Longitudinal Stationary Waves (Organ Pipes) and Resonance Tube Questions in Hindi

(B) बंद ऑर्गन पाइप में पहले रेजोनेंस के लिए शर्त है: $\frac{V}{4(\ell + e)} = f$,जहाँ $V$ ध्वनि की गति है,$\ell$ वायु स्तंभ की लंबाई है,$e$ एंड करेक्शन है और $f$ आवृत्ति है।
सबसे पहले,एंड करेक्शन $e$ की गणना करें। त्रिज्या $r$ वाली ट्यूब के लिए,$e = 0.6r$ होता है। दिया गया व्यास $d = 4 \ cm$ है,इसलिए $r = 2 \ cm$। अतः,$e = 0.6 \times 2 = 1.2 \ cm$।
$\ell$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\ell = \frac{V}{4f} - e$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $V = 336 \ m/s = 33600 \ cm/s$,$f = 512 \ Hz$,और $e = 1.2 \ cm$।
$\ell = \frac{33600}{4 \times 512} - 1.2 = \frac{33600}{2048} - 1.2 = 16.406 - 1.2 = 15.206 \ cm$।
निकटतम मान लेने पर,पाठ्यांक $15.2 \ cm$ है।

(D) अनुनाद स्तंभ के लिए,मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{4\ell} = \frac{1}{4\ell} \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ होती है।
दिया गया है $f = 244 \ Hz$ और $\ell = 0.350 \ m$,इसलिए $v = 4f\ell = 4 \times 244 \times 0.350 = 341.6 \ m/s$.
$v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ का उपयोग करके,हम विकल्पों की जाँच करते हैं:
आर्गन के लिए (एकपरमाणुक,$\gamma = 5/3 \approx 1.67$):
$v = \sqrt{\frac{1.67 RT}{M}} = \frac{640}{\sqrt{M}} = \frac{640}{\sqrt{36 \times 10^{-3}}} = \frac{640}{0.06 \times \sqrt{10}} \approx 337 \ m/s$.
यह मान प्रायोगिक मान $341.6 \ m/s$ के करीब है,जो त्रुटि सीमा $\Delta \ell = 0.005 \ m$ (जहाँ $\Delta v = v \frac{\Delta \ell}{\ell} = 341.6 \times \frac{0.005}{0.350} \approx 4.8 \ m/s$) के भीतर है।
अतः,गैस आर्गन है।

(C) बंद पाइप के लिए $n^{\text{th}}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_c = \frac{n V_1}{4 \ell_1}$ होती है,जहाँ $n$ विषम संख्या है। $9^{\text{th}}$ हार्मोनिक के लिए,$f_c = \frac{9 V_1}{4 \ell_1}$।
खुली पाइप के लिए $m^{\text{th}}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_o = \frac{m V_2}{2 \ell_2}$ होती है। $4^{\text{th}}$ हार्मोनिक के लिए,$f_o = \frac{4 V_2}{2 \ell_2} = \frac{2 V_2}{\ell_2}$।
दिया गया है कि $f_c = f_o$,इसलिए $\frac{9 V_1}{4 \ell_1} = \frac{2 V_2}{\ell_2}$।
चूंकि ध्वनि की गति $V = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ है,इसलिए $V_1 = \sqrt{\frac{B}{\rho_1}}$ और $V_2 = \sqrt{\frac{B}{\rho_2}}$ रखने पर।
$\frac{9}{4 \ell_1} \sqrt{\frac{B}{\rho_1}} = \frac{2}{\ell_2} \sqrt{\frac{B}{\rho_2}} \Rightarrow \frac{\ell_2}{\ell_1} = \frac{8}{9} \sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}$।
यहाँ $\ell_1 = 10 \ cm$ और $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{1}{16}$ है,इसलिए $\sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}} = \frac{1}{4}$।
$\ell_2 = 10 \times \frac{8}{9} \times \frac{1}{4} = \frac{20}{9} \ cm$।

(D) एक सिरे पर बंद वायु स्तंभ की मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि का वेग है और $L$ स्तंभ की लंबाई है।
$L_1 = 100 \ cm = 1.0 \ m$ और $L_2 = 120 \ cm = 1.2 \ m$ लंबाई के दो स्तंभों के लिए,मूल आवृत्तियाँ $f_1 = \frac{v}{4L_1}$ और $f_2 = \frac{v}{4L_2}$ हैं।
विस्पंद आवृत्ति इन दो आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $|f_1 - f_2| = 15 \ Hz$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{v}{4} \left( \frac{1}{L_1} - \frac{1}{L_2} \right) = 15$.
$\frac{v}{4} \left( \frac{1}{1.0} - \frac{1}{1.2} \right) = 15$.
$\frac{v}{4} \left( \frac{1.2 - 1.0}{1.2} \right) = 15$.
$\frac{v}{4} \left( \frac{0.2}{1.2} \right) = 15$.
$\frac{v}{4} \left( \frac{1}{6} \right) = 15$.
$v = 15 \times 4 \times 6 = 360 \ m/s$.

(A) $\ell$ लंबाई की एक बंद ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{4\ell}$ द्वारा दी जाती है।
जब पाइप को उसके आयतन के $\left(\frac{1}{5}\right)$ भाग तक पानी से भरा जाता है,तो वायु स्तंभ की प्रभावी लंबाई $\ell' = \ell - \frac{\ell}{5} = \frac{4\ell}{5}$ हो जाती है।
नई मूल आवृत्ति $f_2 = \frac{v}{4\ell'} = \frac{v}{4(\frac{4\ell}{5})} = \frac{5v}{16\ell}$ है।
आवृत्ति में परिवर्तन $\Delta f = f_2 - f_1 = \frac{5v}{16\ell} - \frac{v}{4\ell} = \frac{5v - 4v}{16\ell} = \frac{v}{16\ell}$ है।
आवृत्ति में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta f}{f_1} \times 100 = \frac{\frac{v}{16\ell}}{\frac{v}{4\ell}} \times 100 = \frac{4}{16} \times 100 = 25 \%$ है।

(B) $\ell$ लंबाई की खुली पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f = \frac{V}{2\ell}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ हवा में ध्वनि की गति है।
जब पाइप को पानी में उसकी लंबाई के आधे हिस्से तक लंबवत डुबोया जाता है,तो वायु स्तंभ की प्रभावी लंबाई $\ell' = \frac{\ell}{2}$ हो जाती है।
चूंकि अब एक सिरा पानी की सतह द्वारा बंद हो गया है,इसलिए पाइप एक बंद ऑर्गन पाइप (एक सिरा खुला और एक सिरा बंद) के रूप में कार्य करती है।
$\ell'$ लंबाई की बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f' = \frac{V}{4\ell'}$ द्वारा दी जाती है।
सूत्र में $\ell' = \frac{\ell}{2}$ रखने पर,हमें $f' = \frac{V}{4(\ell/2)} = \frac{V}{2\ell}$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक आवृत्ति के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $f' = f$।

(C) $L_o$ लंबाई की खुली ऑर्गन पाइप के लिए,$n$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_n = (n+1) \frac{v}{2L_o}$ द्वारा दी जाती है। दूसरा ओवरटोन $(n=2)$ $f_2 = 3 \frac{v}{2L_o}$ है।
$L_c = 15 \ cm$ लंबाई की बंद ऑर्गन पाइप के लिए,$m$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f'_m = (2m+1) \frac{v}{4L_c}$ द्वारा दी जाती है। पहला ओवरटोन $(m=1)$ $f'_1 = 3 \frac{v}{4L_c}$ है।
दिया गया है कि आवृत्तियाँ समान हैं: $3 \frac{v}{2L_o} = 3 \frac{v}{4L_c}$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{1}{2L_o} = \frac{1}{4L_c} \Rightarrow 2L_o = 4L_c \Rightarrow L_o = 2L_c$.
$L_c = 15 \ cm$ का मान रखने पर: $L_o = 2 \times 15 \ cm = 30 \ cm$.

(D) तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2(\ell_2 - \ell_1) = 2(50 - 16) = 68 \ cm$ द्वारा दी जाती है। अतः,$A \rightarrow s$.
ध्वनि की गति $v = f \lambda = 500 \ Hz \times 0.68 \ m = 340 \ m/s$. अतः,$C \rightarrow r$.
अंत सुधार $e = \frac{\ell_2 - 3\ell_1}{2} = \frac{50 - 3(16)}{2} = \frac{50 - 48}{2} = 1 \ cm$. अतः,$D \rightarrow p$.
$II$ अनुनाद पर द्रव स्तंभ की ऊंचाई कुल लंबाई में से वायु स्तंभ की लंबाई घटाने पर प्राप्त होती है: $120 \ cm - 50 \ cm = 70 \ cm$. अतः,$B \rightarrow t$.
अनुनाद पर द्रव स्तंभ का न्यूनतम स्तर सबसे लंबे संभव वायु स्तंभ के अनुरूप है,जो $118 \ cm$ पर $IV$ अनुनाद है। द्रव का स्तर $120 \ cm - 118 \ cm = 2 \ cm$ है। अतः,$E \rightarrow q$.
परिणामों का मिलान करने पर: $A \rightarrow s, B \rightarrow t, C \rightarrow r, D \rightarrow p, E \rightarrow q$.

(D) दी गई आवृत्तियाँ $375 \ Hz$,$625 \ Hz$ और $875 \ Hz$ हैं।
इन आवृत्तियों का अनुपात ज्ञात करें: $375 : 625 : 875$।
$125$ से विभाजित करने पर,हमें $3 : 5 : 7$ का अनुपात प्राप्त होता है।
चूंकि आवृत्तियाँ मूल आवृत्ति के विषम गुणज हैं,इसलिए पाइप एक बंद (closed) ऑर्गन पाइप है।
एक बंद पाइप के लिए,आवृत्तियाँ $f_n = (2n - 1)f_0$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $f_0$ मूल आवृत्ति है।
क्रमागत आवृत्तियों के बीच का अंतर $2f_0$ होता है।
$2f_0 = 625 \ Hz - 375 \ Hz = 250 \ Hz$।
अतः,$f_0 = 125 \ Hz$।
इस प्रकार,मूल आवृत्ति $125 \ Hz$ है और पाइप बंद प्रकार की है।

(B) माना कि पहले और दूसरे अनुनाद के लिए लंबाई $l_1$ और $l_2$ है,और $e$ अंत सुधार (end correction) है।
पहले अनुनाद के लिए: $\frac{\lambda}{4} = l_1 + e = 17 + e$ ... $(1)$
दूसरे अनुनाद के लिए: $\frac{3\lambda}{4} = l_2 + e = 52 + e$ ... $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$\frac{3\lambda}{4} - \frac{\lambda}{4} = (52 + e) - (17 + e)$
$\frac{2\lambda}{4} = 35 \ cm$
$\frac{\lambda}{2} = 35 \ cm \Rightarrow \lambda = 70 \ cm = 0.7 \ m$
ध्वनि का वेग $v = f \lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f = 500 \ Hz$ है।
$v = 500 \times 0.7 = 350 \ m/s$.

(D) खुले ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{2\ell}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $f \propto \frac{1}{\ell}$।
मान लीजिए ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f$ है।
$30 \ cm$ लंबाई वाले पाइप की आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{2 \times 30}$ है और $31 \ cm$ लंबाई वाले पाइप की आवृत्ति $f_2 = \frac{v}{2 \times 31}$ है।
चूंकि $f_1 > f_2$,इसलिए $f_1 = f + 4$ और $f_2 = f - 4$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{f_1}{f_2} = \frac{31}{30}$।
मान रखने पर: $\frac{f + 4}{f - 4} = \frac{31}{30}$।
तिर्यक गुणा करने पर: $30(f + 4) = 31(f - 4)$।
$30f + 120 = 31f - 124$।
$f = 120 + 124 = 244 \ Hz$।

(C) अनुनाद नली प्रयोग में,दो क्रमिक अनुनाद स्थितियों के बीच की दूरी ध्वनि तरंग की तरंगदैर्ध्य की आधी होती है,अर्थात $\frac{\lambda}{2} = \ell_2 - \ell_1$।
दिया गया है,$\ell_1 = 16 \ cm$ और $\ell_2 = 49 \ cm$।
अतः,$\frac{\lambda}{2} = 49 \ cm - 16 \ cm = 33 \ cm$।
इसका अर्थ है $\lambda = 2 \times 33 \ cm = 66 \ cm = 0.66 \ m$।
ध्वनि का वेग $v$ सूत्र $v = f \lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ आवृत्ति है।
दिया गया है $f = 500 \ Hz$।
$v = 500 \times 0.66 = 330 \ ms^{-1}$।

(B) एक सिरे पर बंद पाइप $P_1$ के लिए,$n$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_n = (2n+1) \frac{v}{4L_1}$ द्वारा दी जाती है। पहले ओवरटोन $(n=1)$ के लिए,$f_1 = 3 \frac{v}{4L_1}$ होगा।
दोनों सिरों पर खुली पाइप $P_2$ के लिए,$n$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_n = (n+1) \frac{v}{2L_2}$ द्वारा दी जाती है। तीसरे ओवरटोन $(n=3)$ के लिए,$f_3 = (3+1) \frac{v}{2L_2} = 4 \frac{v}{2L_2} = 2 \frac{v}{L_2}$ होगा।
चूंकि दोनों पाइप एक ही ट्यूनिंग फोर्क के साथ अनुनाद में हैं,इसलिए उनकी आवृत्तियाँ समान हैं: $3 \frac{v}{4L_1} = 2 \frac{v}{L_2}$।
$L_1/L_2$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{L_1}{L_2} = \frac{3}{4 \times 2} = \frac{3}{8}$।

(B) खुले पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_{open} = \frac{v}{2L}$ है।
बंद पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_{closed} = \frac{v}{4L}$ है।
बीट आवृत्ति $|f_{open} - f_{closed}| = |\frac{v}{2L} - \frac{v}{4L}| = \frac{v}{4L} = 3 \text{ Hz}$ है।
अतः,$\frac{v}{L} = 12 \text{ Hz}$ है।
अब,नई लंबाई $L' = \frac{L}{3}$ और $L'' = 3L$ है।
नए खुले पाइप की आवृत्ति $f'_{open} = \frac{v}{2(L/3)} = \frac{3v}{2L} = 6 \times 3 = 18 \text{ Hz}$ है।
नए बंद पाइप की आवृत्ति $f''_{closed} = \frac{v}{4(3L)} = \frac{v}{12L} = \frac{1}{3} \times 3 = 1 \text{ Hz}$ है।
नई बीट आवृत्ति $|18 - 1| = 17 \text{ Hz}$ है।

(B) $L$ लंबाई की खुली ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f = \frac{V}{2L}$ द्वारा दी जाती है।
$l$ लंबाई की पहली पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{V}{2l}$ है।
$(l+l_1)$ लंबाई की दूसरी पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_2 = \frac{V}{2(l+l_1)}$ है।
विस्पंद आवृत्ति $f_b$ दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $f_b = f_1 - f_2 = \frac{V}{2l} - \frac{V}{2(l+l_1)}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $f_b = \frac{V}{2} \left[ \frac{(l+l_1) - l}{l(l+l_1)} \right] = \frac{V l_1}{2l(l+l_1)}$.
चूंकि $l_1 \ll l$ की स्थिति दी गई है,हम हर (denominator) में $(l+l_1) \approx l$ मान सकते हैं।
अतः,$f_b \approx \frac{V l_1}{2l^2}$.

(B) एक सिरे पर बंद ऑर्गन पाइप के लिए,हार्मोनिक्स की आवृत्तियाँ $f_n = (2n - 1)f_0$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $f_0$ मूल आवृत्ति है और $n = 1, 2, 3, ...$ है।
मूल मोड $f_1 = f_0$ है।
पहला ओवरटोन तीसरा हार्मोनिक है: $f_{o1} = 3f_0$।
दूसरा ओवरटोन पांचवां हार्मोनिक है: $f_{o2} = 5f_0$।
तीसरा ओवरटोन सातवां हार्मोनिक है: $f_{o3} = 7f_0$।
प्रश्न के अनुसार,पहले तीन ओवरटोन की आवृत्तियों का योग $3930 \ Hz$ है:
$3f_0 + 5f_0 + 7f_0 = 3930 \ Hz$।
$15f_0 = 3930 \ Hz$।
$f_0 = \frac{3930}{15} \ Hz = 262 \ Hz$।
अतः,मूल मोड की आवृत्ति $262 \ Hz$ है।

(C) $L$ लंबाई के एक खुले पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है।
अतः,$L_1 = \frac{v}{2f_1}$ और $L_2 = \frac{v}{2f_2}$ है।
जब दो पाइपों को श्रेणी में जोड़ा जाता है,तो नए पाइप की कुल लंबाई $L = L_1 + L_2$ होती है।
संयुक्त पाइप की मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{2L}$ है।
$L_1$ और $L_2$ के मान रखने पर:
$f = \frac{v}{2(L_1 + L_2)} = \frac{v}{2(\frac{v}{2f_1} + \frac{v}{2f_2})} = \frac{v}{v(\frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2})} = \frac{1}{\frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2}} = \frac{f_1 f_2}{f_1 + f_2}$.

(A) $L$ लंबाई की बंद ऑर्गन पाइप में,मूलभूत मोड तरंगदैर्ध्य के एक चौथाई के बराबर होता है,अर्थात $L = \lambda / 4$,जिसका अर्थ है कि $\lambda = 4L$ है।
ध्वनि तरंग को खुले सिरे से बंद सिरे तक पहुँचने में लगा समय $t$,ध्वनि की गति $v$ से $L$ दूरी तय करने में लगा समय है। अतः,$t = L / v$,या $L = vt$ है।
$L = vt$ को तरंगदैर्ध्य के समीकरण में रखने पर,हमें $\lambda = 4vt$ प्राप्त होता है।
कंपन की आवृत्ति $f$ को $f = v / \lambda$ द्वारा दिया जाता है।
$\lambda$ का मान रखने पर,हमें $f = v / (4vt) = 1 / (4t) = (4t)^{-1}$ Hz प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) $L$ लंबाई की खुली पाइप के लिए,$n^{\text{th}}$ ओवरटोन की आवृत्ति $f_{\text{open}} = (n+1) \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$ है।
$L$ लंबाई की बंद पाइप के लिए,$n^{\text{th}}$ ओवरटोन की आवृत्ति $f_{\text{closed}} = (2n+1) \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$ है।
बंद पाइप के $n^{\text{th}}$ ओवरटोन और खुली पाइप के $n^{\text{th}}$ ओवरटोन की आवृत्ति का अनुपात:
$\text{Ratio} = \frac{f_{\text{closed}}}{f_{\text{open}}} = \frac{(2n+1) \frac{v}{4L}}{(n+1) \frac{v}{2L}}$
$\text{Ratio} = \frac{(2n+1)}{4L} \times \frac{2L}{(n+1)} = \frac{2n+1}{2(n+1)}$.

(C) एक बंद ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{4L} = 80 \ Hz$ द्वारा दी जाती है।
बंद ऑर्गन पाइप में उत्पन्न आवृत्तियाँ मूल आवृत्ति के विषम गुणज (odd harmonics) होती हैं,जो $f_n = n \cdot f_1$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 3, 5, 7, \ldots$ है।
$f_1 = 80 \ Hz$ का मान रखने पर:
$f_1 = 1 \times 80 = 80 \ Hz$
$f_3 = 3 \times 80 = 240 \ Hz$
$f_5 = 5 \times 80 = 400 \ Hz$
$f_7 = 7 \times 80 = 560 \ Hz$
अतः,उत्पन्न होने वाली आवृत्तियाँ $80, 240, 400, 560, \ldots \ Hz$ हैं।

(D) दोनों सिरों पर खुली ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि का वेग है और $l$ पाइप की लंबाई है।
$L$ लंबाई वाली पहली पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{2L}$ है।
$(L+L_1)$ लंबाई वाली दूसरी पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_2 = \frac{v}{2(L+L_1)}$ है।
विस्पंद आवृत्ति दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $f_b = |f_1 - f_2|$.
$f_b = \left| \frac{v}{2L} - \frac{v}{2(L+L_1)} \right| = \frac{v}{2} \left| \frac{(L+L_1) - L}{L(L+L_1)} \right|$.
$f_b = \frac{v}{2} \cdot \frac{L_1}{L(L+L_1)} = \frac{v L_1}{2 L(L+L_1)}$.

(A) एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,हार्मोनिक्स की आवृत्तियाँ $f_n = (2n - 1)f_1$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ $n^{th}$ हार्मोनिक को दर्शाता है।
मूल आवृत्ति $(n=1)$ पहला हार्मोनिक है।
पहला ओवरटोन तीसरा हार्मोनिक $(n=2)$ है।
दूसरा ओवरटोन पांचवां हार्मोनिक $(n=3)$ है।
एक बंद पाइप में,$n^{th}$ हार्मोनिक के लिए निस्पंदों $(N)$ और प्रस्पंदों $(A)$ की संख्या $N = n$ और $A = n$ द्वारा दी जाती है।
दूसरे ओवरटोन के लिए,$n = 3$ है।
इसलिए,निस्पंदों की संख्या $3$ है और प्रस्पंदों की संख्या $3$ है।

(A) माना पाइप की लंबाई $L$ है। एक खुली पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n_1 = \frac{v}{2L}$ होती है,जहाँ $v$ हवा में ध्वनि की गति है।
जब पाइप का $\frac{3}{4}$ भाग पानी में डूबा होता है,तो पानी के ऊपर शेष वायु स्तंभ की लंबाई $L' = L - \frac{3}{4}L = \frac{1}{4}L$ होती है।
यह पाइप अब एक बंद पाइप के रूप में कार्य करती है (पानी द्वारा एक सिरे पर बंद)। $L'$ लंबाई की बंद पाइप की मूल आवृत्ति $n_2 = \frac{v}{4L'}$ होती है।
$n_2$ के व्यंजक में $L' = \frac{1}{4}L$ रखने पर,हमें $n_2 = \frac{v}{4(\frac{1}{4}L)} = \frac{v}{L}$ प्राप्त होता है।
अब,$\frac{n_1}{n_2}$ का अनुपात ज्ञात करने पर: $\frac{n_1}{n_2} = \frac{v/2L}{v/L} = \frac{v}{2L} \times \frac{L}{v} = \frac{1}{2}$.

(C) मान लीजिए कि खुली पाइप की मूल आवृत्ति $f_0 = \frac{v}{2L}$ है।
खुली पाइप के हार्मोनिक्स की आवृत्तियाँ $f_n = (n+1)f_0$ होती हैं,जहाँ $n=0, 1, 2, ...$ है।
खुली पाइप का दूसरा ओवरटोन $n=2$ के संगत है,इसलिए $f_{open, 2nd} = 3f_0$ है।
समान लंबाई $L$ की बंद पाइप के लिए,आवृत्तियाँ $f'_m = (2m+1) \frac{v}{4L} = (2m+1) \frac{f_0}{2}$ होती हैं,जहाँ $m=0, 1, 2, ...$ है।
बंद पाइप का तीसरा ओवरटोन $m=3$ के संगत है,इसलिए $f_{closed, 3rd} = (2(3)+1) \frac{f_0}{2} = 7 \frac{f_0}{2} = 3.5f_0$ है।
प्रश्न के अनुसार,$f_{closed, 3rd} - f_{open, 2nd} = 200 \ Hz$ है।
$3.5f_0 - 3f_0 = 200 \ Hz$।
$0.5f_0 = 200 \ Hz$।
$f_0 = 400 \ Hz$।

(B) $L$ लंबाई के बंद पाइप के लिए, मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{4L} = 400 \text{ Hz}$ है।
जब पाइप का $\frac{1}{3}$ भाग पानी से भर दिया जाता है, तो वायु स्तंभ की प्रभावी लंबाई $L' = L - \frac{L}{3} = \frac{2L}{3}$ हो जाती है।
इस बंद पाइप की नई मूल आवृत्ति $f'_1 = \frac{v}{4L'} = \frac{v}{4(2L/3)} = \frac{3}{2} \left(\frac{v}{4L}\right) = \frac{3}{2} \times 400 = 600 \text{ Hz}$ है।
एक बंद पाइप केवल विषम हार्मोनिक्स $(1^{\text{st}}, 3^{\text{rd}}, 5^{\text{th}}, \dots)$ उत्पन्न करता है।
हालाँकि, प्रश्न में पाइप के $2^{\text{nd}}$ हार्मोनिक के बारे में पूछा गया है। ऑर्गन पाइप के संदर्भ में, $n^{\text{th}}$ हार्मोनिक को $n \times f_1$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसलिए, $2^{\text{nd}}$ हार्मोनिक आवृत्ति $f_2 = 2 \times f'_1 = 2 \times 600 = 1200 \text{ Hz}$ होगी।

(A) $L$ लंबाई की खुली ऑर्गन पाइप के लिए,सीमा शर्तों के अनुसार दोनों खुले सिरों पर प्रस्पंद (antinodes) बनते हैं।
मूल विधा (प्रथम हार्मोनिक) उस स्थिति के अनुरूप है जहाँ पाइप की लंबाई $L$ तरंगदैर्ध्य के आधे के बराबर होती है,अर्थात $L = \frac{\lambda}{2}$,इसलिए $\lambda = 2L$।
तरंग समीकरण $V = f \lambda$ का उपयोग करते हुए,मूल आवृत्ति $f = \frac{V}{\lambda} = \frac{V}{2L}$ प्राप्त होती है।
एक खुली ऑर्गन पाइप में,सभी हार्मोनिक्स (मूल आवृत्ति के पूर्णांक गुणज) मौजूद होते हैं,जिसका अर्थ है कि विषम और सम दोनों प्रकार के हार्मोनिक्स उत्पन्न होते हैं।

(B) $L$ लंबाई की दोनों सिरों पर खुली पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n_1 = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ हवा में ध्वनि की गति है।
$L$ लंबाई की एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n_2 = \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है।
इन दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम लिख सकते हैं कि $n_1 = 2 \times (\frac{v}{4L})$.
इस समीकरण में $n_2$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $n_1 = 2n_2$ प्राप्त होता है।

(D) एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v}{4L} = 150 \ Hz$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है कि $\frac{v}{L} = 150 \times 4 = 600 \ Hz$ है।
जब वही पाइप दोनों सिरों पर खुली होती है,तो मूल आवृत्ति $f_o = \frac{v}{2L}$ होती है।
$\frac{v}{L}$ का मान रखने पर,हमें $f_o = \frac{600}{2} = 300 \ Hz$ प्राप्त होता है।
खुली पाइप के लिए,सभी हार्मोनिक्स मौजूद होते हैं,इसलिए उत्पन्न आवृत्तियाँ मूल आवृत्ति के पूर्णांक गुणज होती हैं: $f_n = n \times f_o$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \ldots$ है।
अतः,आवृत्तियाँ $300 \times 1, 300 \times 2, 300 \times 3, \ldots$ अर्थात $300, 600, 900, 1200, \ldots \ Hz$ होंगी।

(C) मान लीजिए कि दोनों पाइपों की लंबाई $L$ है। एक खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_o = \frac{v}{2L}$ है और एक बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v}{4L}$ है।
दिया गया है कि बीट आवृत्ति $2$ है,इसलिए $|f_o - f_c| = 2$.
$|\frac{v}{2L} - \frac{v}{4L}| = 2 \implies \frac{v}{4L} = 2 \implies \frac{v}{L} = 8$.
अब,खुली पाइप की लंबाई $L' = \frac{L}{2}$ हो जाती है और बंद पाइप की लंबाई $L'' = 2L$ हो जाती है।
खुली पाइप की नई मूल आवृत्ति $f_o' = \frac{v}{2L'} = \frac{v}{2(L/2)} = \frac{v}{L} = 8 \text{ Hz}$ है।
बंद पाइप की नई मूल आवृत्ति $f_c' = \frac{v}{4L''} = \frac{v}{4(2L)} = \frac{v}{8L} = \frac{1}{2} \times (\frac{v}{4L}) = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \text{ Hz}$ है।
प्रति सेकंड उत्पन्न होने वाले बीट्स की संख्या $|f_o' - f_c'| = |8 - 1| = 7 \text{ Hz}$ है।

(B) एक बंद ऑर्गन पाइप में,मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{4L}$ होती है।
ओवरटोन की आवृत्तियाँ $f_n = (2n-1)f_1$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n$ हार्मोनिक संख्या है।
पहला ओवरटोन $3^{\text{rd}}$ हार्मोनिक $(n=2)$ है और दूसरा ओवरटोन $5^{\text{th}}$ हार्मोनिक $(n=3)$ है।
बंद पाइप में $n^{\text{th}}$ हार्मोनिक के लिए,नोड्स की संख्या $n$ और एंटीनोड्स की संख्या $n$ होती है।
चूँकि दूसरा ओवरटोन $3^{\text{rd}}$ कंपन मोड $(n=3)$ के अनुरूप है,इसलिए इसमें $3$ नोड्स और $3$ एंटीनोड्स होते हैं।

(D) $L$ लंबाई की खुली पाइप की मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{V}{2L}$ द्वारा दी जाती है।
जब पाइप का $80\%$ भाग पानी में डुबोया जाता है,तो पानी की सतह के ऊपर बचे वायु स्तंभ की लंबाई $l = L - 0.8L = 0.2L = \frac{L}{5}$ होती है।
चूंकि पाइप अब एक सिरे पर बंद (पानी की सतह द्वारा) है,यह $l$ लंबाई की बंद ऑर्गन पाइप की तरह व्यवहार करती है।
बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f_2 = \frac{V}{4l}$ होती है।
$l = \frac{L}{5}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f_2 = \frac{V}{4(L/5)} = \frac{5V}{4L}$ प्राप्त होता है।
अब,$f_1:f_2$ का अनुपात $\frac{f_1}{f_2} = \frac{V/2L}{5V/4L} = \frac{V}{2L} \times \frac{4L}{5V} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ है।

(A) एक खुले ऑर्गन पाइप के लिए,दोनों सिरों पर अंत सुधार $(e)$ को ध्यान में रखते हुए प्रभावी लंबाई $(L)$ इस प्रकार दी जाती है:
$L = l + 2e$
चूंकि खुले पाइप के लिए अंत सुधार $e = 0.6r$ होता है,इसलिए:
$L = l + 2(0.6r) = l + 1.2r$
खुले पाइप की मूल आवृत्ति $(f)$ का सूत्र है:
$f = \frac{v}{2L}$
$L$ का मान रखने पर:
$f = \frac{v}{2(l + 1.2r)}$

(C) माना सबसे छोटी अनुनाद लंबाई $l_1 = 15 \ cm$ है और अंत सुधार $e = 1 \ cm$ है।
एक सिरे पर बंद नली में पहले अनुनाद (मूल विधा) के लिए:
$l_1 + e = \frac{\lambda}{4}$
मान रखने पर:
$15 + 1 = \frac{\lambda}{4} \implies 16 = \frac{\lambda}{4} \implies \lambda = 64 \ cm$
अगली अनुनाद लंबाई $l_2$ (प्रथम अधिस्वरक) के लिए:
$l_2 + e = \frac{3\lambda}{4}$
मान रखने पर:
$l_2 + 1 = \frac{3 \times 64}{4}$
$l_2 + 1 = 3 \times 16$
$l_2 + 1 = 48$
$l_2 = 47 \ cm$

(A) ट्यूनिंग फोर्क एक सिरे पर बंद पाइप में वायु स्तंभ के साथ अनुनाद में है। अनुनाद आवृत्ति $n = \frac{(2N-1)v}{4l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $N = 1, 2, 3, \dots$ कंपन के विभिन्न मोड को दर्शाता है।
$n = 340 \ Hz$ और $v = 340 \ m/s$ (हवा में ध्वनि की गति) का मान रखने पर,वायु स्तंभ की लंबाई $l$ होगी:
$l = \frac{(2N-1)v}{4n} = \frac{(2N-1) \times 340}{4 \times 340} = \frac{2N-1}{4} \ m = (2N-1) \times 25 \ cm$.
$N = 1, 2, 3, \dots$ के लिए,वायु स्तंभ की संभावित लंबाई $l = 25 \ cm, 75 \ cm, 125 \ cm, \dots$ है।
चूँकि नली केवल $120 \ cm$ लंबी है,इसलिए वायु स्तंभ की संभावित लंबाई केवल $25 \ cm$ और $75 \ cm$ हो सकती है।
पानी के स्तंभ की संबंधित ऊँचाई $h = \text{कुल ऊँचाई} - l$ है।
$l = 25 \ cm$ के लिए,$h = 120 - 25 = 95 \ cm$.
$l = 75 \ cm$ के लिए,$h = 120 - 75 = 45 \ cm$.
अतः,अनुनाद के लिए आवश्यक पानी की न्यूनतम ऊँचाई $45 \ cm$ है।

(D) ध्वनि तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का मान $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{340} = 1 \ m = 100 \ cm$ है।
एक सिरे पर बंद नली के लिए,अनुनाद तब होता है जब वायु स्तंभ की लंबाई $L$,$\frac{\lambda}{4}$ का विषम गुणज हो,अर्थात $L = \frac{\lambda}{4}, \frac{3\lambda}{4}, \frac{5\lambda}{4}, \dots$
वायु स्तंभ की संभावित लंबाइयाँ $25 \ cm, 75 \ cm, 125 \ cm, \dots$ हैं।
नली की कुल ऊँचाई $150 \ cm$ है।
अनुनाद प्राप्त करने के लिए,वायु स्तंभ की लंबाई ऊपर दिए गए मानों में से एक होनी चाहिए। पानी के स्तंभ की न्यूनतम ऊँचाई प्राप्त करने के लिए,हमें नली में फिट होने वाली अधिकतम संभव वायु स्तंभ लंबाई चुननी चाहिए,जो $125 \ cm$ है।
पानी के स्तंभ की न्यूनतम ऊँचाई $= \text{कुल ऊँचाई} - \text{अधिकतम वायु स्तंभ लंबाई} = 150 \ cm - 125 \ cm = 25 \ cm$.

(B) एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,$n$ वें ओवरटोन की आवृत्ति $f = \frac{(2n+1)V}{4L_c}$ द्वारा दी जाती है।
तीसरे ओवरटोन के लिए,$n=3$,इसलिए $f = \frac{(2 \times 3 + 1)V}{4L_c} = \frac{7V}{4L_c}$।
दोनों सिरों पर खुले पाइप के लिए,$n$ वें ओवरटोन की आवृत्ति $f = \frac{(n+1)V}{2L_o}$ द्वारा दी जाती है।
छठे ओवरटोन के लिए,$n=6$,इसलिए $f = \frac{(6+1)V}{2L_o} = \frac{7V}{2L_o}$।
दोनों आवृत्तियों को बराबर करने पर: $\frac{7V}{4L_c} = \frac{7V}{2L_o}$।
सरल करने पर,हमें $\frac{1}{4L_c} = \frac{1}{2L_o}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{L_c}{L_o} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$।

(B) दिया गया है: पाइप की लंबाई $l = 60 \ cm = 0.6 \ m$,स्रोत की आवृत्ति $f = 2.2 \ kHz = 2200 \ Hz$,ध्वनि की गति $v = 330 \ m/s$.
दोनों सिरों पर खुली पाइप के लिए,$n^{\text{th}}$ हार्मोनिक की आवृत्ति का सूत्र $f_n = n \frac{v}{2l}$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$2200 = n \left[ \frac{330}{2 \times 0.6} \right]$
$2200 = n \left[ \frac{330}{1.2} \right]$
$2200 = n \times 275$
$n = \frac{2200}{275} = 8$.
अतः,पाइप का $8^{\text{th}}$ हार्मोनिक मोड स्रोत के साथ अनुनाद करता है।

(B) एक बंद ऑर्गन पाइप के लिए,पहले ओवरटोन की आवृत्ति $f_1 = \frac{3v_1}{4L_1}$ द्वारा दी जाती है।
एक खुली ऑर्गन पाइप के लिए,पहले ओवरटोन की आवृत्ति $f_2 = \frac{2v_2}{2L_2} = \frac{v_2}{L_2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि आवृत्तियाँ समान हैं,इसलिए $\frac{3v_1}{4L_1} = \frac{v_2}{L_2}$।
गैस में ध्वनि की गति $v = \sqrt{\frac{1}{\rho K}}$ होती है,जहाँ $K$ संपीड्यता है। चूंकि दोनों गैसों के लिए $K$ समान है,इसलिए $v \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$।
अतः,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}}$।
इस मान को आवृत्ति समीकरण में रखने पर: $\frac{3}{4L_1} \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}} = \frac{1}{L_2}$।
$L_2$ के लिए हल करने पर,हमें $L_2 = \frac{4L_1}{3} \sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}$ प्राप्त होता है।

(B) एक खुली पाइप के लिए, अंत सुधार $e$ का सूत्र $e = 0.6 \times d$ होता है, जहाँ $d$ पाइप का आंतरिक व्यास है।
दिया गया है कि अंत सुधार $e = 0.8 \,cm$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $0.8 = 0.6 \times d$.
इसलिए, $d = \frac{0.8}{0.6} = \frac{4}{3} \,cm$.
चूंकि आंतरिक त्रिज्या $r$, व्यास $d$ की आधी होती है, इसलिए $r = \frac{d}{2}$ होगा।
$r = \frac{4/3}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \,cm$.
अतः, पाइप की आंतरिक त्रिज्या $\frac{2}{3} \,cm$ है।

(B) $l$ लंबाई वाली खुली ऑर्गन पाइप के लिए, मूल आवृत्ति $f_0 = \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $v = 333 \,m/s$ और $l = 33.3 \,cm = 0.333 \,m$ दिया गया है।
$f_0 = \frac{333}{2 \times 0.333} = \frac{333}{0.666} = 500 \,Hz$।
एक खुली ऑर्गन पाइप में, सभी हार्मोनिक्स मौजूद होते हैं, इसलिए $n$-वां ओवरटोन $(n+1)$-वां हार्मोनिक होता है।
पांचवां ओवरटोन छठे हार्मोनिक के अनुरूप है।
पांचवें ओवरटोन की आवृत्ति $f_5 = 6 \times f_0 = 6 \times 500 \,Hz = 3000 \,Hz$ होगी।

(B) $L$ लंबाई वाली खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $n_{\text{open}} = \frac{v}{2L} = n$ द्वारा दी जाती है ... $(i)$
चूंकि पाइप डोरी के साथ अनुनाद में है,इसलिए डोरी की आवृत्ति $n_s = n = \frac{v}{2L}$ है।
जब नली को पानी में इस प्रकार डुबोया जाता है कि उसकी लंबाई का $75 \%$ हिस्सा अंदर हो,तो वायु स्तंभ की शेष लंबाई $l_1 = 25 \% \times L = \frac{L}{4}$ होती है।
अब यह पाइप एक बंद ऑर्गन पाइप (एक सिरे पर बंद) के रूप में कार्य करती है।
इस बंद पाइप की मूल आवृत्ति $n_{\text{closed}} = \frac{v}{4l_1} = \frac{v}{4(L/4)} = \frac{v}{L}$ है।
हमें डूबी हुई नली के वायु स्तंभ की मूल आवृत्ति $(n_{\text{closed}})$ और डोरी की आवृत्ति $(n_s)$ का अनुपात ज्ञात करना है:
अनुपात $= \frac{n_{\text{closed}}}{n_s} = \frac{v/L}{v/2L} = \frac{2}{1}$.

(A) $L_1$ लंबाई की बंद पाइप $A$ की मूल आवृत्ति $n_1 = \frac{v}{4L_1}$ द्वारा दी जाती है।
$L_2$ लंबाई की खुली पाइप $B$ के लिए,आवृत्तियाँ $n = \frac{mv}{2L_2}$ होती हैं,जहाँ $m = 1, 2, 3, \dots$ है। पहला ओवरटोन $m=2$ और दूसरा ओवरटोन $m=3$ होता है।
अतः,पाइप $B$ के दूसरे ओवरटोन की आवृत्ति $n_2 = \frac{3v}{2L_2}$ है।
यह दिया गया है कि आवृत्तियाँ एकसमान हैं,इसलिए $n_1 = n_2$.
अतः,$\frac{v}{4L_1} = \frac{3v}{2L_2}$।
अनुपात $\frac{L_1}{L_2}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{L_1}{L_2} = \frac{2}{4 \times 3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,अनुपात $1:6$ है।

(C) मान लीजिए कि खुली पाइप की लंबाई $l$ है और बंद पाइप की लंबाई $L$ है। मान लीजिए हवा में ध्वनि की गति $v$ है।
खुली पाइप के लिए,$p$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_p = (p+1) \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है। दूसरा ओवरटोन $p=2$ के अनुरूप है,इसलिए $f_{o} = 3 \frac{v}{2l}$।
बंद पाइप के लिए,$p$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_p = (2p+1) \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है। पहला ओवरटोन $p=1$ के अनुरूप है,इसलिए $f_{c} = 3 \frac{v}{4L}$।
यह दिया गया है कि आवृत्तियाँ समान हैं: $f_{o} = f_{c}$।
$\frac{3v}{2l} = \frac{3v}{4L}$।
दोनों पक्षों से $3v$ को हटाने पर,हमें $\frac{1}{2l} = \frac{1}{4L}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$2l = 4L$,जिसे सरल करने पर $l = 2L$ प्राप्त होता है।

(B) $l$ लंबाई और दोनों सिरों पर '$e$' अंत सुधार वाले खुले पाइप के लिए प्रभावी लंबाई $L_{eff} = l + 2e$ होती है।
खुले पाइप के लिए मूल आवृत्ति $n_1 = \frac{v}{2L_{eff}}$ होती है।
हार्मोनिक्स $n_p = p \cdot n_1$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $p = 1, 2, 3, \dots$ है।
पहला ओवरटोन $p=2$ है और दूसरा ओवरटोन $p=3$ है।
अतः,दूसरे ओवरटोन की आवृत्ति $n_3 = \frac{3v}{2(l+2e)}$ है।
संबंध $v = n_3 \lambda_3$ का उपयोग करते हुए,हमें $\lambda_3 = \frac{v}{n_3}$ प्राप्त होता है।
$n_3$ का मान रखने पर,$\lambda_3 = \frac{v}{\frac{3v}{2(l+2e)}} = \frac{2(l+2e)}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $l_1$ और $l_2$ पहले और दूसरे अनुनाद के लिए लंबाई हैं और $x$ अंत सुधार (end correction) है।
पहले अनुनाद के लिए: $l_1 + x = \frac{\lambda}{4}$
दूसरे अनुनाद के लिए: $l_2 + x = \frac{3\lambda}{4}$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{l_2 + x}{l_1 + x} = 3 \implies l_2 + x = 3l_1 + 3x \implies 2x = l_2 - 3l_1$
$2x = 70.2 - 3(22.7) = 70.2 - 68.1 = 2.1 \,cm \implies x = 1.05 \,cm$
तीसरे अनुनाद के लिए: $l_3 + x = \frac{5\lambda}{4} = 5(l_1 + x)$
$l_3 = 5l_1 + 4x = 5(22.7) + 4(1.05) = 113.5 + 4.2 = 117.7 \,cm$

(C) खुले पाइप की मूल आवृत्ति $f_{o,fund} = \frac{v}{2L_o}$ है। खुले पाइप का प्रथम ओवरटोन दूसरा हार्मोनिक होता है,जो $f_{o,1} = 2 \times \frac{v}{2L_o} = \frac{v}{L_o}$ द्वारा दिया जाता है।
बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f_{c,fund} = \frac{v}{4L_c}$ है। बंद पाइप का प्रथम ओवरटोन तीसरा हार्मोनिक होता है,जो $f_{c,1} = 3 \times \frac{v}{4L_c} = \frac{3v}{4L_c}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि प्रथम ओवरटोन की आवृत्तियाँ समान हैं:
$\frac{v}{L_o} = \frac{3v}{4L_c}$
बंद पाइप की लंबाई $(L_c)$ और खुले पाइप की लंबाई $(L_o)$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{L_c}{L_o} = \frac{3}{4}$
अतः,बंद पाइप और खुले पाइप की लंबाई का अनुपात $3:4$ है।

(D) एक खुली ऑर्गन पाइप के लिए,दोनों सिरों पर अंत सुधार $(e)$ को ध्यान में रखते हुए प्रभावी लंबाई $(L)$ इस प्रकार दी जाती है:
$L = l + 2e$
चूंकि एक खुली पाइप के लिए प्रत्येक सिरे पर अंत सुधार $e = 0.6r$ होता है,इसलिए प्रभावी लंबाई होगी:
$L = l + 2(0.6r) = l + 1.2r$
खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $(f)$ का सूत्र है:
$f = \frac{V}{2L}$
आवृत्ति के सूत्र में $L$ का मान रखने पर:
$f = \frac{V}{2(l + 1.2r)}$

(B) दोनों सिरों पर खुली पाइप $P_{O}$ के लिए,$n$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{n v}{2 L_O}$ होती है। दूसरा ओवरटोन $3^{rd}$ हार्मोनिक $(n=3)$ के अनुरूप है,इसलिए $f_3 = \frac{3 v}{2 L_O}$।
एक सिरे पर बंद पाइप $P_{C}$ के लिए,$n$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{(2n-1) v}{4 L_C}$ होती है। दूसरा ओवरटोन $5^{th}$ हार्मोनिक $(n=3)$ के अनुरूप है,इसलिए $f_5 = \frac{5 v}{4 L_C}$।
चूंकि दोनों पाइप एक ही ट्यूनिंग फोर्क के साथ अनुनाद में हैं,इसलिए उनकी आवृत्तियाँ समान हैं: $f_3 = f_5$।
$\frac{3 v}{2 L_O} = \frac{5 v}{4 L_C}$
$\frac{3}{2 L_O} = \frac{5}{4 L_C}$
$\frac{L_C}{L_O} = \frac{5 \times 2}{4 \times 3} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$।

(C) $L$ लंबाई की खुली पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है।
जब लंबाई का $\frac{3}{4}$ भाग पानी में डुबोया जाता है,तो वायु स्तंभ की शेष लंबाई $L' = L - \frac{3}{4}L = \frac{L}{4}$ होती है।
चूंकि अब एक सिरा पानी की सतह द्वारा बंद है,इसलिए यह $\frac{L}{4}$ लंबाई की बंद पाइप के रूप में कार्य करती है।
बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f_2 = \frac{v}{4L'} = \frac{v}{4(L/4)} = \frac{v}{L}$ होती है।
अब,अनुपात $\frac{f_1}{f_2} = \frac{v/2L}{v/L} = \frac{v}{2L} \times \frac{L}{v} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $l$ पाइप की लंबाई है और $v$ ध्वनि की गति है।
खुली ऑर्गन पाइप के लिए,$p^{\text{th}}$ ओवरटोन की आवृत्ति $f_o = (p+1) \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है।
बंद ऑर्गन पाइप के लिए,$p^{\text{th}}$ ओवरटोन की आवृत्ति $f_c = (2p+1) \frac{v}{4l}$ द्वारा दी जाती है।
आवृत्तियों का अनुपात $\frac{f_o}{f_c} = \frac{(p+1) \frac{v}{2l}}{(2p+1) \frac{v}{4l}}$ है।
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{f_o}{f_c} = \frac{p+1}{2l} \times \frac{4l}{2p+1} = \frac{2(p+1)}{2p+1}$ प्राप्त होता है।