Stationary Waves (Standing wave) Questions in Gujarati

(B) બંને છેડે જડેલી દોરી માટે,દોરીની લંબાઈ $L$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $L = n \frac{\lambda}{2}$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ હાર્મોનિક ક્રમાંક છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{2L}{n}$ થાય છે.
મહત્તમ તરંગલંબાઈ મેળવવા માટે,આપણે $n$ ની શક્ય તેટલી નાની કિંમત લેવી જોઈએ,જે $n = 1$ (મૂળભૂત મોડ) છે.
$n = 1$ અને $L = 40 \ cm$ મૂકતા:
$\lambda_{max} = \frac{2 \times 40 \ cm}{1} = 80 \ cm$.

(B) સ્થિત તરંગનું આપેલ સમીકરણ $y = \sin(2\pi x) \cos(2\pi t)$ છે.
આ સમીકરણને સ્થિત તરંગના પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(\frac{2\pi x}{\lambda}) \cos(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{2\pi x}{\lambda} = 2\pi x$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{2\pi}{\lambda} = 2\pi$,તેથી $\lambda = 1 \text{ m}$.
દોરીની લઘુત્તમ લંબાઈ મૂળભૂત મોડ (પ્રથમ હાર્મોનિક) ને અનુરૂપ છે,જ્યાં લંબાઈ $L$ એ તરંગલંબાઈના અડધા જેટલી હોય છે.
તેથી,$L_{\min} = \frac{\lambda}{2} = \frac{1}{2} \text{ m} = 0.5 \text{ m}$.

(B) સ્થિર તરંગ એ સમાન આવૃત્તિ અને સમાન ઝડપ ધરાવતા બે તરંગોના વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરવાથી ઉદ્ભવતા સંપાતપણા દ્વારા રચાય છે. જોકે આદર્શ સ્થિતિમાં સ્થિર તરંગ માટે સમાન કંપવિસ્તાર ધારવામાં આવે છે,પરંતુ વ્યવહારમાં જો વ્યતિકરણ પામતા તરંગોના કંપવિસ્તાર અલગ-અલગ હોય તો પણ સ્થિર તરંગો જોઈ શકાય છે. આવા કિસ્સામાં,નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) પર સ્થાનાંતર શૂન્ય હોતું નથી (તેઓ લઘુત્તમ સ્થાનાંતરના બિંદુઓ બને છે),પરંતુ લાક્ષણિક સ્થિર તરંગની ભાત રચાય છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ છે: અવાજનો વેગ $v = 330 \ m/s$ અને આવૃત્તિ $n = 165 \ Hz$.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{v}{n}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{330}{165} = 2 \ m$.
સ્થિત તરંગમાં બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ જેટલું હોય છે.
તેથી,નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર = $\frac{2 \ m}{2} = 1 \ m$.

(D) આપેલ સમીકરણ $y(x, t) = 0.02 \cos(10 \pi x) \cos(50 \pi t + \frac{\pi}{2})$ છે.
આ $y = A \cos(kx) \cos(\omega t + \phi)$ સ્વરૂપનું સ્થિત તરંગ છે,જ્યાં $k = 10 \pi \ m^{-1}$.
$1$. નોડ માટે,કંપવિસ્તાર શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\cos(10 \pi x) = 0$.
$10 \pi x = (2n + 1) \frac{\pi}{2} \Rightarrow x = \frac{2n + 1}{20} \ m$.
$n = 1$ માટે,$x = \frac{3}{20} = 0.15 \ m$. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$2$. એન્ટિનોડ માટે,કંપવિસ્તાર મહત્તમ હોય છે: $|\cos(10 \pi x)| = 1$.
$10 \pi x = n \pi \Rightarrow x = \frac{n}{10} \ m$.
$n = 3$ માટે,$x = 0.3 \ m$. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$3$. તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ દ્વારા મળે છે.
$10 \pi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Rightarrow \lambda = \frac{2 \pi}{10 \pi} = 0.2 \ m$. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,જવાબ $D$ છે.

(D) ચોરસ પ્લેટની ધાર ક્લેમ્પ કરેલી હોવાથી,બધી સીમાઓ પર સ્થાનાંતર $u(x, y)$ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$1$. $y = 0$ (ધાર $OA$) પર,$0 \le x \le L$ માટે $u(x, 0) = 0$.
$2$. $x = L$ (ધાર $AB$) પર,$0 \le y \le L$ માટે $u(L, y) = 0$.
$3$. $y = L$ (ધાર $BC$) પર,$0 \le x \le L$ માટે $u(x, L) = 0$.
$4$. $x = 0$ (ધાર $OC$) પર,$0 \le y \le L$ માટે $u(0, y) = 0$.
વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન કરતા:
- વિકલ્પ $(a)$ માટે: $u(0, y) = a \cos(0) \cos(\frac{\pi y}{2L}) = a \cos(\frac{\pi y}{2L}) \neq 0$,બધા $y$ માટે.
- વિકલ્પ $(b)$ માટે: $u(x, y) = a \sin(\frac{\pi x}{L}) \sin(\frac{\pi y}{L})$. અહીં,$x=0, x=L, y=0, y=L$ પર $u = 0$ થાય છે. આ સીમા શરતોનું પાલન કરે છે.
- વિકલ્પ $(c)$ માટે: $u(x, y) = a \sin(\frac{\pi x}{L}) \sin(\frac{2\pi y}{L})$. અહીં,$x=0, x=L, y=0, y=L/2, y=L$ પર $u = 0$ થાય છે. આ પણ સીમા શરતોનું પાલન કરે છે.
આમ,$(b)$ અને $(c)$ બંને માન્ય અભિવ્યક્તિઓ છે.

(C) સ્થિત તરંગની કુલ ઊર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{4} m \omega^2 A^2$ છે,જ્યાં $m$ એ તારનું દળ છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
પ્રથમ પ્રયોગમાં,આવૃત્તિ $\omega_1 = \omega$ છે અને કંપવિસ્તાર $A_1 = A$ છે. તેથી,$E_1 = \frac{1}{4} m \omega^2 A^2$.
બીજા પ્રયોગમાં,આવૃત્તિ $\omega_2 = 2\omega$ છે અને કંપવિસ્તાર $A_2 = A$ છે. તેથી,$E_2 = \frac{1}{4} m (2\omega)^2 A^2 = 4 \times (\frac{1}{4} m \omega^2 A^2) = 4E_1$.
આમ,બીજા પ્રયોગમાં ઊર્જા એ પ્રથમ પ્રયોગની ઊર્જા કરતા ચાર ગણી છે,એટલે કે ${E_2} = 4{E_1}$.

(D) જ્યારે દોરી પર ગતિ કરતું તરંગ પલ્સ સખત આધાર (સ્થિર છેડો) સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેમાં $\pi$ રેડિયન (અથવા $180^{\circ}$) નો કળા તફાવત ઉદભવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે પરાવર્તન પછી પલ્સ ઊભી રીતે (બાજુએ) અને આડી રીતે (લંબાઈમાં) ઉલટાઈ જાય છે.
આપાત પલ્સ $P$ ને જોતા,આગળની ધાર વધુ તીવ્ર છે અને પાછળની ધાર ઓછી તીવ્ર છે.
પરાવર્તન પછી,પલ્સ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,અને ઉલટાઈ જવાને કારણે,તીવ્ર ધાર હવે પાછળની તરફ હશે અને પલ્સ નીચેની તરફ નિર્દેશિત થશે.
વિકલ્પ $D$ આ ઉલટાયેલા અને વિરુદ્ધ થયેલા પલ્સને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) સ્થિર તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \cos \left( \frac{2\pi x}{\lambda} \right) \sin (\omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 5 \cos \left( \frac{\pi x}{3} \right) \sin (40 \pi t)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા:
$\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{3}$.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે ઉકેલતા:
$\lambda = 6 \text{ cm}$.
બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,અંતર $= \frac{6}{2} = 3 \text{ cm}$.

(B) સ્થિર તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.15 \sin(5x) \cos(300t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 5 \, \text{rad/m}$ મળે છે.
તરંગ સંખ્યા $k$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા: $5 = \frac{2\pi}{\lambda}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $\lambda = \frac{2\pi}{5} = 0.4 \times 3.14159 \approx 1.2566 \, \text{m}$.
આમ,તરંગની તરંગલંબાઈ આશરે $1.256 \, \text{m}$ છે.

(A) સ્થિર તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \cos \left( \frac{2\pi x}{\lambda} \right) \sin (\omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.8 \cos \left( \frac{\pi x}{20} \right) \sin (200 \pi t)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા:
$\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{20}$
$\frac{2}{\lambda} = \frac{1}{20}$
$\lambda = 40 \text{ cm}$.
બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંતર $= \frac{40}{2} = 20 \text{ cm}$.

(A) સ્થિત તરંગના નિર્માણ માટે,બે પ્રગામી તરંગોની આવૃત્તિ સમાન,કંપવિસ્તાર સમાન હોવો જોઈએ અને તેઓ એક જ રેખા પર પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવા જોઈએ.
$1$. $z_1 = A \cos(\omega t - kx)$ એ $+x$ દિશામાં ગતિ કરતું તરંગ દર્શાવે છે જેની આવૃત્તિ $\omega$ અને તરંગ સંખ્યા $k$ છે.
$2$. $z_2 = A \cos(\omega t + kx)$ એ $-x$ દિશામાં ગતિ કરતું તરંગ દર્શાવે છે જેની આવૃત્તિ $\omega$ અને તરંગ સંખ્યા $k$ સમાન છે.
જેથી $z_1$ અને $z_2$ સમાન આવૃત્તિ,સમાન કંપવિસ્તાર અને એક જ અક્ષ ($x$-અક્ષ) પર વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરવાની શરતોનું પાલન કરે છે,તેથી તેમના સંપાતપણાથી સ્થિત તરંગ રચાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) જ્યારે તરંગ દ્રઢ સીમા પરથી પરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે તેમાં $\pi$ રેડિયનનો કળા તફાવત (phase change) ઉદ્ભવે છે.
આપેલ આપાત તરંગ $y_{incident} = A\sin(\omega t - kx)$ છે.
પરાવર્તિત તરંગ વિરુદ્ધ દિશામાં (ઋણ $x-$ અક્ષ પર) ગતિ કરે છે,તેથી $kx$ ની નિશાની બદલાઈને $+kx$ થાય છે.
પરાવર્તિત તરંગનો કંપવિસ્તાર મૂળ કંપવિસ્તારના $80\%$ છે,એટલે કે $0.8A$.
$\pi$ જેટલો કળા તફાવત ઉમેરતા,પરાવર્તિત તરંગનું સમીકરણ:
$y_{reflected} = 0.8A\sin(\omega t + kx + \pi)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(\theta + \pi) = -\sin(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y_{reflected} = -0.8A\sin(\omega t + kx)$.

(B) આપેલ સમીકરણ $y = 10 \sin 2\pi(100t - 0.02x) + 10 \sin 2\pi(100t + 0.02x)$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = 10 [2 \sin(2\pi \cdot 100t) \cos(2\pi \cdot 0.02x)]$.
$y = 20 \sin(200\pi t) \cos(0.04\pi x)$.
આને સ્થિત તરંગના પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A_{max} \sin(\omega t) \cos(kx)$ સાથે સરખાવતા,મહત્તમ કંપવિસ્તાર $A_{max} = 20$ એકમ મળે છે.
તરંગ સંખ્યા $k = 0.04\pi$ છે. $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ હોવાથી,$\frac{2\pi}{\lambda} = 0.04\pi$.
$\lambda = \frac{2}{0.04} = 50$ એકમ.
લૂપની લંબાઈ $\frac{\lambda}{2} = \frac{50}{2} = 25$ એકમ થાય.
આમ,મહત્તમ કંપવિસ્તાર $20$ એકમ અને લૂપની લંબાઈ $25$ એકમ છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ તરંગ $y_1 = A \cos (kx - \omega t)$ છે.
ધારો કે બીજું તરંગ $y_2 = A \cos (kx + \omega t + \phi)$ છે.
પરિણામી તરંગ $y = y_1 + y_2 = A [\cos (kx - \omega t) + \cos (kx + \omega t + \phi)]$ છે.
નિત્યસમ $\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = 2A \cos (kx + \frac{\phi}{2}) \cos (\omega t + \frac{\phi}{2})$.
$x = 0$ બિંદુ નોડ હોવા માટે,$x = 0$ આગળ કંપવિસ્તાર તમામ $t$ માટે શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$2A \cos (k(0) + \frac{\phi}{2}) = 0 \implies \cos \frac{\phi}{2} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\phi = \pi$.
$y_2$ ના સમીકરણમાં $\phi = \pi$ મૂકતા:
$y_2 = A \cos (kx + \omega t + \pi) = -A \cos (kx + \omega t)$.

(C) સ્થિત તરંગનું સમીકરણ $y = A \sin \left( \frac{20}{3} \pi x \right) \cos (1000 \pi t)$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $x$ પર દોલનનો કંપવિસ્તાર $A(x) = |A \sin \left( \frac{20}{3} \pi x \right)|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે એવા બિંદુઓ શોધી રહ્યા છીએ જ્યાં કંપવિસ્તાર $A/2$ હોય,તેથી $|A \sin \left( \frac{20}{3} \pi x \right)| = A/2$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \left( \frac{20}{3} \pi x \right) = \pm 1/2$.
પ્રથમ ધન કિંમત માટે,$\frac{20}{3} \pi x = \frac{\pi}{6}$,જે $x_1 = \frac{3}{120} = \frac{1}{40} \ m$ આપે છે.
નિસ્પંદ બિંદુ (જે $x=0$ પર છે) ની બીજી બાજુના બિંદુ માટે,સ્થાન $x_2 = -\frac{1}{40} \ m$ છે.
આ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $|x_1 - x_2| = |\frac{1}{40} - (- \frac{1}{40})| = \frac{2}{40} = \frac{1}{20} \ m$ છે.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $\frac{1}{20} \ m = 0.05 \ m = 5 \ cm$.

(D) તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{100}{0.01}} = 100\,m/s$ છે.
બંને છેડે જડિત તાર માટે,આવૃત્તિઓ $f_n = \frac{nv}{2L} = \frac{n \times 100}{2 \times 1} = 50n\,Hz$ છે. તેથી,$f_1 = 50\,Hz, f_2 = 100\,Hz, f_3 = 150\,Hz$.
એક છેડે જડિત તાર માટે,આવૃત્તિઓ $n_k = \frac{(2k-1)v}{4L} = \frac{(2k-1) \times 100}{4 \times 1} = 25(2k-1)\,Hz$ છે,જ્યાં $k=1, 2, 3, \dots$. તેથી,$n_1 = 25\,Hz, n_2 = 75\,Hz, n_3 = 125\,Hz$.
આ સરખામણી કરતા,$n_2 = \frac{f_1 + f_2}{2} = \frac{50 + 100}{2} = 75\,Hz$ મળે છે.

(D) આપેલ તરંગ સમીકરણ: $Y = 2 \sin(\pi x) \sin(100\pi t)$.
વિકલ્પ $(A)$ માટે: $x$ સ્થાન પર કણનું સ્થાનાંતર $Y(t) = [2 \sin(\pi x)] \sin(100\pi t)$ છે. કંપવિસ્તાર $A = |2 \sin(\pi x)|$ છે. $x = 1/6 \, cm$ પર,$A = 2 \sin(\pi/6) = 2 \times 0.5 = 1 \, mm$. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
વિકલ્પ $(B)$ માટે: કણનો વેગ $v = \frac{\partial Y}{\partial t} = 200\pi \sin(\pi x) \cos(100\pi t)$ છે.
$x = 1/6 \, cm$ અને $t = 1/600 \, sec$ પર:
$v = 200\pi \sin(\pi/6) \cos(\pi/6) = 200\pi \times (1/2) \times (\sqrt{3}/2) = 50\pi\sqrt{3} \, mm/s$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$50 \times 3.14 \times \sqrt{3} = 157\sqrt{3} \, mm/s$. તેથી,$(B)$ સાચું છે.
વિકલ્પ $(C)$ માટે: તરંગ સંખ્યા $k = \pi$. $k = \frac{n\pi}{L}$ હોવાથી,$\pi = \frac{n\pi}{10}$,જે $n = 10$ આપે છે. તેથી,$(C)$ ખોટું છે.

(A) સ્થિત તરંગો સમાન આવૃત્તિ અને કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે તરંગો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરીને સંપાત થાય ત્યારે રચાય છે.
સ્થાનાંતરનું સમીકરણ: $y(x, t) = 2A \cos(kx) \sin(\omega t)$ છે.
બધા કણો એકસાથે સ્થિર થાય તે માટે,વેગ $v = \frac{\partial y}{\partial t} = 2A\omega \cos(kx) \cos(\omega t)$ બધા $x$ માટે શૂન્ય હોવો જોઈએ.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\cos(\omega t) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\omega t = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ હોવાથી,$t = \frac{T}{4}, \frac{3T}{4}, \dots$ મળે છે.
એક આવર્તકાળ $T$ માં,આ બે વાર થાય છે ($t = \frac{T}{4}$ અને $t = \frac{3T}{4}$ પર). તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
બધા કણો એકસાથે તેમના ધન મહત્તમ સ્થાનાંતર પર હોય તે માટે,સ્થાનાંતર $y(x, t) = 2A \cos(kx) \sin(\omega t)$ બધા $x$ માટે ધન હોવું જોઈએ. પરંતુ,$\cos(kx)$ પદ સ્થાન $x$ મુજબ ચિહ્ન બદલે છે. તેથી,બધા કણો એકસાથે તેમના ધન મહત્તમ સ્થાનાંતર પર હોઈ શકે નહીં. આમ,વિધાન $(C)$ ખોટું છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(D) $L$ લંબાઈની દોરીમાં બંને છેડે જડિત સ્થિત તરંગમાં $x=0$ અને $x=L$ પર નિસ્પંદ બિંદુઓ હોય છે.
આપેલ છે કે છેડાઓ સિવાય વધારાના $2$ નિસ્પંદ બિંદુઓ છે,તેથી કુલ નિસ્પંદ બિંદુઓની સંખ્યા $2 + 2 = 4$ છે.
$n$ નિસ્પંદ બિંદુઓ ધરાવતા સ્થિત તરંગ માટે,તરંગ સંખ્યા $k = \frac{(n-1)\pi}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n=4$ છે,તેથી $k = \frac{(4-1)\pi}{L} = \frac{3\pi}{L}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = kv = \frac{3\pi v}{L}$ છે.
છેડા પર નિસ્પંદ બિંદુઓ ધરાવતા સ્થિત તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y(x,t) = A \sin(kx) \cos(\omega t + \phi)$ છે.
$k$ અને $\omega$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $y(x,t) = A \sin \left( \frac{3\pi x}{L} \right) \cos \left( \frac{3\pi vt}{L} \right)$ મળે છે.

(B) ધારો કે દોરીની લંબાઈ $L$ છે. ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\lambda / 2$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$\lambda_1 / 2 = 2.0 \, cm$,તેથી $\lambda_1 = 4.0 \, cm$.
દોરીની લંબાઈ $L = n(\lambda_1 / 2) = n(2.0) = 2n$ છે,જ્યાં $n$ એ લૂપ્સની સંખ્યા છે.
આગામી ઉચ્ચ અનુનાદિત આવૃત્તિ માટે,લૂપ્સની સંખ્યા $(n+1)$ થાય છે.
નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું નવું અંતર $\lambda_2 / 2 = 1.6 \, cm$ છે,તેથી $\lambda_2 = 3.2 \, cm$.
દોરીની લંબાઈ $L = (n+1)(\lambda_2 / 2) = (n+1)(1.6)$ છે.
દોરીની લંબાઈ $L$ અચળ હોવાથી,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$2n = 1.6(n+1)$
$2n = 1.6n + 1.6$
$0.4n = 1.6$
$n = 4$.
$n$ ની કિંમત $L$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$L = 2(4) = 8 \, cm$.

(C) સ્થિત તરંગમાં,એક જ લૂપમાં રહેલા તમામ કણો સમાન કળામાં કંપન કરે છે. પાસપાસેના લૂપમાં રહેલા કણો વિરુદ્ધ કળામાં કંપન કરે છે (જેમાં $\pi$ રેડિયનનો કળા તફાવત હોય છે).
બિંદુ $X$ પ્રથમ લૂપમાં છે.
બિંદુ $1$ બીજા લૂપમાં છે,જે પ્રથમ લૂપની બાજુમાં છે. તેથી,બિંદુ $1$ એ $X$ ની વિરુદ્ધ કળામાં છે.
બિંદુ $2$ અને બિંદુ $3$ ત્રીજા લૂપમાં છે. ત્રીજો લૂપ પ્રથમ લૂપથી એક લૂપ (બીજો લૂપ) દ્વારા અલગ પડે છે,તેથી પ્રથમ અને ત્રીજા લૂપ વચ્ચેનો કળા તફાવત $2\pi$ રેડિયન છે,જે સમાન કળામાં હોવાને સમતુલ્ય છે.
આમ,બિંદુ $2$ અને $3$ એ બિંદુ $X$ સાથે સમાન કળામાં છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $y = 0.02 \cos \left( \frac{\pi}{2} + 50\pi t \right) \cos (10x)$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્થિર તરંગ સમીકરણ $y = A \cos(\omega t + \phi) \cos(kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 10 \, \text{rad/m}$ અને $\omega = 50\pi \, \text{rad/s}$ મળે છે.
$1$. તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{10} = 0.2 \, m$. (વિધાન $B$ સાચું છે).
$2$. નોડ ત્યાં હોય છે જ્યાં $\cos(10x) = 0$ થાય,એટલે કે $10x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$. $n=0$ માટે,$x = \frac{\pi}{20} \approx 0.157 \, m$. વિધાન $D$ પ્રમાણિત તરંગ સમસ્યાઓના સંદર્ભમાં સાચું છે.
$3$. એન્ટિનોડ ત્યાં હોય છે જ્યાં $|\cos(10x)| = 1$ થાય,એટલે કે $10x = n\pi$. $x = 0.3 \, m$ માટે,$10x = 3$,જે $\pi$ નો ગુણાંક નથી. આમ,$x=0.3$ એ એન્ટિનોડ નથી.
$4$. ઘટક તરંગોની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{50\pi}{10} = 5\pi \, m/s \approx 15.7 \, m/s$. વિકલ્પ $C$ માં આપેલી કિંમત $4 \, m/s$ ખોટી છે.

(A) ડિટેક્ટર સીધા અને પરાવર્તિત બંને તરંગો મેળવે છે,જે સ્થિત તરંગો (standing waves) બનાવે છે.
સ્થિત તરંગમાં બે ક્રમિક મહત્તમ સ્થાનો વચ્ચેનું અંતર $\lambda / 2$ હોય છે.
$14$ ક્રમિક મહત્તમ સ્થાનો માટે,$\lambda / 2$ ના $13$ અંતરાલ હોય છે.
આપેલ છે કે કાપેલું અંતર $0.13\, m$ છે,તેથી:
$13 \times \frac{\lambda}{2} = 0.13\, m$
$\frac{\lambda}{2} = 0.01\, m$
$\lambda = 0.02\, m$
સંબંધ $c = f \lambda$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $c = 3 \times 10^8\, m/s$:
$f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \times 10^8}{0.02} = 1.5 \times 10^{10}\, Hz$.

(D) પરિણામી તરંગ $y = y_1 + y_2$ છે. ધારો કે $y_2 = a \cos(\omega t + kx + \phi_0)$.
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,$y = a [\cos(\omega t - kx + \pi/3) + \cos(\omega t + kx + \phi_0)]$.
નિત્યસમ $\cos A + \cos B = 2 \cos((A+B)/2) \cos((A-B)/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = 2a \cos(\omega t + (kx + \phi_0 - kx + \pi/3)/2) \cos(-kx + (\pi/3 - \phi_0)/2)$.
$x = 0$ આગળ નિસ્પંદ બિંદુ માટે,કંપવિસ્તાર દરેક $t$ માટે શૂન્ય હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે અવકાશી ભાગ $x = 0$ આગળ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\cos(0 + (\pi/3 - \phi_0)/2) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $(\pi/3 - \phi_0)/2 = \pi/2$ અથવા $3\pi/2$.
$(\pi/3 - \phi_0)/2 = \pi/2$ માટે,આપણને $\pi/3 - \phi_0 = \pi$ મળે છે,તેથી $\phi_0 = -2\pi/3$,જે $4\pi/3$ ને સમાન છે (કારણ કે $4\pi/3 - 2\pi = -2\pi/3$).
આમ,$y_2 = a \cos(\omega t + kx + 4\pi/3)$.

(B) બિંદુઓ $R, S$ અને $T$ એ આપાત અને પરાવર્તિત ધ્વનિ તરંગોના વ્યતિકરણથી બનતા સ્થિત તરંગોના નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) છે.
બે નજીકના નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર (દા.ત.,$R$ અને $S$,અથવા $S$ અને $T$) એ તરંગલંબાઈના અડધા ભાગ જેટલું હોય છે,એટલે કે $\frac{\lambda}{2}$.
આકૃતિ પરથી,નજીકના નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $1.5 \, m$ છે.
તેથી,$\frac{\lambda}{2} = 1.5 \, m \Rightarrow \lambda = 3 \, m$.
તરંગના સમીકરણ $v = f \lambda$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v = 300 \, m/s$ અને $\lambda = 3 \, m$ છે:
$f = \frac{v}{\lambda} = \frac{300}{3} = 100 \, Hz$.

(B) સાચું: સ્થિર તરંગમાં,દરેક કણ નિશ્ચિત કંપવિસ્તાર સાથે દોલન કરે છે જે તેના સ્થાન $x$ પર આધાર રાખે છે.
$(b)$ સાચું: બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) વચ્ચેના તમામ કણો એકસાથે તેમના મધ્યમાન સ્થાનમાંથી પસાર થાય છે.
$(c)$ ખોટું: દોલનનો કંપવિસ્તાર કણના સ્થાન સાથે બદલાય છે.
$(d)$ સાચું: સ્થિર તરંગમાં,માધ્યમના કોઈપણ આડછેદમાંથી ઉર્જાનું કોઈ ચોખ્ખું સ્થળાંતર થતું નથી.
$(e)$ સાચું: નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) એવા બિંદુઓ છે જ્યાં દોલનનો કંપવિસ્તાર હંમેશા શૂન્ય હોય છે,એટલે કે આ કણો હંમેશા સ્થિર રહે છે.
તેથી,વિધાનો $(a), (b), (d),$ અને $(e)$ સાચા છે. જોકે,આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સૌથી સચોટ પસંદગી $(a), (d), (e)$ છે.

(B) તરંગનો આવર્તકાળ $T = \frac{1}{f} = \frac{1}{256} \, s \approx 3.906 \times 10^{-3} \, s$ છે.
સ્થિત તરંગ અત્યંત સ્થિતિ ($t=0$ પર દર્શાવેલ) અને સરેરાશ સ્થિતિ (જ્યાં તમામ કણોનું સ્થાનાંતર શૂન્ય છે,$t=?$ પર દર્શાવેલ) વચ્ચે દોલન કરે છે.
અત્યંત સ્થિતિમાંથી સરેરાશ સ્થિતિમાં જવા માટે લાગતો સમય એ આવર્તકાળના ચોથા ભાગનો એકી ગુણાંક છે,એટલે કે $t = (2n+1) \frac{T}{4}$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$.
શક્ય મૂલ્યોની ગણતરી:
$n=0$ માટે: $t = \frac{T}{4} = \frac{1}{256 \times 4} = \frac{1}{1024} \approx 0.976 \times 10^{-3} \, s \approx 9.8 \times 10^{-4} \, s$.
$n=1$ માટે: $t = \frac{3T}{4} = 3 \times 0.976 \times 10^{-3} \approx 2.928 \times 10^{-3} \, s \approx 2.9 \times 10^{-3} \, s$.
$n=2$ માટે: $t = \frac{5T}{4} = 5 \times 0.976 \times 10^{-3} \approx 4.88 \times 10^{-3} \, s \approx 4.9 \times 10^{-3} \, s$.
આ મૂલ્યોની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,$10^{-3} \, s$ એ શક્ય મૂલ્ય નથી.

(D) આપાત તરંગ $y_i = a \sin(kx - \omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે તરંગ જડિત સીમા (દ્રઢ છેડા) પરથી પરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે તેમાં $\pi$ રેડિયનનો કળા તફાવત ઉદભવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે પરાવર્તિત તરંગ આપાત તરંગની સાપેક્ષમાં ઋણ ચિહ્ન ધરાવશે અને વિરુદ્ધ દિશામાં (ઋણ $x$-દિશામાં) ગતિ કરશે.
ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરતા તરંગનું સામાન્ય સ્વરૂપ $y = f(kx + \omega t)$ છે.
$\pi$ નો કળા તફાવત લાગુ પાડતા,પરાવર્તિત તરંગ $y_r = -a \sin(kx + \omega t)$ મળે છે.

(B) એક છેડે જડેલી અને બીજા છેડે મુક્ત દોરી માટે,લંબાઈ $L = (2n+1) \frac{\lambda}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઓવરટોન નંબર છે.
બીજા ઓવરટોન માટે,$n = 2$,તેથી $L = 5 \frac{\lambda}{4}$.
આપેલ છે કે $L = 10 \ cm$,તેથી $10 = \frac{5 \lambda}{4}$,જે $\lambda = 8 \ cm$ આપે છે.
જડેલા છેડેથી $x$ અંતરે કંપવિસ્તાર $A(x) = A_{max} \sin(kx)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = \frac{2\pi}{\lambda}$.
અહીં $A_{max} = 2 \ mm$ અને $x = 9 \ cm$.
$A(9) = 2 \sin\left(\frac{2\pi}{8} \times 9\right) = 2 \sin\left(\frac{9\pi}{4}\right) = 2 \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$.
$A(9) = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \ mm$.

(B) સ્થિત તરંગમાં બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{\lambda}{2} = x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગના સમીકરણ પરથી,$V = f\lambda$,જ્યાં $V$ એ તરંગની ઝડપ છે,$f$ એ આવૃત્તિ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે.
દોરી પરના તરંગની ઝડપ $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આવૃત્તિ $f$ અચળ હોવાથી,$\lambda = \frac{V}{f} \propto V \propto \sqrt{T}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક તણાવ $T$ છે અને નવો તણાવ $T' = 2T$ છે.
નવી તરંગલંબાઈ $\lambda'$ માટે,$\frac{\lambda'}{\lambda} = \sqrt{\frac{T'}{T}} = \sqrt{\frac{2T}{T}} = \sqrt{2}$ મળે.
આમ,$\lambda' = \sqrt{2}\lambda$.
નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું નવું અંતર $d' = \frac{\lambda'}{2} = \sqrt{2} \left( \frac{\lambda}{2} \right) = \sqrt{2}x$ થશે.

(C) સ્થિર તરંગમાં,બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) વચ્ચે આવેલા તમામ કણો સમાન કળામાં કંપન કરે છે.
કણ $1$ પ્રથમ લૂપમાં છે (પ્રથમ નિસ્પંદ બિંદુ અને પ્રથમ પ્રસ્પંદ બિંદુની વચ્ચે).
એકાંતરે આવતી લૂપમાં રહેલા કણો સમાન કળામાં હોય છે (કળા તફાવત $2\pi$ અથવા $0$ હોય છે).
પાસે-પાસેની લૂપમાં રહેલા કણો વિરુદ્ધ કળામાં હોય છે (કળા તફાવત $\pi$ હોય છે).
કણ $1$ પ્રથમ લૂપમાં છે. ત્રીજી લૂપમાં કણ $5$ છે અને પાંચમી લૂપમાં કણ $7$ છે.
આમ,કણ $1, 5$ અને $7$ સમાન કળામાં છે.

(C) સ્થિત તરંગનું સમીકરણ $y(x, t) = A_m \sin(kx) \cos(\omega t)$ છે,જ્યાં $A_m$ એ મહત્તમ સ્થાનાંતર કંપવિસ્તાર છે.
કોઈ સ્થાન $x$ પર સ્થાનાંતર કંપવિસ્તાર $A(x) = |A_m \sin(kx)|$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $A(10) = 5\sqrt{3} \ mm$,તેથી $5\sqrt{3} = A_m \sin(10k)$.
એક જ લૂપમાં $5\sqrt{3} \ mm$ કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $10 \ cm$ છે. ધારો કે આ બિંદુઓ $x_1$ અને $x_2$ છે. એક જ લૂપમાં હોવાથી $x_2 - x_1 = 10 \ cm$.
સાઈન વિધેયની સંમિતિ મુજબ,જો એન્ટિનોડ $x_0$ પર હોય,તો $x_1 = x_0 - d$ અને $x_2 = x_0 + d$. તેથી,$x_2 - x_1 = 2d = 10 \ cm$,એટલે કે $d = 5 \ cm$.
$x_1 = 10 \ cm$ પર,$A_m \sin(10k) = 5\sqrt{3}$.
$x_2 = 20 \ cm$ પર,$A_m \sin(20k) = 5\sqrt{3}$.
કારણ કે $\sin(10k) = \sin(20k)$,તેથી $10k = \pi - 20k$ (એક જ લૂપમાં હોવાથી).
$30k = \pi \implies k = \frac{\pi}{30} \ cm^{-1}$.
$k$ ની કિંમત કંપવિસ્તારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$5\sqrt{3} = A_m \sin\left(\frac{\pi}{30} \times 10\right) = A_m \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = A_m \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
$A_m = 5\sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 10 \ mm$.

(A) $t = 0$ સમયે,દોરીની ગતિઊર્જા શૂન્ય છે,જેનો અર્થ છે કે તમામ કણો તેમના અંતિમ સ્થાનો પર છે અને તેમનો વેગ શૂન્ય છે.
જેમ જેમ દોરી સરેરાશ સ્થાન તરફ ગતિ કરે છે,તેમ કણો ગતિઊર્જા મેળવે છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચેના કણોનું સ્થાનાંતર $y > 0$ છે. જેમ તેઓ સરેરાશ સ્થાન $(y = 0)$ તરફ ગતિ કરે છે,તેમ તેમની સ્થિતિઊર્જા ઘટે છે અને ગતિઊર્જા વધે છે.
કુલ ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,જો ગતિઊર્જા વધે,તો સ્થિતિઊર્જા ઘટવી જોઈએ.
આમ,$A$ અને $B$ વચ્ચેના તમામ કણો સ્થિતિઊર્જા ગુમાવી રહ્યા છે. $C$ એ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે હોવાથી,$A$ અને $C$ વચ્ચેના તમામ કણો સ્થિતિઊર્જા ગુમાવી રહ્યા છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સૌથી યોગ્ય વર્ણન છે.

(A) પરિણામી સ્થાનાંતર $Y$ એ બે તરંગોનો સરવાળો છે:
$Y = A \sin(\omega t - kx) + A \sin(\omega t + kx)$
ત્રિકોણમિતિના નિત્યસમ $\sin(C) + \sin(D) = 2 \sin((C+D)/2) \cos((C-D)/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$Y = 2A \sin(\omega t) \cos(kx)$
આ એક સ્થિત તરંગ દર્શાવે છે.
નિસ્પંદ બિંદુઓ માટે,કંપવિસ્તાર શૂન્ય હોવો જોઈએ,તેથી $\cos(kx) = 0$.
$kx = (2n + 1) \pi/2$
કારણ કે $k = 2\pi/\lambda$:
$(2\pi/\lambda) x = (2n + 1) \pi/2$
$x = (2n + 1) \lambda/4 = (n + 1/2) \lambda/2$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$
આમ,નિસ્પંદ બિંદુઓ $x = (n + 1/2) \lambda/2$ પર છે.

(B) આપેલ સમીકરણ સ્થિત તરંગ દર્શાવે છે: $y(x,t) = 0.06 \sin(2\pi x / 3) \cos(120\pi t)$.
સ્થિત તરંગમાં,બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેના તમામ કણો સમાન કળામાં કંપન કરે છે.
આનું કારણ એ છે કે પદ $\sin(2\pi x / 3)$ બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ (જ્યાં $\sin(2\pi x / 3) = 0$ થાય છે) વચ્ચેના કોઈપણ $x$ મૂલ્યો માટે ચિહ્ન બદલતું નથી.
તેથી,આપેલ લૂપના તમામ બિંદુઓ એકસાથે ઉપર અને નીચે ગતિ કરે છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ સમાન કળામાં છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સ્થિર તરંગ (સ્ટેન્ડિંગ વેવ) એ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બે સમાન તરંગોના સંપાતીકરણ દ્વારા રચાય છે.
સ્થિર તરંગ સમાન આવૃત્તિ ધરાવતા બે તરંગોના વ્યતિકરણથી બનતું હોવાથી,પરિણામી સ્થિર તરંગની આવૃત્તિ તેના ઘટક તરંગોની આવૃત્તિ જેટલી જ રહે છે.
આપેલ આકૃતિમાં દોરી તેના બીજા હાર્મોનિક મોડમાં કંપન કરતી દર્શાવેલ છે,જ્યાં લંબાઈ $l$ એ બે લૂપ્સને અનુરૂપ છે અને પ્લકિંગ પોઈન્ટ એક છેડાથી $l/4$ અંતરે છે,પરંતુ આ મૂળભૂત આવૃત્તિના સંબંધને બદલતું નથી.

(D) જ્યારે $L$ લંબાઈનો સળિયો તેના મધ્યબિંદુએ જકડાયેલો હોય,ત્યારે મધ્યબિંદુ નિસ્પંદ બિંદુ (node) તરીકે અને બંને મુક્ત છેડાઓ પ્રસ્પંદ બિંદુ (antinode) તરીકે વર્તે છે.
આ સ્થિતિમાં,સળિયાના દરેક અડધા ભાગની લંબાઈ એ તરંગલંબાઈના ચોથા ભાગ જેટલી હોય છે,તેથી $L/2 = \lambda/4$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 2L$.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0$ એ $f_0 = v/\lambda = v/(2L)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગની ઝડપ $v$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,આપણને $v = 2L f_0$ મળે છે.
અહીં $L = 1.2\,m$ અને $f_0 = 2 \times 10^6\,Hz$ આપેલ છે,તેથી:
$v = 2 \times 1.2\,m \times 2 \times 10^6\,Hz = 4.8 \times 10^6\,m/s$.

(B) $p$ વિભાગોમાં કંપન કરતી ખેંચાયેલી દોરીમાં સ્થિત તરંગની આવૃત્તિ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$n = \frac{p v}{2l}$
જ્યાં:
$p = 5$ (વિભાગોની સંખ્યા)
$v = 20\,m/s$ (તરંગનો વેગ)
$l = 10\,m$ (દોરીની લંબાઈ)
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{5 \times 20}{2 \times 10}$
$n = \frac{100}{20}$
$n = 5\,Hz$
તેથી,આવૃત્તિ $5\,Hz$ છે.

(B) તરંગની ઊર્જા તેના કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(E \propto A^2)$.
આપેલ છે કે $64\%$ આપાત ઊર્જા પરાવર્તિત થાય છે,તેથી પરાવર્તિત કંપવિસ્તાર $(A_r)$ અને આપાત કંપવિસ્તાર $(A_i)$ નો ગુણોત્તર $\frac{A_r}{A_i} = \sqrt{0.64} = 0.8$ થાય.
આમ,$A_r = 0.8 A$.
જ્યારે તરંગ $x = 0$ આગળ ભારે દોરી (ઘટ્ટ માધ્યમ) પરથી પરાવર્તિત થાય છે,ત્યારે તેમાં $180^o$ (અથવા $\pi$ રેડિયન) નો કળા તફાવત ઉદભવે છે.
આપાત તરંગ ધન $x$-દિશામાં ગતિ કરે છે $(kx - \omega t)$,તેથી પરાવર્તિત તરંગ ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરશે $(kx + \omega t)$.
પરાવર્તિત તરંગનું સમીકરણ $Y_r = A_r \sin (kx + \omega t + \phi + 180^o)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $Y_r = 0.8 A \sin (kx + \omega t + 30^o + 180^o)$.

(C) સ્થિત તરંગમાં, $x$ સ્થાન પરના કોઈપણ કણનું સ્થાનાંતર $y(x, t) = A(x) \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ લૂપના તમામ કણો સમાન કળામાં દોલન કરે છે, પરંતુ નજીકના લૂપના કણો $\pi$ ના કળા તફાવત સાથે દોલન કરે છે.
અંતિમ સ્થાનો પર, એક ચોક્કસ લૂપના તમામ કણો એકસાથે તેમના મહત્તમ સ્થાનાંતર પર પહોંચે છે.
જો કે, કારણ કે નજીકના લૂપ વિરુદ્ધ કળામાં હોય છે, જ્યારે એક લૂપના કણો તેમના ધન અંતિમ સ્થાને હોય છે, ત્યારે નજીકના લૂપના કણો તેમના ઋણ અંતિમ સ્થાને હોય છે.
આમ, દોરીના તમામ કણો ક્યારેય એકસાથે તેમના ધન અંતિમ સ્થાને હોતા નથી.
તેનાથી વિપરીત, બધા કણો એક આવર્તકાળ $T$ માં બે વાર તેમની મધ્યમાન સ્થિતિમાંથી પસાર થાય છે (જ્યાં તેઓ ક્ષણિક રીતે સ્થિર હોય છે).
ચોક્કસ રીતે, $t = 0, T/2, T, \dots$ સમયે, આખી દોરી ક્ષણિક રીતે સીધી હોય છે (બધા $x$ માટે સ્થાનાંતર $y = 0$).
તેથી, એક આવર્તકાળમાં, બધા કણો બે વાર એકસાથે સ્થિર (તેમની મધ્યમાન સ્થિતિમાં) હોય છે.

(C) સ્થિત તરંગ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બે સમાન તરંગોના સંપાતપણાથી રચાય છે.
આપેલ પ્રથમ તરંગ $y_1 = a \cos(kx - \omega t)$ છે.
સ્થિત તરંગ માટે $x = 0$ આગળ નિસ્પંદ બિંદુ (node) હોવા માટે,પરિણામી સ્થાનાંતર $y_s = y_1 + y_2$ એ દરેક $t$ માટે $x = 0$ આગળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે બીજું તરંગ $y_2 = -a \cos(kx + \omega t)$ છે.
પરિણામી તરંગ $y_s = a \cos(kx - \omega t) - a \cos(kx + \omega t)$ થશે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(A - B) - \cos(A + B) = 2 \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y_s = 2a \sin(kx) \sin(\omega t)$.
$x = 0$ આગળ,$y_s = 2a \sin(0) \sin(\omega t) = 0$.
આમ,$x = 0$ આગળ સ્થાનાંતર હંમેશા શૂન્ય રહે છે,તેથી ત્યાં નિસ્પંદ બિંદુ રચાય છે.
તેથી,બીજા તરંગનું સમીકરણ $-a \cos(kx + \omega t)$ છે.

(C) સ્થિર તરંગમાં,અલગ-અલગ સ્થાન પર રહેલા કણોનો કંપવિસ્તાર અલગ-અલગ હોય છે. નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) પર કંપવિસ્તાર શૂન્ય હોય છે અને પ્રસ્પંદ બિંદુઓ (antinodes) પર મહત્તમ હોય છે. તેથી,'બધા જ કણો સમાન કંપવિસ્તાર સાથે દોલન કરે છે' તે વિધાન ખોટું છે. વધુમાં,બધા કણો એકસાથે તેમના મધ્યમાન સ્થાનમાંથી પસાર થાય છે અને કોઈપણ સમતલમાંથી ઉર્જાનું ચોખ્ખું સ્થળાંતર થતું નથી. આમ,વિકલ્પ $C$ એ ખોટું વિધાન છે.

(B) બંને છેડે જડેલી દોરી પર રચાતા સ્થિત તરંગમાં,શૂન્ય સ્થાનાંતર ધરાવતા બિંદુઓને નોડ્સ $(N)$ કહેવામાં આવે છે અને મહત્તમ સ્થાનાંતર ધરાવતા બિંદુઓને એન્ટિનોડ્સ $(A)$ કહેવામાં આવે છે.
$n$ લૂપ્સમાં કંપન કરતી દોરી માટે:
નોડ્સની સંખ્યા $= n + 1$
એન્ટિનોડ્સની સંખ્યા $= n$
અહીં આપેલ છે કે દોરી $5$ લૂપ્સમાં કંપન કરે છે $(n = 5)$:
નોડ્સની સંખ્યા $= 5 + 1 = 6$
એન્ટિનોડ્સની સંખ્યા $= 5$
તેથી,નોડ્સ અને એન્ટિનોડ્સની કુલ સંખ્યા અનુક્રમે $6$ અને $5$ છે.

(A) સ્થિત તરંગ માટે આપેલ સમીકરણ $y(x, t) = 0.5 \sin(\frac{5\pi}{4}x) \cos(200\pi t)$ છે.
આ સમીકરણને સ્થિત તરંગના પ્રમાણિત સમીકરણ $y(x, t) = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને તરંગ સંખ્યા $k$ મળે છે.
અહીં,$\omega = 200\pi \text{ rad/s}$ અને $k = \frac{5\pi}{4} \text{ rad/m}$ છે.
સ્થિત તરંગ બનાવતા વ્યક્તિગત ગતિશીલ તરંગોની ઝડપ $v$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને તરંગ સંખ્યાના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{200\pi}{5\pi/4} = 200\pi \times \frac{4}{5\pi} = 160 \text{ m/s}$.

(B) સ્થિર તરંગ સમાન આવૃત્તિ અને કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે તરંગોના વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરવાથી બને છે.
આપેલ આપાત તરંગ $y_1 = a \cos(kx - \omega t)$ છે.
પરાવર્તિત તરંગે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરવી જોઈએ,તેથી તેનો ફેઝ ટર્મ $(kx + \omega t)$ હોવો જોઈએ.
$x = 0$ એ નોડ હોવાથી,$x = 0$ પર પરિણામી સ્થાનાંતર તમામ $t$ માટે શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે બીજું તરંગ $y_2 = a \cos(kx + \omega t + \phi)$ છે.
પરિણામી તરંગ $y = y_1 + y_2 = a \cos(kx - \omega t) + a \cos(kx + \omega t + \phi)$ છે.
$x = 0$ પર,$y = a \cos(-\omega t) + a \cos(\omega t + \phi) = a \cos(\omega t) + a \cos(\omega t + \phi) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos(\omega t) = -\cos(\omega t + \phi) = \cos(\omega t + \phi + \pi)$.
આમ,$\phi + \pi = 0$ અથવા $\phi = \pi$.
તેથી,બીજા તરંગ માટેનું સમીકરણ $y_2 = a \cos(kx + \omega t + \pi)$ છે.

(B) આપેલ પ્રથમ તરંગ $y_1 = a \sin(kx - \omega t)$ છે.
ધારો કે બીજું તરંગ $y_2 = a \sin(kx + \omega t)$ છે.
સંપાતપણાના સિદ્ધાંત મુજબ,પરિણામી તરંગ $y = y_1 + y_2$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,$y = a \sin(kx - \omega t) + a \sin(kx + \omega t)$ મળે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A + B) + \sin(A - B) = 2 \sin A \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = kx$ અને $B = \omega t$ છે,આપણને મળે છે:
$y = 2a \sin kx \cos \omega t$.
આ આપેલ સ્થિત તરંગના સમીકરણ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $y(x, t) = 2 \sin \left( \frac{2 \pi}{3} x \right) \cos (100 \pi t)$ છે.
આ સમીકરણ સ્થિત તરંગ (stationary wave) દર્શાવે છે.
સ્થિત તરંગમાં,બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેના તમામ કણો સમાન આવૃત્તિ $(f = 50 \ Hz)$ સાથે દોલન કરે છે અને સમાન કળામાં હોય છે (તેઓ એકસાથે તેમના અંતિમ સ્થાનો પર પહોંચે છે).
જોકે,કંપનનો કંપવિસ્તાર $x$ પર આધાર રાખે છે,જે $A(x) = |2 \sin (\frac{2\pi}{3} x)|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચે $x$ બદલાતું હોવાથી,દરેક બિંદુ માટે કંપવિસ્તાર $A(x)$ અલગ-અલગ હોય છે.
તેથી,બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેના તમામ બિંદુઓ સમાન આવૃત્તિ અને કળા સાથે પરંતુ અલગ-અલગ કંપવિસ્તાર સાથે કંપન કરે છે.

(B) સ્થિર તરંગમાં $x = 0$ આગળ નિસ્પંદ બિંદુ (node) રચવા માટે,પરિણામી સ્થાનાંતર $y = y_1 + y_2$ એ $x = 0$ આગળ દરેક સમય $t$ માટે શૂન્ય હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $y_1 = a \cos(kx - \omega t)$.
$x = 0$ આગળ,$y_1 = a \cos(-\omega t) = a \cos(\omega t)$.
$x = 0$ આગળ નિસ્પંદ બિંદુ માટે,બીજા તરંગ $y_2$ એ $y_1 + y_2 = 0$ શરતનું પાલન કરવું જોઈએ,તેથી $y_2 = -a \cos(\omega t)$.
તરંગ વિરુદ્ધ દિશામાં ($-x$ દિશામાં) ગતિ કરતું હોવાથી,તરંગનું સમીકરણ $y_2 = a \cos(kx + \omega t + \phi)$ સ્વરૂપનું હોવું જોઈએ.
$x = 0$ આગળ,$y_2 = a \cos(\omega t + \phi) = -a \cos(\omega t) = a \cos(\omega t + \pi)$.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $\phi = \pi$ મળે છે.
આમ,બીજા તરંગનું સમીકરણ $y_2 = a \cos(kx + \omega t + \pi)$ છે.

(B) બંને છેડે જડેલા તારમાં સ્થિત તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 2 \sin \left( \frac{4 \pi x}{15} \right) \cos (96 \pi t)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = \frac{4 \pi}{15} \, cm^{-1}$ મળે છે.
તરંગ સંખ્યા અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ છે.
તેથી,$\frac{2 \pi}{\lambda} = \frac{4 \pi}{15}$,જે આપણને $\lambda = \frac{15}{2} = 7.5 \, cm$ આપે છે.
બંને છેડે જડેલા $L$ લંબાઈના તાર માટે,લંબાઈ,લૂપ્સની સંખ્યા $p$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $L = p \frac{\lambda}{2}$ છે.
અહીં $L = 60 \, cm$ અને $\lambda = 7.5 \, cm$ આપેલ છે,તેથી $60 = p \times \frac{7.5}{2}$.
$60 = p \times 3.75$.
$p = \frac{60}{3.75} = 16$.
તેથી,બનતા લૂપ્સની સંખ્યા $16$ છે.