Doppler’s Effect Questions in Hindi

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब ध्वनि का स्रोत (ट्रेन) एक स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $f$ का मान $f = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $v_s$ स्रोत की गति है। यह आवृत्ति स्रोत की मूल आवृत्ति $f_0$ से अधिक होती है और जब तक स्रोत स्थिर वेग से करीब आता है,तब तक यह स्थिर रहती है।
जब ट्रेन प्रेक्षक के पास से गुजरती है और दूर जाना शुरू करती है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $f = f_0 \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ हो जाती है,जो स्रोत की मूल आवृत्ति $f_0$ से कम होती है और जब तक स्रोत स्थिर वेग से दूर जाता है,तब तक यह स्थिर रहती है।
इसलिए,आवृत्ति $f$ शुरू में $f_0$ से अधिक होगी और जिस क्षण ट्रेन प्रेक्षक के पास से गुजरेगी,उस क्षण यह अचानक गिरकर $f_0$ से कम मान पर आ जाएगी। यह व्यवहार ग्राफ $B$ द्वारा सही ढंग से दर्शाया गया है।

(B) स्रोत $v_s = \frac{100}{3} \, m/s$ के वेग के साथ बिंदु $A$ की ओर बढ़ रहा है। प्रेक्षक बिंदु $O$ पर है। दूरी $AO = 4 \, m$ है और स्रोत की $A$ से दूरी $3 \, m$ है। प्रेक्षक $O$ से स्रोत की दूरी $r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \, m$ है।
स्रोत और प्रेक्षक को जोड़ने वाली रेखा पर स्रोत के वेग का घटक प्रभावी वेग $v_{s, \text{eff}} = v_s \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ वेग सदिश और रेखा $OS$ के बीच का कोण है।
ज्यामिति से,$\cos \theta = \frac{3}{5}$ है।
अतः,$v_{s, \text{eff}} = \frac{100}{3} \times \frac{3}{5} = 20 \, m/s$ है।
गतिमान स्रोत और स्थिर प्रेक्षक के लिए डॉपलर प्रभाव के सूत्र का उपयोग करते हुए: $n' = n \left( \frac{v}{v - v_{s, \text{eff}}} \right)$।
मान रखने पर: $n' = 640 \times \left( \frac{340}{340 - 20} \right) = 640 \times \left( \frac{340}{320} \right) = 640 \times 1.0625 = 680 \, Hz$।

(C) इंजन स्रोत और प्रेक्षक दोनों के रूप में कार्य करता है। ध्वनि दीवार तक जाती है और वापस परावर्तित होती है।
चूंकि इंजन $v_s = 50\, ms^{-1}$ के वेग से दीवार की ओर बढ़ रहा है,दीवार द्वारा प्राप्त आवृत्ति $f'$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र के अनुसार है:
$f' = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 1.2 \left( \frac{350}{350 - 50} \right) = 1.2 \left( \frac{350}{300} \right) = 1.4\, kHz$.
अब,दीवार एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है जो इस आवृत्ति $f'$ को परावर्तित करती है,और इंजन $v_o = 50\, ms^{-1}$ के वेग से दीवार की ओर बढ़ते हुए प्रेक्षक के रूप में कार्य करता है।
ड्राइवर द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f''$ है:
$f'' = f' \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = 1.4 \left( \frac{350 + 50}{350} \right) = 1.4 \left( \frac{400}{350} \right) = 1.4 \times \frac{8}{7} = 1.6\, kHz$.
वैकल्पिक रूप से,दीवार से परावर्तन के लिए संयुक्त सूत्र का उपयोग करते हुए:
$f'' = f_0 \left( \frac{v + v_s}{v - v_s} \right) = 1.2 \left( \frac{350 + 50}{350 - 50} \right) = 1.2 \left( \frac{400}{300} \right) = 1.6\, kHz$.

(D) प्रेक्षक द्वारा पास आ रही ट्रेन से सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $n'$ इस प्रकार है:
$n' = n \left[ \frac{v}{v - v_s} \right]$
प्रेक्षक द्वारा दूर जा रही ट्रेन से सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $n''$ इस प्रकार है:
$n'' = n \left[ \frac{v}{v + v_s} \right]$
प्रति सेकंड सुनाई देने वाली बीट्स की संख्या इन दो आवृत्तियों के बीच का अंतर है:
$\Delta n = n' - n''$
$\Delta n = nv \left[ \frac{1}{v - v_s} - \frac{1}{v + v_s} \right] = nv \left[ \frac{(v + v_s) - (v - v_s)}{v^2 - v_s^2} \right] = nv \left[ \frac{2v_s}{v^2 - v_s^2} \right]$
चूंकि $v_s^2$,$v^2$ की तुलना में बहुत छोटा है ($4^2 = 16$ और $320^2 = 102400$),हम $v^2 - v_s^2 \approx v^2$ मान सकते हैं:
$\Delta n \approx nv \left[ \frac{2v_s}{v^2} \right] = \frac{2nv_s}{v}$
दिए गए मानों को रखने पर ($n = 240\,Hz$,$v_s = 4\,m/s$,$v = 320\,m/s$):
$\Delta n = \frac{2 \times 240 \times 4}{320} = \frac{1920}{320} = 6\,Hz$
अतः,आदमी द्वारा सुनी जाने वाली प्रति सेकंड बीट्स की संख्या $6$ है।

(B) मोटरसाइकिल सवार द्वारा सुनी जाने वाली पुलिस वैन के हॉर्न की आभासी आवृत्ति $f'$,डॉप्लर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$f' = \left( \frac{v - u_m}{v - v_s} \right) f_s$
यहाँ $v = 330 \, m/s$,$v_s = 22 \, m/s$,और $f_s = 176 \, Hz$ है:
$f' = \left( \frac{330 - u_m}{330 - 22} \right) \times 176 = \left( \frac{330 - u_m}{308} \right) \times 176 \quad \dots (i)$
मोटरसाइकिल सवार द्वारा सुनी जाने वाली स्थिर सायरन की आभासी आवृत्ति $f''$ है:
$f'' = \left( \frac{v + u_m}{v} \right) f_{sireen}$
यहाँ $f_{sireen} = 165 \, Hz$ है:
$f'' = \left( \frac{330 + u_m}{330} \right) \times 165 \quad \dots (ii)$
चूंकि मोटरसाइकिल सवार कोई बीट्स नहीं सुनता है,इसलिए आवृत्तियाँ समान होनी चाहिए $(f' = f'')$:
$\left( \frac{330 - u_m}{308} \right) \times 176 = \left( \frac{330 + u_m}{330} \right) \times 165$
$\frac{4(330 - u_m)}{7} = \frac{330 + u_m}{2}$
$8(330 - u_m) = 7(330 + u_m)$
$2640 - 8u_m = 2310 + 7u_m$
$15u_m = 330$
$u_m = 22 \, m/s$.

(D) $1$. ध्वनि की तरंगदैर्ध्य को $\lambda = v/f$ के रूप में परिभाषित किया गया है। चूंकि स्रोत आवृत्ति $f$ निर्धारित करता है और माध्यम वेग $v$ निर्धारित करता है,इसलिए तरंगदैर्ध्य प्रेक्षक की गति से स्वतंत्र है। अतः,कथन $A$ सत्य है।
$2$. जब स्रोत गति करता है,तो क्रमिक तरंगों के बीच की दूरी बदल जाती है,जो सीधे तरंगदैर्ध्य को प्रभावित करती है। अतः,कथन $B$ सत्य है।
$3$. यदि माध्यम $u$ वेग के साथ गति करता है,तो जमीन के सापेक्ष ध्वनि का वेग $v' = v \pm u$ हो जाता है। तरंगदैर्ध्य भी $\lambda' = (v \pm u)/f$ में बदल जाती है। चूंकि $f$ स्थिर है,अनुपात $\lambda'/v' = 1/f$ स्थिर रहता है,जिसका अर्थ है कि वे समान अनुपात में बदलते हैं। अतः,कथन $C$ सत्य है।
$4$. जब माध्यम स्रोत से प्रेक्षक की ओर गति करता है,तो ध्वनि का प्रभावी वेग $v' = v + u$ हो जाता है। लेकिन यदि स्रोत और प्रेक्षक स्थिर हैं,तो सुनी गई आवृत्ति मूल आवृत्ति के समान ही रहती है क्योंकि प्रति सेकंड गुजरने वाली तरंगों की संख्या नहीं बदलती है। इसलिए,कथन $D$ गलत है।

(C) माना कार $B$ की गति $v_B$ है। दोनों कारें $A$ और $B$ स्थिर सायरन की ओर बढ़ रही हैं।
$1$. स्थिर सायरन से कार $B$ द्वारा सुनी गई आवृत्ति $(n_1)$:
चूंकि स्रोत स्थिर है और प्रेक्षक (कार $B$) उसकी ओर बढ़ रहा है,आवृत्ति होगी:
$n_1 = n_s \left( \frac{v + v_B}{v} \right) = 170 \left( \frac{340 + v_B}{340} \right) = \frac{1}{2} (340 + v_B)$
$2$. कार $A$ से कार $B$ द्वारा सुनी गई आवृत्ति $(n_2)$:
कार $A$ स्रोत है जो प्रेक्षक (कार $B$) की ओर बढ़ रहा है,और कार $B$ प्रेक्षक है जो स्रोत (कार $A$) से दूर जा रहा है।
$n_2 = n_A \left( \frac{v - v_B}{v - v_A} \right) = 180 \left( \frac{340 - v_B}{340 - 20} \right) = 180 \left( \frac{340 - v_B}{320} \right) = \frac{18}{32} (340 - v_B) = \frac{9}{16} (340 - v_B)$
$3$. बीट्स न सुनाई देने की शर्त:
बीट्स न सुनाई देने के लिए,आवृत्तियाँ समान होनी चाहिए: $n_1 = n_2$
$\frac{1}{2} (340 + v_B) = \frac{9}{16} (340 - v_B)$
$8 (340 + v_B) = 9 (340 - v_B)$
$2720 + 8v_B = 3060 - 9v_B$
$17v_B = 340$
$v_B = 20 \, m/s$

(D) ध्वनि तरंगों के लिए डॉप्लर प्रभाव माध्यम पर निर्भर करता है। सूत्र $f' = f \left( \frac{v \pm v_o}{v \mp v_s} \right)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ माध्यम में ध्वनि की गति है,$v_o$ प्रेक्षक की गति है,और $v_s$ स्रोत की गति है।
चूंकि माध्यम एक विशिष्ट संदर्भ फ्रेम प्रदान करता है,इसलिए यह प्रभाव स्रोत और प्रेक्षक के संबंध में सममित नहीं है। अतः,अभिकथन गलत है।
स्थिर प्रेक्षक के सापेक्ष स्रोत की गति भौतिक रूप से स्थिर स्रोत के सापेक्ष प्रेक्षक की गति से भिन्न होती है क्योंकि एक स्थिति में माध्यम स्थिर होता है और दूसरी स्थिति में यह प्रेक्षक के सापेक्ष गति करता है। अतः,कारण सही है।

(D) मान लीजिए $c$ ध्वनि की गति है और $v$ ट्यूनिंग फोर्क की गति है।
पास आते हुए ट्यूनिंग फोर्क द्वारा सुनी गई आवृत्ति $\nu_{1} = \left(\frac{c}{c-v}\right) \nu_{0}$ है।
दूर जाते हुए ट्यूनिंग फोर्क द्वारा सुनी गई आवृत्ति $\nu_{2} = \left(\frac{c}{c+v}\right) \nu_{0}$ है।
बीट आवृत्ति $\Delta \nu = \nu_{1} - \nu_{2} = 2 \; \text{Hz}$ द्वारा दी जाती है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta \nu = c \nu_{0} \left(\frac{1}{c-v} - \frac{1}{c+v}\right) = c \nu_{0} \left(\frac{c+v - (c-v)}{c^{2}-v^{2}}\right) = \frac{2 c \nu_{0} v}{c^{2}-v^{2}}$.
चूंकि $v \ll c$, हम $c^{2} - v^{2} \approx c^{2}$ का अनुमान लगा सकते हैं।
अतः, $\Delta \nu \approx \frac{2 c \nu_{0} v}{c^{2}} = \frac{2 \nu_{0} v}{c} = 2$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{2 \times 1400 \times v}{350} = 2$.
$8v = 2 \Rightarrow v = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \; \text{m/s}$.

(N/A) $(1)$ प्रेक्षक (लक्ष्य) स्थिर है $(v_o = 0)$ और स्रोत (रॉकेट) $v_s = 200\; m s^{-1}$ की गति से लक्ष्य की ओर बढ़ रहा है। ध्वनि की गति $v = 330\; m s^{-1}$ है।
गतिमान स्रोत और स्थिर प्रेक्षक के लिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
$f' = 1000\; Hz \times \left( \frac{330}{330 - 200} \right) = 1000 \times \left( \frac{330}{130} \right) \simeq 2538.46\; Hz$.
$(2)$ अब, लक्ष्य परावर्तित ध्वनि (गूँज) के स्रोत के रूप में कार्य करता है और स्थिर है $(v_s = 0)$। रॉकेट प्रेक्षक के रूप में कार्य करता है जो $v_o = 200\; m s^{-1}$ की गति से स्रोत की ओर बढ़ रहा है। स्रोत की आवृत्ति वह आवृत्ति है जो लक्ष्य द्वारा प्राप्त की गई थी, $f' = 2538.46\; Hz$।
स्थिर स्रोत और गतिमान प्रेक्षक के लिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$f'' = f' \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$
$f'' = 2538.46\; Hz \times \left( \frac{330 + 200}{330} \right) = 2538.46 \times \left( \frac{530}{330} \right) \simeq 4076.16\; Hz$.

(A) सीटी की आवृत्ति,$\nu = 400\; Hz$.
स्रोत (ट्रेन) की चाल,$v_s = 10\; m s^{-1}$.
ध्वनि की चाल,$v = 340\; m s^{-1}$.
जब ट्रेन प्लेटफॉर्म की ओर आती है,तो सीटी की आभासी आवृत्ति $(\nu')$ डॉप्लर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\nu' = \left( \frac{v}{v - v_s} \right) \nu = \left( \frac{340}{340 - 10} \right) \times 400 = \frac{340}{330} \times 400 \approx 412.12\; Hz$.
जब ट्रेन प्लेटफॉर्म से दूर जाती है,तो सीटी की आभासी आवृत्ति $(\nu'')$ इस प्रकार दी जाती है:
$\nu'' = \left( \frac{v}{v + v_s} \right) \nu = \left( \frac{340}{340 + 10} \right) \times 400 = \frac{340}{350} \times 400 \approx 388.57\; Hz$.
$(ii)$ ध्वनि की आवृत्ति में आभासी परिवर्तन स्रोत और प्रेक्षक के बीच सापेक्ष गति के कारण होता है। यह गति माध्यम में ध्वनि की चाल को प्रभावित नहीं करती है। इसलिए,दोनों स्थितियों में हवा में ध्वनि की चाल $340\; m s^{-1}$ ही रहेगी।

(D) स्थिर प्रेक्षक के लिए: आवृत्ति $= 400\; Hz$,तरंगदैर्ध्य $= 0.875\; m$,ध्वनि की गति $= 350\; m s^{-1}$।
दौड़ते हुए प्रेक्षक के लिए: आवृत्ति $\approx 411.76\; Hz$,तरंगदैर्ध्य $= 0.85\; m$,ध्वनि की गति $= 340\; m s^{-1}$।
$1$. स्थिर प्रेक्षक के लिए:
चूंकि स्रोत और प्रेक्षक एक-दूसरे के सापेक्ष स्थिर हैं,इसलिए आवृत्ति $400\; Hz$ रहती है। हवा प्रेक्षक की ओर बह रही है,इसलिए ध्वनि की प्रभावी गति $v_e = v + w = 340 + 10 = 350\; m s^{-1}$ है। तरंगदैर्ध्य $\lambda = v_e / f = 350 / 400 = 0.875\; m$ है।
$2$. दौड़ते हुए प्रेक्षक के लिए:
यहाँ हवा स्थिर है,इसलिए ध्वनि की गति $340\; m s^{-1}$ है। तरंगदैर्ध्य $\lambda = v / f = 340 / 400 = 0.85\; m$ रहती है। प्रेक्षक $10\; m s^{-1}$ की गति से स्रोत की ओर बढ़ता है,इसलिए सुनाई देने वाली आवृत्ति $f' = f(v + v_o) / v = 400(340 + 10) / 340 = 411.76\; Hz$ है।
निष्कर्ष: दोनों स्थितियाँ बिल्कुल समान नहीं हैं क्योंकि दोनों मामलों में तरंगदैर्ध्य और ध्वनि की प्रभावी गति अलग-अलग है।

(D) $SONAR$ की कार्यशील आवृत्ति $f = 40.0 \; kHz = 40000 \; Hz$ है।
दुश्मन पनडुब्बी (प्रेक्षक) की गति $v_o = 360 \; km/h = 100 \; m/s$ है।
पानी में ध्वनि की गति $v = 1450 \; m/s$ है।
सबसे पहले,दुश्मन पनडुब्बी स्थिर $SONAR$ स्रोत की ओर बढ़ते हुए प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है। पनडुब्बी द्वारा प्राप्त आवृत्ति $f'$ है:
$f' = f \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = 40 \left( \frac{1450 + 100}{1450} \right) = 40 \left( \frac{1550}{1450} \right) \approx 42.76 \; kHz$.
इसके बाद,पनडुब्बी इस आवृत्ति को $SONAR$ की ओर परावर्तित करती है। चूंकि पनडुब्बी $SONAR$ की ओर बढ़ रही है,$SONAR$ द्वारा प्राप्त आवृत्ति $f''$ है:
$f'' = f' \left( \frac{v}{v - v_o} \right) = 42.76 \left( \frac{1450}{1450 - 100} \right) = 42.76 \left( \frac{1450}{1350} \right) \approx 45.93 \; kHz$.
निकटतम पूर्णांक में,आवृत्ति लगभग $46 \; kHz$ है।

(B) मान लीजिए $v$ हवा में ध्वनि की गति है और $f = 40\; kHz$ चमगादड़ द्वारा उत्सर्जित आवृत्ति है।
चमगादड़ दीवार की ओर $v_b = 0.03v$ की गति से बढ़ रहा है।
सबसे पहले,दीवार एक स्थिर प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है जो ध्वनि प्राप्त करती है। दीवार द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f'$ है:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_b} \right) = 40 \left( \frac{v}{v - 0.03v} \right) = \frac{40}{0.97}\; kHz$.
इसके बाद,दीवार इस ध्वनि को परावर्तित करती है,जो एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है,और चमगादड़ $v_b = 0.03v$ की गति से स्रोत की ओर बढ़ते हुए प्रेक्षक के रूप में कार्य करता है। चमगादड़ द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f''$ है:
$f'' = f' \left( \frac{v + v_b}{v} \right) = \left( \frac{40}{0.97} \right) \left( \frac{v + 0.03v}{v} \right) = \frac{40 \times 1.03}{0.97} \approx 42.47\; kHz$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $42.5\; kHz$ प्राप्त होता है।

(N/A) डॉप्लर प्रभाव वह घटना है जिसमें तरंग के स्रोत और प्रेक्षक के बीच सापेक्ष गति के कारण तरंग की प्रेक्षित आवृत्ति बदल जाती है।
उदाहरण: जब एक तेज गति से चलने वाली ट्रेन प्रेक्षक से दूर जाती है,तो उसकी सीटी का तारत्व (या आवृत्ति) कम होता हुआ प्रतीत होता है। इसके विपरीत,जब कोई प्रेक्षक उच्च गति से ध्वनि के स्थिर स्रोत की ओर बढ़ता है,तो सुनाई देने वाली ध्वनि का तारत्व स्रोत की वास्तविक आवृत्ति से अधिक प्रतीत होता है।
विश्लेषण: डॉप्लर प्रभाव एक तरंग घटना है जो ध्वनि और विद्युत चुम्बकीय तरंगों दोनों पर लागू होती है। हम तीन प्राथमिक स्थितियों के तहत आवृत्ति परिवर्तनों का विश्लेषण करते हैं:
$(1)$ प्रेक्षक स्थिर है लेकिन स्रोत गति कर रहा है।
$(2)$ प्रेक्षक गति कर रहा है लेकिन स्रोत स्थिर है।
$(3)$ प्रेक्षक और स्रोत दोनों माध्यम के सापेक्ष गति कर रहे हैं।

(D) डॉप्लर प्रभाव तरंग स्रोत के सापेक्ष गति कर रहे प्रेक्षक के लिए तरंग की आवृत्ति में परिवर्तन का वर्णन करता है। डॉप्लर प्रभाव के सूत्र की व्युत्पत्ति के लिए मानक पूर्व-धारणाएं निम्नलिखित हैं:
$(1)$ वह माध्यम जिससे ध्वनि यात्रा करती है,स्थिर है।
$(2)$ स्रोत और प्रेक्षक का वेग माध्यम में ध्वनि के वेग से काफी कम है $(v_s, v_o < v)$।
$(3)$ स्रोत और प्रेक्षक की गति उन्हें जोड़ने वाली सीधी रेखा के अनुदिश है।
$(4)$ प्रेक्षक ध्वनि सुनने में सक्षम है।

(N/A) इसके लिए,हम निम्नलिखित चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हैं: प्रेक्षक से स्रोत की दिशा को वेग की धनात्मक दिशा के रूप में लिया जाता है।
मान लीजिए कि एक स्रोत $S$,$v_{s}$ वेग से गति कर रहा है और एक प्रेक्षक उस फ्रेम में स्थिर है जिसमें माध्यम भी स्थिर है।
मान लीजिए कि माध्यम के सापेक्ष स्थिर प्रेक्षक द्वारा मापी गई कोणीय आवृत्ति $\omega$ और आवर्तकाल $T_{0}$ वाली तरंग की गति $v$ है।
चित्र में दिखाए अनुसार,$t=0$ समय पर स्रोत बिंदु $S_{1}$ पर है,जो प्रेक्षक से $L$ दूरी पर स्थित है और एक श्रृंग उत्सर्जित करता है। यह प्रेक्षक तक $t_{1} = \frac{L}{v} \quad \dots (1)$ समय पर पहुँचता है।
$t=T_{0}$ समय पर स्रोत $v_{s}T_{0}$ दूरी तय कर चुका होता है और बिंदु $S_{2}$ पर होता है,जो प्रेक्षक से $L + v_{s}T_{0}$ दूरी पर स्थित है। $S_{2}$ पर,स्रोत दूसरा श्रृंग उत्सर्जित करता है। यह प्रेक्षक तक $t_{2} = T_{0} + \frac{L + v_{s}T_{0}}{v}$ समय पर पहुँचता है।
$n T_{0}$ समय पर स्रोत अपना $(n+1)^{th}$ श्रृंग उत्सर्जित करता है,जो प्रेक्षक तक $t_{n+1} = n T_{0} + \frac{L + n v_{s}T_{0}}{v} \quad \dots (2)$ समय पर पहुँचता है।
प्रेक्षक के पास $(n+1)^{th}$ श्रृंग और पहले श्रृंग के आगमन के बीच का समय अंतराल $\Delta t = t_{n+1} - t_{1} = n T_{0} + \frac{L + n v_{s}T_{0}}{v} - \frac{L}{v} = n T_{0} + \frac{n v_{s}T_{0}}{v} = n T_{0} \left( 1 + \frac{v_{s}}{v} \right)$ है।
प्रेक्षित आवर्तकाल $T$ लगातार श्रृंगों के बीच का समय अंतराल है,इसलिए $T = \frac{\Delta t}{n} = T_{0} \left( 1 + \frac{v_{s}}{v} \right) = T_{0} \left( \frac{v + v_{s}}{v} \right)$।
चूंकि आवृत्ति $\nu = \frac{1}{T}$ और $\nu_{0} = \frac{1}{T_{0}}$ है,इसलिए प्रेक्षित आवृत्ति $\nu = \nu_{0} \left( \frac{v}{v + v_{s}} \right)$ प्राप्त होती है।

(N/A) जब प्रेक्षक $v_{0}$ वेग के साथ एक स्थिर स्रोत की ओर गति करता है,तो हम गतिशील प्रेक्षक के संदर्भ फ्रेम में स्थिति का विश्लेषण करते हैं। इस फ्रेम में,स्रोत और माध्यम $v_{0}$ की गति से प्रेक्षक के पास आते हैं,और जिस गति से तरंग के श्रृंग प्रेक्षक तक पहुँचते हैं,वह $v + v_{0}$ है।
पहले और $(n+1)^{\text{th}}$ श्रृंग के आगमन के बीच का समय अंतराल इस प्रकार है:
$t_{n+1} - t_{n} = n T_{0} - \frac{n v_{0} T_{0}}{v + v_{0}}$
प्रेक्षक तरंग का आवर्तकाल इस प्रकार मापता है:
$T = \frac{t_{n+1} - t_{1}}{n} = T_{0} \left( 1 - \frac{v_{0}}{v + v_{0}} \right) = T_{0} \left( \frac{v}{v + v_{0}} \right)$
चूंकि आवृत्ति $\nu = \frac{1}{T}$ और मूल आवृत्ति $\nu_{0} = \frac{1}{T_{0}}$ है,इसलिए प्रेक्षित आवृत्ति है:
$\nu = \nu_{0} \left( \frac{v + v_{0}}{v} \right) = \nu_{0} \left( 1 + \frac{v_{0}}{v} \right)$
जब प्रेक्षक स्थिर स्रोत से दूर जाता है,तो हम समीकरण में $v_{0}$ के स्थान पर $-v_{0}$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\nu = \nu_{0} \left( 1 - \frac{v_{0}}{v} \right)$

(N/A) मान लीजिए कि प्रेक्षक से स्रोत की दिशा धनात्मक दिशा है।
मान लीजिए कि स्रोत और प्रेक्षक क्रमशः $v_{s}$ और $v_{0}$ वेग से गति कर रहे हैं,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
मान लीजिए कि समय $t=0$ पर,प्रेक्षक $O_{1}$ पर है और स्रोत $S_{1}$ पर है,जहाँ $O_{1}$,$S_{1}$ के बाईं ओर है।
स्रोत $v$ वेग,$\nu$ आवृत्ति और $T_{0}$ आवर्तकाल वाली तरंग उत्सर्जित करता है,जिसे माध्यम के सापेक्ष स्थिर प्रेक्षक द्वारा मापा जाता है।
मान लीजिए कि $t=0$ पर $O_{1}$ और $S_{1}$ के बीच की दूरी $L$ है,जब स्रोत पहला श्रृंग (crest) उत्सर्जित करता है। चूंकि प्रेक्षक गति कर रहा है,प्रेक्षक के सापेक्ष तरंग का वेग $v+v_{0}$ है। इसलिए,पहला श्रृंग प्रेक्षक तक $t_{1}=\frac{L}{v+v_{0}}$ समय पर पहुँचता है।
समय $t=T_{0}$ पर,प्रेक्षक और स्रोत दोनों अपने नए स्थानों $O_{2}$ और $S_{2}$ पर पहुँच जाते हैं। प्रेक्षक और स्रोत के बीच की नई दूरी $O_{2}S_{2}$,$L+(v_{s}-v_{0})T_{0}$ होगी।
$S_{2}$ पर,स्रोत दूसरा श्रृंग उत्सर्जित करता है। यह प्रेक्षक तक $t_{2}=T_{0}+\frac{L+(v_{s}-v_{0})T_{0}}{v+v_{0}}$ समय पर पहुँचता है।
समय $nT_{0}$ पर,स्रोत अपना $(n+1)^{th}$ श्रृंग उत्सर्जित करता है,और यह प्रेक्षक तक $t_{n+1}=nT_{0}+\frac{L+n(v_{s}-v_{0})T_{0}}{v+v_{0}}$ समय पर पहुँचता है।
पहले और $(n+1)^{th}$ श्रृंग के आगमन के बीच का समय अंतराल $\Delta t = t_{n+1} - t_{1} = nT_{0} + \frac{n(v_{s}-v_{0})T_{0}}{v+v_{0}} = nT_{0} \left(1 + \frac{v_{s}-v_{0}}{v+v_{0}}\right) = nT_{0} \left(\frac{v+v_{0}+v_{s}-v_{0}}{v+v_{0}}\right) = nT_{0} \left(\frac{v+v_{s}}{v+v_{0}}\right)$ है।
प्रेक्षित आवर्तकाल $T' = \frac{\Delta t}{n} = T_{0} \left(\frac{v+v_{s}}{v+v_{0}}\right)$ है।
अतः,प्रेक्षित आवृत्ति $\nu' = \frac{1}{T'} = \nu \left(\frac{v+v_{0}}{v+v_{s}}\right)$ है।

(N/A) डॉप्लर प्रभाव के लिए सामान्य सूत्र $\frac{f_{L}}{v + v_{L}} = \frac{f_{S}}{v + v_{S}}$ है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है,$v_{L}$ श्रोता का वेग है और $v_{S}$ स्रोत का वेग है।
चूँकि श्रोता स्थिर है,इसलिए $v_{L} = 0$ है।
जब स्रोत श्रोता से दूर जाता है,तो ध्वनि के संचरण की दिशा में (श्रोता से स्रोत की ओर) स्रोत का वेग $v_{S}$ धनात्मक लिया जाता है,इसलिए हर $(v + v_{S})$ हो जाता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{f_{L}}{v + 0} = \frac{f_{S}}{v + v_{S}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f_{L} = \left( \frac{v}{v + v_{S}} \right) f_{S}$।
चूँकि $v + v_{S} > v$ है,इसलिए भिन्न $\frac{v}{v + v_{S}} < 1$ है। परिणामस्वरूप,$f_{L} < f_{S}$ प्राप्त होता है।

(A) के लिए,जब ध्वनि का स्रोत और श्रोता दोनों दीवार की ओर गति करते हैं,तो ध्वनि दीवार से परावर्तित होती है। दीवार एक द्वितीयक स्रोत के रूप में कार्य करती है। चूंकि दोनों परावर्तक सतह की ओर गति कर रहे हैं,इसलिए डॉपलर प्रभाव के कारण श्रोता द्वारा सुनी गई परावर्तित ध्वनि (प्रतिध्वनि) की आवृत्ति बढ़ जाती है। अतः,$(a-iii)$।
$(b)$ के लिए,जब स्रोत और श्रोता एक-दूसरे से दूर जाते हैं,तो उनके बीच का सापेक्ष वेग बढ़ जाता है,जिससे डॉपलर प्रभाव के सूत्र $f' = f \left( \frac{v - v_L}{v + v_S} \right)$ के अनुसार प्रेक्षित आवृत्ति कम हो जाती है। अतः,$(b-ii)$।

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $f_{L}$ का सूत्र है:
$f_{L} = f_{S} \left( \frac{v + v_{L}}{v + v_{S}} \right)$
यहाँ,$f_{S} = 400 \ Hz$ स्रोत की आवृत्ति है,$v = 330 \ ms^{-1}$ हवा में ध्वनि का वेग है,$v_{L} = 0 \ ms^{-1}$ प्रेक्षक का वेग है (प्लेटफॉर्म पर स्थिर),और $v_{S} = -10 \ ms^{-1}$ स्रोत का वेग है (प्रेक्षक की ओर गतिमान)।
मान रखने पर:
$f_{L} = 400 \times \left( \frac{330 + 0}{330 - 10} \right)$
$f_{L} = 400 \times \left( \frac{330}{320} \right)$
$f_{L} = 400 \times 1.03125 = 412.5 \ Hz$
अतः,प्रेक्षक द्वारा सुनी गई ध्वनि की आवृत्ति $412.5 \ Hz$ है।

(A) माना बस की गति $v_B$ है और ध्वनि की गति $v = 330\, ms^{-1}$ है।
सबसे पहले,हॉर्न से ध्वनि दीवार तक पहुँचती है। दीवार एक स्थिर प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है जो गतिमान स्रोत (बस) से ध्वनि प्राप्त कर रही है। दीवार द्वारा प्राप्त आवृत्ति $f'$ है:
$f' = f_0 \left( \frac{v}{v - v_B} \right) = 420 \left( \frac{330}{330 - v_B} \right)$
इसके बाद,दीवार इस ध्वनि को परावर्तित करती है,जो $f'$ आवृत्ति के स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है। ड्राइवर (गतिमान स्रोत) इस स्रोत की ओर गति करने वाले प्रेक्षक के रूप में कार्य करता है। ड्राइवर द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f''$ है:
$f'' = f' \left( \frac{v + v_B}{v} \right) = 420 \left( \frac{330}{330 - v_B} \right) \left( \frac{330 + v_B}{330} \right)$
दिया गया है कि $f'' = 490\, Hz$,इसलिए:
$490 = 420 \left( \frac{330 + v_B}{330 - v_B} \right)$
दोनों पक्षों को $70$ से विभाजित करने पर:
$7 = 6 \left( \frac{330 + v_B}{330 - v_B} \right)$
$7(330 - v_B) = 6(330 + v_B)$
$2310 - 7v_B = 1980 + 6v_B$
$13v_B = 330$
$v_B = \frac{330}{13} \approx 25.38\, ms^{-1}$
$kmh^{-1}$ में बदलने पर:
$v_B = \frac{330}{13} \times \frac{18}{5} = \frac{66 \times 18}{13} = \frac{1188}{13} \approx 91.38\, kmh^{-1}$
निकटतम पूर्णांक में,गति $91\, kmh^{-1}$ है।

(D) मान लीजिए $f_0 = 440 \, Hz$ मूल आवृत्ति है और $f_2 = 480 \, Hz$ ड्राइवर द्वारा सुनी गई परावर्तित आवृत्ति है।
सबसे पहले,दीवार एक स्थिर प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है जो चलती हुई कार से ध्वनि प्राप्त करती है। दीवार द्वारा प्राप्त आवृत्ति $f_1$ को गतिमान स्रोत और स्थिर प्रेक्षक के लिए डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$f_1 = f_0 \left( \frac{v}{v - v_c} \right)$
जहाँ $v = 345 \, m/s$ ध्वनि की गति है और $v_c$ कार की गति है।
इसके बाद,दीवार एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है जो ध्वनि को गतिमान ड्राइवर (जो अब प्रेक्षक है) की ओर परावर्तित करती है। ड्राइवर द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f_2$ है:
$f_2 = f_1 \left( \frac{v + v_c}{v} \right)$
$f_2$ के समीकरण में $f_1$ का मान रखने पर:
$f_2 = f_0 \left( \frac{v}{v - v_c} \right) \left( \frac{v + v_c}{v} \right) = f_0 \left( \frac{v + v_c}{v - v_c} \right)$
दिया गया है $f_2 / f_0 = 480 / 440 = 48 / 44 = 12 / 11$:
$12 / 11 = (345 + v_c) / (345 - v_c)$
$12(345 - v_c) = 11(345 + v_c)$
$4140 - 12v_c = 3795 + 11v_c$
$23v_c = 345$
$v_c = 345 / 23 = 15 \, m/s$
$km/hr$ में बदलने पर:
$v_c = 15 \times (18 / 5) = 54 \, km/hr$.

(D) प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है: $f = f_{0} \left( \frac{v_{s}}{v_{s} - v \cos \theta} \right)$,जहाँ $v_{s}$ ध्वनि की गति है,$v$ स्रोत की गति है,और $\theta$ स्रोत के वेग सदिश और स्रोत को प्रेक्षक से जोड़ने वाली रेखा के बीच का कोण है।
स्रोत के निकटतम बिंदु तक पहुँचने से पहले $(t < t_{0})$,स्रोत प्रेक्षक के करीब आ रहा है,इसलिए $\theta$ न्यून कोण है,$\cos \theta > 0$,और प्रेक्षित आवृत्ति $f > f_{0}$ है। जैसे-जैसे स्रोत निकटतम बिंदु की ओर बढ़ता है,$\theta$ बढ़कर $90^{\circ}$ की ओर जाता है,इसलिए $\cos \theta$ घटता है,और $f$ घटकर $f_{0}$ की ओर जाता है।
निकटतम बिंदु पर $(t = t_{0})$,$\theta = 90^{\circ}$,$\cos \theta = 0$,और $f = f_{0}$ होता है।
स्रोत के निकटतम बिंदु को पार करने के बाद $(t > t_{0})$,स्रोत प्रेक्षक से दूर जा रहा है,इसलिए $\theta$ अधिक कोण है,$\cos \theta < 0$,और प्रेक्षित आवृत्ति $f < f_{0}$ है। जैसे-जैसे स्रोत और दूर जाता है,$\theta$ बढ़ता है,$\cos \theta$ और अधिक ऋणात्मक हो जाता है,और $f$ का मान $f_{0}$ से और नीचे गिरता जाता है।
इस प्रकार,आवृत्ति $f$ का मान $f_{0}$ से ऊपर से शुरू होता है,$t = t_{0}$ पर $f_{0}$ तक घटता है,और $t > t_{0}$ के लिए $f_{0}$ से नीचे गिरना जारी रहता है। इस व्यवहार को ग्राफ $D$ द्वारा सबसे अच्छी तरह दर्शाया गया है।

(A) एक स्थिर प्रेक्षक द्वारा गतिमान स्रोत से सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $f' = f \left( \frac{v}{v \mp v_s} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $v_s$ स्रोत की गति है।
प्रेक्षक की ओर गति कर रहे स्रोत $S_1$ के लिए,आभासी आवृत्ति $f_1' = f \left( \frac{v}{v - V} \right)$ है।
प्रेक्षक से दूर गति कर रहे स्रोत $S_2$ के लिए,आभासी आवृत्ति $f_2' = f \left( \frac{v}{v + V} \right)$ है।
विस्पंद आवृत्ति इन दो आवृत्तियों के बीच का अंतर है:
$|f_1' - f_2'| = 3$
$f \left( \frac{v}{v - V} - \frac{v}{v + V} \right) = 3$
दिए गए मान $f = 500 \, Hz$ और $v = 330 \, m/s$ प्रतिस्थापित करने पर:
$500 \left( \frac{330(v + V) - 330(v - V)}{v^2 - V^2} \right) = 3$
$500 \left( \frac{660V}{330^2 - V^2} \right) = 3$
चूंकि $V^2 \ll 330^2$,हम $330^2 - V^2 \approx 330^2$ मान सकते हैं:
$500 \left( \frac{660V}{330^2} \right) = 3$
$500 \left( \frac{2V}{330} \right) = 3$
$V = \frac{3 \times 330}{1000} = \frac{990}{1000} = 0.99 \, m/s \approx 1 \, m/s$.

(A) दिया गया है: प्रत्येक कार की गति $v_s = v_o = 7.2\, km/hr = 7.2 \times \frac{5}{18} = 2\, m/s$. हॉर्न की आवृत्ति $f_0 = 676\, Hz$. ध्वनि का वेग $v = 340\, m/s$.
प्रत्येक ड्राइवर दो ध्वनियाँ सुनता है: एक सीधे दूसरी कार से और एक दूसरी कार से परावर्तित होकर।
$1$. दूसरी कार से सीधे सुनी जाने वाली ध्वनि की आवृत्ति $(f_d)$:
$f_d = f_0 \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right) = 676 \left( \frac{340 + 2}{340 - 2} \right) = 676 \left( \frac{342}{338} \right) = 684\, Hz$.
$2$. दूसरी कार से परावर्तित ध्वनि की आवृत्ति $(f_r)$:
दूसरी कार से आने वाली ध्वनि ड्राइवर की कार तक पहुँचती है,परावर्तित होती है और वापस लौटती है। प्रभावी रूप से,दूसरी कार ड्राइवर की ओर बढ़ते हुए स्रोत के रूप में कार्य करती है,और ड्राइवर ध्वनि को वापस परावर्तित करने वाले स्रोत के रूप में कार्य करता है। परावर्तन के बाद सुनी जाने वाली आवृत्ति:
$f_r = f_0 \left( \frac{v + v_s}{v - v_s} \right) \left( \frac{v + v_o}{v - v_o} \right) = 676 \left( \frac{342}{338} \right) \left( \frac{342}{338} \right) = 676 \left( \frac{342}{338} \right)^2 \approx 692\, Hz$.
बीट आवृत्ति = $f_r - f_d = 692 - 684 = 8\, Hz$.

(C) दिया गया है:
स्रोत की गति $V_S = 20 \, m/s$
प्रेक्षक/डिटेक्टर की गति $V_O = 20 \, m/s$
हवा में ध्वनि की गति $V = 340 \, m/s$
प्रेक्षित आवृत्ति $f' = 1800 \, Hz$
डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत और प्रेक्षक एक-दूसरे से दूर जाते हैं,तो प्रेक्षित आवृत्ति का सूत्र है:
$f' = f \left( \frac{V - V_O}{V + V_S} \right)$
मान रखने पर:
$1800 = f \left( \frac{340 - 20}{340 + 20} \right)$
$1800 = f \left( \frac{320}{360} \right)$
$1800 = f \left( \frac{8}{9} \right)$
$f = \frac{1800 \times 9}{8}$
$f = 225 \times 9 = 2025 \, Hz$
अतः,स्रोत की मूल आवृत्ति $2025 \, Hz$ है।

(A) दिया गया है:
स्रोत का वेग (कार $X$),$V_s = 36 \; km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \; m/s$.
प्रेक्षक का वेग (कार $Y$),$V_o = 72 \; km/h = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \; m/s$.
ध्वनि का वेग,$V = 340 \; m/s$.
आभासी आवृत्ति,$f' = 1320 \; Hz$.
जब स्रोत और प्रेक्षक एक-दूसरे की ओर आ रहे हों,तो डॉप्लर प्रभाव के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$f' = f_0 \left( \frac{V + V_o}{V - V_s} \right)$
मान रखने पर:
$1320 = f_0 \left( \frac{340 + 20}{340 - 10} \right)$
$1320 = f_0 \left( \frac{360}{330} \right)$
$1320 = f_0 \left( \frac{36}{33} \right)$
$f_0 = 1320 \times \frac{33}{36}$
$f_0 = 1210 \; Hz$.
अतः,सीटी की वास्तविक आवृत्ति $1210 \; Hz$ है।

(B) माना $f_0 = 400\, Hz$ स्रोत की आवृत्ति है,$f_2 = 500\, Hz$ ड्राइवर द्वारा सुनी गई परावर्तित आवृत्ति है,$C = 330\, m/s$ ध्वनि की गति है और $V$ कार की गति है।
सबसे पहले,दीवार एक प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है जो चलती कार से ध्वनि प्राप्त करती है:
$f_1 = f_0 \left( \frac{C}{C - V} \right)$
इसके बाद,दीवार एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है जो ध्वनि को वापस ड्राइवर (प्रेक्षक) की ओर परावर्तित करती है जो दीवार की ओर बढ़ रहा है:
$f_2 = f_1 \left( \frac{C + V}{C} \right)$
$f_1$ का मान $f_2$ के समीकरण में रखने पर:
$f_2 = f_0 \left( \frac{C}{C - V} \right) \left( \frac{C + V}{C} \right) = f_0 \left( \frac{C + V}{C - V} \right)$
दिया गया है $f_2 = 500\, Hz$ और $f_0 = 400\, Hz$:
$500 = 400 \left( \frac{330 + V}{330 - V} \right)$
$\frac{5}{4} = \frac{330 + V}{330 - V}$
$5(330 - V) = 4(330 + V)$
$1650 - 5V = 1320 + 4V$
$9V = 330$
$V = \frac{330}{9} = \frac{110}{3}\, m/s$
गति को $km/h$ में बदलने पर:
$V = \frac{110}{3} \times \frac{18}{5} = 22 \times 6 = 132\, km/h$.

(A) जब एक प्रेक्षक स्थिर स्रोत की ओर गति करता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $f_{0}$ डॉप्लर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है: $f_{0} = \left(\frac{v + v_{0}}{v}\right) f_{s}$,जहाँ $v$ ध्वनि का वेग है और $v_{0}$ प्रेक्षक का वेग है।
दिया गया है कि $v_{0} = \frac{v}{5}$,इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$f_{0} = \left(\frac{v + \frac{v}{5}}{v}\right) f_{s} = \left(\frac{\frac{6v}{5}}{v}\right) f_{s} = \frac{6}{5} f_{s} = 1.2 f_{s}$.
आवृत्ति में प्रतिशत परिवर्तन की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\% \text{ परिवर्तन} = \frac{f_{0} - f_{s}}{f_{s}} \times 100$.
$f_{0} = 1.2 f_{s}$ रखने पर:
$\% \text{ परिवर्तन} = \frac{1.2 f_{s} - f_{s}}{f_{s}} \times 100 = 0.2 \times 100 = 20 \%$.

(C) प्रेक्षक का वेग $V_{o} = 18\,km/h = 18 \times \frac{5}{18} = 5\,m/s$ है। स्रोत स्थिर है,इसलिए $V_{s} = 0$ है।
सीधी ध्वनि के लिए,प्रेक्षक स्रोत से दूर जा रहा है। आभासी आवृत्ति इस प्रकार दी जाती है:
$f_{\text{direct}} = f_{0} \left( \frac{v - V_{o}}{v} \right) = 640 \left( \frac{320 - 5}{320} \right) = 640 \left( \frac{315}{320} \right) = 2 \times 315 = 630\,Hz$.
परावर्तित ध्वनि के लिए,पहाड़ी $f_{0} = 640\,Hz$ आवृत्ति के एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है। प्रेक्षक पहाड़ी की ओर (परावर्तित स्रोत की ओर) गति कर रहा है। आभासी आवृत्ति इस प्रकार दी जाती है:
$f_{\text{reflected}} = f_{0} \left( \frac{v + V_{o}}{v} \right) = 640 \left( \frac{320 + 5}{320} \right) = 640 \left( \frac{325}{320} \right) = 2 \times 325 = 650\,Hz$.
विस्पंद आवृत्ति दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है:
$f_{\text{beat}} = f_{\text{reflected}} - f_{\text{direct}} = 650\,Hz - 630\,Hz = 20\,Hz$.

(D) माना $f_0$ हॉर्न की वास्तविक आवृत्ति है,$C$ ध्वनि की गति है और $V_s$ कार की गति है।
जब कार प्रेक्षक के पास आती है: $f_1 = f_0 \left( \frac{C}{C - V_s} \right) = 100 \, Hz$.
जब कार प्रेक्षक से दूर जाती है: $f_2 = f_0 \left( \frac{C}{C + V_s} \right) = 50 \, Hz$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{f_1}{f_2} = \frac{100}{50} = 2 = \frac{C + V_s}{C - V_s}$.
$V_s$ के लिए हल करने पर: $2(C - V_s) = C + V_s \implies 2C - 2V_s = C + V_s \implies C = 3V_s \implies V_s = \frac{C}{3}$.
$V_s$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $100 = f_0 \left( \frac{C}{C - C/3} \right) = f_0 \left( \frac{C}{2C/3} \right) = f_0 \left( \frac{3}{2} \right)$.
अतः,$f_0 = 100 \times \frac{2}{3} = \frac{200}{3} \, Hz$.
यदि प्रेक्षक कार के साथ गति करता है,तो स्रोत और प्रेक्षक के बीच सापेक्ष वेग शून्य होता है,इसलिए प्रेक्षित आवृत्ति वास्तविक आवृत्ति $f_0$ के बराबर होती है।
इसलिए,$f = f_0 = \frac{200}{3} \, Hz$.
इसकी तुलना $\frac{x}{3} \, Hz$ से करने पर,हमें $x = 200$ प्राप्त होता है।

(B) पहाड़ी ध्वनि के एक द्वितीयक स्रोत के रूप में कार्य करती है।
दिया गया है:
सीटी की आवृत्ति,$f = 320\,Hz$
कार का वेग,$v_s = v_o = 36\,km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10\,m/s$
ध्वनि का वेग,$v = 330\,m/s$
चरण $1$: पहाड़ी द्वारा प्राप्त आवृत्ति $(f_1)$ की गणना करें।
चूंकि कार (स्रोत) स्थिर प्रेक्षक (पहाड़ी) की ओर बढ़ रही है,पहाड़ी द्वारा प्राप्त आवृत्ति है:
$f_1 = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 320 \left( \frac{330}{330 - 10} \right) = 320 \left( \frac{330}{320} \right) = 330\,Hz$
चरण $2$: ड्राइवर द्वारा सुनी गई प्रतिध्वनि की आवृत्ति $(f_2)$ की गणना करें।
पहाड़ी इस आवृत्ति $f_1$ को परावर्तित करती है। अब,पहाड़ी एक स्थिर स्रोत के रूप में और कार स्रोत की ओर गतिमान प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है।
$f_2 = f_1 \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = 330 \left( \frac{330 + 10}{330} \right) = 340\,Hz$

(C) ध्वनि का स्रोत एक वृत्त में गति कर रहा है,इसलिए इसकी रैखिक गति $v_s = r\omega$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $r = 2 \,m$ और $\omega = 15 \,rad/s$ दिया गया है,इसलिए $v_s = 2 \times 15 = 30 \,m/s$ है।
ध्वनि की गति $v = 330 \,m/s$ है।
डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत स्थिर श्रोता की ओर बढ़ता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $f_{\max} = \left(\frac{v}{v - v_s}\right) f$ होती है।
जब स्रोत स्थिर श्रोता से दूर जाता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $f_{\min} = \left(\frac{v}{v + v_s}\right) f$ होती है।
उच्चतम और न्यूनतम आवृत्ति का अनुपात है:
$\frac{f_{\max}}{f_{\min}} = \frac{\left(\frac{v}{v - v_s}\right) f}{\left(\frac{v}{v + v_s}\right) f} = \frac{v + v_s}{v - v_s}$.
मान रखने पर:
$\frac{f_{\max}}{f_{\min}} = \frac{330 + 30}{330 - 30} = \frac{360}{300} = 1.2$.

(A) मान लीजिए कि हवा में ध्वनि की गति $v$ है। इंजन की गति $v_s = 0.005v$ है।
सबसे पहले,ध्वनि गतिमान इंजन से स्थिर चट्टान की ओर जाती है। चट्टान द्वारा प्राप्त आवृत्ति $f_1$ गतिमान स्रोत और स्थिर प्रेक्षक के लिए डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$f_1 = f \left( \frac{v}{v + v_s} \right) = f \left( \frac{v}{v + 0.005v} \right) = f \left( \frac{1}{1.005} \right)$
इसके बाद,चट्टान एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है जो $f_1$ आवृत्ति की ध्वनि को वापस गतिमान इंजन (प्रेक्षक) की ओर परावर्तित करती है। इंजन द्वारा प्राप्त आवृत्ति $f_2$ स्थिर स्रोत और गतिमान प्रेक्षक के लिए डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$f_2 = f_1 \left( \frac{v - v_o}{v} \right)$
चूंकि इंजन चट्टान से दूर जा रहा है,इसलिए प्रेक्षक की गति $v_o = v_s = 0.005v$ को परावर्तित ध्वनि की दिशा के सापेक्ष ऋणात्मक लिया जाता है:
$f_2 = f_1 \left( \frac{v - 0.005v}{v} \right) = f_1 \left( \frac{0.995v}{v} \right) = 0.995 f_1$
$f_2$ के समीकरण में $f_1$ का मान रखने पर:
$f_2 = 0.995 \times f \left( \frac{1}{1.005} \right) \approx 0.995 \times 0.995 f \approx 0.990 f$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) जब प्रेक्षक स्थिर होता है और स्रोत प्रेक्षक की ओर गति करता है,तो डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार प्रेक्षित आवृत्ति:
$f_1 = f_0 \left( \frac{v}{v - u} \right)$
जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $u$ स्रोत की गति है।
जब स्रोत स्थिर होता है और प्रेक्षक स्रोत की ओर गति करता है,तो मापी गई आवृत्ति:
$f_2 = f_0 \left( \frac{v + u}{v} \right)$
$f_1$ और $f_2$ की तुलना करने पर:
$f_1 = f_0 \left( \frac{v}{v-u} \right)$ और $f_2 = f_0 \left( 1 + \frac{u}{v} \right)$.
चूंकि $\frac{v}{v-u} > 1 + \frac{u}{v}$ है,इसलिए $f_1 > f_2$ प्राप्त होता है।

(B) स्रोत (बस) एक स्थिर प्रेक्षक (बस स्टॉप पर खड़ा व्यक्ति) की ओर बढ़ रहा है।
दिया गया है:
स्रोत का वेग,$v_s = 39.6 \,km/h = 39.6 \times \frac{5}{18} = 11 \,ms^{-1}$.
ध्वनि का वेग,$v = 330 \,ms^{-1}$.
स्रोत का समय अंतराल,$T = 30 \,s$.
जब स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ता है,तो दो लगातार पल्स के बीच का आभासी समय अंतराल $T^{\prime}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T^{\prime} = T \left( \frac{v - v_s}{v} \right)$
मान रखने पर:
$T^{\prime} = 30 \left( \frac{330 - 11}{330} \right)$
$T^{\prime} = 30 \left( \frac{319}{330} \right)$
$T^{\prime} = \frac{319}{11} = 29 \,s$.
अतः,व्यक्ति को $29 \,s$ के अंतराल पर हॉर्न सुनाई देगा।

(A) आभासी आवृत्ति $\nu'$ मूल आवृत्ति $\nu$ से $10 \%$ कम है,इसलिए $\nu' = 0.9 \nu$ है।
स्थिर प्रेक्षक से दूर जा रहे स्रोत के लिए डॉप्लर प्रभाव का सूत्र उपयोग करने पर: $\nu' = \nu \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$,जहाँ $v = 330 \, m/s$ ध्वनि की गति है और $v_s$ कार की गति है।
मान रखने पर: $0.9 \nu = \nu \left( \frac{330}{330 + v_s} \right)$.
$0.9 = \frac{330}{330 + v_s} \Rightarrow 0.9(330 + v_s) = 330$.
$297 + 0.9 v_s = 330$.
$0.9 v_s = 330 - 297 = 33$.
$v_s = \frac{33}{0.9} = \frac{330}{9} \approx 36.7 \, m/s$.

(C) प्रेक्षक बिंदु $O$ पर है और इंजन बिंदु $S$ पर है। क्रॉसिंग बिंदु $C$ पर है। दूरी $SC = 1 \, km$ और $OC = \sqrt{3} \, km$ है।
समकोण त्रिभुज $SCO$ में,$S$ पर कोण $\theta$ का मान $\tan \theta = \frac{OC}{SC} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$\theta = 60^{\circ}$।
गतिमान स्रोत और स्थिर प्रेक्षक के लिए डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,आभासी आवृत्ति $f'$ इस प्रकार है:
$f' = f \left( \frac{c}{c - v \cos \theta} \right)$
जहाँ $c = 330 \, m/s$ ध्वनि की गति है,$v = 20 \, m/s$ स्रोत की गति है,और $f = 640 \, Hz$ स्रोत की आवृत्ति है।
मान रखने पर:
$f' = 640 \left( \frac{330}{330 - 20 \cos 60^{\circ}} \right)$
चूंकि $\cos 60^{\circ} = 0.5$:
$f' = 640 \left( \frac{330}{330 - 20 \times 0.5} \right) = 640 \left( \frac{330}{330 - 10} \right) = 640 \left( \frac{330}{320} \right)$
$f' = 640 \times \frac{33}{32} = 20 \times 33 = 660 \, Hz$.

(B) माना $v = 330 \, m/s$ ध्वनि की गति है और $n = 660 \, Hz$ स्रोतों की आवृत्ति है।
जब श्रोता $u$ वेग के साथ $A$ से $B$ की ओर चलता है,तो वह स्रोत $A$ से दूर जाता है और स्रोत $B$ की ओर आता है।
स्रोत $A$ से सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $n_1 = n \left( \frac{v - u}{v} \right)$ है।
स्रोत $B$ से सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $n_2 = n \left( \frac{v + u}{v} \right)$ है।
प्रति सेकंड बीट्स की संख्या इन आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $n_2 - n_1 = 8$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $n \left( \frac{v + u}{v} \right) - n \left( \frac{v - u}{v} \right) = 8$.
$\frac{n}{v} (v + u - v + u) = 8$.
$\frac{n}{v} (2u) = 8$.
मान रखने पर: $\frac{660}{330} (2u) = 8$.
$2(2u) = 8$.
$4u = 8$.
$u = 2 \, m/s$.

(B) माना सीटी की मूल आवृत्ति $f_0$ है।
जब ट्रेन दूर जाती है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $f = f_0 \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ होती है।
प्रश्न के अनुसार,आवृत्ति में गिरावट $f_0 - f = 140 \, Hz$ है।
$f_0 \left( 1 - \frac{330}{330 + 70} \right) = 140$
$f_0 \left( 1 - \frac{330}{400} \right) = 140$
$f_0 \left( \frac{70}{400} \right) = 140$
$f_0 = 140 \times \frac{400}{70} = 800 \, Hz$.

(D) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ होता है,जहाँ $f_0$ स्रोत की आवृत्ति है,$v$ ध्वनि की गति है और $v_s$ स्रोत की गति है।
प्रथम स्थिति के लिए,$v_s = 34 \, m/s$:
$f_1 = f_0 \left( \frac{340}{340 - 34} \right) = f_0 \left( \frac{340}{306} \right) = f_0 \left( \frac{10}{9} \right)$.
द्वितीय स्थिति के लिए,$v_s = 17 \, m/s$:
$f_2 = f_0 \left( \frac{340}{340 - 17} \right) = f_0 \left( \frac{340}{323} \right) = f_0 \left( \frac{20}{19} \right)$.
अब,अनुपात $\frac{f_1}{f_2}$ की गणना करने पर:
$\frac{f_1}{f_2} = \frac{f_0 \left( \frac{10}{9} \right)}{f_0 \left( \frac{20}{19} \right)} = \frac{10}{9} \times \frac{19}{20} = \frac{19}{18}$.

(D) डॉप्लर प्रभाव में,जब कोई प्रेक्षक स्थिर स्रोत की ओर बढ़ता है,तो प्रेक्षक द्वारा पता लगाई गई ध्वनि की आवृत्ति बढ़ जाती है क्योंकि प्रेक्षक प्रति इकाई समय में अधिक तरंग शिखरों का सामना करता है।
हालाँकि,माध्यम में ध्वनि तरंगों की तरंगदैर्ध्य केवल स्रोत और माध्यम के गुणों (ध्वनि की गति $c$ और आवृत्ति $f_0$) द्वारा निर्धारित होती है।
चूंकि स्रोत स्थिर है और माध्यम भी स्थिर है,इसलिए प्रेक्षक के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ अपरिवर्तित रहती है।
इसलिए,प्रेक्षक द्वारा पता लगाया गया तरंगदैर्ध्य विस्थापन शून्य है।

(C) आभासी आवृत्ति तब अधिकतम होती है जब स्रोत के वेग का प्रेक्षक की ओर का घटक अधिकतम होता है।
मान लीजिए $O$ प्रेक्षक की स्थिति है और $C$ वृत्ताकार पथ का केंद्र है। प्रेक्षक से केंद्र की दूरी $OC = 9 + 8 = 17 \, m$ है।
मान लीजिए $P$ वृत्त पर ट्यूनिंग फोर्क की स्थिति है। ट्यूनिंग फोर्क का वेग सदिश $V_s$,$P$ पर वृत्त के स्पर्शरेखा है। $V_s$ का $OP$ की दिशा में घटक तब अधिकतम होता है जब $OP$ और वेग सदिश $V_s$ के बीच का कोण शून्य हो,या सरल शब्दों में,जब रेखा $OP$,$P$ पर वृत्त की स्पर्शरेखा हो।
इस विन्यास में,$\triangle OPC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $P$ पर है (क्योंकि त्रिज्या $CP$,स्पर्शरेखा $OP$ के लंबवत है)।
$\triangle OPC$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$OP^2 + CP^2 = OC^2$
$OP^2 + 8^2 = 17^2$
$OP^2 = 289 - 64 = 225$
$OP = \sqrt{225} = 15 \, m$.

(B) जब स्रोत स्थिर प्रेक्षक की ओर आता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $f' = \frac{v}{v - V_s} f_0$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि आवृत्ति में $10 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $f' = 1.1 f_0$ है।
अतः,$\frac{v}{v - V_s} = 1.1 = \frac{11}{10}$।
$10v = 11v - 11V_s \implies v = 11V_s$।
जब स्रोत प्रेक्षक से दूर जाता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $f'' = \frac{v}{v + V_s} f_0$ द्वारा दी जाती है।
$v = 11V_s$ रखने पर,हमें $f'' = \frac{11V_s}{11V_s + V_s} f_0 = \frac{11}{12} f_0$ प्राप्त होता है।
$f'' \approx 0.9166 f_0 = 91.66 \% f_0$।
आवृत्ति में प्रतिशत परिवर्तन $100 \% - 91.66 \% = 8.34 \% \approx 8.5 \%$ है।

(B) मान लीजिए $f_0$ वास्तविक आवृत्ति है,$v$ ध्वनि की गति है और $v_s$ ट्रेन की गति है।
जब ट्रेन प्रेक्षक की ओर आती है,तो आभासी आवृत्ति $f_A = \frac{v}{v - v_s} f_0$ द्वारा दी जाती है।
आवृत्ति में अंतर $\Delta f_A = f_A - f_0 = \left( \frac{v}{v - v_s} - 1 \right) f_0 = \frac{v_s}{v - v_s} f_0$ है।
जब ट्रेन प्रेक्षक से दूर जाती है,तो आभासी आवृत्ति $f_R = \frac{v}{v + v_s} f_0$ द्वारा दी जाती है।
आवृत्ति में अंतर $\Delta f_R = f_0 - f_R = \left( 1 - \frac{v}{v + v_s} \right) f_0 = \frac{v_s}{v + v_s} f_0$ है।
दिए गए अनुपात $\frac{\Delta f_A}{\Delta f_R} = \frac{3}{2}$ से:
$\frac{\frac{v_s}{v - v_s} f_0}{\frac{v_s}{v + v_s} f_0} = \frac{v + v_s}{v - v_s} = \frac{3}{2}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $2(v + v_s) = 3(v - v_s)$.
$2v + 2v_s = 3v - 3v_s$.
$5v_s = v$.
$v_s = \frac{v}{5}$.

(A) मान लीजिए $c$ ध्वनि की गति है। डिटेक्टर $D$ वृत्त के केंद्र से $2R$ की दूरी पर है। स्रोत $S$,$v$ गति के साथ $R$ त्रिज्या के वृत्त में घूमता है। स्रोत और डिटेक्टर को जोड़ने वाली रेखा पर स्रोत के वेग का घटक डॉप्लर शिफ्ट निर्धारित करता है।
अधिकतम आवृत्ति तब पता चलती है जब स्रोत सीधे डिटेक्टर की ओर बढ़ रहा होता है। इस बिंदु पर,$SD$ रेखा के साथ वेग का घटक $v$ है। प्रेक्षित आवृत्ति $f_{max} = f \left( \frac{c}{c-v} \right)$ है।
न्यूनतम आवृत्ति तब पता चलती है जब स्रोत सीधे डिटेक्टर से दूर जा रहा होता है। इस बिंदु पर,$SD$ रेखा के साथ वेग का घटक $v$ है। प्रेक्षित आवृत्ति $f_{min} = f \left( \frac{c}{c+v} \right)$ है।
अतः,अधिकतम और न्यूनतम आवृत्ति का अनुपात:
$\frac{f_{max}}{f_{min}} = \frac{f \left( \frac{c}{c-v} \right)}{f \left( \frac{c}{c+v} \right)} = \frac{c+v}{c-v}$.

(D) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब ध्वनि का स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर निरंतर वेग $v_s$ के साथ चलता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $n'$ का मान $n' = n_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ होता है,जहाँ $n_0$ स्रोत की आवृत्ति है और $v$ ध्वनि की गति है। यह आवृत्ति स्थिर और $n_0$ से अधिक होती है।
जैसे ही स्रोत प्रेक्षक को पार करता है और दूर जाता है,प्रेक्षित आवृत्ति $n'' = n_0 \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ हो जाती है,जो कि स्थिर तो है लेकिन $n_0$ से कम है।
चूंकि स्रोत एक स्थिर गति से चलता है,आवृत्ति प्रेक्षक के पास पहुँचने से पहले एक उच्च मान पर स्थिर रहती है और प्रेक्षक को पार करने के बाद अचानक गिरकर एक निचले स्थिर मान पर आ जाती है। यह व्यवहार विकल्प $D$ में दिए गए ग्राफ द्वारा दर्शाया गया है।

(A) मान लीजिए $n$ स्रोत की वास्तविक आवृत्ति है,$V$ ध्वनि की गति है,और $V_s$ स्रोत की गति है।
जब स्रोत स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ता है,तो आभासी आवृत्ति $n_1 = n \left( \frac{V}{V - V_s} \right)$ होती है।
जब स्रोत स्थिर प्रेक्षक से दूर जाता है,तो आभासी आवृत्ति $n_2 = n \left( \frac{V}{V + V_s} \right)$ होती है।
आभासी आवृत्ति में परिवर्तन $\Delta n = n_1 - n_2$ है।
$\Delta n = n \left( \frac{V}{V - V_s} - \frac{V}{V + V_s} \right) = n V \left( \frac{V + V_s - (V - V_s)}{V^2 - V_s^2} \right) = n V \left( \frac{2 V_s}{V^2 - V_s^2} \right)$।
चूंकि $V_s << V$,हम $V^2 - V_s^2 \approx V^2$ मान सकते हैं।
इसलिए,$\Delta n \approx n V \left( \frac{2 V_s}{V^2} \right) = \frac{2 n V_s}{V}$।