Doppler’s Effect Questions in Hindi

(A) दिया गया है: ट्रेन (स्रोत) की गति $v_s = 72\ km/hr = 20\ m/s$।
हवा की गति $w = 36\ km/hr = 10\ m/s$।
ध्वनि की गति $v = 340\ m/s$।
स्रोत की आवृत्ति $n = 500\ Hz$।
चूंकि हवा पहाड़ी से ट्रेन की ओर चल रही है,इसलिए पहाड़ी की ओर जाने वाली ध्वनि के लिए जमीन के सापेक्ष ध्वनि की प्रभावी गति $(v - w)$ होगी।
डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के लिए,हम माध्यम के सापेक्ष ध्वनि के वेग पर विचार करते हैं।
प्रेक्षक पहाड़ी पर स्थिर है $(v_o = 0)$।
स्रोत प्रेक्षक की ओर गति कर रहा है।
प्रेक्षक के सापेक्ष ध्वनि का प्रभावी वेग $v_{eff} = v - w = 340 - 10 = 330\ m/s$ है।
आभासी आवृत्ति का सूत्र $n' = n \left[ \frac{v_{eff}}{v_{eff} - v_s} \right]$ है।
मान रखने पर: $n' = 500 \left[ \frac{330}{330 - 20} \right] = 500 \left[ \frac{330}{310} \right] = 500 \times 1.0645 \approx 532.25\ Hz$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,आवृत्ति $532.5\ Hz$ है।

(B) स्थिर स्रोत की ओर $v_c$ गति से चल रही कार से परावर्तित ध्वनि की आभासी आवृत्ति $f = f_0 \left( \frac{v + v_c}{v - v_c} \right)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $v_c \ll v$,हम द्विपद सन्निकटन का उपयोग करते हैं: $f \approx f_0 \left( 1 + \frac{2v_c}{v} \right)$।
परावर्तित आवृत्ति में परिवर्तन $\Delta f = f - f_0 = f_0 \left( \frac{2v_c}{v} \right)$ है।
$v_1$ और $v_2$ गति वाली दो कारों के लिए,परावर्तित आवृत्तियों में अंतर $\Delta f_{diff} = |f_1 - f_2| = f_0 \left( \frac{2(v_1 - v_2)}{v} \right)$ है।
दिया गया है कि $\frac{\Delta f_{diff}}{f_0} = 1.2\% = 0.012$,इसलिए $\frac{2(v_1 - v_2)}{v} = 0.012$।
$v = 330 \ m/s$ रखने पर,हमें $v_1 - v_2 = \frac{0.012 \times 330}{2} = 0.006 \times 330 = 1.98 \ m/s$ प्राप्त होता है।
$km/h$ में बदलने पर: $1.98 \ m/s \times \frac{18}{5} = 7.128 \ km/h$।
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,अंतर $7 \ km/h$ है।

(C) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब ध्वनि का स्रोत एक स्थिर वेग $V_S$ से एक स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $n'$ इस प्रकार दी जाती है:
$n' = n \left( \frac{V}{V - V_S} \right)$
जहाँ $V$ ध्वनि की गति है और $n$ वास्तविक आवृत्ति है। जब तक स्रोत पास आ रहा है,यह मान स्थिर रहता है।
जब स्रोत प्रेक्षक के पास से गुजरता है और दूर जाता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $n'$ इस प्रकार दी जाती है:
$n' = n \left( \frac{V}{V + V_S} \right)$
यह मान भी स्थिर है लेकिन पास आते समय सुनी गई आवृत्ति से कम है।
चूंकि ट्रेन का वेग स्थिर है,इसलिए पास आते समय आवृत्ति एक उच्च मान पर स्थिर रहती है और प्रेक्षक के पास से गुजरने के बाद यह घटकर एक निचले स्थिर मान पर आ जाती है। इसलिए,ग्राफ उस क्षण पर एक चरण जैसा परिवर्तन दिखाता है जब ट्रेन प्रेक्षक के पास से गुजरती है। सही वक्र विकल्प $C$ द्वारा दर्शाया गया है।

(C) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत $v_s$ वेग के साथ गति कर रहा होता है,तो एक स्थिर प्रेक्षक द्वारा देखी गई आभासी आवृत्ति $f'$ इस प्रकार दी जाती है: $f' = f \left( \frac{v}{v - v_s \cos \theta} \right)$,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है,$f$ स्रोत की आवृत्ति है,और $\theta$ स्रोत के वेग सदिश और स्रोत को प्रेक्षक से जोड़ने वाली रेखा के बीच का कोण है।
आवृत्ति अधिकतम होने के लिए,हर $(v - v_s \cos \theta)$ न्यूनतम होना चाहिए।
यह तब होता है जब $\cos \theta$ अधिकतम हो,यानी $\cos \theta = 1$ (जब स्रोत सीधे प्रेक्षक की ओर बढ़ रहा हो)।
दिए गए मानों को रखने पर: $f = 400\, Hz$,$v = 330\, m/s$,$v_s = 30\, m/s$,और $\cos \theta = 1$:
$f'_{max} = 400 \left( \frac{330}{330 - 30} \right) = 400 \left( \frac{330}{300} \right) = 400 \times 1.1 = 440\, Hz$.
चूंकि प्रेक्षक ट्रैक के अंदर है,इंजन वृत्ताकार पथ पर केवल एक विशिष्ट बिंदु पर प्रेक्षक की ओर बढ़ सकता है। उस बिंदु पर,देखी गई आवृत्ति ठीक $440\, Hz$ है।

(B) स्रोत की दी गई आवृत्ति $n = 400 \ Hz$ है।
ध्वनि का वेग $v = 350 \ m/s$ है।
प्रेक्षक (कार) का वेग $v_0 = 54 \ km/h = 54 \times \frac{5}{18} = 15 \ m/s$ है।
जब चालक पुलिसकर्मी के पास आता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $n' = n \left( \frac{v + v_0}{v} \right)$ होती है।
पुलिसकर्मी को पार करने के बाद,प्रेक्षित आवृत्ति $n'' = n \left( \frac{v - v_0}{v} \right)$ होती है।
चालक द्वारा अनुभव की गई आवृत्ति में परिवर्तन $\Delta n = n' - n''$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta n = n \left( \frac{v + v_0}{v} \right) - n \left( \frac{v - v_0}{v} \right) = \frac{n}{v} (v + v_0 - v + v_0) = \frac{2 n v_0}{v}$।
मान की गणना करने पर: $\Delta n = \frac{2 \times 400 \times 15}{350} = \frac{12000}{350} = \frac{240}{7} \approx 34.28 \ Hz$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $34.2 \ Hz$ है।

(D) गतिमान प्रेक्षक और स्थिर स्रोत के लिए डॉप्लर प्रभाव का सूत्र $n' = n \left( \frac{v \pm v_o}{v} \right)$ है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $v_o$ स्रोत और प्रेक्षक को जोड़ने वाली रेखा पर प्रेक्षक के वेग का घटक है।
वास्तविक आवृत्ति $n$ तब सुनी जाती है जब आभासी आवृत्ति $n' = n$ होती है,जो तब होती है जब स्रोत और प्रेक्षक को जोड़ने वाली रेखा पर प्रेक्षक के वेग का घटक शून्य होता है। यह तब होता है जब मोटरसाइकिल सवार का वेग सदिश $Y$ पर स्थित सायरन और मोटरसाइकिल सवार को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत होता है।
एक पूर्ण वृत्ताकार चक्कर में,ऐसे $2$ बिंदु होते हैं जहाँ वेग सदिश स्रोत और प्रेक्षक को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत होता है। इस प्रकार,मोटरसाइकिल सवार प्रति चक्कर $2$ बार वास्तविक आवृत्ति सुनता है।
एक चक्कर का समय अंतराल $T = \frac{2 \pi R}{v_o} = \frac{2 \pi \times 50}{25} = 4 \pi \ s$ है।
एक घंटे $(3600 \ s)$ में चक्करों की संख्या $N = \frac{3600}{T} = \frac{3600}{4 \pi} = \frac{900}{\pi} \approx 286.48$ है।
चूंकि मोटरसाइकिल सवार प्रति चक्कर $2$ बार वास्तविक आवृत्ति सुनता है,इसलिए एक घंटे में कुल संख्या $2 \times 286.48 \approx 572.96$ होगी,जो लगभग $573$ है।

(A) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब ध्वनि का स्रोत $V_S$ के निरंतर वेग से एक स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $f^{\prime}$ को $f^{\prime} = f_0 \left( \frac{V}{V - V_S} \right)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f_0$ स्रोत की आवृत्ति है और $V$ ध्वनि की गति है।
स्रोत के प्रेक्षक को पार करने के बाद,यह उसी वेग $V_S$ के साथ प्रेक्षक से दूर जाता है। तब प्रेक्षित आवृत्ति $f^{\prime\prime}$ को $f^{\prime\prime} = f_0 \left( \frac{V}{V + V_S} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $V - V_S < V + V_S$,इसलिए $\frac{V}{V - V_S} > \frac{V}{V + V_S}$ होता है। अतः,पार करने से पहले की आवृत्ति $f^{\prime}$,पार करने के बाद की आवृत्ति $f^{\prime\prime}$ से अधिक होती है।
चूंकि वेग स्थिर है,इसलिए पार करने से पहले और बाद में आवृत्ति स्थिर रहती है,और पार करने के क्षण में इसमें अचानक गिरावट आती है। यह उस ग्राफ के अनुरूप है जिसमें आवृत्ति शुरू में अधिक होती है और पार करने के बाद एक निचले स्थिर मान तक गिर जाती है।

(B) मान लीजिए $c$ ध्वनि की गति है।
$1$. $A$ से $B$ द्वारा सुनी गई आवृत्ति: चूंकि $A$ स्थिर $B$ से दूर जा रहा है,$B$ द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f_B = f_A \left( \frac{c}{c+u} \right)$ है। चूंकि $c+u > c$,इसलिए $f_B < f_A$ है। अतः,विकल्प $D$ सही है।
$2$. $B$ से $A$ द्वारा सुनी गई आवृत्ति: $B$ आवृत्ति $f_B$ पर स्वर बजाता है। अब $A$ स्रोत $B$ से $u$ की गति से दूर जा रहा है। $A$ द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f_A' = f_B \left( \frac{c-u}{c} \right) = f_A \left( \frac{c}{c+u} \right) \left( \frac{c-u}{c} \right) = f_A \left( \frac{c-u}{c+u} \right)$ है। चूंकि $c-u < c+u$,इसलिए $f_A' < f_A$ है। अतः,विकल्प $C$ सही है और विकल्प $B$ गलत है।
$3$. $B$ से $C$ द्वारा सुनी गई आवृत्ति: $C$ स्रोत $B$ की ओर $u$ की गति से जा रहा है। $C$ द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f_C = f_B \left( \frac{c+u}{c} \right) = f_A \left( \frac{c}{c+u} \right) \left( \frac{c+u}{c} \right) = f_A$ है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
इसलिए,गलत कथन $B$ है।

(B) दो स्रोतों के कारण प्रेक्षक द्वारा सुनी जाने वाली विस्पंद आवृत्ति,डॉप्लर प्रभाव के कारण प्रेक्षक द्वारा महसूस की गई आवृत्तियों के अंतर के बराबर होती है।
$f_{beat} = |f'_1 - f'_2|$
जहाँ $f'_1$ और $f'_2$ प्रेक्षित आवृत्तियाँ हैं।
डॉप्लर प्रभाव स्रोत और प्रेक्षक के सापेक्ष वेग और माध्यम में ध्वनि की गति पर निर्भर करता है।
महत्वपूर्ण बात यह है कि डॉप्लर प्रभाव स्रोत और प्रेक्षक के बीच की दूरी पर निर्भर नहीं करता है।
चूंकि प्रेक्षक समान वेग से दो स्रोतों के बीच गति कर रहा है और स्रोतों की आवृत्ति समान है,इसलिए विस्पंद आवृत्ति स्रोतों के बीच की दूरी से स्वतंत्र रहती है।
अतः,यदि प्रेक्षक $100\,m$ की दूरी पर प्रति सेकंड $4$ विस्पंद सुनता है,तो दूरी बढ़ाकर $400\,m$ करने पर भी वह प्रति सेकंड $4$ विस्पंद ही सुनेगा।

(C) डॉप्लर प्रभाव के लिए सामान्य सूत्र $f^{\prime} = f \left( \frac{V \pm V_o}{V \pm V_s} \right)$ है,जहाँ $V$ ध्वनि की गति है,$V_o$ प्रेक्षक (श्रोता) का वेग है और $V_s$ स्रोत का वेग है।
कथन $-1$: जब स्रोत स्थिर होता है $(V_s = 0)$,तो प्राप्त आवृत्ति $f^{\prime} = f \left( \frac{V \pm V_o}{V} \right)$ होती है। यदि $V_o \neq 0$ है,तो $f^{\prime} \neq f$,अर्थात आवृत्ति प्रभावित होती है। अतः,कथन $-1$ सही है।
कथन $-2$: जब स्रोत गति करता है,तो तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बदलकर $\lambda^{\prime} = \frac{V \pm V_s}{f}$ हो जाती है। अतः,तरंगदैर्ध्य प्रभावित होती है। कथन $-2$ सही है।
कथन $-3$: यदि स्रोत और श्रोता दोनों इस प्रकार गति कर रहे हैं कि उनके वेग समान हैं $(\vec{V}_s = \vec{V}_o)$,तो $f^{\prime} = f \left( \frac{V \pm V_o}{V \pm V_o} \right) = f$ होता है। इस स्थिति में,प्रेक्षित आवृत्ति मूल आवृत्ति के बराबर होती है। इसलिए,कथन $-3$ गलत है।
अतः,केवल कथन $-1$ और $-2$ सही हैं।

(A) कार $A$ (स्रोत) की गति $v_s = 36 \, km/hr = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \, m/s$ है।
कार $B$ (प्रेक्षक) की गति $v_o = 54 \, km/hr = 54 \times \frac{5}{18} = 15 \, m/s$ है।
ध्वनि की गति $v = 340 \, m/s$ है।
स्रोत $A$,प्रेक्षक $B$ के पीछे है और दोनों एक ही दिशा में चल रहे हैं।
डॉप्लर प्रभाव के सूत्र का उपयोग करते हुए: $n' = n_0 \left( \frac{v - v_o}{v - v_s} \right)$.
यहाँ,प्रेक्षक स्रोत से दूर जा रहा है,इसलिए $v_o$ ध्वनि की दिशा के सापेक्ष ऋणात्मक है,और स्रोत प्रेक्षक की ओर बढ़ रहा है,इसलिए $v_s$ धनात्मक है।
$n' = 1000 \left( \frac{340 - 15}{340 - 10} \right) = 1000 \left( \frac{325}{330} \right) = 1000 \times 0.984848 = 984.85 \, Hz$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $985.29 \, Hz$ है।

(B) जब स्रोत पास आ रहा हो तो प्रेक्षक द्वारा सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $n' = n \left[ \frac{v}{v - v_s} \right]$ द्वारा दी जाती है।
जब स्रोत दूर जा रहा हो तो प्रेक्षक द्वारा सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $n'' = n \left[ \frac{v}{v + v_s} \right]$ द्वारा दी जाती है।
प्रति सेकंड बीट्स की संख्या इन दो आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $\Delta n = n' - n''$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta n = n \left[ \frac{v}{v - v_s} - \frac{v}{v + v_s} \right] = nv \left[ \frac{(v + v_s) - (v - v_s)}{v^2 - v_s^2} \right] = \frac{2nvv_s}{v^2 - v_s^2}$.
चूंकि $v_s = 4\, m/s$,$v = 320\, m/s$ की तुलना में बहुत छोटा है,हम $v^2 - v_s^2 \approx v^2$ मान सकते हैं।
अतः,$\Delta n \approx \frac{2nvv_s}{v^2} = \frac{2nv_s}{v}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\Delta n = \frac{2 \times 240 \times 4}{320} = \frac{1920}{320} = 6\, Hz$.

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,एक स्थिर प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $n' = n \left( \frac{v}{v - v_s \cos \theta} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है,$v_s$ स्रोत की गति है,और $\theta$ स्रोत के वेग सदिश और स्रोत को प्रेक्षक से जोड़ने वाली रेखा के बीच का कोण है।
$1$. बिंदु $A$ पर,स्रोत प्रेक्षक से दूर जा रहा है। दृष्टि रेखा की दिशा में वेग का घटक दूर की ओर है,इसलिए आभासी आवृत्ति $n_1 < n$ (वास्तविक आवृत्ति) है।
$2$. बिंदु $B$ पर,स्रोत प्रेक्षक की ओर आ रहा है। दृष्टि रेखा की दिशा में वेग का घटक प्रेक्षक की ओर है,इसलिए आभासी आवृत्ति $n_2 > n$ है।
$3$. बिंदु $C$ पर,स्रोत का वेग स्रोत और प्रेक्षक को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत है। अतः,दृष्टि रेखा की दिशा में वेग का घटक शून्य है,और आभासी आवृत्ति $n_3 = n$ है।
इनकी तुलना करने पर,हमें $n_2 > n_3 > n_1$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि प्रत्येक ट्रेन की गति $u$ है और सीटी की आवृत्ति $\nu$ है। ध्वनि की गति $v = 340 \; m/s$ है।
चूंकि ट्रेनें एक-दूसरे की ओर बढ़ रही हैं,इसलिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार आभासी आवृत्ति $\nu'$ होगी:
$\nu' = \nu \left( \frac{v + u}{v - u} \right)$
दिया गया है कि पिच $9/8$ के कारक से बदलती है,इसलिए $\nu' = \frac{9}{8} \nu$.
मान रखने पर:
$\frac{9}{8} \nu = \nu \left( \frac{340 + u}{340 - u} \right)$
$\frac{9}{8} = \frac{340 + u}{340 - u}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$9(340 - u) = 8(340 + u)$
$3060 - 9u = 2720 + 8u$
$3060 - 2720 = 8u + 9u$
$340 = 17u$
$u = \frac{340}{17} = 20 \; m/s$.
अतः,प्रत्येक ट्रेन की गति $20 \; m/s$ है।

(D) गतिमान स्रोत और स्थिर प्रेक्षक के लिए डॉप्लर प्रभाव का सूत्र $\nu' = \nu \left( \frac{v}{v - v_s \cos \theta} \right)$ है,जहाँ $\theta$ स्रोत के वेग सदिश और स्रोत को प्रेक्षक से जोड़ने वाली रेखा के बीच का कोण है।
स्थिति $A$ पर,वेग सदिश $v_s$ प्रेक्षक $O$ से दूर की दिशा में है। अतः,$AO$ रेखा पर $v_s$ का घटक धनात्मक (दूर जाने वाला) है,जिससे प्रभावी आवृत्ति $\nu_1 < \nu$ हो जाती है।
स्थिति $B$ पर,वेग सदिश $v_s$ भी प्रेक्षक $O$ से दूर की दिशा में है। स्थिति $C$ पर,वेग सदिश $v_s$ रेखा $CO$ के लंबवत है। इसलिए,$CO$ रेखा पर $v_s$ का घटक शून्य है और प्रेक्षित आवृत्ति $\nu_3 = \nu$ है।
इस प्रकार,$\nu_3$ सबसे बड़ी आवृत्ति है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही संबंध $\nu_1 > \nu_3 > \nu_2$ है।

(C) एक सप्तक (octave) अधिक का अर्थ है कि आवृत्ति दोगुनी हो जाती है,इसलिए $f' = 2f$.
चट्टान से परावर्तन के बाद ड्राइवर द्वारा सुनी गई ध्वनि की आवृत्ति डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,चट्टान $f_1 = f \left( \frac{v}{v - v_c} \right)$ आवृत्ति वाली ध्वनि प्राप्त करती है,जहाँ $v_c$ कार का वेग है।
फिर,चट्टान एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है और इस ध्वनि को गतिमान ड्राइवर (प्रेक्षक) की ओर परावर्तित करती है। ड्राइवर द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f' = f_1 \left( \frac{v + v_c}{v} \right)$ है।
$f_1$ का मान रखने पर,हमें $f' = f \left( \frac{v}{v - v_c} \right) \left( \frac{v + v_c}{v} \right) = f \left( \frac{v + v_c}{v - v_c} \right)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $f' = 2f$,इसलिए $2f = f \left( \frac{v + v_c}{v - v_c} \right)$.
$2(v - v_c) = v + v_c$.
$2v - 2v_c = v + v_c$.
$v = 3v_c$.
अतः,$v_c = \frac{v}{3}$.

(A) व्यक्ति $A$ दो ध्वनियाँ सुनता है: एक अपने स्वयं के स्रोत से (आवृत्ति $n$) और दूसरी व्यक्ति $B$ के स्रोत से।
चूंकि $A$, $u$ चाल से $B$ की ओर बढ़ रहा है और $B$ स्थिर है, इसलिए $B$ के स्रोत से $A$ द्वारा सुनी गई आवृत्ति $n'$, डॉप्लर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है: $n' = n \left( \frac{v + u}{v} \right)$.
प्रति सेकंड सुने जाने वाले विस्पंदों की संख्या $B$ से सुनी गई आवृत्ति और $A$ के स्वयं के स्रोत की आवृत्ति के बीच का अंतर है।
विस्पंद आवृत्ति $= n' - n = n \left( \frac{v + u}{v} \right) - n$.
विस्पंद आवृत्ति $= n \left( \frac{v + u - v}{v} \right) = \frac{nu}{v}$.

(A) प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति के लिए डॉप्लर प्रभाव का सूत्र $n' = n \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$ है,जहाँ $v_o$ स्रोत की ओर प्रेक्षक का वेग है और $v_s$ प्रेक्षक की ओर स्रोत का वेग है।
अधिकतम आवृत्ति के लिए,दृष्टिकोण का सापेक्ष वेग $(v_o + v_s)$ अधिकतम होना चाहिए।
$t=0$ पर,स्रोत $A$ पर है और प्रेक्षक $Q$ पर है। स्रोत की कोणीय स्थिति $\theta = \omega t$ है। प्रेक्षक की स्थिति $x = A \sin(\omega t + \phi)$ है। $T = 2\pi/\omega$ दिए जाने के कारण,प्रेक्षक और स्रोत सिंक्रनाइज़ हैं।
$P$ पर,प्रेक्षक का वेग दाईं ओर अधिकतम है। अधिकतम आवृत्ति के लिए,स्रोत का प्रेक्षक की ओर (अर्थात दाईं ओर) अधिकतम वेग घटक होना चाहिए।
जब स्रोत $B$ पर होता है,तो उसका वेग $A$ की ओर (क्षैतिज) निर्देशित होता है। जब स्रोत $D$ पर होता है,तो उसका वेग $C$ की ओर (क्षैतिज) निर्देशित होता है।
विशेष रूप से,$B$ पर,वेग सदिश दाईं ओर क्षैतिज है। $P$ पर,प्रेक्षक दाईं ओर अधिकतम वेग के साथ गति कर रहा है। इस प्रकार,जब स्रोत $B$ पर होता है और प्रेक्षक $P$ पर होता है,तो दृष्टिकोण का सापेक्ष वेग अधिकतम होता है।

(C) मान लीजिए $n$ सीटी की वास्तविक आवृत्ति है,$v$ ध्वनि की गति है,और $v_t$ ट्रेन की गति है।
जब ट्रेन स्थिर प्रेक्षक की ओर आती है:
$n' = n \left( \frac{v}{v - v_t} \right) \Rightarrow \frac{n}{n'} = \frac{v - v_t}{v} = 1 - \frac{v_t}{v} \Rightarrow \frac{v_t}{v} = 1 - \frac{n}{n'}$
जब ट्रेन स्थिर प्रेक्षक से दूर जाती है:
$n'' = n \left( \frac{v}{v + v_t} \right) \Rightarrow \frac{n}{n''} = \frac{v + v_t}{v} = 1 + \frac{v_t}{v}$
पहले समीकरण से $\frac{v_t}{v}$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर:
$\frac{n}{n''} = 1 + \left( 1 - \frac{n}{n'} \right) = 2 - \frac{n}{n'}$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{n}{n''} + \frac{n}{n'} = 2 \Rightarrow n \left( \frac{n' + n''}{n' n''} \right) = 2$
$n = \frac{2n' n''}{n' + n''}$

(B) दिया गया है:
स्रोत की गति (कार $A$),$v_s = 36 \, km/hr = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \, m/s$.
प्रेक्षक की गति (कार $B$),$v_o = 54 \, km/hr = 54 \times \frac{5}{18} = 15 \, m/s$.
स्रोत की आवृत्ति,$n_0 = 1000 \, Hz$.
ध्वनि की गति,$v = 340 \, m/s$.
प्रेक्षक द्वारा प्राप्त आवृत्ति $n'$ के लिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र का उपयोग करने पर:
$n' = n_0 \left( \frac{v - v_o}{v - v_s} \right)$
यहाँ,प्रेक्षक स्रोत से दूर जा रहा है (अंश में ऋणात्मक चिह्न) और स्रोत प्रेक्षक की ओर बढ़ रहा है (हर में ऋणात्मक चिह्न)।
$n' = 1000 \left( \frac{340 - 15}{340 - 10} \right)$
$n' = 1000 \left( \frac{325}{330} \right)$
$n' = 1000 \times 0.98484 = 984.84 \, Hz$.

(A) कार से सीधे सुनी जाने वाली ध्वनि की आवृत्ति डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है: $n_1 = n \left( \frac{V}{V - V_s} \right)$,जहाँ $V = 350\, m/s$ और $V_s = 5\, m/s$ है।
$n_1 = 350 \left( \frac{350}{350 - 5} \right) = 350 \left( \frac{350}{345} \right) \approx 355.07\, Hz$।
दीवार से परावर्तित ध्वनि ऐसा प्रतीत होती है जैसे वह दीवार के पीछे से प्रेक्षक की ओर आ रही कार के प्रतिबिंब से आ रही हो। प्रेक्षक द्वारा सुनी जाने वाली परावर्तित ध्वनि की आवृत्ति: $n_2 = n \left( \frac{V}{V - V_s} \right)$ है।
चूंकि कार दीवार की ओर बढ़ रही है,परावर्तित ध्वनि की आवृत्ति $n_2 = n \left( \frac{V}{V - V_s} \right) = 350 \left( \frac{350}{350 - 5} \right) \approx 355.07\, Hz$ होगी।
चूंकि $n_1 = n_2$ है,इसलिए बीट आवृत्ति $|n_1 - n_2| = 0\, Hz$ होगी।

(C) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब कोई स्रोत स्थिर प्रेक्षक की ओर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $n^{\prime}$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$n^{\prime} = \left( \frac{V}{V - V_{s}} \right) n$
जहाँ:
$V = 1220 \, km/h$ (ध्वनि का वेग)
$V_{s} = 40 \, km/h$ (स्रोत का वेग)
$n = 2000 \, Hz$ (वास्तविक आवृत्ति)
मान रखने पर:
$n^{\prime} = \left( \frac{1220}{1220 - 40} \right) \times 2000$
$n^{\prime} = \left( \frac{1220}{1180} \right) \times 2000$
$n^{\prime} = 1.033898 \times 2000 \approx 2067.79 \, Hz$
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $2068 \, Hz$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है:
स्रोत (ट्रेन) की गति,$v_s = 20 \, m \, s^{-1}$.
हवा में ध्वनि की गति,$v = 340 \, m \, s^{-1}$.
स्रोत की आवृत्ति,$f_0 = 640 \, Hz$.
चूंकि स्रोत स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ रहा है,इसलिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार आभासी आवृत्ति $f'$ होगी:
$f' = f_0 \left[ \frac{v}{v - v_s} \right]$
मान रखने पर:
$f' = 640 \left[ \frac{340}{340 - 20} \right]$
$f' = 640 \left[ \frac{340}{320} \right]$
$f' = 640 \times 1.0625 = 680 \, Hz$.
अतः,व्यक्ति द्वारा सुनी गई आवृत्ति $680 \, Hz$ है।

(D) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,आभासी आवृत्ति $f^{\prime}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$f^{\prime} = f \left( \frac{v + v_{o}}{v - v_{s}} \right)$
यहाँ,$v$ ध्वनि की गति है,$v_{o}$ प्रेक्षक (दूसरे इंजन का ड्राइवर) का वेग है,और $v_{s}$ स्रोत (पहले इंजन) का वेग है।
दिया गया है: $v = 330\,m/s$,$v_{o} = 30\,m/s$ (स्रोत की ओर गतिमान),$v_{s} = 30\,m/s$ (प्रेक्षक की ओर गतिमान),और $f = 540\,Hz$.
मान रखने पर:
$f^{\prime} = 540 \left( \frac{330 + 30}{330 - 30} \right)$
$f^{\prime} = 540 \left( \frac{360}{300} \right)$
$f^{\prime} = 540 \times 1.2 = 648\,Hz$.

(D) माना हॉर्न की आवृत्ति $f$ है।
प्रेक्षक दो ध्वनियाँ सुनता है: एक सीधे कार से और दूसरी दीवार से परावर्तित होकर।
$1$. कार से सीधे सुनाई देने वाली ध्वनि की आवृत्ति $(f_1)$: डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार,$f_1 = f \left( \frac{340}{340 - 5} \right)$.
$2$. दीवार से परावर्तित ध्वनि की आवृत्ति $(f_2)$: दीवार एक स्रोत के रूप में कार्य करती है। परावर्तित ध्वनि की आवृत्ति $f_2 = f \left( \frac{340}{340 + 5} \right)$ होगी।
बीट आवृत्ति $|f_1 - f_2| = 5$ दी गई है।
$5 = f \left( \frac{340}{335} - \frac{340}{345} \right) = 340f \left( \frac{10}{115575} \right)$.
$f = \frac{5 \times 115575}{3400} \approx 170\, Hz$.

(A) इस प्रश्न में डॉप्लर प्रभाव के दो चरण शामिल हैं।
चरण $1$: दीवार एक स्थिर प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है जो गतिमान चमगादड़ (स्रोत) से ध्वनि प्राप्त करती है। दीवार द्वारा प्राप्त आवृत्ति $f' = f_0 \left( \frac{V}{V - V_s} \right)$ है,जहाँ $V = 320\,ms^{-1}$,$V_s = 10\,ms^{-1}$,और $f_0 = 8000\,Hz$ है।
$f' = 8000 \left( \frac{320}{320 - 10} \right) = 8000 \left( \frac{320}{310} \right)$.
चरण $2$: दीवार एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है जो ध्वनि को वापस गतिमान चमगादड़ (प्रेक्षक) की ओर परावर्तित करती है। चमगादड़ द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f = f' \left( \frac{V + V_0}{V} \right)$ है,जहाँ $V_0 = 10\,ms^{-1}$ है।
चरण $1$ से $f'$ का मान रखने पर: $f = 8000 \left( \frac{320}{310} \right) \left( \frac{320 + 10}{320} \right) = 8000 \left( \frac{330}{310} \right) = 8000 \times 1.0645 \approx 8516\,Hz$.

(C) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,स्रोत की ओर गति करने वाले प्रेक्षक द्वारा सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $f$ इस प्रकार है:
$f = \left( \frac{v + v_0}{v - v_s} \right) f_0$
इस समीकरण को $v_0$ के फलन के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$f = \left( \frac{f_0}{v - v_s} \right) v_0 + \frac{v f_0}{v - v_s}$
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में एक रैखिक समीकरण है,जहाँ $y = f$ और $x = v_0$ है।
ग्राफ का ढाल $m = \frac{f_0}{v - v_s}$ है।
चूंकि आवृत्ति $f$,$v_0$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है,इसलिए ग्राफ $A$ इस संबंध को सही ढंग से दर्शाता है।
अतः,विकल्प $(c)$ सही उत्तर है।

(D) दिया गया है: सायरन की आवृत्ति,$f = 800 \, Hz$।
प्रेक्षक की गति,$v_o = 2 \, m/s$।
ध्वनि का वेग,$v = 320 \, m/s$।
जब प्रेक्षक एक कारखाने की ओर बढ़ता है,तो डॉप्लर प्रभाव के अनुसार आभासी आवृत्ति $f_1$ होती है: $f_1 = f \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = 800 \left( \frac{320 + 2}{320} \right) = 800 \left( \frac{322}{320} \right) = 805 \, Hz$।
जब प्रेक्षक दूसरे कारखाने से दूर जाता है,तो आभासी आवृत्ति $f_2$ होती है: $f_2 = f \left( \frac{v - v_o}{v} \right) = 800 \left( \frac{320 - 2}{320} \right) = 800 \left( \frac{318}{320} \right) = 795 \, Hz$।
एक सेकंड में सुने गए बीट्स की संख्या दोनों आभासी आवृत्तियों का अंतर है: $\text{बीट आवृत्ति} = |f_1 - f_2| = |805 - 795| = 10 \, Hz$।

(B) दिया गया है: स्रोत की आवृत्ति $f_A = 1800\,Hz$,प्रेक्षक द्वारा प्राप्त आवृत्ति $f_B = 2150\,Hz$,ध्वनि की गति $v_s = 343\,m/s$.
सबसे पहले,हम गतिमान स्रोत और स्थिर प्रेक्षक के लिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र का उपयोग करके स्रोत की अंतिम गति $v$ ज्ञात करते हैं: $f_B = f_A \left( \frac{v_s}{v_s - v} \right)$.
$v$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{v_s - v}{v_s} = \frac{f_A}{f_B} \implies 1 - \frac{v}{v_s} = \frac{1800}{2150} \implies v = v_s \left( 1 - \frac{1800}{2150} \right)$.
$v = 343 \times \left( 1 - 0.8372 \right) = 343 \times 0.1628 \approx 55.84\,m/s$.
अब,जमीन एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है जो ध्वनि को गतिमान स्रोत $A$ की ओर परावर्तित करती है। जमीन की ओर गति कर रहे स्रोत $A$ द्वारा प्राप्त आवृत्ति $f'$ का सूत्र है: $f' = f_A \left( \frac{v_s + v}{v_s - v} \right)$.
मान रखने पर: $f' = 1800 \times \left( \frac{343 + 55.84}{343 - 55.84} \right) = 1800 \times \left( \frac{398.84}{287.16} \right) \approx 1800 \times 1.3889 \approx 2500\,Hz$.

(C) माना $f_A = 500 \, Hz$ स्रोत $A$ की आवृत्ति है,$f_B$ स्रोत $B$ की आवृत्ति है,$v = 340 \, m/s$ ध्वनि की गति है,और $v_s = 4 \, m/s$ स्रोत $A$ की गति है।
स्थिति $1$: जब स्रोत $A$ $C$ पर स्थित स्थिर श्रोता की ओर बढ़ता है,तो आभासी आवृत्ति $f'_A$ इस प्रकार है:
$f'_A = f_A \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 500 \left( \frac{340}{340 - 4} \right) = 500 \left( \frac{340}{336} \right) \approx 505.95 \, Hz$.
स्थिति $2$: जब स्रोत $A$ $C$ पर स्थित स्थिर श्रोता से दूर जाता है,तो आभासी आवृत्ति $f''_A$ इस प्रकार है:
$f''_A = f_A \left( \frac{v}{v + v_s} \right) = 500 \left( \frac{340}{340 + 4} \right) = 500 \left( \frac{340}{344} \right) \approx 494.19 \, Hz$.
माना $f_B$ स्रोत $B$ की आवृत्ति है। बीट आवृत्ति $|f'_A - f_B| = 6$ और $|f''_A - f_B| = 18$ है।
स्थिति $1$ से: $f_B = f'_A \pm 6 = 505.95 \pm 6$,अतः $f_B \approx 511.95 \, Hz$ या $499.95 \, Hz$.
स्थिति $2$ से: $f_B = f''_A \pm 18 = 494.19 \pm 18$,अतः $f_B \approx 512.19 \, Hz$ या $476.19 \, Hz$.
दोनों स्थितियों की तुलना करने पर,$f_B \approx 512 \, Hz$ सामान्य समाधान है।

(D) कथन $1$ सही है क्योंकि चमगादड़ इकोलोकेशन का उपयोग करते हैं,जिसमें अल्ट्रासोनिक तरंगें उत्सर्जित की जाती हैं और शिकार से परावर्तित गूँज को सुनकर उसका स्थान निर्धारित किया जाता है।
कथन $2$ सही है क्योंकि जब स्रोत और डिटेक्टर के बीच सापेक्ष गति होती है,तो डिटेक्टर द्वारा प्राप्त तरंगों की आवृत्ति बदल जाती है,जिसे डॉप्लर प्रभाव कहा जाता है।
चूंकि चमगादड़ शिकार के सापेक्ष गति कर रहा होता है,इसलिए डॉप्लर प्रभाव के कारण परावर्तित तरंगों की आवृत्ति बदल जाती है,जिससे चमगादड़ को शिकार की गति को ट्रैक करने में मदद मिलती है। इसलिए,कथन $2$ कथन $1$ की सही व्याख्या है।

(A) एक खुली पाइप के लिए $n$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{n v_s}{2L}$ द्वारा दी जाती है। दूसरे हार्मोनिक $(n=2)$ के लिए,$f = \frac{2 v_s}{2L} = \frac{v_s}{L}.$
यहाँ $v_s = 330\,m/s$ और $L = 0.5\,m$ दिया गया है,इसलिए स्रोत की आवृत्ति $f = \frac{330}{0.5} = 660\,Hz$ है।
व्यक्ति स्रोत की ओर दौड़ रहा है,इसलिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार प्रेक्षित आवृत्ति $f' = f \left( \frac{v_s + v_o}{v_s} \right)$ होगी,
जहाँ $v_o = 10\,km/h = 10 \times \frac{5}{18} = \frac{25}{9} \approx 2.78\,m/s.$
मान रखने पर: $f' = 660 \left( \frac{330 + 2.78}{330} \right) = 660 \left( 1 + \frac{2.78}{330} \right) = 660 + 660 \times 0.00842 \approx 660 + 5.56 \approx 665.56\,Hz.$
निकटतम पूर्णांक में,आवृत्ति $666\,Hz$ है।

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,प्रेक्षित आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $v_s$ स्रोत की गति है।
प्रथम स्थिति के लिए,$v_s = 34\, m/s$,अतः $f_1 = f_0 \left( \frac{340}{340 - 34} \right) = f_0 \left( \frac{340}{306} \right)$।
दूसरी स्थिति के लिए,$v_s = 17\, m/s$,अतः $f_2 = f_0 \left( \frac{340}{340 - 17} \right) = f_0 \left( \frac{340}{323} \right)$।
अनुपात $f_1/f_2$ लेने पर:
$\frac{f_1}{f_2} = \frac{f_0 (340/306)}{f_0 (340/323)} = \frac{323}{306}$।
दोनों को $17$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{323 \div 17}{306 \div 17} = \frac{19}{18}$ प्राप्त होता है।

(A) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,प्रेक्षित आवृत्ति $f$ का सूत्र है: $f = f_0 \left( \frac{v - v_o}{v + v_s} \right)$।
यहाँ,$v = 340 \, ms^{-1}$ ध्वनि की गति है।
कार $A$ में प्रेक्षक स्रोत से दूर जा रहा है,इसलिए $v_o = 20 \, ms^{-1}$ (दूर जाने के कारण ऋणात्मक चिह्न)।
कार $B$ में स्रोत प्रेक्षक से दूर जा रहा है,इसलिए $v_s = 20 \, ms^{-1}$ (दूर जाने के कारण धनात्मक चिह्न)।
दिया गया है $f = 2000 \, Hz$।
मान रखने पर: $2000 = f_0 \left( \frac{340 - 20}{340 + 20} \right)$।
$2000 = f_0 \left( \frac{320}{360} \right)$।
$2000 = f_0 \left( \frac{8}{9} \right)$।
$f_0 = \frac{2000 \times 9}{8} = 250 \times 9 = 2250 \, Hz$।

(D) स्थिर स्रोत और गतिमान प्रेक्षक के लिए डॉप्लर प्रभाव का सूत्र $f' = f \left( \frac{v \pm v_o}{v} \right)$ है,जहाँ $f = 500\, Hz$ स्रोत की आवृत्ति है,$v = 300\, m/s$ ध्वनि की गति है और $v_o$ प्रेक्षक की गति है।
पहले प्रेक्षक के लिए जो $480\, Hz$ का पता लगाता है (दूर जा रहा है): $480 = 500 \left( \frac{300 - v_{o1}}{300} \right)$.
$\frac{480}{500} = 1 - \frac{v_{o1}}{300} \Rightarrow 0.96 = 1 - \frac{v_{o1}}{300} \Rightarrow \frac{v_{o1}}{300} = 0.04 \Rightarrow v_{o1} = 12\, m/s$.
दूसरे प्रेक्षक के लिए जो $530\, Hz$ का पता लगाता है (पास आ रहा है): $530 = 500 \left( \frac{300 + v_{o2}}{300} \right)$.
$\frac{530}{500} = 1 + \frac{v_{o2}}{300} \Rightarrow 1.06 = 1 + \frac{v_{o2}}{300} \Rightarrow \frac{v_{o2}}{300} = 0.06 \Rightarrow v_{o2} = 18\, m/s$.
अतः,उनकी गति $12\, m/s$ और $18\, m/s$ है।

(C) माना कि $f$ स्रोत की वास्तविक आवृत्ति है,$V = 350\,m/s$ ध्वनि का वेग है,और $V_s = 50\,m/s$ स्रोत का वेग है।
जब स्रोत स्थिर प्रेक्षक की ओर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $f_a$ इस प्रकार दी जाती है:
$f_a = \frac{V}{V - V_s} f = 1000\,Hz$
$1000 = \frac{350}{350 - 50} f = \frac{350}{300} f = \frac{7}{6} f$
अतः,वास्तविक आवृत्ति $f = 1000 \times \frac{6}{7} = \frac{6000}{7}\,Hz$.
जब स्रोत प्रेक्षक से दूर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $f_a'$ इस प्रकार दी जाती है:
$f_a' = \frac{V}{V + V_s} f$
मान रखने पर:
$f_a' = \frac{350}{350 + 50} \times \frac{6000}{7} = \frac{350}{400} \times \frac{6000}{7} = \frac{7}{8} \times \frac{6000}{7} = \frac{6000}{8} = 750\,Hz$.

(B) दिया गया है:
पानी में ध्वनि की गति,$V = 1500\, m/s$
पनडुब्बी $A$ की गति,$V_A = 18\, km/hr = 18 \times \frac{5}{18} = 5\, m/s$
पनडुब्बी $B$ की गति,$V_B = 27\, km/hr = 27 \times \frac{5}{18} = 7.5\, m/s$
स्रोत आवृत्ति,$f_0 = 500\, Hz$
चरण $1$: पनडुब्बी $A$ (प्रेक्षक के रूप में) द्वारा प्राप्त आवृत्ति:
$f' = f_0 \left( \frac{V - V_A}{V - V_B} \right) = 500 \left( \frac{1500 - 5}{1500 - 7.5} \right)$
चरण $2$: पनडुब्बी $A$ इस ध्वनि को परावर्तित करती है,जो एक स्रोत के रूप में कार्य करती है,और पनडुब्बी $B$ इसे प्राप्त करती है (प्रेक्षक के रूप में):
$v = f'' = f' \left( \frac{V + V_B}{V + V_A} \right)$
$f'$ का मान रखने पर:
$v = 500 \left( \frac{1500 - 5}{1500 - 7.5} \right) \left( \frac{1500 + 7.5}{1500 + 5} \right)$
$v = 500 \left( \frac{1495}{1492.5} \right) \left( \frac{1507.5}{1505} \right)$
$v \approx 500 \times 1.001675 \times 1.001661 \approx 501.67\, Hz$
निकटतम पूर्णांक में,$v \approx 502\, Hz$.

(D) दिया गया है: स्रोतों की आवृत्ति $f = 660\, Hz$, ध्वनि का वेग $v = 330\, m/s$, और बीट आवृत्ति $f_b = 10\, \text{beats/s}$।
जब श्रोता $S_1$ से $u$ गति से दूर जाता है, तो प्रेक्षित आवृत्ति $f_1$ है:
$f_1 = f \left( \frac{v - u}{v} \right)$
जब श्रोता $S_2$ की ओर $u$ गति से चलता है, तो प्रेक्षित आवृत्ति $f_2$ है:
$f_2 = f \left( \frac{v + u}{v} \right)$
बीट आवृत्ति दो प्रेक्षित आवृत्तियों के बीच का अंतर है:
$f_b = f_2 - f_1 = f \left( \frac{v + u}{v} \right) - f \left( \frac{v - u}{v} \right)$
$f_b = \frac{f}{v} [v + u - (v - u)] = \frac{f}{v} [2u]$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$10 = \frac{660}{330} \times 2u$
$10 = 2 \times 2u$
$10 = 4u$
$u = \frac{10}{4} = 2.5\, m/s$.

(A) गतिमान स्रोत और स्थिर प्रेक्षक के लिए डॉप्लर प्रभाव का सूत्र $n' = n \left( \frac{v}{v \mp v_s} \right)$ है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $v_s$ स्रोत की गति है।
जब स्रोत प्रेक्षक के पास आ रहा होता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $n_1$:
$n_1 = n \left( \frac{330}{330 - 110} \right) = n \left( \frac{330}{220} \right) = \frac{3}{2} n$
जब स्रोत प्रेक्षक से दूर जा रहा होता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $n_2$:
$n_2 = n \left( \frac{330}{330 + 110} \right) = n \left( \frac{330}{440} \right) = \frac{3}{4} n$
आवृत्तियों का अनुपात:
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{(3/2)n}{(3/4)n} = \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2}{1}$
अतः,अनुपात $2 : 1$ है।

(A) जब ट्रेन प्लेटफॉर्म से दूर जाती है,तो सीटी की आभासी आवृत्ति $(v^{\prime})$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$v^{\prime} = \left( \frac{v}{v + v_s} \right) v_0$
जहाँ:
$v = 340\, m/s$ (ध्वनि की गति)
$v_s = 10\, m/s$ (स्रोत/ट्रेन की गति)
$v_0 = 400\, Hz$ (मूल आवृत्ति)
मान रखने पर:
$v^{\prime} = \left( \frac{340}{340 + 10} \right) \times 400$
$v^{\prime} = \left( \frac{340}{350} \right) \times 400$
$v^{\prime} = \frac{34}{35} \times 400 = 388.57\, Hz$

(A) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब ध्वनि का स्रोत एक स्थिर वेग $V_S$ के साथ एक स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $f_{app}$ इस प्रकार दी जाती है:
$f_{app} = \left( \frac{V}{V - V_S} \right) f_0$
चूंकि $V$ (ध्वनि की गति) और $V_S$ (स्रोत की गति) स्थिर हैं,इसलिए दृष्टिकोण के दौरान प्रेक्षित आवृत्ति स्थिर रहती है।
जब स्रोत प्रेक्षक के पास से गुजरता है और उसी वेग $V_S$ के साथ दूर जाता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $f_{sep}$ इस प्रकार दी जाती है:
$f_{sep} = \left( \frac{V}{V + V_S} \right) f_0$
यह आवृत्ति भी स्थिर है लेकिन दृष्टिकोण के दौरान आवृत्ति से कम है।
इसलिए,ग्राफ में एक स्थिर उच्च आवृत्ति और उसके बाद एक स्थिर निम्न आवृत्ति में अचानक गिरावट दिखनी चाहिए जैसे ही ट्रेन प्रेक्षक के पास से गुजरती है। यह विकल्प $A$ में दिए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(C) आभासी आवृत्ति $f_{app} = f + 0.1f = 1.1f$ है।
डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार: $f_{app} = f \left[ \frac{v + v_o}{v - v_s} \right]$.
अतः,$1.1 = \frac{v + v_o}{v - v_s}$.
स्थिति $1$: यदि प्रेक्षक स्थिर है $(v_o = 0)$,तो $1.1 = \frac{v}{v - v_s}$.
$1.1(v - v_s) = v \Rightarrow 1.1v - 1.1v_s = v \Rightarrow 0.1v = 1.1v_s$.
$v_s = \frac{0.1 \times 330}{1.1} = 30 \, m/s$. यह कथन $(i)$ से मेल खाता है।
स्थिति $2$: यदि स्रोत स्थिर है $(v_s = 0)$,तो $1.1 = \frac{v + v_o}{v}$.
$1.1v = v + v_o \Rightarrow v_o = 0.1v$.
$v_o = 0.1 \times 330 = 33 \, m/s$. यह कथन $(iv)$ से मेल खाता है।
अतः,सही कथन $(i)$ और $(iv)$ हैं।

(B) मान लीजिए हॉर्न की वास्तविक आवृत्ति $f$ है।
जैसे ही कार पुलिसकर्मी के पास आती है,प्रेक्षित आवृत्ति $f_1 = f \left( \frac{c}{c-v} \right)$ होती है,जहाँ $c = 330 \, m/s$ ध्वनि की गति है और $v$ कार की गति है।
जैसे ही कार दूर जाती है,प्रेक्षित आवृत्ति $f_2 = f \left( \frac{c}{c+v} \right)$ होती है।
प्रश्न के अनुसार पिच में $10\%$ की गिरावट आती है,जिसका अर्थ है $f_2 = 0.9 f_1$.
अतः,$\frac{f_2}{f_1} = 0.9 = \frac{9}{10}$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{c-v}{c+v} = \frac{9}{10}$.
$10(c - v) = 9(c + v) \Rightarrow 10c - 10v = 9c + 9v$.
$c = 19v \Rightarrow v = \frac{c}{19} = \frac{330}{19} \approx 17.36 \, m/s$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,कार की गति लगभग $17.3 \, m/s$ है।

(D) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब ध्वनि का स्रोत स्थिर वेग $(v_s)$ से गति करता है,तो एक स्थिर प्रेक्षक द्वारा सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $(n')$ इस प्रकार होती है:
$n' = n \left( \frac{v}{v \mp v_s} \right)$
जहाँ $v$ हवा में ध्वनि की गति है और $n$ स्रोत की वास्तविक आवृत्ति है।
जैसे-जैसे इंजन प्रेक्षक के करीब आता है,आभासी आवृत्ति $n_{app} = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ होती है,जो स्थिर है और $n$ से अधिक है।
जैसे-जैसे इंजन प्रेक्षक से दूर जाता है,आभासी आवृत्ति $n_{rec} = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ होती है,जो स्थिर है और $n$ से कम है।
चूंकि इंजन की गति स्थिर है,इसलिए पास आते समय आवृत्ति उच्च मान पर स्थिर रहती है और दूर जाते समय निम्न मान पर स्थिर रहती है।
इसलिए,ग्राफ में आवृत्ति में अचानक गिरावट दिखाई देती है जैसे ही इंजन प्रेक्षक के पास से गुजरता है।

(C) डॉप्लर प्रभाव स्रोत और प्रेक्षक के बीच की रेखा के अनुदिश उनके सापेक्ष वेग पर निर्भर करता है।
इस मामले में,ट्रेन एक वृत्ताकार ट्रैक पर एकसमान चाल $V_t$ से चल रही है। मान लीजिए इंजन बिंदु $O$ पर है और गार्ड बिंदु $S$ पर है।
$O$ पर इंजन का वेग सदिश और $S$ पर गार्ड का वेग सदिश दोनों वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखीय हैं।
वृत्त की ज्यामिति के कारण,इंजन और गार्ड को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश इंजन के वेग का घटक,उसी रेखा के अनुदिश गार्ड के वेग के घटक के बराबर होता है।
चूंकि उन्हें जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश स्रोत (इंजन) और प्रेक्षक (गार्ड) का सापेक्ष वेग शून्य है,इसलिए कोई डॉप्लर विस्थापन नहीं होता है।
इसलिए,गार्ड द्वारा सुनी गई आवृत्ति इंजन द्वारा उत्सर्जित आवृत्ति के बराबर होती है,अर्थात $f_{app} = f$।

(C) यह प्रश्न डॉप्लर प्रभाव के दो चरणों को शामिल करता है।
चरण $1$: दीवार एक प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है जो चलती हुई कार से ध्वनि प्राप्त करती है। दीवार द्वारा प्राप्त आवृत्ति $f'$ का सूत्र $f' = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ है,जहाँ $f_0 = 480\,Hz$,$v = 340\,m/s$,और $v_s = 20\,m/s$ है।
$f' = 480 \times \left( \frac{340}{340 - 20} \right) = 480 \times \left( \frac{340}{320} \right) = 480 \times 1.0625 = 510\,Hz$.
चरण $2$: दीवार इस ध्वनि को परावर्तित करती है,जो $f'$ आवृत्ति के स्रोत के रूप में कार्य करती है। कार में बैठा यात्री $20\,m/s$ की गति से दीवार की ओर बढ़ रहा है,जो एक प्रेक्षक के रूप में कार्य करता है। यात्री द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f'' = f' \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$ है,जहाँ $v_o = 20\,m/s$ है।
$f'' = 510 \times \left( \frac{340 + 20}{340} \right) = 510 \times \left( \frac{360}{340} \right) = 510 \times 1.0588 \approx 540\,Hz$.

(D) जब एक प्रेक्षक स्थिर स्रोत की ओर बढ़ता है,तो प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $f'$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$f' = f_0 \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$
जहाँ $f_0$ स्रोत की आवृत्ति है,$v_o$ प्रेक्षक का वेग है,और $v$ ध्वनि का वेग है।
यह दिया गया है कि $v_o = \frac{v}{5}$,इसलिए इस मान को सूत्र में रखने पर:
$f' = f_0 \left( \frac{v + \frac{v}{5}}{v} \right) = f_0 \left( \frac{\frac{6v}{5}}{v} \right) = \frac{6}{5} f_0 = 1.2 f_0$
आभासी आवृत्ति में प्रतिशत परिवर्तन की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\text{प्रतिशत परिवर्तन} = \left( \frac{f' - f_0}{f_0} \right) \times 100$
$= \left( \frac{1.2 f_0 - f_0}{f_0} \right) \times 100$
$= 0.2 \times 100 = 20 \%$

(C) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार, जब ध्वनि का स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ता है, तो प्रेक्षित आवृत्ति $n' = n_0 \left( \frac{v_s}{v_s - v} \right)$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $v_s$ ध्वनि की गति है। जब तक ट्रेन स्थिर गति से करीब आती है, तब तक यह आवृत्ति स्थिर रहती है।
जब ट्रेन प्रेक्षक के पास से गुजरती है और दूर जाती है, तो प्रेक्षित आवृत्ति $n'' = n_0 \left( \frac{v_s}{v_s + v} \right)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $n' > n_0$ और $n'' < n_0$, इसलिए जैसे ही ट्रेन प्रेक्षक के पास से गुजरती है, प्रेक्षित आवृत्ति में अचानक गिरावट आती है।
इसलिए, ग्राफ ट्रेन के गुजरने से पहले एक स्थिर उच्च आवृत्ति और ट्रेन के गुजरने के बाद एक स्थिर निम्न आवृत्ति दिखाएगा, जिसमें गुजरने के क्षण पर एक तीव्र असंततता होगी।

(B) स्रोत $P$ से ध्वनि उन्हें जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश प्रेक्षक $Q$ तक पहुँचती है। $P$ और $Q$ के बीच की दूरी $\sqrt{40^2 + 30^2} = 50 \, m$ है।
स्रोत $P$ वेग $v_s = 10 \, m/s$ के साथ क्रॉसिंग की ओर बढ़ रहा है। रेखा $PQ$ (ध्वनि प्रसार की दिशा) पर इस वेग का घटक प्रेक्षक की ओर स्रोत का प्रभावी वेग है।
मान लीजिए $\theta$ कार $P$ के वेग सदिश और रेखा $PQ$ के बीच का कोण है। ज्यामिति से,$\cos \theta = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
प्रेक्षक की ओर स्रोत का प्रभावी वेग $v_{s, \text{eff}} = v_s \cos \theta = 10 \times \frac{4}{5} = 8 \, m/s$ है।
गतिमान स्रोत और स्थिर प्रेक्षक के लिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_{s, \text{eff}}} \right)$
मान रखने पर:
$f' = 700 \times \left( \frac{340}{340 - 8} \right) = 700 \times \left( \frac{340}{332} \right)$
$f' = 700 \times 1.0241 = 716.87 \, Hz \approx 717 \, Hz$.

(C) सबसे पहले,वेग को $m/s$ में बदलें:
मोटरसाइकिल का वेग $v_m = 90 \times \frac{5}{18} = 25\,m/s$.
कार का वेग $v_c = 108 \times \frac{5}{18} = 30\,m/s$.
ध्वनि की गति $v = 330\,m/s$.
हॉर्न की आवृत्ति $f_s = 30\,Hz$.
$1$. कार से सीधे सुनी जाने वाली ध्वनि $(f_1)$:
कार स्रोत है $(v_s = 30\,m/s)$ और मोटरसाइकिल सवार प्रेक्षक है $(v_o = 25\,m/s)$। दोनों दीवार की ओर एक ही दिशा में गति कर रहे हैं।
$f_1 = f_s \left( \frac{v - v_o}{v - v_s} \right) = 30 \left( \frac{330 - 25}{330 - 30} \right) = 30 \left( \frac{305}{300} \right) = 30.5\,Hz$.
$2$. दीवार से परावर्तन के बाद सुनी जाने वाली ध्वनि $(f_2)$:
दीवार एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है। ध्वनि पहले दीवार तक $f' = f_s \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ आवृत्ति के साथ पहुँचती है। फिर दीवार इसे $v_o = 25\,m/s$ से दीवार की ओर गति कर रहे प्रेक्षक की ओर परावर्तित करती है।
$f_2 = f' \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = f_s \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right) = 30 \left( \frac{330 + 25}{330 - 30} \right) = 30 \left( \frac{355}{300} \right) = 35.5\,Hz$.
$3$. बीट आवृत्ति:
$f_{\text{beat}} = |f_2 - f_1| = 35.5 - 30.5 = 5\,Hz$.