Stationary Waves (Standing wave) Questions in Gujarati

(A) સ્થિર તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \cos(kx) \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.8 \cos \left( \frac{\pi x}{20} \right) \sin(200 \pi t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = \frac{\pi}{20}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$,તેથી $\frac{2 \pi}{\lambda} = \frac{\pi}{20}$.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = 40 \, cm$ મળે છે.
સ્થિર તરંગમાં બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,અંતર $\frac{40}{2} = 20 \, cm$ થશે.

(D) સ્થિત તરંગમાં,એક જ લૂપમાં (બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચે) રહેલા તમામ કણો એકબીજા સાથે સમાન કળામાં દોલન કરે છે.
પાસપાસેના લૂપમાં રહેલા કણો વિરુદ્ધ કળામાં દોલન કરે છે.
બિંદુ $A$ પ્રથમ લૂપમાં છે અને બિંદુ $B$ બીજા લૂપમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચે એક નિસ્પંદ બિંદુ આવેલું છે.
તેથી,$A$ અને $B$ સ્થાન પરના કણો વિરુદ્ધ કળામાં છે.
વિરુદ્ધ કળામાં રહેલા કણો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\pi$ રેડિયન હોય છે.

(A) સ્થિર તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $Y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $Y = 10 \sin \left( \frac{\pi x}{4} \right) \cos(20 \pi t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,તેથી $\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{4}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = 8 \ m$ મળે છે.
સ્થિર તરંગમાં બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે.
તેથી,અંતર $= \frac{8}{2} = 4 \ m$ થાય.

(B) ધારો કે પ્રથમ તરંગ $y_1 = a \sin(\omega t - kx)$ છે.
ધારો કે અજ્ઞાત તરંગ $y_2 = A \sin(\omega t + kx + \phi)$ છે.
પરિણામી તરંગ $y = y_1 + y_2$ છે.
$x = 0$ આગળ નિસ્પંદ બિંદુ રચાય છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 0$ પર તમામ $t$ માટે પરિણામી સ્થાનાંતર $y$ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$y(0, t) = a \sin(\omega t) + A \sin(\omega t + \phi) = 0$.
આ શરત તમામ $t$ માટે સાચી ઠરવા માટે,બંને તરંગોના મૂલ્યો સમાન અને કળા વિરુદ્ધ હોવી જોઈએ.
તેથી,$A = a$ અને $\phi = \pi$ (અથવા $\pi$ જેટલો કળા તફાવત).
$y_2 = a \sin(\omega t + kx + \pi) = -a \sin(\omega t + kx)$.
આમ,અજ્ઞાત તરંગનું સમીકરણ $y = -a \sin(\omega t + kx)$ છે.

(A) સ્થિત તરંગ માટે આપેલ સમીકરણ $y = a \sin bx \sin \omega t$ છે.
સ્થિત તરંગના પ્રમાણિત સમીકરણ $y = R \sin \left( \frac{2 \pi x}{\lambda} \right) \sin \omega t$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2 \pi}{\lambda} = b$
આથી,તરંગલંબાઈ $\lambda$ નીચે મુજબ મળે:
$\lambda = \frac{2 \pi}{b}$
સ્થિત તરંગમાં બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) વચ્ચેનું અંતર તરંગલંબાઈના અડધા જેટલું હોય છે,એટલે કે $\frac{\lambda}{2}$.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા:
અંતર $= \frac{\lambda}{2} = \frac{2 \pi / b}{2} = \frac{\pi}{b}$.

(B) સ્થિર તરંગોના નિર્માણ માટે એ જરૂરી છે કે માધ્યમ અમર્યાદિત ન હોવું જોઈએ,પરંતુ તેની સીમાઓ હોવી જોઈએ. આવા માધ્યમમાં પ્રસરતું તરંગ સીમા પર પરાવર્તિત થાય છે અને વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતું સમાન પ્રકારનું તરંગ ઉત્પન્ન કરે છે. આ બે તરંગોના સંપાતીકરણથી સ્થિર તરંગ રચાય છે. તેથી,$Assertion$ સાચું છે.
સ્થિર તરંગોમાં,માધ્યમના અમુક બિંદુઓ એવા હોય છે જે કાયમી ધોરણે સ્થિર રહે છે,એટલે કે તેમનું સ્થાનાંતર હંમેશા શૂન્ય હોય છે. આ બિંદુઓને નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) કહેવામાં આવે છે. તેથી,$Reason$ પણ સાચું છે.
જોકે,કેટલાક કણો સ્થિર રહે છે તે સ્થિર તરંગનો એક ગુણધર્મ છે,તે એ કારણ નથી કે માધ્યમ શા માટે મર્યાદિત હોવું જોઈએ. તેથી,$Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(N/A) સ્થિત તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y(x, t) = 2a \sin(kx) \cos(\omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y(x, t) = 0.06 \sin \left(\frac{2 \pi}{3} x\right) \cos (120 \pi t)$ સાથે સરખાવતા,તે સ્થિત તરંગ દર્શાવે છે.
$(b)$ સ્થિત તરંગ એ બે તરંગોનું સંપાતપણું છે: $y_1 = a \sin(\omega t - kx)$ અને $y_2 = a \sin(\omega t + kx)$.
આપેલ સમીકરણને $y = 2a \sin(kx) \cos(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,$k = \frac{2 \pi}{3}$ અને $\omega = 120 \pi$ મળે છે.
$k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ હોવાથી,$\lambda = \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi}{2 \pi / 3} = 3 \; m$ મળે.
$\omega = 2 \pi \nu$ હોવાથી,$\nu = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{120 \pi}{2 \pi} = 60 \; Hz$ મળે.
દરેક તરંગની ઝડપ $v = \nu \lambda = 60 \times 3 = 180 \; m/s$ છે.
$(c)$ દોરી પરના લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $\mu = \frac{m}{l} = \frac{3.0 \times 10^{-2}}{1.5} = 2 \times 10^{-2} \; kg/m$.
તેથી,$T = v^2 \mu = (180)^2 \times (2 \times 10^{-2}) = 32400 \times 0.02 = 648 \; N$.

(N/A) $(i)$ આપેલ સમીકરણ સ્થિત તરંગ દર્શાવે છે.
$(a)$ હા,દોરી પરના તમામ બિંદુઓ $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{120\pi}{2\pi} = 60 \, Hz$ ની સમાન આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે,સિવાય કે નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) પર જ્યાં કંપવિસ્તાર શૂન્ય હોય છે.
$(b)$ ના,બધા બિંદુઓ સમાન કળામાં દોલન કરતા નથી. એક જ લૂપમાં રહેલા બિંદુઓ સમાન કળામાં દોલન કરે છે,પરંતુ પાસપાસેના લૂપમાં રહેલા બિંદુઓ $\pi$ રેડિયનના કળા તફાવત સાથે દોલન કરે છે.
$(c)$ ના,બધા બિંદુઓ સમાન કંપવિસ્તાર સાથે દોલન કરતા નથી. $x$ સ્થાન પરના બિંદુનો કંપવિસ્તાર $A(x) = 0.06 \sin \left(\frac{2\pi}{3} x\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સ્થાન $x$ પર આધાર રાખે છે.
$(ii)$ $x = 0.375 \, m$ પરના બિંદુનો કંપવિસ્તાર:
$A = 0.06 \sin \left(\frac{2\pi}{3} \times 0.375\right)$
$A = 0.06 \sin \left(\frac{2\pi}{3} \times \frac{3}{8}\right)$
$A = 0.06 \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)$
$A = 0.06 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.0424 \, m$.

(N/A) જ્યારે $+x$-દિશામાં ગતિ કરતું તરંગ પલ્સ કોઈ દ્રઢ (સ્થિર) આધાર સાથે અથડાય છે,ત્યારે તે $-x$-દિશામાં પરાવર્તિત થાય છે.
જો આપણે ધારી લઈએ કે સીમા પર કોઈ ઉર્જાનું શોષણ થતું નથી,તો પરાવર્તિત પલ્સનો આકાર આપાત પલ્સ જેવો જ રહે છે,પરંતુ તેનો કળા તફાવત $180^{\circ}$ અથવા $\pi$ રેડિયન જેટલો બદલાય છે.
આનું કારણ એ છે કે આધાર સ્થિર છે,તેથી તે બિંદુએ સ્થાનાંતર હંમેશા શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે $t$ સમયે આપાત પ્રગામી તરંગનું સ્થાનાંતર $y_{i}(x, t) = a \sin(kx - \omega t)$ છે.
ધારો કે પરાવર્તિત તરંગનું સ્થાનાંતર $y_{r}(x, t)$ છે.
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,પરિણામી સ્થાનાંતર $y(x, t)$ નીચે મુજબ છે:
$y(x, t) = y_{i}(x, t) + y_{r}(x, t)$
આધાર દ્રઢ હોવાથી,સ્થિર છેડા પર સ્થાનાંતર હંમેશા શૂન્ય હોય છે,તેથી $y(x, t) = 0$.
તેથી,$0 = y_{i}(x, t) + y_{r}(x, t)$
આનો અર્થ એ છે કે $y_{r}(x, t) = -y_{i}(x, t)$
આપાત તરંગનું સમીકરણ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y_{r}(x, t) = -a \sin(kx - \omega t) = a \sin(kx - \omega t + \pi)$

(N/A) જ્યારે કોઈ તણાવયુક્ત દોરી પરનું લંબગત તરંગ (transverse wave) મુક્ત છેડા (જેમ કે ઘર્ષણરહિત સળિયા પરની રીંગ) પાસે પહોંચે છે,ત્યારે તેનું પરાવર્તન કોઈ પણ કળા તફાવત (phase change) વગર થાય છે.
$1$. જ્યારે તરંગનો પલ્સ મુક્ત છેડા પાસે પહોંચે છે,ત્યારે તે છેડો મહત્તમ સ્થાનાંતર અનુભવે છે.
$2$. આધાર મુક્ત હોવાથી,તે આપાત પલ્સની વિરુદ્ધ દિશામાં કોઈ પુનઃસ્થાપક બળ લગાડતું નથી.
$3$. પરિણામે,પરાવર્તિત પલ્સની ધ્રુવીયતા (polarity) આપાત પલ્સ જેવી જ રહે છે (એટલે કે શૃંગનું પરાવર્તન શૃંગ તરીકે જ થાય છે).
$4$. મુક્ત સીમા પર પરાવર્તન દરમિયાન $\pi$ રેડિયન (અથવા $180^{\circ}$) નો કોઈ કળા તફાવત ઉદ્ભવતો નથી.

(N/A) સ્થિત તરંગો: જ્યારે સમાન કંપવિસ્તાર,સમાન આવૃત્તિ અને સમાન તરંગલંબાઈ ધરાવતા બે તરંગો એક જ રેખા પર પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરીને સંપાત થાય,ત્યારે રચાતા પરિણામી તરંગને સ્થિત તરંગ કહે છે.
આ પરિણામી તરંગો કોઈ પણ દિશામાં પ્રસરણ પામતા નથી; તેથી,તેઓ ઉર્જાનું વહન કરતા નથી.
સમીકરણ મેળવવા માટે,સમાન કંપવિસ્તાર $a$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ ધરાવતા બે તરંગો જે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે તે ધ્યાનમાં લો:
$1$. ધન $x$-દિશામાં ગતિ કરતું તરંગ: $y_{1}(x, t) = a \sin(kx - \omega t)$
$2$. ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરતું તરંગ: $y_{2}(x, t) = a \sin(kx + \omega t)$
સંપાતપણાના સિદ્ધાંત મુજબ,પરિણામી સ્થાનાંતર $y$:
$y = y_{1} + y_{2}$
$y = a \sin(kx - \omega t) + a \sin(kx + \omega t)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A) + \sin(B) = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = 2a \sin(kx) \cos(\omega t)$
આ સ્થિત તરંગનું સમીકરણ છે,જ્યાં $2a \sin(kx)$ એ $x$ સ્થાન પરના કણનો કંપવિસ્તાર દર્શાવે છે.

(N/A) સ્થિત તરંગનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$y(x, t) = 2a \sin(kx) \cos(\omega t)$ ... $(1)$
અહીં,પદ $2a \sin(kx)$ એ સ્થાન $x$ પરના દોલનનો કંપવિસ્તાર દર્શાવે છે. કંપવિસ્તાર $x$ પર આધારિત હોવાથી,દોરી પરના દરેક બિંદુઓ અલગ-અલગ કંપવિસ્તાર સાથે દોલન કરે છે.
નોડ્સ (Nodes): જે બિંદુઓ પાસે દોલનનો કંપવિસ્તાર શૂન્ય હોય,તેને નોડ્સ કહે છે.
સમીકરણ $(1)$ માં,નોડ્સ માટે $2a \sin(kx) = 0$.
$\sin(kx) = 0 \implies kx = n\pi$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, 3, \dots$
$k = \frac{2\pi}{\lambda}$ હોવાથી,$\frac{2\pi}{\lambda} x = n\pi$.
તેથી,$x = \frac{n\lambda}{2}$ જ્યાં $n = 0, 1, 2, 3, \dots$
બે ક્રમિક નોડ્સ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ છે.
એન્ટિનોડ્સ (Antinodes): જે બિંદુઓ પાસે દોલનનો કંપવિસ્તાર મહત્તમ હોય,તેને એન્ટિનોડ્સ કહે છે.
સમીકરણ $(1)$ માં,એન્ટિનોડ્સ માટે $|\sin(kx)| = 1$.
$kx = (n + \frac{1}{2})\pi$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, 3, \dots$
$\frac{2\pi}{\lambda} x = (n + \frac{1}{2})\pi$.
તેથી,$x = (n + \frac{1}{2})\frac{\lambda}{2}$ જ્યાં $n = 0, 1, 2, 3, \dots$

(B) નાના હાથના ડ્રમ (એક વર્તુળાકાર પટલ) માટે,સામાન્ય મોડ્સ (normal modes) એ સીમા શરત (boundary condition) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે કે પટલનો પરિઘ સ્થિર (clamped) છે.
સીમા સ્થિર હોવાથી,પરિઘ પરનું સ્થાનાંતર દરેક સમય $t$ માટે શૂન્ય હોવું જોઈએ.
આ શરત પટલ પર સ્થિર તરંગો (stationary waves) ના નિર્માણ તરફ દોરી જાય છે,જ્યાં સામાન્ય મોડ્સ કંપનના ચોક્કસ પેટર્ન (નોડલ લાઇન) ને અનુરૂપ હોય છે જે આ સીમા શરતનું પાલન કરે છે.

(C) જ્યારે તરંગ માધ્યમમાં ગતિ કરે છે અને દ્રઢ સીમા (સ્થિર છેડો) સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેનું પરાવર્તન થાય છે.
દ્રઢ આધાર માટેની સીમા શરતો મુજબ,સીમા પર સ્થાનાંતર હંમેશા શૂન્ય હોવું જોઈએ.
આ શરતને સંતોષવા માટે,પરાવર્તિત તરંગ આપાત તરંગ સાથે $180^{\circ}$ કળા તફાવત ધરાવતું હોવું જોઈએ.
તેથી,દ્રઢ આધાર પરથી પરાવર્તનને કારણે તરંગની કળામાં થતો ફેરફાર $\pi$ રેડિયન છે.

(N/A) $1$. વક્રીભૂત તરંગ: જ્યારે તરંગ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે તેની ઝડપમાં ફેરફાર થવાને કારણે તેની દિશા બદલાય છે. આ ઘટનાને વક્રીભવન કહેવામાં આવે છે,અને બીજા માધ્યમમાં રહેલા તરંગને વક્રીભૂત તરંગ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
$2$. સ્થિત તરંગ: સ્થિત તરંગ (અથવા સ્ટેશનરી વેવ) એ સમાન માધ્યમમાં વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બે સમાન તરંગોના સંપાતીકરણથી રચાય છે. આ તરંગમાં વિક્ષેપ માધ્યમમાં આગળ વધતો નથી અને ઉર્જાનું એક બિંદુથી બીજા બિંદુએ સ્થાનાંતર થતું નથી. શૂન્ય કંપવિસ્તાર ધરાવતા બિંદુઓને નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) અને મહત્તમ કંપવિસ્તાર ધરાવતા બિંદુઓને પ્રસ્પંદ બિંદુઓ (antinodes) કહેવામાં આવે છે.

(B) સ્થિર તરંગમાં,કણોના કંપનનો કંપવિસ્તાર તેમના સ્થાન $x$ પર આધાર રાખે છે. કંપવિસ્તાર $A(x) = 2a \sin(kx)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આમ,કંપવિસ્તાર દરેક બિંદુએ બદલાય છે.
બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) વચ્ચેના તમામ કણો સમાન કળામાં કંપન કરે છે,જેનો અર્થ છે કે તેમનો કળા તફાવત $0$ છે.
પાસપાસેના લૂપ્સમાં રહેલા કણો વિરુદ્ધ કળામાં કંપન કરે છે,જેનો અર્થ છે કે તેમનો કળા તફાવત $\pi$ રેડિયન છે.
તેથી,સમાન અંતરાલના કણો માટે (બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચે),કંપવિસ્તાર બદલાય છે અને કળા તફાવત $0$ હોય છે.

(C) સ્થિર તરંગમાં, બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) વચ્ચેના તમામ કણો સમાન કળામાં દોલન કરે છે.
પાસપાસેના વિભાગોમાં રહેલા કણો (જે એક નિસ્પંદ બિંદુ દ્વારા અલગ પડે છે) વિરુદ્ધ કળામાં દોલન કરે છે.
ક્રમિક અંતરાલોમાં રહેલા કણો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\pi$ રેડિયન હોય છે.

(N/A) સ્થિત તરંગમાં,નિસ્પંદ બિંદુઓ અને પ્રસ્પંદ બિંદુઓ એ તેમના સ્થાનાંતર કંપવિસ્તાર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ચોક્કસ બિંદુઓ છે:
$1$. નિસ્પંદ બિંદુ (Node): આ સ્થિત તરંગમાં એવા બિંદુઓ છે જ્યાં માધ્યમના કણોનું સ્થાનાંતર હંમેશા શૂન્ય હોય છે. આ બિંદુઓ પર કંપનનો કંપવિસ્તાર $0$ હોય છે. તે એવી સ્થિતિમાં જોવા મળે છે જ્યાં તરંગોનું વિનાશક વ્યતિકરણ થાય છે.
$2$. પ્રસ્પંદ બિંદુ (Antinode): આ સ્થિત તરંગમાં એવા બિંદુઓ છે જ્યાં માધ્યમના કણોનું સ્થાનાંતર મહત્તમ હોય છે. આ બિંદુઓ પર કંપનનો કંપવિસ્તાર મહત્તમ હોય છે. તે એવી સ્થિતિમાં જોવા મળે છે જ્યાં તરંગોનું સહાયક વ્યતિકરણ થાય છે.

(A) વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બે સમાન તરંગોના સંપાતીકરણથી બનતા સ્થિર તરંગમાં,સ્થાનાંતર $y = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નોડ પર,કંપનનો કંપવિસ્તાર શૂન્ય હોય છે કારણ કે આ બિંદુઓ પર સ્થાનાંતર હંમેશા શૂન્ય હોય છે,એટલે કે $\sin(kx) = 0$.
એન્ટી-નોડ પર,કંપનનો કંપવિસ્તાર મહત્તમ હોય છે,જે $2A$ છે,કારણ કે આ બિંદુઓ પર સ્થાનાંતર મહત્તમ હોય છે,એટલે કે $|\sin(kx)| = 1$.

(B) સ્થિર તરંગ (જેને સ્ટેન્ડિંગ વેવ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બે સમાન તરંગોના સુપરપોઝિશન દ્વારા રચાય છે.
સ્થિર તરંગમાં,ઉર્જા નોડ્સ (nodes) ની વચ્ચે ફસાયેલી રહે છે.
જોકે માધ્યમના કણો દોલન કરે છે,પરંતુ માધ્યમમાં ઉર્જાનું કોઈ ચોખ્ખું સ્થળાંતર થતું નથી.
તેથી,એ વિધાન કે સ્થિર તરંગો ઉર્જાનું વહન કરે છે તે ખોટું છે.

(B) સ્થિર તરંગ (અથવા સ્ટેન્ડિંગ વેવ) વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બે સમાન તરંગોના સંપાતીકરણથી રચાય છે.
સ્થિર તરંગમાં,ઉર્જા નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) અને પ્રસ્પંદ બિંદુઓ (antinodes) વચ્ચે સીમિત રહે છે.
જોકે માધ્યમના કણો દોલન કરે છે,પરંતુ માધ્યમના કોઈપણ આડછેદમાંથી ઉર્જાનું ચોખ્ખું વહન થતું નથી.
તેથી,સ્થિર તરંગનો સૌથી મહત્વનો ગુણધર્મ એ છે કે તે એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી ઉર્જાનું વહન કરતું નથી.

(N/A) મૂળભૂત મોડ,જેને પ્રથમ હાર્મોનિક તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે કોઈ પણ તંત્ર (જેમ કે દોરી અથવા હવાની સ્તંભ) ની કંપનની સૌથી ઓછી આવૃત્તિ છે. આ મોડમાં,તંત્ર સૌથી સરળ સ્થિત તરંગ (standing wave) પેટર્ન સાથે કંપન કરે છે,જેમાં નોડ્સ (nodes) અને એન્ટિનોડ્સ (antinodes) ની સંખ્યા ન્યૂનતમ હોય છે. બંને છેડે જડેલી દોરી માટે,મૂળભૂત મોડ લંબાઈ $L = \lambda / 2$ ને અનુરૂપ છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે. આ મોડની આવૃત્તિ $f = v / (2L)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ તરંગની ઝડપ છે.

(N/A) સ્થિત તરંગમાં,બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે.
તે જ રીતે,બે ક્રમિક પ્રસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર પણ $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે.
એક નિસ્પંદ બિંદુ અને તેના પછીના ક્રમિક પ્રસ્પંદ બિંદુ વચ્ચેનું અંતર એ બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર કરતા અડધું હોય છે.
તેથી,ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુ અને પ્રસ્પંદ બિંદુ વચ્ચેનું અંતર $\frac{1}{2} \times \frac{\lambda}{2} = \frac{\lambda}{4}$ થાય છે.

(C) જ્યારે દોરી પર ગતિ કરતું તરંગ કોઈ જડ આધાર સાથે અથડાય છે,ત્યારે સીમા શરત મુજબ આધાર પર સ્થાનાંતર હંમેશા શૂન્ય હોવું જોઈએ.
આ શરતને સંતોષવા માટે,પરાવર્તિત તરંગનો કંપવિસ્તાર આપાત તરંગ જેટલો જ હોવો જોઈએ પરંતુ તેની કળા વિરુદ્ધ હોવી જોઈએ.
ગાણિતિક રીતે,જો આપાત તરંગ $y_i = A \sin(kx - \omega t)$ હોય,તો પરાવર્તિત તરંગ $y_r = A \sin(kx + \omega t + \pi)$ બને છે.
તેથી,જડ આધાર પરથી પરાવર્તન દરમિયાન કળામાં થતો ફેરફાર $\pi \text{ rad}$ છે.

(N/A) વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બે સમાન તરંગોના સંપાતીકરણથી રચાતા સ્થિર તરંગમાં,કંપવિસ્તાર સ્થાન સાથે બદલાય છે.
$1$. નિસ્પંદ બિંદુ (node) આગળ,બંને તરંગો વિનાશક વ્યતિકરણ અનુભવે છે,જેના પરિણામે સ્થાનાંતર $0$ થાય છે. આમ,નિસ્પંદ બિંદુ આગળ કંપવિસ્તાર $0$ હોય છે.
$2$. પ્રસ્પંદ બિંદુ (antinode) આગળ,બંને તરંગો સહાયક વ્યતિકરણ અનુભવે છે,જેના પરિણામે મહત્તમ સ્થાનાંતર મળે છે. જો દરેક ઘટક તરંગનો કંપવિસ્તાર $A$ હોય,તો પ્રસ્પંદ બિંદુ આગળ કંપવિસ્તાર $2A$ થાય છે.

(B) સ્થિત તરંગમાં,ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુ અને પ્રસ્પંદ બિંદુ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{4}$ હોય છે.
અહીં આપેલ છે કે $\frac{\lambda}{4} = 5 \ cm$,તેથી તરંગલંબાઈ $\lambda = 20 \ cm$ મળે.
બે ક્રમિક પ્રસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા,અંતર $\frac{20 \ cm}{2} = 10 \ cm$ મળે છે.

(C) સ્થિત તરંગ (standing wave) ત્યારે રચાય છે જ્યારે સમાન આવૃત્તિ અને કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે તરંગો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે અને એકબીજા સાથે વ્યતિકરણ પામે છે.
કોઈ મર્યાદિત વિસ્તારમાં તરંગ સ્થિત તરંગ તરીકે ટકી રહે તે માટે, તેણે તે વિસ્તારની સીમા શરતો (boundary conditions) સંતોષવી આવશ્યક છે.
આનાથી રચનાત્મક વ્યતિકરણની શરત ઉદ્ભવે છે, જ્યાં તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત એ તરંગલંબાઈનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ, એટલે કે $L = n \lambda / 2$, જ્યાં $n$ એક પૂર્ણાંક છે.
આ સિદ્ધાંત હાઇડ્રોજન પરમાણુના બોહરના મોડેલ માટે પાયારૂપ છે, જ્યાં સ્થિર કક્ષા જાળવી રાખવા માટે ઇલેક્ટ્રોન તરંગે ન્યુક્લિયસની આસપાસ સ્થિત તરંગ બનાવવું પડે છે.

(A) સ્થિત તરંગમાં,દબાણનો ફેરફાર માધ્યમના કણોના સ્થાનાંતર સાથે સંબંધિત છે.
નોડલ બિંદુ $(ii)$ પર,કણોનું સ્થાનાંતર શૂન્ય હોય છે,જે દબાણમાં મહત્તમ ફેરફાર (પ્રેશર એન્ટિનોડ) ને અનુરૂપ છે.
એન્ટિનોડલ બિંદુ $(i)$ પર,કણોનું સ્થાનાંતર મહત્તમ હોય છે,જે દબાણમાં ન્યૂનતમ ફેરફાર (પ્રેશર નોડ) ને અનુરૂપ છે.
તેથી,સાચી જોડ છે: $(a-i), (b-ii)$.

(N/A) આપેલી આકૃતિ સ્થિત તરંગ (stationary wave) દર્શાવે છે કારણ કે નિસ્પંદ બિંદુઓ (શૂન્ય સ્થાનાંતર ધરાવતા બિંદુઓ) તમામ સમય $t$ માટે $x = 10, 20, 30, 40 \text{ cm}$ જેવા ચોક્કસ સ્થાનો પર સ્થિર રહે છે.
બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ જેટલું હોય છે.
આકૃતિ પરથી,બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર:
$\frac{\lambda}{2} = 20 \text{ cm} - 10 \text{ cm} = 10 \text{ cm}$ છે.
તેથી,તરંગલંબાઈ $\lambda$:
$\lambda = 2 \times 10 \text{ cm} = 20 \text{ cm}$ થાય.

(N/A) આપેલ છે: વેગ $v = 360 \ m/s$,આવૃત્તિ $f = 256 \ Hz$.
આવર્તકાળ $T = \frac{1}{f} = \frac{1}{256} \approx 3.906 \times 10^{-3} \ s$.
$(a)$ $t = 0$ સમયે,દોરી મહત્તમ સ્થાનાંતર પર છે. બીજો વક્ર ($t = ?$ સમયે) દોરીની સંતુલન સ્થિતિ (સીધી રેખા) દર્શાવે છે. દોરીને મહત્તમ સ્થાનાંતરથી સંતુલન સ્થિતિમાં આવવા માટે લાગતો સમય $\frac{T}{4}$ છે.
$t = \frac{T}{4} = \frac{3.906 \times 10^{-3}}{4} = 9.765 \times 10^{-4} \ s$.
$(b)$ નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) એટલે શૂન્ય સ્થાનાંતર ધરાવતા બિંદુઓ: $A, B, C, D, E$. પ્રસ્પંદ બિંદુઓ (antinodes) એટલે મહત્તમ સ્થાનાંતર ધરાવતા બિંદુઓ: $A^{\prime}, C^{\prime}$.
$(c)$ બે ક્રમિક પ્રસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર તરંગલંબાઈ $\lambda$ જેટલું હોય છે.
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{360}{256} = 1.40625 \ m \approx 1.41 \ m$.

(B) નિસ્પંદ બિંદુ (node) માટે,સ્થિત તરંગનો કંપવિસ્તાર શૂન્ય હોવો જોઈએ.
આપેલ સમીકરણ ${y} = 1.0 \, \text{mm} \cos(1.57 \, \text{cm}^{-1} x) \sin(78.5 \, \text{s}^{-1} t)$ માં,અવકાશી ભાગ $\cos(1.57 \, \text{cm}^{-1} x)$ છે.
અવકાશી ભાગને શૂન્ય લેતા: $\cos(1.57 \, \text{cm}^{-1} x) = 0$.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ નો એકી ગુણાંક હોય. ઉગમબિંદુની સૌથી નજીકના નિસ્પંદ બિંદુ $(x > 0)$ માટે,આપણે પ્રથમ ધન કિંમત લઈએ છીએ:
$1.57 \, \text{cm}^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,આપણને મળે છે $1.57 \approx \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$x = \frac{\pi}{2 \times 1.57} \, \text{cm} = \frac{1.57}{1.57} \, \text{cm} = 1 \, \text{cm}$.

(D) સ્થિત તરંગનું સમીકરણ $y = A_{res} \sin \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A_{res}$ એ $x$ સ્થાન પર રહેલા કણનો કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ સમીકરણ $y = (10 \cos \pi x) \sin \frac{2 \pi t}{T}$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,કોઈપણ સ્થાન $x$ પર કંપવિસ્તાર $A(x) = |10 \cos \pi x|$ મળે છે.
$x = \frac{4}{3} \, cm$ આપેલ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ:
$A = |10 \cos(\pi \cdot \frac{4}{3})|$
$A = |10 \cos(\frac{4 \pi}{3})|$
કારણ કે $\cos(\frac{4 \pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$,
$A = |10 \cdot (-0.5)| = |-5| = 5 \, cm$.
આમ,કંપવિસ્તાર $5 \, cm$ છે.

(C) જ્યારે કોઈ માધ્યમમાં ગતિ કરતું તરંગ ઘટ્ટ સીમા (કઠણ સપાટી) સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેના કળામાં $\pi$ રેડિયનનો ફેરફાર થાય છે.
વધુમાં,પ્રસરણની દિશા ઉલટાઈ જાય છે,જેનો અર્થ છે કે $kx$ પદની નિશાની ઋણમાંથી ધન થઈ જાય છે.
આપાત તરંગ $y_i = a \cos (kx - \omega t)$ છે.
પરાવર્તિત તરંગનો કંપવિસ્તાર $a$ રહેશે,કળામાં $\pi$ નો તફાવત આવશે અને તે ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરશે.
તેથી,પરાવર્તિત તરંગ $y_r = a \cos (kx + \omega t + \pi)$ થશે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(\theta + \pi) = -\cos(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y_r = -a \cos (kx + \omega t)$.

(B) પવનના ઝાપટાની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{5} = 0.2 \, Hz$ છે.
બ્રિજ પર ટ્રાન્સવર્સ તરંગોની ઝડપ $v = 400 \, m/s$ છે.
પવન દ્વારા ઉત્પન્ન થતા તરંગોની તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{400}{0.2} = 2000 \, m$ છે.
બ્રિજમાં (બંને છેડે જડિત) પડઘો તેની મૂળભૂત આવૃત્તિ પર ત્યારે થાય છે જ્યારે ગાળાની લંબાઈ $L$ એ તરંગલંબાઈના અડધા જેટલી હોય,એટલે કે $L = \frac{\lambda}{2}$.
તેથી,$L = \frac{2000}{2} = 1000 \, m$.

(A) સ્થિત તરંગનું સમીકરણ $y = A \sin(\omega t) \cos(kx)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $y = A \sin(100t) \cos(0.01x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \, rad/s$.
તરંગ સંખ્યા $k = 0.01 \, m^{-1}$.
ઘટક તરંગોનો વેગ $v$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને તરંગ સંખ્યાના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \frac{\omega}{k}$
$v = \frac{100}{0.01}$
$v = 10000 \, m/s = 10^4 \, m/s$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) દોરીની લંબાઈ $L = 10 \, m$ છે.
તરંગનો વેગ $v = 20 \, m/s$ છે.
દોરી $n = 5$ વિભાગોમાં કંપન કરે છે,જે $5$મો હાર્મોનિક દર્શાવે છે.
બંને છેડે જડેલી દોરી માટે $n$મા હાર્મોનિકની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f_n = \frac{n v}{2L}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $f_5 = \frac{5 \times 20}{2 \times 10}$.
$f_5 = \frac{100}{20} = 5 \, Hz$.
તેથી,આવૃત્તિ $5 \, Hz$ છે.

(D) સ્થિત તરંગનું આપેલ સમીકરણ $y = 0.2 \sin(0.8 x) \cos(3000 t) \, m$ છે.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 0.8 \, rad/m$ મળે છે.
તરંગ સંખ્યા $k$ અને તરંગલંબાઇ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ છે.
તેથી,$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{0.8} = \frac{20\pi}{8} = 2.5\pi \, m$.
ન્યૂનતમ સ્થાનાંતર (નિસ્પંદ બિંદુઓ) અથવા મહત્તમ સ્થાનાંતર (સ્પંદ બિંદુઓ) ના કોઈપણ બે ક્રમિક બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંતર $= \frac{\lambda}{2} = \frac{2.5\pi}{2} = 1.25\pi \, m = \frac{5\pi}{4} \, m$.
આમ,$\frac{5\pi}{4} \, m$ એ આપેલા વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) સ્થિત તરંગનું સમીકરણ $y = 2A \sin kx \cos \omega t$ છે.
કોઈપણ સ્થાન $x$ પર કણનો કંપવિસ્તાર $A_p = |2A \sin kx|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નોડ ત્યાં હોય છે જ્યાં $\sin kx = 0$ (દા.ત.,$x = 0$) અને એન્ટિનોડ ત્યાં હોય છે જ્યાં $\sin kx = 1$ (દા.ત.,$x = \frac{\lambda}{4}$).
નોડ $(x = 0)$ અને એન્ટિનોડ $(x = \frac{\lambda}{4})$ વચ્ચેનું મધ્યબિંદુ $x = \frac{\lambda}{8}$ છે.
$x = \frac{\lambda}{8}$ અને $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ ને કંપવિસ્તારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$A_p = 2A \sin \left( \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{8} \right) = 2A \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = 2A \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}A$.
સ્થિત તરંગમાં તમામ કણો માટે કંપનની આવૃત્તિ સમાન હોય છે,જે તરંગની આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi}$ જેટલી હોય છે.
આમ,કંપવિસ્તાર $\sqrt{2}A$ અને આવૃત્તિ $\frac{\omega}{2\pi}$ છે.

(B) સ્થિત તરંગમાં,બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેના માધ્યમના તમામ કણો સમાન કળામાં દોલન કરે છે.
આનો અર્થ એ છે કે તેઓ બધા એક જ સમયે તેમના સરેરાશ સ્થાનમાંથી પસાર થાય છે.
સ્થિત તરંગમાં કણનું સ્થાનાંતર $y = A(x) \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A(x)$ એ કંપવિસ્તાર છે જે સ્થાન $x$ પર આધાર રાખે છે.
કણનો વેગ $v = \frac{dy}{dt} = A(x) \omega \cos(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સરેરાશ સ્થાન પર,$\sin(\omega t + \phi) = 0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\omega t + \phi) = \pm 1$.
આમ,સરેરાશ સ્થાન પર ઝડપ $|v| = A(x) \omega$ થાય છે.
જેમ કે કંપવિસ્તાર $A(x)$ એ સ્થાન $x$ સાથે બદલાય છે,તેથી જ્યારે કણો સરેરાશ સ્થાનને પસાર કરે છે ત્યારે એક જ સમયે તેમની ઝડપ જુદી જુદી હોય છે.

(B) સ્થિત તરંગનું સમીકરણ $y = A_0 \sin(kx) \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A_0$ એ એન્ટિનોડનો કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે,$A_0 = 4 \,cm$.
નોડનું સ્થાન ત્યાં હોય છે જ્યાં $\sin(kx) = 0$ હોય,અને એન્ટિનોડનું સ્થાન ત્યાં હોય છે જ્યાં $\sin(kx) = 1$ હોય.
નોડ અને તેની નજીકના એન્ટિનોડ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{4}$ છે.
નોડ અને એન્ટિનોડની બરાબર વચ્ચે રહેલો કણ નોડથી $\frac{1}{2} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\lambda}{8}$ અંતરે છે.
$x$ સ્થાન પર રહેલા કણનો કંપવિસ્તાર $A = A_0 \sin(kx)$ દ્વારા મળે છે.
$k = \frac{2\pi}{\lambda}$ અને $x = \frac{\lambda}{8}$ મૂકતા:
$A = 4 \sin\left(\frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{8}\right) = 4 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$.
કારણ કે $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $A = 4 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \,cm$.

(A) દોરીમાં તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ દોરીમાં તણાવ છે અને $\mu$ એ દોરીની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
આપેલ છે: $T = 0.5 \ N$,દળ $m = 1.0 \ g = 1.0 \times 10^{-3} \ kg$,અને લંબાઈ $L = 20 \ cm = 0.2 \ m$.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{L} = \frac{1.0 \times 10^{-3} \ kg}{0.2 \ m} = 0.5 \times 10^{-2} \ kg/m$.
આ કિંમતોને વેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{0.5}{0.5 \times 10^{-2}}} = \sqrt{100} = 10 \ m/s$.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{v}{f}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $f = 100 \ Hz$.
$\lambda = \frac{10 \ m/s}{100 \ Hz} = 0.1 \ m = 10 \ cm$.
સ્થિત તરંગમાં ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે.
તેથી,અંતર $= \frac{10 \ cm}{2} = 5 \ cm$.

(C) આપેલ છે: દોરીની લંબાઈ $L = 3 \ m$,તરંગની ઝડપ $v = 100 \ m/s$.
દોરીનો એક છેડો $x=0$ પર જડિત (નિસ્પંદ બિંદુ) છે અને બીજો છેડો $x=3 \ m$ પર ધ્રુજારી અનુભવે છે (પ્રસ્પંદ બિંદુ).
એક છેડે જડિત અને બીજા છેડે મુક્ત દોરી માટે,શક્ય તરંગલંબાઈ $L = (2n+1) \frac{\lambda}{4}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n = 0, 1, 2, ...$.
તેથી,$\lambda = \frac{4L}{2n+1} = \frac{12}{2n+1} \ m$.
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{(2n+1)\pi}{6}$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = vk = 100 \times \frac{(2n+1)\pi}{6} = \frac{(2n+1)50\pi}{3}$ છે.
$n=0$ માટે: $k = \frac{\pi}{6}$,$\omega = \frac{50\pi}{3}$. આ વિકલ્પ $(A)$ સાથે સુસંગત છે.
$n=1$ માટે: $k = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ (વિકલ્પોમાં નથી).
$n=2$ માટે: $k = \frac{5\pi}{6}$,$\omega = \frac{250\pi}{3}$. આ વિકલ્પ $(C)$ સાથે સુસંગત છે.
$n=7$ માટે: $k = \frac{15\pi}{6} = \frac{5\pi}{2}$,$\omega = \frac{15 \times 50\pi}{3} = 250\pi$. આ વિકલ્પ $(D)$ સાથે સુસંગત છે.
તેથી,વિકલ્પો $(A)$,$(C)$,અને $(D)$ સાચા છે.

(A) સ્થિત તરંગમાં, $x$ સ્થાન પરના કણનું સ્થાનાંતર $y(x, t) = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બધા કણો $t = \frac{T}{4}, \frac{3T}{4}, ...$ સમયે એકસાથે તેમના મધ્યમાન સ્થાનમાંથી પસાર થાય છે અને $t = 0, \frac{T}{2}, T, ...$ સમયે એકસાથે તેમના અંતિમ સ્થાને સ્થિર હોય છે.
આમ, એક સમયગાળામાં બધા કણો બે વાર એકસાથે સ્થિર હોય છે.
જોકે, પાસપાસેના લૂપમાં રહેલા કણો વિરુદ્ધ કળામાં હોય છે. જો પ્રથમ લૂપ $(0 < x < \frac{\lambda}{2})$ માં રહેલા કણો તેમના ધન અંતિમ સ્થાને હોય, તો પછીના લૂપ $(\frac{\lambda}{2} < x < \lambda)$ માં રહેલા કણો તેમના ઋણ અંતિમ સ્થાને હોય છે.
તેથી, બધા કણો ક્યારેય એકસાથે તેમના ધન અંતિમ સ્થાને હોઈ શકે નહીં.

(D) આપેલ સમીકરણ $y(x, t) = 10 \sin \left(\frac{2 \pi}{3} x\right) \cos (120 \pi t)$ એ $y(x, t) = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)$ સ્વરૂપનું છે,જે સ્થિત તરંગ દર્શાવે છે.
આપેલ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = \frac{2 \pi}{3}$ અને $\omega = 120 \pi$ મળે છે.
સ્થિત તરંગની આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{120 \pi}{2 \pi} = 60 \ Hz$ છે. તેથી,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
સ્થિત તરંગ એ સમાન આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ ધરાવતા બે તરંગોના વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરવાથી રચાય છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi}{2 \pi / 3} = 3 \ m$ છે.
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{120 \pi}{2 \pi / 3} = 180 \ m/s$ છે. તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
દોરીની લંબાઈ $L = 1.5 \ m$ અને $\lambda = 3 \ m$ હોવાથી,$L = \frac{\lambda}{2}$ થાય છે. આ બંને છેડે જડિત દોરીના મૂળભૂત મોડને અનુરૂપ છે. તેથી,પરાવર્તન જડિત છેડાથી થાય છે,મુક્ત છેડાથી નહીં. વિધાન $(D)$ ખોટું છે.
આમ,વિધાન $(B)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(A) મુખ્ય વિચાર: સ્થિત તરંગમાં $3$ નિસ્પંદ બિંદુઓ $(N)$ અને $2$ પ્રસ્પંદ બિંદુઓ $(A)$ છે,જેનો અર્થ છે કે તેમાં $2$ લૂપ અથવા વિભાગો છે.
બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે.
અહીં $3$ નિસ્પંદ બિંદુઓ હોવાથી,બે પરમાણુઓ વચ્ચે આવા $2$ વિભાગો છે.
સ્થિત તરંગની કુલ લંબાઈ $L$ એ આ $2$ વિભાગોની લંબાઈનો સરવાળો છે:
$L = 2 \times \left( \frac{\lambda}{2} \right) = \lambda$
આપેલ છે કે બે પરમાણુઓ વચ્ચેનું અંતર $1.21 \ Å$ છે,તેથી:
$L = 1.21 \ Å$
તેથી,$\lambda = 1.21 \ Å$.

(A) જ્યારે તરંગ શ્રેણીનો એક પલ્સ ખેંચાયેલી દોરી પર ગતિ કરે છે અને જડિત છેડા સુધી પહોંચે છે,ત્યારે તેનું પરાવર્તન થાય છે.
જડિત છેડા માટેની સીમા શરતો મુજબ,સીમા પર સ્થાનાંતર હંમેશા શૂન્ય હોવું જોઈએ.
આના પરિણામે પરાવર્તિત પલ્સમાં આપાત પલ્સની સાપેક્ષે $\pi$ $(180^{\circ})$ નો કળા તફાવત ઉદ્ભવે છે.
જોકે,પરાવર્તન પછી તરંગનો વેગ દિશામાં ઉલટાય છે,પરંતુ તેનું મૂલ્ય સમાન રહે છે.
તેથી,પલ્સ $180^{\circ}$ ના કળા તફાવત સાથે પરાવર્તિત થાય છે અને તેનો વેગ ઉલટાય છે.

(A) સ્થિત તરંગનું આપેલ સમીકરણ $y = 0.06 \sin \left( \frac{2 \pi}{3} x \right) \cos (120 \pi t)$ છે.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2 \pi}{3} \ m^{-1}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 120 \pi \ rad/s$ મળે છે.
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{120 \pi}{2 \pi / 3} = 120 \pi \times \frac{3}{2 \pi} = 180 \ m/s$ છે.
ખેંચાયેલી દોરીમાં તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
આપેલ છે કે $\mu = 4 \times 10^{-2} \ kg/m$,તેથી $180 = \sqrt{\frac{T}{4 \times 10^{-2}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $180^2 = \frac{T}{4 \times 10^{-2}}$.
$32400 = \frac{T}{0.04}$.
$T = 32400 \times 0.04 = 1296 \ N$.

(C) સ્થિત તરંગમાં બે ક્રમિક નોડ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે, $\frac{\lambda}{2} = 5 \,cm = 0.05 \,m$.
તેથી, તરંગલંબાઇ $\lambda = 2 \times 0.05 \,m = 0.1 \,m$.
કંપનની આવૃત્તિ $f$ એ તરંગના વેગ $v$ અને તરંગલંબાઇ $\lambda$ સાથે $f = \frac{v}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા, $f = \frac{2 \,m/s}{0.1 \,m} = 20 \,Hz$.

(A) જ્યારે લંબગત તરંગ એક સખત દીવાલ સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેનું પરાવર્તન થાય છે. સખત આધાર માટેની સીમા શરતો મુજબ,તરંગમાં $180^{\circ}$ (અથવા $\pi$ રેડિયન) નો કળા તફાવત ઉદભવે છે. માધ્યમ સમાન રહેતું હોવાથી,તરંગની ઝડપ બદલાતી નથી,જોકે પ્રસરણની દિશા ઉલટાઈ જાય છે. તેથી,કળા $180^{\circ}$ જેટલી બદલાય છે,પરંતુ વેગનું મૂલ્ય સમાન રહે છે.

(A) બંને છેડે જડેલી ખેંચાયેલી દોરી માટે,લંબાઈ $l$ નું સૂત્ર $l = \frac{p \lambda}{2}$ છે,જ્યાં $p$ એ લૂપ્સની સંખ્યા છે.
બંને છેડે જડેલી દોરી પરના સ્થિત તરંગોમાં,લૂપ્સની સંખ્યા $p$ એ પ્રસ્પંદ બિંદુઓ (anti-nodes) ની સંખ્યા જેટલી હોય છે.
નિસ્પંદ બિંદુઓ $m$ અને પ્રસ્પંદ બિંદુઓ $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $m = p + 1$ છે.
તેથી,લૂપ્સની સંખ્યા $p = m - 1$ થશે.
$p$ ની આ કિંમત લંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $l = \frac{(m-1) \lambda}{2}$ મળે છે.