f \lambda$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.
આમ,$f = \frac{v}{\lambda} = \frac{2 \ m/s}{0.1 \ m} = 20 \ Hz$.

(C) બંને છેડે જડેલી $l$ લંબાઈની દોરી માટે,સીમાવર્તી શરતો મુજબ બંને છેડે નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે દોરીની લંબાઈ $l$ એ અડધી તરંગલંબાઈના પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં હોવી જોઈએ: $l = n \frac{\lambda}{2}$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ લૂપ્સની સંખ્યા અથવા હાર્મોનિક ક્રમ છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\lambda = \frac{2l}{n}$.

(A) બંને છેડે જડેલી દોરી માટે,$n^{th}$ હાર્મોનિક $n$ લૂપ્સને અનુરૂપ છે.
સાતમા $(7^{th})$ હાર્મોનિકમાં,દોરી $7$ લૂપ્સમાં કંપન કરે છે.
દરેક લૂપમાં $1$ એન્ટિનોડ હોય છે,તેથી એન્ટિનોડ્સની કુલ સંખ્યા $7$ છે.
$n$ લૂપ્સ ધરાવતી દોરીમાં નોડ્સની સંખ્યા $n + 1$ હોય છે.
તેથી,નોડ્સની સંખ્યા $= 7 + 1 = 8$.
આમ,તેમાં $8$ નોડ્સ અને $7$ એન્ટિનોડ્સ છે.