Longitudinal Stationary Waves (Organ Pipes) and Resonance Tube Questions in Hindi

(A) चूंकि दोनों पाइप एक ही ट्यूनिंग फोर्क के साथ अनुनाद में हैं,इसलिए उनकी कंपन आवृत्ति $f$ समान होगी।
एक सिरे पर बंद ऑर्गन पाइप के लिए,$n$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f = \frac{(2n+1)v}{4l_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ ओवरटोन की संख्या है। प्रथम ओवरटोन $(n=1)$ के लिए,आवृत्ति $f = \frac{3v}{4l_1}$ है।
दोनों सिरों पर खुली ऑर्गन पाइप के लिए,$n$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f = \frac{(n+1)v}{2l_2}$ द्वारा दी जाती है। तीसरे ओवरटोन $(n=3)$ के लिए,आवृत्ति $f = \frac{(3+1)v}{2l_2} = \frac{4v}{2l_2} = \frac{2v}{l_2}$ है।
आवृत्तियों की तुलना करने पर: $\frac{3v}{4l_1} = \frac{2v}{l_2}$.
अनुपात $\frac{l_1}{l_2}$ ज्ञात करने के लिए व्यवस्थित करने पर: $\frac{l_1}{l_2} = \frac{3}{8}$.

(A) खुली ऑर्गन पाइप में $m^{\text{वें}}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_m = \frac{m v}{2 L}$ द्वारा दी जाती है।
मूल आवृत्ति $(m=1)$ के लिए, $f_1 = \frac{v}{2 L}$ है।
बंद ऑर्गन पाइप में $n^{\text{वें}}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n^{\prime} = \frac{n v}{4 L}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $n$ एक विषम संख्या है।
बंद ऑर्गन पाइप में $3^{\text{रे}}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_3^{\prime} = \frac{3 v}{4 L}$ है।
प्रश्न के अनुसार, $f_3^{\prime} - f_1 = 50 \,Hz$ है।
व्यंजक रखने पर: $\frac{3 v}{4 L} - \frac{v}{2 L} = 50$.
$\frac{3 v - 2 v}{4 L} = 50 \Rightarrow \frac{v}{4 L} = 50 \Rightarrow \frac{v}{L} = 200$.
खुली ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{2 L} = \frac{200}{2} = 100 \,Hz$ है।

(A) माना कि अंत संशोधन (end correction) $e$ है। एक सिरे पर बंद नली के लिए अनुनाद की स्थिति $l_n + e = (2n-1) \frac{\lambda}{4}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम अनुनाद $(n=1)$ के लिए: $24.1 + e = \frac{\lambda}{4} \quad ---(1)$
द्वितीय अनुनाद $(n=2)$ के लिए: $74.1 + e = \frac{3\lambda}{4} \quad ---(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(74.1 + e) - (24.1 + e) = \frac{3\lambda}{4} - \frac{\lambda}{4}$
$50 = \frac{2\lambda}{4} = \frac{\lambda}{2}$
$\lambda = 100 \ cm$
$\lambda$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$24.1 + e = \frac{100}{4} = 25$
$e = 25 - 24.1 = 0.9 \ cm$
अंत संशोधन $e$ और व्यास $D$ के बीच संबंध $e = 0.3D$ है।
$0.9 = 0.3D$
$D = \frac{0.9}{0.3} = 3 \ cm$.

(A) ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n = 264 \,Hz$ है और ध्वनि की गति $V = 330 \,m/s$ है।
एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,अनुनाद $\ell = (2k-1) \frac{\lambda}{4}$ लंबाई पर होता है,जहाँ $k = 1, 2, 3, \dots$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{V}{n} = \frac{330}{264} = 1.25 \,m = 125 \,cm$ है।
अतः,संभावित लंबाई $\ell = (2k-1) \frac{125}{4} = (2k-1) \times 31.25 \,cm$ है।
$k=1$ के लिए,$\ell = 31.25 \,cm$ है।
$k=2$ के लिए,$\ell = 3 \times 31.25 = 93.75 \,cm$ है।
$k=3$ के लिए,$\ell = 5 \times 31.25 = 156.25 \,cm$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$62.50 \,cm$ का मान $31.25 \,cm$ का विषम गुणज नहीं है,इसलिए यह संभव नहीं है।

(D) एक सिरे पर बंद पाइप में, केवल मूल आवृत्ति के विषम गुणज ही उत्पन्न होते हैं $(f_n = (2n-1)f_0)$, जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ है।
ये आवृत्तियाँ $f_1 = f_0$, $f_2 = 3f_0$, $f_3 = 5f_0$, $f_4 = 7f_0$ आदि हैं।
एक बंद पाइप में दो क्रमागत हार्मोनिक्स के बीच का अंतर $2f_0$ होता है।
यहाँ दी गई क्रमागत आवृत्तियाँ $150 \,Hz$ और $250 \,Hz$ हैं, इसलिए उनका अंतर $250 \,Hz - 150 \,Hz = 100 \,Hz$ है।
अतः, $2f_0 = 100 \,Hz$, जिससे मूल आवृत्ति $f_0 = 50 \,Hz$ प्राप्त होती है।

(D) बंद पाइप की मूलभूत विधा में,वायु स्तंभ की लंबाई $L = \frac{\lambda}{4}$ होती है।
यह दिया गया है कि ध्वनि तरंग को लंबाई $L$ तय करने में लगा समय $t$ है।
चूंकि तरंग $t$ समय में $L = \frac{\lambda}{4}$ दूरी तय करती है,इसलिए पूर्ण तरंगदैर्ध्य $\lambda$ तय करने में लगा समय $T = 4t$ होगा।
यहाँ,$T$ कंपन का आवर्तकाल (time period) दर्शाता है।
कंपन की आवृत्ति $n$,आवर्तकाल का व्युत्क्रम होती है,जिसे $n = \frac{1}{T}$ द्वारा दिया जाता है।
$T = 4t$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $n = \frac{1}{4t} = \frac{0.25}{t}$ प्राप्त होता है।

(A) खुली ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_o = \frac{v_2}{2 L_o}$ है। पहला ओवरटोन $f_{o1} = 2 f_o = \frac{v_2}{L_o}$ है।
बंद ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v_1}{4 L_c}$ है। पहला ओवरटोन $f_{c1} = 3 f_c = \frac{3 v_1}{4 L_c}$ है।
यह दिया गया है कि आवृत्तियाँ समान हैं,$f_{o1} = f_{c1}$,इसलिए $\frac{v_2}{L_o} = \frac{3 v_1}{4 L_c}$।
$L_o$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $L_o = \frac{4 L_c}{3} \frac{v_2}{v_1}$ प्राप्त होता है।
गैस में ध्वनि की गति $v = \sqrt{\frac{1}{\rho \beta}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\beta$ संपीड्यता है। चूंकि दोनों गैसों के लिए $\beta$ समान है,इसलिए $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}$ होता है।
इस मान को $L_o$ के व्यंजक में रखने पर,हमें $L_o = \frac{4 L_c}{3} \sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}$ प्राप्त होता है।

(B) माना पाइप की कुल लंबाई $L = 1.5 \,m$ है और पानी में डूबी हुई लंबाई $\ell$ है। पानी के ऊपर हवा के स्तंभ की लंबाई $L' = L - \ell = 1.5 - \ell$ होगी।
चूंकि पाइप अब एक सिरे पर बंद है, इसलिए यह एक बंद ऑर्गन पाइप की तरह कार्य करती है।
बंद पाइप के लिए $n$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_n = \frac{(2n+1)v}{4L'}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $n$ ओवरटोन की संख्या है।
दूसरे ओवरटोन के लिए $n = 2$ रखने पर, आवृत्ति $f_2 = \frac{(2(2)+1)v}{4L'} = \frac{5v}{4L'}$ होगी।
दिया गया है कि $f_2 = 330 \,Hz$ और $v = 330 \,m/s$, इसलिए:
$330 = \frac{5 \times 330}{4(1.5 - \ell)}$
$1 = \frac{5}{4(1.5 - \ell)}$
$4(1.5 - \ell) = 5$
$6 - 4\ell = 5$
$4\ell = 1$
$\ell = 0.25 \,m$.

(A) ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f = 500 \,Hz$ है और ध्वनि का वेग $v = 320 \,m/s$ है।
ध्वनि तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{320}{500} = 0.64 \,m = 64 \,cm$ है।
एक सिरे पर बंद नली के लिए, अनुनाद तब होता है जब वायु स्तंभ की लंबाई $L$ समीकरण $L = \frac{(2n-1)\lambda}{4}$ को संतुष्ट करती है, जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
अनुनाद के लिए संभावित लंबाइयाँ इस प्रकार हैं:
$n=1$ के लिए: $L_1 = \frac{\lambda}{4} = \frac{64}{4} = 16 \,cm$.
$n=2$ के लिए: $L_2 = \frac{3\lambda}{4} = 3 \times 16 = 48 \,cm$.
$n=3$ के लिए: $L_3 = \frac{5\lambda}{4} = 5 \times 16 = 80 \,cm$.
$n=4$ के लिए: $L_4 = \frac{7\lambda}{4} = 7 \times 16 = 112 \,cm$.
चूंकि नली की कुल लंबाई $1 \,m = 100 \,cm$ है, इसलिए केवल $16 \,cm, 48 \,cm,$ और $80 \,cm$ की लंबाइयाँ ही संभव हैं।
अतः, प्राप्त अनुनादों की कुल संख्या $3$ है।

(C) एक सिरे पर बंद नली के लिए,अनुनाद की लंबाई $L = \frac{(2k-1)\lambda}{4}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k = 1, 2, 3, \dots$
पहला अनुनाद $L_1 = \frac{\lambda}{4}$ पर होता है।
दूसरा अनुनाद $L_2 = \frac{3\lambda}{4}$ पर होता है।
दोनों लंबाइयों को घटाने पर: $L_2 - L_1 = \frac{3\lambda}{4} - \frac{\lambda}{4} = \frac{2\lambda}{4} = \frac{\lambda}{2}$.
इसलिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2(L_2 - L_1)$ है।
हवा में ध्वनि की गति $V$ का सूत्र $V = n\lambda$ है।
$\lambda$ का मान रखने पर: $V = n \times 2(L_2 - L_1) = 2n(L_2 - L_1)$.

(B) $L$ लंबाई की खुली पाइप में,अप्रगामी तरंगों के लिए स्थिति $L = n \frac{\lambda}{2}$ है,जहाँ $n$ लूप्स की संख्या (या हार्मोनिक्स) है।
दोनों सिरों पर खुली पाइप के लिए,खुले सिरों पर हमेशा प्रस्पंद (antinodes) बनते हैं।
यदि $4$ प्रस्पंद और $3$ निस्पंद हैं,तो बनने वाले लूप्स की संख्या $n = 3$ है।
पाइप की लंबाई $L = 3 \frac{\lambda}{2}$ है।
यह $3^{rd}$ हार्मोनिक के अनुरूप है।
खुली पाइप के लिए हार्मोनिक्स का क्रम $f_1, 2f_1, 3f_1, \dots$ (मूल आवृत्ति,$1^{st}$ ओवरटोन,$2^{nd}$ ओवरटोन,$\dots$) होता है।
अतः,$3f_1$ तीसरा हार्मोनिक है,जो $2^{nd}$ ओवरटोन है।

(C) एक सिरे पर बंद पाइप की मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{4 \ell_A}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $\ell_A$ पाइप '$A$' की लंबाई है।
दोनों सिरों पर खुली पाइप की आवृत्तियाँ $n_k = \frac{k v}{2 \ell_B}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $k = 1, 2, 3, \dots$ और $\ell_B$ पाइप '$B$' की लंबाई है।
पहला ओवरटोन $k=2$ के अनुरूप है,और दूसरा ओवरटोन $k=3$ के अनुरूप है।
अतः,खुली पाइप का दूसरा ओवरटोन $n' = \frac{3 v}{2 \ell_B}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$n = n'$,इसलिए $\frac{v}{4 \ell_A} = \frac{3 v}{2 \ell_B}$।
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{1}{4 \ell_A} = \frac{3}{2 \ell_B}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{\ell_A}{\ell_B} = \frac{2}{4 \times 3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$।
इसलिए,पाइप '$A$' की लंबाई और पाइप '$B$' की लंबाई का अनुपात $1: 6$ है।

(D) $\ell_1$ लंबाई वाली खुली नली की मूल आवृत्ति $n_1 = \frac{v}{2\ell_1} = n$ है।
जब नली को पानी में लंबवत इस प्रकार डुबोया जाता है कि उसकी लंबाई का एक-चौथाई हिस्सा पानी में रहे, तो वायु स्तंभ की लंबाई $\ell_2 = \ell_1 - \frac{1}{4}\ell_1 = \frac{3}{4}\ell_1$ हो जाती है।
चूंकि नली अब पानी की सतह द्वारा एक सिरे पर बंद है, इसलिए यह एक बंद ऑर्गन पाइप की तरह कार्य करती है।
बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $n_2 = \frac{v}{4\ell_2}$ होती है।
$\ell_2 = \frac{3}{4}\ell_1$ का मान रखने पर:
$n_2 = \frac{v}{4(\frac{3}{4}\ell_1)} = \frac{v}{3\ell_1}$।
$n_2$ की तुलना $n_1$ से करने पर:
$n_2 = \frac{2}{3} \times (\frac{v}{2\ell_1}) = \frac{2}{3}n$।

(D) बंद पाइप की मूल आवृत्ति $n_{c} = \frac{v}{4L}$ है।
खुली पाइप की मूल आवृत्ति $n_{o} = \frac{v}{2L}$ है।
दिया गया है कि वे प्रति सेकंड $2$ विस्पंद उत्पन्न करती हैं:
$n_{o} - n_{c} = 2$
$\frac{v}{2L} - \frac{v}{4L} = 2$
$\frac{v}{4L} = 2 \implies \frac{v}{L} = 8$.
जब खुली पाइप की लंबाई आधी कर दी जाती है,तो नई आवृत्ति:
$n_{o}' = \frac{v}{2(L/2)} = \frac{v}{L} = 8 \text{ Hz}$.
जब बंद पाइप की लंबाई दोगुनी कर दी जाती है,तो नई आवृत्ति:
$n_{c}' = \frac{v}{4(2L)} = \frac{v}{8L} = \frac{1}{8} \times \left(\frac{v}{L}\right) = \frac{1}{8} \times 8 = 1 \text{ Hz}$.
नई विस्पंद आवृत्ति $= n_{o}' - n_{c}' = 8 - 1 = 7 \text{ विस्पंद प्रति सेकंड}$.

(B) दोनों सिरों पर खुली पाइप के लिए, अनुनाद आवृत्तियों का सूत्र $f_n = \frac{n v}{2L}$ है, जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ हार्मोनिक संख्या है, $v$ ध्वनि की गति है और $L$ पाइप की लंबाई है।
दिया गया है: $v = 340 \,m/s$ और $L = 1 \,m$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $f_n = \frac{n \times 340}{2 \times 1} = n \times 170 \,Hz$।
इसका अर्थ है कि पाइप $170 \,Hz$ के पूर्णांक गुणजों (जैसे $170 \,Hz, 340 \,Hz, 510 \,Hz, \dots$) पर अनुनादित हो सकती है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर, $85 \,Hz$, $170 \,Hz$ का गुणज नहीं है, इसलिए वायु स्तंभ इस आवृत्ति पर अनुनादित नहीं हो सकता है।

(A) $\ell$ लंबाई वाले बंद ऑर्गन पाइप के प्रथम ओवरटोन की आवृत्ति $f = \frac{3V}{4\ell}$ द्वारा दी जाती है।
$\ell^{\prime}$ लंबाई वाले खुले ऑर्गन पाइप के प्रथम ओवरटोन की आवृत्ति $f^{\prime} = \frac{2V}{2\ell^{\prime}} = \frac{V}{\ell^{\prime}}$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि आवृत्तियाँ समान हैं,इसलिए $f = f^{\prime}$ रखने पर:
$\frac{3V}{4\ell} = \frac{V}{\ell^{\prime}}$.
लंबाई का अनुपात $\frac{\ell}{\ell^{\prime}}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{\ell}{\ell^{\prime}} = \frac{3}{4}$.
अतः,उनकी लंबाई का अनुपात $3: 4$ है।

(B) एक खुले ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n = \frac{V}{2\ell}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ ध्वनि की गति है और $\ell$ पाइप की लंबाई है।
पहले पाइप के लिए: $\ell_{1} = \frac{V}{2n_{1}}$.
दूसरे पाइप के लिए: $\ell_{2} = \frac{V}{2n_{2}}$.
जब इन्हें श्रेणी में जोड़ा जाता है,तो नए पाइप की कुल लंबाई $\ell = \ell_{1} + \ell_{2}$ होती है।
नए पाइप की मूल आवृत्ति $n = \frac{V}{2\ell}$ है।
$\ell$ के समीकरण में $\ell_{1}$ और $\ell_{2}$ के मान रखने पर:
$\frac{V}{2n} = \frac{V}{2n_{1}} + \frac{V}{2n_{2}}$.
दोनों पक्षों को $\frac{V}{2}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{n} = \frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}}$.
$n$ के लिए हल करने पर: $\frac{1}{n} = \frac{n_{1} + n_{2}}{n_{1}n_{2}}$,जो हमें $n = \frac{n_{1}n_{2}}{n_{1} + n_{2}}$ देता है।

(B) एक सिरे पर बंद ऑर्गन पाइप में,अप्रगामी तरंग (standing wave) के पैटर्न में हमेशा बंद सिरे पर एक नोड और खुले सिरे पर एक एंटीनोड होता है।
मूलभूत विधा (fundamental mode) के लिए,$1$ नोड और $1$ एंटीनोड होता है।
प्रथम ओवरटोन के लिए,$2$ नोड और $2$ एंटीनोड होते हैं।
चूंकि प्रश्न में $2$ नोड और $2$ एंटीनोड दिए गए हैं,इसलिए यह प्रथम ओवरटोन है।

(C) एक बंद पाइप के मूलभूत मोड में,पाइप की लंबाई $L$ तरंग दैर्ध्य के एक चौथाई के बराबर होती है,अर्थात $L = \frac{\lambda}{4}$।
यह दिया गया है कि ध्वनि तरंग को $L$ लंबाई तय करने में लगा समय $t$ है,इसलिए $t = \frac{L}{v}$,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है।
चूंकि $L = \frac{\lambda}{4}$,हम लिख सकते हैं $t = \frac{\lambda}{4v}$।
तरंग का आवर्तकाल $T$,$T = \frac{\lambda}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
$t$ के व्यंजक में $\lambda = vT$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $t = \frac{vT}{4v} = \frac{T}{4}$।
अतः,आवर्तकाल $T = 4t$ है।
आवृत्ति $f$,आवर्तकाल का व्युत्क्रम है,इसलिए $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{4t}$।

(C) दिया गया है: नली की लंबाई $L = 0.8 \ m$,आवृत्ति $f = 500 \ Hz$,ध्वनि की गति $v = 340 \ m/s$.
सबसे पहले,ध्वनि तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करें:
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{500} = 0.68 \ m$.
एक सिरे पर बंद नली के लिए अनुनाद की स्थिति $L_n = \frac{(2n-1)\lambda}{4}$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$.
हमें $n$ के उन मानों को खोजना है जिनके लिए $L_n \le 0.8 \ m$ हो।
$n=1$ के लिए: $L_1 = \frac{\lambda}{4} = \frac{0.68}{4} = 0.17 \ m$.
$n=2$ के लिए: $L_2 = \frac{3\lambda}{4} = 3 \times 0.17 = 0.51 \ m$.
$n=3$ के लिए: $L_3 = \frac{5\lambda}{4} = 5 \times 0.17 = 0.85 \ m$.
चूंकि $L_3 = 0.85 \ m > 0.8 \ m$,इसलिए तीसरा अनुनाद नली की लंबाई के भीतर नहीं बन पाएगा।
अतः,केवल $2$ अनुनाद ही सुनाई देंगे।

(A) $L_c$ लंबाई के बंद ऑर्गन पाइप के लिए,$n^{\text{th}}$ ओवरटोन की आवृत्ति $f_c = \frac{(2n+1)v}{4L_c}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ ओवरटोन संख्या है।
$3^{\text{rd}}$ ओवरटोन $(n=3)$ के लिए,$f_c = \frac{(2(3)+1)v}{4L_c} = \frac{7v}{4L_c}$.
$L_o$ लंबाई के खुले ऑर्गन पाइप के लिए,$n^{\text{th}}$ ओवरटोन की आवृत्ति $f_o = \frac{(n+1)v}{2L_o}$ द्वारा दी जाती है।
$3^{\text{rd}}$ ओवरटोन $(n=3)$ के लिए,$f_o = \frac{(3+1)v}{2L_o} = \frac{4v}{2L_o} = \frac{2v}{L_o}$.
चूंकि आवृत्तियाँ एकसमान हैं,$f_c = f_o$:
$\frac{7v}{4L_c} = \frac{2v}{L_o}$.
अनुपात $\frac{L_c}{L_o}$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$\frac{L_c}{L_o} = \frac{7}{4 \times 2} = \frac{7}{8}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) मान लीजिए पाइप की लंबाई $\ell$ है और ध्वनि की गति $v$ है।
खुली पाइप के लिए, मूल आवृत्ति $f_0 = \frac{v}{2\ell}$ है। खुली पाइप का दूसरा ओवरटोन $3f_0 = \frac{3v}{2\ell}$ होता है।
बंद पाइप के लिए, मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v}{4\ell}$ है। बंद पाइप का तीसरा ओवरटोन $7f_c = \frac{7v}{4\ell}$ होता है।
प्रश्न के अनुसार, बंद पाइप का तीसरा ओवरटोन खुली पाइप के दूसरे ओवरटोन से $150 \,Hz$ अधिक है:
$\frac{7v}{4\ell} = \frac{3v}{2\ell} + 150$
$\frac{7v}{4\ell} - \frac{6v}{4\ell} = 150$
$\frac{v}{4\ell} = 150$
चूंकि खुली पाइप की मूल आवृत्ति $f_0 = \frac{v}{2\ell}$ है, हम लिख सकते हैं:
$f_0 = 2 \times \left(\frac{v}{4\ell}\right) = 2 \times 150 = 300 \,Hz$.

(D) $\ell_c$ लंबाई वाली बंद ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_c = \frac{V}{4\ell_c}$ है। प्रथम ओवरटोन तीसरा हार्मोनिक होता है,इसलिए $f_{c,1} = 3f_c = \frac{3V}{4\ell_c}$ होगा।
$\ell_o$ लंबाई वाली खुली ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_o = \frac{V}{2\ell_o}$ है। प्रथम ओवरटोन दूसरा हार्मोनिक होता है,इसलिए $f_{o,1} = 2f_o = \frac{2V}{2\ell_o} = \frac{V}{\ell_o}$ होगा।
यह दिया गया है कि प्रथम ओवरटोन की आवृत्तियाँ समान हैं,इसलिए $\frac{3V}{4\ell_c} = \frac{V}{\ell_o}$ होगा।
$\frac{\ell_o}{\ell_c}$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{\ell_o}{\ell_c} = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) एक बंद पाइप में,कंपन की मूलभूत विधा तब होती है जब पाइप की लंबाई $\ell$,ध्वनि तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के एक-चौथाई के बराबर होती है।
सूत्र: $\ell = \frac{\lambda}{4}$
दिया गया है: $\lambda = 62 \,cm$
गणना: $\ell = \frac{62}{4} = 15.5 \,cm$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) $L$ लंबाई वाले बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{4L} = 400 \,Hz$ है।
इससे हमें $v = 1600L$ प्राप्त होता है।
जब पाइप का $1/3$ भाग पानी से भर जाता है,तो वायु स्तंभ की लंबाई $L' = L - \frac{L}{3} = \frac{2L}{3}$ हो जाती है।
वायु स्तंभ की नई मूल आवृत्ति $f'_1 = \frac{v}{4L'} = \frac{v}{4(2L/3)} = \frac{3v}{8L}$ है।
$v = 1600L$ रखने पर,हमें $f'_1 = \frac{3(1600L)}{8L} = 3 \times 200 = 600 \,Hz$ प्राप्त होता है।
एक बंद पाइप में,हार्मोनिक्स मूल आवृत्ति के विषम गुणज $(f_1, 3f_1, 5f_1, \dots)$ होते हैं। हालाँकि,प्रश्न पाइप की नई स्थिति में $2^{\text{nd}}$ हार्मोनिक के बारे में पूछता है। बंद पाइप का $2^{\text{nd}}$ हार्मोनिक (प्रथम ओवरटोन) $3f'_1$ होता है।
अतः,$2^{\text{nd}}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $3 \times 600 \,Hz = 1800 \,Hz$ होगी।

(B) दिया गया है: नली की लंबाई $L = 0.8 \,m$, आवृत्ति $f = 375 \,Hz$, ध्वनि की गति $v = 330 \,m/s$।
अनुनाद नली (एक सिरे पर बंद) में मूल आवृत्ति के लिए, वायु स्तंभ की लंबाई $\ell$ का सूत्र है: $\ell = \frac{v}{4f}$।
मान रखने पर: $\ell = \frac{330}{4 \times 375} = \frac{330}{1500} = 0.22 \,m$।
यह $\ell$ ऊपर से वायु स्तंभ की लंबाई को दर्शाता है।
नीचे से जल स्तर नली की कुल लंबाई में से वायु स्तंभ की लंबाई को घटाने पर प्राप्त होता है: $h = L - \ell$।
$h = 0.8 \,m - 0.22 \,m = 0.58 \,m$।

(D) ओपन पाइप की मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{2 \ell}$ द्वारा दी जाती है।
बंद पाइप के लिए, हार्मोनिक्स मूल आवृत्ति $n_0 = \frac{v}{4 \ell}$ के विषम गुणज होते हैं।
बंद पाइप का $2^{nd}$ हार्मोनिक वास्तव में $1^{st}$ ओवरटोन है, जो $3^{rd}$ हार्मोनिक है, जिसे $3 n_0 = \frac{3v}{4 \ell}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार, बंद पाइप के $2^{nd}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $n$ से $200 \,Hz$ अधिक है:
$\frac{3v}{4 \ell} - n = 200$
चूंकि $n = \frac{v}{2 \ell}$, इसलिए $\frac{v}{4 \ell} = \frac{n}{2}$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $3(\frac{n}{2}) - n = 200$.
$1.5n - n = 200 \implies 0.5n = 200$.
$n = 400 \,Hz$.

(C) $L$ लंबाई वाली खुली ऑर्गन पाइप के लिए,$P^{\text{th}}$ ओवरटोन की आवृत्ति $f_{\text{open}} = (P+1) \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है।
समान लंबाई $L$ वाली बंद ऑर्गन पाइप के लिए,$P^{\text{th}}$ ओवरटोन की आवृत्ति $f_{\text{closed}} = (2P+1) \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है।
खुली पाइप के $P^{\text{th}}$ ओवरटोन और बंद पाइप के $P^{\text{th}}$ ओवरटोन की आवृत्तियों का अनुपात लेने पर:
अनुपात $= \frac{(P+1) \frac{v}{2L}}{(2P+1) \frac{v}{4L}}$.
अनुपात $= \frac{P+1}{2L} \times \frac{4L}{2P+1} = \frac{2(P+1)}{2P+1}$.

(D) $l$ लंबाई की बंद पाइप के लिए,मूलभूत आवृत्ति $f_0 = \frac{v}{4l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है।
ध्वनि तरंग द्वारा पाइप की लंबाई $l$ तय करने में लिया गया समय $t = \frac{l}{v}$ है,जिसका अर्थ है $v = \frac{l}{t}$।
आवृत्ति के सूत्र में $v$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$f_0 = \frac{l/t}{4l} = \frac{1}{4t}$।
अतः,कंपन की आवृत्ति $(4t)^{-1}$ है।

(D) एक खुले पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $l$ पाइप की लंबाई है।
दो पाइपों के लिए,हमारे पास $l_1 = \frac{v}{2n_1}$ और $l_2 = \frac{v}{2n_2}$ है।
जब दोनों पाइपों को जोड़ा जाता है,तो नई लंबाई $L = l_1 + l_2$ हो जाती है।
नई मूल आवृत्ति $n'$ का मान $n' = \frac{v}{2L} = \frac{v}{2(l_1 + l_2)}$ है।
$l_1$ और $l_2$ के मान रखने पर:
$n' = \frac{v}{2(\frac{v}{2n_1} + \frac{v}{2n_2})} = \frac{v}{\frac{v}{n_1} + \frac{v}{n_2}} = \frac{1}{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}} = \frac{n_1 n_2}{n_1 + n_2}$.

(C) एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,प्राकृतिक आवृत्तियाँ $f_k = (2k - 1) \frac{V}{4L}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $k = 1, 2, 3, \dots$ मोड संख्या है।
यहाँ $V = 332 \ m/s$ और $L = 83 \ cm = 0.83 \ m$ दिया गया है।
मूल आवृत्ति $(k=1)$ $f_1 = \frac{V}{4L} = \frac{332}{4 \times 0.83} = \frac{332}{3.32} = 100 \ Hz$ है।
संभावित आवृत्तियाँ मूल आवृत्ति के विषम गुणज हैं: $f_k = (2k - 1) \times 100 \ Hz$.
हमें उन आवृत्तियों की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $f_k < 1000 \ Hz$ हो।
$(2k - 1) \times 100 < 1000 \implies 2k - 1 < 10 \implies 2k < 11 \implies k < 5.5$.
चूँकि $k$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $k = 1, 2, 3, 4, 5$ हो सकता है।
आवृत्तियाँ $100 \ Hz, 300 \ Hz, 500 \ Hz, 700 \ Hz, 900 \ Hz$ हैं।
अतः,कुल $5$ संभावित आवृत्तियाँ हैं।

(D) एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $n_1 = \frac{V}{4L} = 100 \ Hz$ है।
जब वही पाइप दोनों सिरों पर खुली होती है,तो नई मूल आवृत्ति $n'_1 = \frac{V}{2L}$ होती है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $n'_1 = 2 \times \frac{V}{4L} = 2 \times 100 \ Hz = 200 \ Hz$ प्राप्त होता है।
एक खुली पाइप में,मूल आवृत्ति के सभी गुणज (हार्मोनिक्स) उत्पन्न होते हैं।
अतः,उत्पन्न होने वाली आवृत्तियाँ $200 \ Hz, 400 \ Hz, 600 \ Hz, 800 \ Hz, .....$ हैं।

(B) एक खुली ऑर्गन पाइप के लिए,अंत सुधार $\Delta L$ का आंतरिक त्रिज्या $r$ के साथ संबंध प्रत्येक सिरे पर $\Delta L = 0.6 \times r$ होता है। चूंकि एक खुली पाइप के दो सिरे होते हैं,इसलिए कुल अंत सुधार $\Delta L_{total} = 2 \times (0.6 \times r) = 1.2 \times r$ होता है।
दिया गया है कि कुल अंत सुधार $\Delta L = 0.8 \ cm$ है,इसलिए:
$0.8 = 1.2 \times r$
$r = \frac{0.8}{1.2} \ cm$
$r = \frac{8}{12} \ cm = \frac{2}{3} \ cm$.

(D) माना $f_0 = \frac{v}{2L}$ खुली पाइप की मूल आवृत्ति है।
इसका दूसरा ओवरटोन $3f_0 = \frac{3v}{2L}$ है।
माना $f_c = \frac{v}{4L}$ बंद पाइप की मूल आवृत्ति है।
बंद पाइप की आवृत्तियाँ $(2n-1)f_c$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n=1, 2, 3, \dots$ है।
तीसरा ओवरटोन $n=4$ के संगत है,इसलिए $(f_3)_{\text{closed}} = (2(4)-1)f_c = 7f_c = \frac{7v}{4L}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$(f_3)_{\text{closed}} - (3f_0) = 150 \ Hz$ है।
मान रखने पर: $\frac{7v}{4L} - \frac{3v}{2L} = 150$.
$\frac{7v}{4L} - \frac{6v}{4L} = 150$.
$\frac{v}{4L} = 150$.
चूँकि खुली पाइप की मूल आवृत्ति $f_0 = \frac{v}{2L}$ है,इसलिए $f_0 = 2 \times \frac{v}{4L} = 2 \times 150 = 300 \ Hz$ होगा।

(A) एक अनुनाद नली में (जो एक बंद पाइप के रूप में कार्य करती है),अनुनाद की लंबाई $l_1 = \frac{\lambda}{4}$ और $l_2 = \frac{3\lambda}{4}$ द्वारा दी जाती है।
दो अनुनाद लंबाइयों के बीच का अंतर $l_2 - l_1 = \frac{\lambda}{2}$ होता है।
यहाँ $l_1 = 16 \ cm = 0.16 \ m$ और $l_2 = 49 \ cm = 0.49 \ m$ दिया गया है।
इसलिए,$\frac{\lambda}{2} = 0.49 \ m - 0.16 \ m = 0.33 \ m$।
इसका अर्थ है कि $\lambda = 0.66 \ m$।
तरंग समीकरण $v = n\lambda$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v = 330 \ m/s$ ध्वनि का वेग है और $n$ आवृत्ति है:
$n = \frac{v}{\lambda} = \frac{330}{0.66} = 500 \ Hz$।

(A) एक सिरे पर बंद पाइप की मूल आवृत्ति $n_{1} = \frac{v}{4 l_{1}}$ है,जिससे $l_{1} = \frac{v}{4 n_{1}}$ प्राप्त होता है।
दोनों सिरों पर खुले पाइप की मूल आवृत्ति $n_{2} = \frac{v}{2 l_{2}}$ है,जिससे $l_{2} = \frac{v}{2 n_{2}}$ प्राप्त होता है।
जब दोनों पाइपों को एक-दूसरे से जोड़ा जाता है,तो नया पाइप एक सिरे पर बंद और दूसरे पर खुला होता है,जिसकी कुल लंबाई $L = l_{1} + l_{2}$ है।
इस नए बंद पाइप की मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{4 L} = \frac{v}{4 (l_{1} + l_{2})}$ द्वारा दी जाती है।
$l_{1}$ और $l_{2}$ के मान रखने पर: $\frac{1}{4 n} = \frac{1}{4 n_{1}} + \frac{1}{2 n_{2}}$।
$4$ से गुणा करने पर: $\frac{1}{n} = \frac{1}{n_{1}} + \frac{2}{n_{2}} = \frac{n_{2} + 2 n_{1}}{n_{1} n_{2}}$।
अतः,$n = \frac{n_{1} n_{2}}{n_{2} + 2 n_{1}}$।

(A) एक सिरे पर बंद पाइप के फंडामेंटल मोड में,पाइप की लंबाई $l$ तरंगदैर्ध्य के एक-चौथाई के बराबर होती है,अर्थात $l = \frac{\lambda}{4}$,जिसका अर्थ है $\lambda = 4l$।
यह दिया गया है कि तरंग को पाइप की लंबाई $l$ तय करने में लगा समय $t = 0.01 \ s$ है,इसलिए ध्वनि की गति $v = \frac{l}{t}$ द्वारा दी जाती है।
फंडामेंटल आवृत्ति $n$ का सूत्र $n = \frac{v}{\lambda}$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $n = \frac{l/t}{4l} = \frac{1}{4t}$।
$t = 0.01 \ s$ का मान रखने पर,हमें मिलता है $n = \frac{1}{4 \times 0.01} = \frac{1}{0.04} = 25 \ Hz$।

(C) एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,अनुमत आवृत्तियाँ $f_n = n \cdot f_1$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n$ एक विषम पूर्णांक है $(n = 1, 3, 5, \dots)$।
दी गई मूल आवृत्ति $f_1 = 100 \ Hz$ है,इसलिए अगली आवृत्तियाँ $f_2 = 3 \times 100 \ Hz = 300 \ Hz$ और $f_3 = 5 \times 100 \ Hz = 500 \ Hz$ हैं।
चूँकि आवृत्तियाँ $1:3:5$ के अनुपात में हैं,इसलिए पाइप एक सिरे पर बंद और दूसरे सिरे पर खुली होनी चाहिए।

(A) माना कि अंत सुधार $x$ है। एक सिरे पर बंद नली के लिए अनुनाद की स्थिति $l_n + x = (2n-1) \frac{\lambda}{4}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम अनुनाद $(n=1)$ के लिए: $l_1 + x = \frac{\lambda}{4}$.
द्वितीय अनुनाद $(n=2)$ के लिए: $l_2 + x = \frac{3\lambda}{4}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{l_2 + x}{l_1 + x} = 3$.
$l_2 + x = 3l_1 + 3x$.
$2x = l_2 - 3l_1$.
$x = \frac{l_2 - 3l_1}{2}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $x = \frac{70.2 - 3(22.7)}{2} = \frac{70.2 - 68.1}{2} = \frac{2.1}{2} = 1.05 \,cm$.

(B) जब ध्वनि तरंगें एक पूर्णतः परावर्तक दीवार पर लंबवत गिरती हैं, तो आपतित और परावर्तित तरंगों के अध्यारोपण के कारण एक अप्रगामी तरंग (stationary wave) बनती है।
पूर्णतः परावर्तक दीवार पर एक निस्पंद (node) बनता है क्योंकि दीवार एक कठोर सीमा है।
निस्पंद शून्य विस्थापन के बिंदु हैं, जबकि प्रस्पंद (antinode) अधिकतम विस्थापन (अधिकतम आयाम) के बिंदु हैं।
दीवार (निस्पंद) से पहले प्रस्पंद की दूरी $d = \lambda/4$ द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले, $\lambda = v/f$ सूत्र का उपयोग करके तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करें, जहाँ $v = 300 \,ms^{-1}$ और $f = 600 \,Hz$ है।
$\lambda = 300/600 = 0.5 \,m$.
अब, दूरी $d = \lambda/4 = 0.5/4 = 0.125 \,m = 1/8 \,m$ की गणना करें।
अतः, दीवार से वह न्यूनतम दूरी जहाँ कणों का आयाम अधिकतम होता है, $1/8 \,m$ है।

(A) गैस में ध्वनि की गति $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है,जो यह दर्शाती है कि ध्वनि की गति $v$ परम तापमान $T$ के वर्गमूल के समानुपाती होती है $(v \propto \sqrt{T})$।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,ध्वनि की गति $v$ बढ़ती है।
ऑर्गन पाइप की आवृत्ति $n$ को $n = \frac{v}{\lambda}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $\lambda$ पाइप की लंबाई द्वारा निर्धारित तरंगदैर्ध्य है,जो स्थिर रहती है।
चूंकि $v$ बढ़ता है और $\lambda$ स्थिर रहता है,इसलिए आवृत्ति $n$ बढ़ जाती है।

(C) कथन $A$: एक अप्रगामी तरंग में,दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है और दो क्रमागत प्रस्पंदों के बीच की दूरी भी $\frac{\lambda}{2}$ होती है। अतः,कथन $A$ सत्य है।
कथन $B$: ऑर्गन पाइप के खुले सिरे पर,हवा स्वतंत्र रूप से कंपन कर सकती है,जिसका अर्थ है कि विस्थापन अधिकतम (प्रस्पंद) होता है। चूंकि विस्थापन प्रस्पंद पर दाब परिवर्तन न्यूनतम होता है,इसलिए खुले सिरे पर एक दाब निस्पंद बनता है। अतः,कथन $B$ सत्य है।
इसलिए,कथन $A$ और $B$ दोनों सत्य हैं।

(D) $L$ लंबाई के बंद पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है।
$L' = XL$ लंबाई के खुले पाइप के लिए,आवृत्तियाँ $f_n = \frac{n v}{2L'}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
पहला ओवरटोन $n=2$ है और दूसरा ओवरटोन $n=3$ है।
इसलिए,खुले पाइप के दूसरे ओवरटोन की आवृत्ति $f_o = \frac{3v}{2(XL)}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$f_c = f_o$,इसलिए $\frac{v}{4L} = \frac{3v}{2XL}$ है।
दोनों पक्षों से $v$ और $L$ को हटाने पर,हमें $\frac{1}{4} = \frac{3}{2X}$ प्राप्त होता है।
$X$ के लिए हल करने पर,हमें $2X = 12$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $X = 6$ है।

(B) $L_c$ लंबाई के बंद पाइप के लिए,$n$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_c = \frac{(2n+1)v}{4L_c}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ ओवरटोन संख्या है। चौथे ओवरटोन $(n=4)$ के लिए,$f_c = \frac{(2(4)+1)v}{4L_c} = \frac{9v}{4L_c}$ है।
$L_o$ लंबाई के खुले पाइप के लिए,$m$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_o = \frac{(m+1)v}{2L_o}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ ओवरटोन संख्या है। पांचवें ओवरटोन $(m=5)$ के लिए,$f_o = \frac{(5+1)v}{2L_o} = \frac{6v}{2L_o} = \frac{3v}{L_o}$ है।
चूंकि आवृत्तियाँ एकसमान हैं,इसलिए $f_c = f_o$,जिसका अर्थ है $\frac{9v}{4L_c} = \frac{3v}{L_o}$।
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{9}{4L_c} = \frac{3}{L_o} \implies \frac{L_c}{L_o} = \frac{9}{4 \times 3} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$।
अतः,बंद पाइप और खुले पाइप की लंबाई का अनुपात $3: 4$ है।

(D) ध्वनि की गति $v = 330 \ m/s$ और आवृत्ति $f = 330 \ Hz$ है। तरंगदैर्ध्य $\lambda = v/f = 330/330 = 1 \ m$ है।
जब एक खुली पाइप का एक सिरा पानी में डुबोया जाता है,तो यह एक सिरे पर बंद पाइप की तरह व्यवहार करती है।
वायु स्तंभ की लंबाई $L' = L - x$ है,जहाँ $L = 1.5 \ m$ कुल लंबाई है और $x$ पानी में डूबी हुई लंबाई है।
एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,हार्मोनिक्स की आवृत्ति $f_n = (2n-1) \frac{v}{4L'}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n=1$ मूल आवृत्ति है,$n=2$ पहला ओवरटोन है,और $n=3$ दूसरा ओवरटोन है।
$2^{\text{nd}}$ ओवरटोन के लिए,$n=3$ लेने पर,$f_3 = 5 \frac{v}{4L'}$.
दिया गया है $f_3 = 330 \ Hz$,इसलिए $330 = 5 \times \frac{330}{4L'}$.
इसे सरल करने पर $1 = \frac{5}{4L'}$,जिसका अर्थ है $4L' = 5$,या $L' = 1.25 \ m$.
चूंकि $L' = L - x$,इसलिए $1.25 = 1.5 - x$.
अतः,$x = 1.5 - 1.25 = 0.25 \ m$.

(C) $L$ लंबाई के एक सिरे पर बंद वायु स्तंभ के लिए,$n^{\text{th}}$ ओवरटोन की आवृत्ति $f_{c} = (2n + 1) \frac{v}{4L}$ द्वारा दी जाती है। $5^{\text{th}}$ ओवरटोन के लिए,$n = 5$,इसलिए $f_{c} = (2(5) + 1) \frac{v}{4L} = 11 \frac{v}{4L}$।
$L$ लंबाई के दोनों सिरों पर खुले वायु स्तंभ के लिए,$n^{\text{th}}$ ओवरटोन की आवृत्ति $f_{o} = (n + 1) \frac{v}{2L}$ द्वारा दी जाती है। $5^{\text{th}}$ ओवरटोन के लिए,$n = 5$,इसलिए $f_{o} = (5 + 1) \frac{v}{2L} = 6 \frac{v}{2L} = 12 \frac{v}{4L}$।
आवृत्तियों का अनुपात $\frac{f_{c}}{f_{o}} = \frac{11v/4L}{12v/4L} = \frac{11}{12}$ है।

(C) मान लीजिए कि दोनों पाइपों की लंबाई $L$ है। ध्वनि की गति $v$ है।
खुली पाइप के लिए,आवृत्तियाँ $f_{open, n} = n(v/2L)$ होती हैं। पहला ओवरटोन $(n=2)$ $f_{open, 1st} = 2(v/2L) = v/L$ है।
बंद पाइप के लिए,आवृत्तियाँ $f_{closed, n} = (2n-1)(v/4L)$ होती हैं। पहला ओवरटोन $(n=2)$ $f_{closed, 1st} = 3(v/4L)$ है।
दिया गया है कि बीट आवृत्ति $4$ Hz है: $|v/L - 3v/4L| = 4 \implies v/4L = 4 \implies v/L = 16$।
अब,खुली पाइप की नई लंबाई $L' = L/2$ है और बंद पाइप की नई लंबाई $L'' = 2L$ है।
नई खुली पाइप की मूल आवृत्ति $f'_{open} = v/(2L') = v/(2(L/2)) = v/L = 16$ Hz है।
नई बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f''_{closed} = v/(4L'') = v/(4(2L)) = v/8L = 16/8 = 2$ Hz है।
उत्पन्न बीट्स की संख्या $|f'_{open} - f''_{closed}| = |16 - 2| = 14$ Hz है।

(D) $L$ लंबाई की खुली पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_{open, 1} = \frac{v}{2L}$ है। प्रथम ओवरटोन दूसरा हार्मोनिक है,जो $f_{open, 2} = 2 \times f_{open, 1} = 2 \times \frac{v}{2L} = \frac{v}{L}$ द्वारा दिया जाता है।
$L$ लंबाई की बंद पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_{closed, 1} = \frac{v}{4L}$ है। प्रथम ओवरटोन तीसरा हार्मोनिक है,जो $f_{closed, 2} = 3 \times f_{closed, 1} = 3 \times \frac{v}{4L} = \frac{3v}{4L}$ द्वारा दिया जाता है।
खुली पाइप के प्रथम ओवरटोन और बंद पाइप के प्रथम ओवरटोन की आवृत्तियों का अनुपात $\frac{f_{open, 2}}{f_{closed, 2}} = \frac{v/L}{3v/4L} = \frac{1}{1} \times \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$ है।