Doppler’s Effect Questions in Hindi

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर गति कर रहा हो,तो प्रेक्षक द्वारा सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $f'$ इस प्रकार दी जाती है:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
जहाँ:
$f = 320\,Hz$ (स्रोत की आवृत्ति)
$v = 330\,m/s$ (ध्वनि की गति)
$v_s = 66\,m/s$ (स्रोत की गति)
मान रखने पर:
$f' = 320 \left( \frac{330}{330 - 66} \right)$
$f' = 320 \left( \frac{330}{264} \right)$
$f' = 320 \times 1.25$
$f' = 400\,Hz$
अतः,प्रेक्षक द्वारा प्रेक्षित आवृत्ति $400\,Hz$ है।

(B) डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $f' = f_0 \left( \frac{v \pm v_o}{v \mp v_s} \right)$ है।
यहाँ,$v = 330\,m/s$ (ध्वनि की गति),$v_o = 0$ (प्रेक्षक स्थिर है),$v_s = 30\,m/s$ (स्रोत की गति),और $f_0 = 300\,Hz$ है।
ट्रेन $A$ के लिए (स्टेशन/प्रेक्षक की ओर आती हुई),स्रोत प्रेक्षक की ओर गति कर रहा है: $f_A = 300 \left( \frac{330}{330 - 30} \right) = 300 \left( \frac{330}{300} \right) = 330\,Hz$.
ट्रेन $B$ के लिए (स्टेशन/प्रेक्षक से दूर जाती हुई),स्रोत प्रेक्षक से दूर गति कर रहा है: $f_B = 300 \left( \frac{330}{330 + 30} \right) = 300 \left( \frac{330}{360} \right) = 300 \left( \frac{11}{12} \right) = 275\,Hz$.
सुनी गई आवृत्तियों का अंतर $\Delta f = f_A - f_B = 330 - 275 = 55\,Hz$ है।

(D) मान लीजिए कि हॉर्न की आवृत्ति $f_0$ है। कार की गति $v_c = 15\,m/s$ है और ध्वनि की गति $v = 330\,m/s$ है।
जब कार दीवार की ओर बढ़ती है,तो दीवार एक स्थिर प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है जो ध्वनि प्राप्त करती है,और फिर ध्वनि को चालक की ओर परावर्तित करती है।
दीवार द्वारा सुनी गई ध्वनि की आवृत्ति $f' = f_0 \left( \frac{v}{v - v_c} \right)$ है।
यह परावर्तित ध्वनि चालक द्वारा सुनी जाती है जो $v_c$ गति से दीवार की ओर बढ़ रहा है,इसलिए प्रेक्षित आवृत्ति $f = f' \left( \frac{v + v_c}{v} \right) = f_0 \left( \frac{v + v_c}{v - v_c} \right)$ है।
आवृत्ति में परिवर्तन $\Delta f = f - f_0 = 40\,Hz$ दिया गया है।
मान रखने पर: $f = f_0 \left( \frac{330 + 15}{330 - 15} \right) = f_0 \left( \frac{345}{315} \right)$.
$\Delta f = f_0 \left( \frac{345}{315} - 1 \right) = f_0 \left( \frac{30}{315} \right) = 40$.
$f_0 = \frac{40 \times 315}{30} = 4 \times 105 = 420\,Hz$.

(B) डॉप्लर प्रभाव ध्वनि के स्रोत और प्रेक्षक के बीच सापेक्ष गति के कारण उत्पन्न होता है।
इस मामले में,यात्री ट्रेन के अंदर है और इंजन (ध्वनि का स्रोत) भी उसी ट्रेन का हिस्सा है।
चूंकि स्रोत और प्रेक्षक दोनों एक ही वेग से एक साथ गति कर रहे हैं,इसलिए उनका सापेक्ष वेग $0\,ms^{-1}$ है।
चूंकि स्रोत और प्रेक्षक के बीच कोई सापेक्ष गति नहीं है,इसलिए आवृत्ति में कोई बदलाव नहीं होता है।
अतः,यात्री द्वारा सुनी गई आवृत्ति वही होगी जो सीटी द्वारा उत्पन्न की गई है,यानी $400\,Hz$।

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,प्रेक्षित आवृत्ति $f$ का सूत्र है:
$f = f_0 \left( \frac{c + v_o}{c + v_s} \right)$
जहाँ:
$f_0 = 400\,Hz$ (स्रोत की आवृत्ति)
$c = 360\,ms^{-1}$ (ध्वनि का वेग)
$v_o = 40\,ms^{-1}$ (प्रेक्षक,कार $Q$ का वेग,जो स्रोत की ओर गति कर रही है)
$v_s = 20\,ms^{-1}$ (स्रोत,कार $P$ का वेग,जो प्रेक्षक से दूर जा रही है)
मान रखने पर:
$f = 400 \left( \frac{360 + 40}{360 + 20} \right)$
$f = 400 \left( \frac{400}{380} \right)$
$f = 400 \times 1.0526$
$f \approx 421.05\,Hz$
अतः,यात्री द्वारा सुनी गई आवृत्ति लगभग $421\,Hz$ है।

(D, A, A) $1.$ ध्वनि की गति माध्यम (हवा) के सापेक्ष होती है। चूंकि दोनों ट्रेनें एक ही हवा में चल रही हैं,ट्रेन $A$ (जो $20 \ m/s$ की गति से चल रही है) में यात्रियों के लिए ध्वनि की गति $340 \ m/s$ रहती है क्योंकि वे स्रोत के सापेक्ष स्थिर हैं। ट्रेन $B$ (जो $30 \ m/s$ की गति से दूर जा रही है) में यात्रियों के लिए,उनके सापेक्ष ध्वनि की गति $v_B = 340 - 30 = 310 \ m/s$ है। अतः,विकल्प $D$ सही है।
$2.$ चूंकि ट्रेन $A$ के यात्री स्रोत (ट्रेन $A$ का इंजन) के सापेक्ष स्थिर हैं,वे स्रोत द्वारा उत्सर्जित आवृत्ति सीमा का ही अवलोकन करते हैं। इसलिए,तीव्रता का वितरण अपरिवर्तित रहता है,जिसे ग्राफ $A$ द्वारा दर्शाया गया है।
$3.$ ट्रेन $B$ में यात्रियों के लिए देखी गई आवृत्तियाँ $f'_1$ और $f'_2$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती हैं: $f' = f \left( \frac{v - v_o}{v - v_s} \right)$। यहाँ $v = 340 \ m/s$,$v_o = 30 \ m/s$ (दूर जा रहे हैं),$v_s = 20 \ m/s$ (दूर जा रहे हैं)। इसलिए,$f' = f \left( \frac{340 - 30}{340 - 20} \right) = f \left( \frac{310}{320} \right) = f \left( \frac{31}{32} \right)$।
नया प्रसार $\Delta f' = f'_2 - f'_1 = (f_2 - f_1) \times \frac{31}{32} = 320 \times \frac{31}{32} = 310 \ Hz$ है। अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) मान लीजिए कार की गति $v_0$ है और ध्वनि की गति $v$ है। $Q$ की ओर बढ़ती कार द्वारा $M$ और $N$ से देखी गई आवृत्तियाँ $f_M = f_M^0 \left( \frac{v + v_0 \cos \theta}{v} \right)$ और $f_N = f_N^0 \left( \frac{v + v_0 \cos \theta}{v} \right)$ हैं,जहाँ $\theta$ कार के वेग सदिश और कार को स्पीकर से जोड़ने वाली रेखा के बीच का कोण है।
बीट आवृत्ति $v(t) = |f_N - f_M| = (121 - 118) \left( \frac{v + v_0 \cos \theta}{v} \right) = 3 \left( 1 + \frac{v_0}{v} \cos \theta \right)$.
बिंदु $P$ पर,$\theta$ न्यून कोण है,इसलिए $\cos \theta > 0$,अतः $v_P > 3$. बिंदु $Q$ पर,$\theta = 90^{\circ}$,इसलिए $\cos \theta = 0$,अतः $v_Q = 3$. बिंदु $R$ पर,$\theta$ अधिक कोण है,इसलिए $\cos \theta < 0$,अतः $v_R < 3$.
चूंकि $v_P = 3(1 + k)$ और $v_R = 3(1 - k)$ जहाँ $k = \frac{v_0}{v} \cos \theta_P$,हमारे पास $v_P + v_R = 6 = 2v_Q$ है। अतः,$(A)$ सत्य है।
बीट आवृत्ति में परिवर्तन की दर $\frac{dv}{dt} = 3 \frac{v_0}{v} (-\sin \theta) \frac{d\theta}{dt}$ है। यह तब अधिकतम होती है जब $\sin \theta$ अधिकतम होता है,जो $Q$ पर होता है जहाँ $\theta = 90^{\circ}$ है। अतः,$(B)$ सत्य है।
जैसे-जैसे कार $P$ से $R$ तक चलती है,समय के साथ $\cos \theta$ का परिवर्तन एक सिग्मॉइड-जैसे वक्र का अनुसरण करता है,जिसे बाएं आलेख द्वारा दर्शाया गया है। अतः,$(C)$ सत्य है।

(D) स्थिर स्रोत की ओर आ रही कार द्वारा प्राप्त आवृत्ति $f_1$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$f_1 = f_0 \left( \frac{v + v_c}{v} \right) = 492 \left( \frac{330 + 2}{330} \right) = 492 \left( \frac{332}{330} \right) \,Hz$.
कार एक गतिशील स्रोत के रूप में कार्य करती है जो इस आवृत्ति को स्थिर प्रेक्षक (स्रोत) की ओर वापस परावर्तित करती है। स्रोत द्वारा प्राप्त आवृत्ति $f_2$ है:
$f_2 = f_1 \left( \frac{v}{v - v_c} \right) = 492 \left( \frac{332}{330} \right) \left( \frac{330}{330 - 2} \right) = 492 \left( \frac{332}{328} \right) \,Hz$.
$f_2$ की गणना करने पर:
$f_2 = 492 \times 1.012195 \approx 498 \,Hz$.
बीट आवृत्ति $f_B$ परावर्तित आवृत्ति और मूल आवृत्ति के बीच का अंतर है:
$f_B = f_2 - f_0 = 498 - 492 = 6 \,Hz$.

(A) मान लीजिए स्थिर व्यक्ति बिंदु $C$ पर है और क्षैतिज रेखा $AB$ है। मान लीजिए $O$,$AB$ रेखा पर $C$ के ठीक नीचे का बिंदु है। दिया गया है $CO = 12 \,m$। व्यक्ति $A$ और $B$ पर हैं ताकि $AO = OB = 5 \,m$ हो। दूरी $AC = BC = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13 \,m$ है। रेखा $AC$ (या $BC$) और ऊर्ध्वाधर $CO$ के बीच का कोण $\theta$ है,जहाँ $\cos \theta = \frac{12}{13}$ और $\sin \theta = \frac{5}{13}$ है।
$A$ पर स्थित व्यक्ति (पीछे वाला) $v_A = 2.0 \,m \,s^{-1}$ के वेग से $O$ की ओर बढ़ रहा है। रेखा $AC$ की दिशा में उसके वेग का घटक $v_{A, \text{eff}} = v_A \sin \theta = 2.0 \times \frac{5}{13} \,m \,s^{-1}$ है। चूँकि वह $C$ की ओर बढ़ रहा है,प्रेक्षित आवृत्ति $f_A = f \left( \frac{v}{v - v_A \sin \theta} \right) = 1430 \left( \frac{330}{330 - 2 \times \frac{5}{13}} \right) \approx 1430 \left( 1 + \frac{10}{13 \times 330} \right)$ है।
$B$ पर स्थित व्यक्ति (आगे वाला) $v_B = 1.0 \,m \,s^{-1}$ के वेग से $O$ से दूर जा रहा है। रेखा $BC$ की दिशा में उसके वेग का घटक $v_{B, \text{eff}} = v_B \sin \theta = 1.0 \times \frac{5}{13} \,m \,s^{-1}$ है। चूँकि वह $C$ से दूर जा रहा है,प्रेक्षित आवृत्ति $f_B = f \left( \frac{v}{v + v_B \sin \theta} \right) = 1430 \left( \frac{330}{330 + 1 \times \frac{5}{13}} \right) \approx 1430 \left( 1 - \frac{5}{13 \times 330} \right)$ है।
बीट आवृत्ति $\Delta f = |f_A - f_B| = 1430 \left( \frac{10}{13 \times 330} + \frac{5}{13 \times 330} \right) = 1430 \left( \frac{15}{13 \times 330} \right) = \frac{1430}{330} \times \frac{15}{13} = \frac{13}{3} \times \frac{15}{13} = 5 \,Hz$।

(A) जब स्रोत स्थिर होता है और एक परावर्तक (कार) $v$ चाल से उसकी ओर आता है,तो कार द्वारा प्राप्त आवृत्ति $f' = f_0 \frac{c+v}{c}$ होती है।
यह आवृत्ति फिर स्रोत की ओर परावर्तित होती है। कार एक गतिमान स्रोत के रूप में कार्य करती है,इसलिए स्थिर स्रोत द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f'' = f' \frac{c}{c-v} = f_0 \frac{c+v}{c-v}$ होती है।
चूंकि $v \ll c$,हम द्विपद सन्निकटन का उपयोग करते हैं: $f'' = f_0 (1 + v/c)(1 - v/c)^{-1} \approx f_0 (1 + 2v/c)$।
एक कार के लिए आवृत्ति में परिवर्तन $\Delta f = f'' - f_0 = f_0 (2v/c)$ है।
दो कारों के लिए जिनकी चाल $v_1$ और $v_2$ है,परावर्तित आवृत्तियों का अंतर $\Delta f_{diff} = |f''_1 - f''_2| = f_0 \frac{2(v_1 - v_2)}{c}$ है।
दिया गया है $\Delta f_{diff} = 0.012 f_0$,इसलिए $0.012 f_0 = f_0 \frac{2 \Delta v}{c}$।
$\Delta v = 0.006 \times c = 0.006 \times 330 \ m/s = 1.98 \ m/s$।
$km/h$ में बदलने पर: $\Delta v = 1.98 \times 3.6 \ km/h \approx 7.128 \ km/h$।
निकटतम पूर्णांक $7 \ km/h$ है।

(A) इमारत द्वारा परावर्तित और चालक द्वारा सुनी गई ध्वनि की आवृत्ति डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिया गया है:
स्रोत की आवृत्ति $f_0 = 8 \ kHz = 8000 \ Hz$
स्रोत (कार) का वेग $v_s = 36 \ km/h = 10 \ m/s$
प्रेक्षक (चालक) का वेग $v_o = 10 \ m/s$
ध्वनि की गति $v = 320 \ m/s$
पहले,इमारत एक प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है:
$f' = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 8000 \left( \frac{320}{310} \right)$
फिर,इमारत एक स्रोत के रूप में कार्य करती है और चालक प्रेक्षक है:
$f'' = f' \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = 8000 \left( \frac{320}{310} \right) \left( \frac{330}{320} \right)$
$f'' = 8000 \times \frac{330}{310} \approx 8516 \ Hz = 8.516 \ kHz \approx 8.50 \ kHz$.

(B) मान लीजिए कि स्थिर व्यक्ति बिंदु $C$ पर है और दो गतिमान व्यक्ति $A$ और $B$ पर हैं। दूरी $CO = 12 \ m$ है। चूँकि व्यक्ति $10 \ m$ की दूरी पर हैं और स्थिर व्यक्ति समान दूरी पर है,इसलिए $AO = OB = 5 \ m$ है।
दूरी $AC = BC = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13 \ m$ है।
गति की रेखा और प्रेक्षक को स्रोत से जोड़ने वाली रेखा के बीच का कोण $\theta$ है,जहाँ $\cos \theta = \frac{5}{13}$ है।
पीछे वाले व्यक्ति $(A)$ के लिए जो $v_s = 2.0 \ m \ s^{-1}$ की गति से $O$ की ओर बढ़ रहा है,$AC$ रेखा पर वेग का घटक $v_s \cos \theta$ है। प्रेक्षित आवृत्ति $f_A = f \left( \frac{v}{v - v_s \cos \theta} \right) = 1430 \left( \frac{330}{330 - 2 \cos \theta} \right) \approx 1430 \left( 1 + \frac{2 \cos \theta}{330} \right)$ है।
आगे वाले व्यक्ति $(B)$ के लिए जो $v_s = 1.0 \ m \ s^{-1}$ की गति से $O$ से दूर जा रहा है,$BC$ रेखा पर वेग का घटक $v_s \cos \theta$ है। प्रेक्षित आवृत्ति $f_B = f \left( \frac{v}{v + v_s \cos \theta} \right) = 1430 \left( \frac{330}{330 + 1 \cos \theta} \right) \approx 1430 \left( 1 - \frac{\cos \theta}{330} \right)$ है।
बीट आवृत्ति $\Delta f = f_A - f_B = 1430 \left( \frac{2 \cos \theta + \cos \theta}{330} \right) = 1430 \left( \frac{3 \cos \theta}{330} \right) = 13 \cos \theta$ है।
$\cos \theta = \frac{5}{13}$ रखने पर,हमें $\Delta f = 13 \times \frac{5}{13} = 5 \ Hz$ प्राप्त होता है।

(B) सबसे पहले,वेग को $km/h$ से $m/s$ में बदलें:
$v_{S1} = 108 \times \frac{5}{18} = 30 \ m/s$
$v_O = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \ m/s$
प्रेक्षक $O$ और स्रोत $S_2$ के लिए:
स्रोत $S_2$ स्थिर है $(v_s = 0)$। प्रेक्षक $O$ उन्हें जोड़ने वाली रेखा पर $S_2$ की ओर चलता है। इसलिए प्रेक्षक का वेग $v_o = 10 \ m/s$ है।
डॉप्लर प्रभाव के सूत्र का उपयोग करते हुए: $f_2 = f_0 \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = 120 \left( \frac{330 + 10}{330} \right) = 120 \left( \frac{340}{330} \right) \approx 123.64 \ Hz$.
प्रेक्षक $O$ और स्रोत $S_1$ के लिए:
$S_1$ और $S_2$ के बीच की दूरी $800 \ m$ है,और $O$,$S_2$ से $600 \ m$ दूर है। दूरी $OS_1 = \sqrt{800^2 + 600^2} = 1000 \ m$ है।
कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{800}{1000} = 0.8$ और $\sin \theta = \frac{600}{1000} = 0.6$ है।
$S_1$ का $O$ की ओर वेग घटक $v_{s1} = v_{S1} \cos \theta = 30 \times 0.8 = 24 \ m/s$ है।
$O$ का $S_1$ की ओर वेग घटक $v_{o1} = v_O \sin \theta = 10 \times 0.6 = 6 \ m/s$ है।
डॉप्लर प्रभाव के सूत्र का उपयोग करते हुए: $f_1 = f_0 \left( \frac{v + v_{o1}}{v - v_{s1}} \right) = 120 \left( \frac{330 + 6}{330 - 24} \right) = 120 \left( \frac{336}{306} \right) \approx 131.76 \ Hz$ है।
बीट आवृत्ति $= |f_1 - f_2| = 131.76 - 123.64 = 8.12 \ Hz$ है।
सुने गए बीट्स की संख्या लगभग $8$ है।

(A) एक स्थिर ट्यूनिंग फोर्क के लिए,अनुनाद आवृत्ति $f = \frac{v}{4\ell_1}$ होती है,इसलिए $f \propto \frac{1}{\ell_1}$।
जब ट्यूनिंग फोर्क खुले सिरे के समानांतर चलता है,तो पाइप द्वारा अनुभव की जाने वाली आवृत्ति डॉप्लर शिफ्ट आवृत्ति होती है। पाइप के लिए नई आवृत्ति $f' = f \left( \frac{v}{v - v_T} \right)$ होती है,जहाँ $v_T$ ट्यूनिंग फोर्क की गति है।
अनुनाद के लिए,$f' = \frac{v}{4\ell_2}$।
इस प्रकार,$\frac{v}{4\ell_1} \left( \frac{v}{v - v_T} \right) = \frac{v}{4\ell_2}$।
इसे सरल करने पर,$\frac{\ell_2}{\ell_1} = \frac{v - v_T}{v} = 1 - \frac{v_T}{v}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{\ell_2 - \ell_1}{\ell_1} = -\frac{v_T}{v}$।
मान रखने पर: $\frac{\Delta \ell}{\ell_1} \times 100 = -\frac{2}{320} \times 100 = -0.625 \%$.
प्रतिशत परिवर्तन का परिमाण $0.625 \%$ है,जो लगभग $0.63 \%$ है।

(B) स्रोत द्वारा $u$ गति से पाइप की ओर आने पर पाइप द्वारा प्राप्त ध्वनि की आवृत्ति $f'$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है: $f' = f_s \left( \frac{v}{v - u} \right)$.
$L$ लंबाई का एक बंद पाइप अपनी मूल आवृत्ति $f_0$ के विषम हार्मोनिक्स (odd harmonics) पर अनुनाद करता है,अर्थात $f' = n f_0$,जहाँ $n = 1, 3, 5, 7, \dots$ है।
$(A)$ $u = 0.8 v$ और $f_s = f_0$ के लिए: $f' = f_0 \left( \frac{v}{v - 0.8 v} \right) = f_0 \left( \frac{v}{0.2 v} \right) = 5 f_0$. चूँकि $5$ एक विषम पूर्णांक है,यह अनुनाद की स्थिति है।
$(B)$ $u = 0.8 v$ और $f_s = 2 f_0$ के लिए: $f' = 2 f_0 \left( \frac{v}{v - 0.8 v} \right) = 10 f_0$. चूँकि $10$ एक सम पूर्णांक है,यह अनुनाद नहीं करेगा।
$(C)$ $u = 0.8 v$ और $f_s = 0.5 f_0$ के लिए: $f' = 0.5 f_0 \left( \frac{v}{v - 0.8 v} \right) = 2.5 f_0$. यह एक विषम हार्मोनिक नहीं है।
$(D)$ $u = 0.5 v$ और $f_s = 1.5 f_0$ के लिए: $f' = 1.5 f_0 \left( \frac{v}{v - 0.5 v} \right) = 1.5 f_0 \left( \frac{v}{0.5 v} \right) = 3 f_0$. चूँकि $3$ एक विषम पूर्णांक है,यह अनुनाद की स्थिति है।
अतः,संयोजन $(A)$ और $(D)$ अनुनाद उत्पन्न करते हैं।

(B) हवा के वेग $w$ के साथ डॉपलर प्रभाव का सामान्य सूत्र $f_2 = f_1 \left( \frac{V + w - v_o}{V + w - v_s} \right)$ है,जहाँ $v_o$ और $v_s$ क्रमशः प्रेक्षक और स्रोत के जमीन के सापेक्ष वेग हैं।
स्थिति $1$: हवा स्रोत से प्रेक्षक की ओर बहती है।
ध्वनि की प्रभावी गति $(V + w)$ है। प्रेक्षक $u$ गति से स्रोत की ओर बढ़ता है और स्रोत $u$ गति से प्रेक्षक की ओर बढ़ता है।
चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए (स्रोत से प्रेक्षक की ओर की दिशा धनात्मक): $v_o = -u$ और $v_s = u$.
$f_2 = f_1 \left( \frac{(V + w) - (-u)}{(V + w) - u} \right) = f_1 \left( \frac{V + w + u}{V + w - u} \right)$.
चूंकि $(V + w + u) > (V + w - u)$,इसलिए $f_2 > f_1$.
स्थिति $2$: हवा प्रेक्षक से स्रोत की ओर बहती है।
ध्वनि की प्रभावी गति $(V - w)$ है।
चिह्न परिपाटी का उपयोग करते हुए: $v_o = -u$ और $v_s = u$.
$f_2 = f_1 \left( \frac{(V - w) - (-u)}{(V - w) - u} \right) = f_1 \left( \frac{V - w + u}{V - w - u} \right)$.
चूंकि $(V - w + u) > (V - w - u)$,इसलिए $f_2 > f_1$.
दोनों स्थितियों में,प्रेक्षित आवृत्ति $f_2$,स्रोत आवृत्ति $f_1$ से अधिक है। अतः,कथन $(A)$ और $(B)$ सही हैं।

(A) प्रेक्षक द्वारा प्राप्त आवृत्ति $f_0$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है: $f_0 = \left( \frac{C \pm V_0}{C \mp V_s} \right) f_s$,जहाँ $C$ ध्वनि की गति है,$V_0$ प्रेक्षक की गति है और $V_s$ स्रोत की गति है।
केस $1$: स्रोत और प्रेक्षक एक-दूसरे की ओर बढ़ते हैं।
$f_1 = \left( \frac{C + v}{C - v} \right) f_s$
$288 = \left( \frac{C + v}{C - v} \right) 240$
$\frac{C + v}{C - v} = \frac{288}{240} = \frac{6}{5} \quad \dots (1)$
केस $2$: स्रोत और प्रेक्षक एक-दूसरे से दूर जाते हैं।
$f_2 = n = \left( \frac{C - v}{C + v} \right) f_s$
$n = \left( \frac{C - v}{C + v} \right) 240 \quad \dots (2)$
समीकरण $(1)$ से,हमारे पास $\frac{C - v}{C + v} = \frac{5}{6}$ है।
इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$n = \left( \frac{5}{6} \right) 240$
$n = 5 \times 40 = 200 \ Hz$.

(A) $(1)$ जब $S_2$,$Q$ पर हो तो संसूचक द्वारा मापी गई आवृत्ति $f'$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है: $f' = \frac{C}{C + v \cos \theta} f$,जहाँ $C = 324 \ ms^{-1}$ ध्वनि की गति है,$v = 4 \sqrt{2} \ ms^{-1}$ स्रोत की गति है,और $\theta = 45^{\circ}$ $S_2$ के वेग सदिश और $Q$ से $P$ को जोड़ने वाली रेखा के बीच का कोण है।
$f' = \frac{324}{324 + 4 \sqrt{2} \cos 45^{\circ}} \times 656 = \frac{324}{324 + 4 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}}} \times 656 = \frac{324}{328} \times 656 = 648 \ Hz$.
$(2)$ जब $S_2$,$R$ पर होता है,तो उसका वेग $RP$ रेखा के लंबवत होता है,इसलिए $S_2$ के लिए कोई डॉपलर विस्थापन नहीं होता है। अतः,$f_{P, S_2} = 656 \ Hz$.
$S_1$ के $4 \ ms^{-1}$ की गति से $P$ पर स्थित संसूचक की ओर बढ़ने पर,प्रेक्षित आवृत्ति $f_{P, S_1} = \frac{C}{C - v_s} f = \frac{324}{324 - 4} \times 656 = \frac{324}{320} \times 656 = 664.2 \ Hz$.
विस्पंद आवृत्ति $\Delta f = |f_{P, S_1} - f_{P, S_2}| = 664.2 - 656 = 8.2 \ Hz$.

(D) कोणीय आयाम $\theta_0 = \cos^{-1}(0.9)$ है। चूँकि $\theta_0$ छोटा है,$\cos \theta_0 \approx 1 - \frac{\theta_0^2}{2} = 0.9$,जिससे $\frac{\theta_0^2}{2} = 0.1$ प्राप्त होता है,इसलिए $\theta_0^2 = 0.2$ और $\theta_0 = \sqrt{0.2} = \sqrt{\frac{1}{5}}$।
एक सरल लोलक के लिए,अधिकतम वेग $v' = \ell \omega \theta_0 = \ell \sqrt{\frac{g}{\ell}} \theta_0 = \theta_0 \sqrt{g\ell}$ होता है।
मान रखने पर: $v' = \sqrt{\frac{1}{5}} \sqrt{10 \times 8} = \sqrt{\frac{80}{5}} = \sqrt{16} = 4 \ m/s$।
स्रोत और प्रेक्षक के एक-दूसरे की ओर गति करने पर डॉप्लर शिफ्ट का सूत्र $f_{max} = \left( \frac{v + v'}{v - v'} \right) f$ और दूर जाने पर $f_{min} = \left( \frac{v - v'}{v + v'} \right) f$ होता है।
आवृत्ति में अधिकतम परिवर्तन $\Delta f = f_{max} - f_{min} = f \left( \frac{v + v'}{v - v'} - \frac{v - v'}{v + v'} \right) = f \left( \frac{(v + v')^2 - (v - v')^2}{v^2 - v'^2} \right) = f \left( \frac{4vv'}{v^2 - v'^2} \right)$ है।
$v = 330 \ m/s$,$v' = 4 \ m/s$,और $f = 660 \ Hz$ रखने पर:
$\Delta f = 660 \times \left( \frac{4 \times 330 \times 4}{330^2 - 4^2} \right) = 660 \times \left( \frac{5280}{108900 - 16} \right) \approx 660 \times \left( \frac{5280}{108884} \right) \approx 660 \times 0.04849 \approx 32.003 \ Hz$।
इस प्रकार,मान $(31.19$ से $32.27)$ की सीमा में आता है। इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) ध्वनि के लिए डॉप्लर प्रभाव का सूत्र $f' = f \left( \frac{v - v_o}{v - v_s} \right)$ है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है,$v_o$ प्रेक्षक का वेग है और $v_s$ स्रोत का वेग है।
इस मामले में,स्रोत प्रेक्षक की ओर बढ़ रहा है,इसलिए $v_s = v/4$।
प्रेक्षक स्रोत से दूर जा रहा है,इसलिए $v_o = v/6$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$f' = f \left( \frac{v - v/6}{v - v/4} \right)$
$f' = f \left( \frac{5v/6}{3v/4} \right)$
$f' = f \left( \frac{5}{6} \times \frac{4}{3} \right)$
$f' = f \left( \frac{20}{18} \right) = \frac{10}{9} f$.

(B) दीवार (जो एक स्थिर प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है) द्वारा सुनी गई ध्वनि की आवृत्ति $f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $v = 335 \,m/s$ और $v_s = 5 \,m/s$ है।
$f' = 165 \left( \frac{335}{335 - 5} \right) = 165 \left( \frac{335}{330} \right) = 165 \times \frac{335}{330} = \frac{335}{2} = 167.5 \,Hz$.
अब, दीवार एक स्रोत के रूप में कार्य करती है जो इस ध्वनि को बस की ओर परावर्तित करती है (जो एक गतिशील प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है)। यात्रियों द्वारा सुनी जाने वाली आवृत्ति $f'' = f' \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$ है, जहाँ $v_o = 5 \,m/s$ है।
$f'' = 167.5 \left( \frac{335 + 5}{335} \right) = 167.5 \left( \frac{340}{335} \right) = 167.5 \times \frac{340}{335} = 167.5 \times 1.0149 \approx 170 \,Hz$.
प्रति सेकंड बीट्स की संख्या परावर्तित आवृत्ति और मूल आवृत्ति के बीच का अंतर है: $f_{beats} = f'' - f = 170 \,Hz - 165 \,Hz = 5 \,Hz$.

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब ध्वनि का स्रोत $v_s$ वेग के साथ एक स्थिर प्रेक्षक की ओर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $f'$ का सूत्र $f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ होता है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $f$ वास्तविक आवृत्ति है।
चूंकि हर $(v - v_s)$,$v$ से कम है,इसलिए आभासी आवृत्ति $f'$,वास्तविक आवृत्ति $f$ से अधिक होती है,जिसका अर्थ है कि आवृत्ति बढ़ती है।
स्थिर प्रेक्षक द्वारा देखी गई तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ का सूत्र $\lambda' = \frac{v - v_s}{f}$ है। चूंकि $(v - v_s) < v$,इसलिए आभासी तरंगदैर्ध्य $\lambda'$,वास्तविक तरंगदैर्ध्य $\lambda = v/f$ से कम होती है। अतः,तरंगदैर्ध्य घटती है।

(C) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब एक प्रेक्षक $V_1$ वेग के साथ स्थिर स्रोत की ओर बढ़ता है,तो आभासी आवृत्ति $F_1$ इस प्रकार दी जाती है: $F_1 = F_0 \left( \frac{v + V_1}{v} \right)$,जहाँ $F_0$ स्रोत की वास्तविक आवृत्ति है।
जब प्रेक्षक $V_1$ वेग के साथ स्थिर स्रोत से दूर जाता है,तो आभासी आवृत्ति $F_2$ इस प्रकार दी जाती है: $F_2 = F_0 \left( \frac{v - V_1}{v} \right)$.
दिया गया अनुपात $\frac{F_1}{F_2} = 2$ है,इसलिए: $\frac{F_0 \left( \frac{v + V_1}{v} \right)}{F_0 \left( \frac{v - V_1}{v} \right)} = 2$.
इसे सरल करने पर: $\frac{v + V_1}{v - V_1} = 2$.
तिर्यक गुणा करने पर: $v + V_1 = 2(v - V_1) = 2v - 2V_1$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3V_1 = v$.
अतः,$\frac{v}{V_1} = 3$.

(C) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब ध्वनि का स्रोत और प्रेक्षक एक-दूसरे की ओर गति करते हैं,तो आभासी आवृत्ति $f'$ का सूत्र $f' = f \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$ होता है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है,$v_o$ प्रेक्षक की गति है और $v_s$ स्रोत की गति है।
चूंकि अंश $(v + v_o)$,$v$ से बड़ा है और हर $(v - v_s)$,$v$ से छोटा है,इसलिए आभासी आवृत्ति $f'$,वास्तविक आवृत्ति $f$ से अधिक होगी।
चूंकि माध्यम में ध्वनि की गति $v$ स्थिर रहती है,आवृत्ति $f$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $v = f \lambda$ या $\lambda = v/f$ है।
जैसे-जैसे आभासी आवृत्ति $f'$ बढ़ती है,ध्वनि की गति को स्थिर रखने के लिए आभासी तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ को कम होना चाहिए।
इसलिए,प्रेक्षक उच्च आवृत्ति और कम तरंगदैर्ध्य सुनता है।

(C) माना ध्वनि का वेग $v$ है और स्रोत की आवृत्ति $f$ है। प्रेक्षक स्थिर स्रोत की ओर $v_o = v/5$ के वेग से गति करता है।
डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $f'$ का सूत्र है: $f' = f \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $f' = f \left( \frac{v + v/5}{v} \right) = f \left( \frac{6v/5}{v} \right) = 1.2f$।
आवृत्ति में वृद्धि $\Delta f = f' - f = 1.2f - f = 0.2f$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\left( \frac{\Delta f}{f} \right) \times 100 = \left( \frac{0.2f}{f} \right) \times 100 = 20 \%$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) डॉप्लर प्रभाव के लिए सामान्य सूत्र $f' = f \left( \frac{V \pm v_o}{V \mp v_s} \right)$ है,जहाँ $V$ ध्वनि की गति है,$v_o$ प्रेक्षक की गति है और $v_s$ स्रोत की गति है।
दिया गया है:
स्रोत का वेग $v_s = V/3$ (प्रेक्षक की ओर गति कर रहा है,इसलिए हर कम हो जाएगा)।
प्रेक्षक का वेग $v_o = V/4$ (स्रोत से दूर गति कर रहा है,इसलिए अंश कम हो जाएगा)।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$f' = F \left( \frac{V - V/4}{V - V/3} \right)$
$f' = F \left( \frac{3V/4}{2V/3} \right)$
$f' = F \left( \frac{3}{4} \times \frac{3}{2} \right)$
$f' = \frac{9}{8} F$
अतः,आभासी आवृत्ति $9/8 F$ होगी।

(A) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब कोई स्रोत स्थिर प्रेक्षक की ओर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $f'$ का सूत्र है:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
जहाँ $f$ वास्तविक आवृत्ति है,$v$ ध्वनि की चाल है और $v_s$ स्रोत की चाल है।
दिया गया है कि $v_s = \frac{1}{10} v$,इस मान को सूत्र में रखने पर:
$f' = f \left( \frac{v}{v - \frac{v}{10}} \right)$
$f' = f \left( \frac{v}{\frac{9v}{10}} \right)$
$f' = f \left( \frac{10}{9} \right)$
अतः,आभासी आवृत्ति और वास्तविक आवृत्ति का अनुपात $\frac{f'}{f} = \frac{10}{9}$ है।

(D) जब स्रोत $v_s$ वेग के साथ दूर जा रहा हो,तो स्थिर प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $f'$ का सूत्र है: $f' = f \left( \frac{V}{V + v_s} \right)$,जहाँ $V$ ध्वनि की गति है और $f$ मूल आवृत्ति है।
यह दिया गया है कि आभासी आवृत्ति मूल आवृत्ति की आधी है,इसलिए $f' = \frac{f}{2}$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{f}{2} = f \left( \frac{V}{V + v_s} \right)$।
दोनों पक्षों से $f$ को हटाने पर: $\frac{1}{2} = \frac{V}{V + v_s}$।
तिर्यक गुणा करने पर: $V + v_s = 2V$।
$v_s$ के लिए हल करने पर: $v_s = 2V - V = V$।
अतः,स्रोत को ध्वनि की गति $V$ के बराबर गति से चलना चाहिए।

(C) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,आभासी आवृत्ति $f'$ का सूत्र $f' = f \left( \frac{V \pm v_o}{V \mp v_s} \right)$ है।
यहाँ,$V$ ध्वनि का वेग है,$v_s = \frac{V}{3}$ स्रोत का प्रेक्षक की ओर वेग है,और $v_o = \frac{V}{5}$ प्रेक्षक का स्रोत से दूर जाने का वेग है।
चूंकि स्रोत प्रेक्षक की ओर गति कर रहा है,हर $(V - v_s) = (V - \frac{V}{3}) = \frac{2V}{3}$ हो जाएगा।
चूंकि प्रेक्षक स्रोत से दूर जा रहा है,अंश $(V - v_o) = (V - \frac{V}{5}) = \frac{4V}{5}$ हो जाएगा।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$f' = f \left( \frac{4V/5}{2V/3} \right) = f \left( \frac{4}{5} \times \frac{3}{2} \right) = f \left( \frac{12}{10} \right) = \frac{6}{5} f$.
अतः,आभासी आवृत्ति $\frac{6}{5} f$ है।

(A) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत स्थिर हो और प्रेक्षक $V_1$ वेग से गति करे,तो आभासी आवृत्ति $F$ का सूत्र $F = F_0 \left( \frac{V \pm V_1}{V} \right)$ होता है,जहाँ $F_0$ वास्तविक आवृत्ति है और $V$ ध्वनि का वेग है।
स्थिति $1$: प्रेक्षक स्रोत की ओर गति करता है।
आभासी आवृत्ति $F_1 = F_0 \left( \frac{V + V_1}{V} \right)$ होगी।
स्थिति $2$: प्रेक्षक स्रोत से दूर गति करता है।
आभासी आवृत्ति $F_2 = F_0 \left( \frac{V - V_1}{V} \right)$ होगी।
दिए गए अनुपात $F_1 / F_2 = 2$ से:
$\frac{F_0 (V + V_1) / V}{F_0 (V - V_1) / V} = 2$
$\frac{V + V_1}{V - V_1} = 2$
$V + V_1 = 2(V - V_1)$
$V + V_1 = 2V - 2V_1$
$3V_1 = V$
$\frac{V}{V_1} = 3$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) जब स्रोत $v_s$ गति से चल रहा हो,तो स्थिर प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $f'$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है: $f' = f \left( \frac{V}{V \mp v_s} \right)$.
गुजरने से पहले,स्रोत प्रेक्षक के करीब आता है: $f_1 = f \left( \frac{V}{V - v_s} \right) = 1200 \left( \frac{V}{V - v_s} \right)$.
गुजरने के बाद,स्रोत प्रेक्षक से दूर जाता है: $f_2 = f \left( \frac{V}{V + v_s} \right) = 1200 \left( \frac{V}{V + v_s} \right)$.
आवृत्तियों का अनुपात $f_1 / f_2 = 7/5$ दिया गया है।
व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{V + v_s}{V - v_s} = \frac{7}{5}$.
वज्र गुणन करने पर: $5(V + v_s) = 7(V - v_s) \implies 5V + 5v_s = 7V - 7v_s$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $12v_s = 2V \implies v_s = \frac{2V}{12} = \frac{V}{6}$.

(C) डॉप्लर प्रभाव के कारण प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f' = f \left( \frac{v \pm v_o}{v \mp v_s} \right)$ द्वारा दी जाती है। यहाँ,$v = 330 \ m/s$,$v_s = 30 \ m/s$,$v_o = 0$,और $f = 300 \ Hz$ है।
स्टेशन की ओर आने वाली ट्रेन (पहली ट्रेन) के लिए,आभासी आवृत्ति $f_1 = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 300 \left( \frac{330}{330 - 30} \right) = 300 \left( \frac{330}{300} \right) = 330 \ Hz$ है।
स्टेशन से दूर जाने वाली ट्रेन (दूसरी ट्रेन) के लिए,आभासी आवृत्ति $f_2 = f \left( \frac{v}{v + v_s} \right) = 300 \left( \frac{330}{330 + 30} \right) = 300 \left( \frac{330}{360} \right) = 300 \left( \frac{11}{12} \right) = 275 \ Hz$ है।
व्यक्ति द्वारा सुनी गई आवृत्तियों का अंतर $\Delta f = f_1 - f_2 = 330 \ Hz - 275 \ Hz = 55 \ Hz$ है।

(C) चरण $1$: सायरन से ध्वनि दीवार की ओर यात्रा करती है। दीवार एक स्थिर प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है। गतिमान स्रोत और स्थिर प्रेक्षक के लिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार,दीवार द्वारा प्राप्त आवृत्ति $n_1 = n \left( \frac{V}{V - V_1} \right)$ है।
चरण $2$: दीवार इस ध्वनि को परावर्तित करती है। अब,दीवार $n_1$ आवृत्ति के एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है और ड्राइवर $V_1$ गति से दीवार की ओर बढ़ते हुए प्रेक्षक के रूप में कार्य करता है। ड्राइवर द्वारा सुनी गई आवृत्ति $n_2 = n_1 \left( \frac{V + V_1}{V} \right)$ द्वारा दी जाती है।
चरण $3$: $n_2$ के समीकरण में $n_1$ का मान रखने पर: $n_2 = \left( n \frac{V}{V - V_1} \right) \left( \frac{V + V_1}{V} \right) = n \left( \frac{V + V_1}{V - V_1} \right)$.

(D) मान लीजिए कि सीटी की मूल आवृत्ति $n$ है और प्रेक्षित आवृत्ति $n^{\prime}$ है।
दिया गया है कि आवृत्ति $30 \%$ कम हो जाती है,इसलिए प्रेक्षित आवृत्ति $n^{\prime} = n - 0.30n = 0.7n$ है।
डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक से दूर जाता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $n^{\prime} = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v = 350 \ m/s$ ध्वनि की गति है और $v_s$ इंजन की गति है।
मान रखने पर: $0.7n = n \left( \frac{350}{350 + v_s} \right)$.
दोनों पक्षों को $n$ से विभाजित करने पर: $0.7 = \frac{350}{350 + v_s}$.
$0.7(350 + v_s) = 350$.
$245 + 0.7v_s = 350$.
$0.7v_s = 350 - 245 = 105$.
$v_s = \frac{105}{0.7} = 150 \ m/s$.

(A) दिया गया है:
स्रोत की आवृत्ति $(n_0) = 510 \,Hz$.
स्रोत का वेग $(v_s) = 72 \,km/hr = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \,m/s$.
हवा में ध्वनि का वेग $(v) = 320 \,m/s$.
$(1)$ जब स्रोत एक स्थिर श्रोता की ओर आ रहा हो,तो आभासी आवृत्ति $(n_1)$ इस प्रकार दी जाती है:
$n_1 = n_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
$n_1 = 510 \times \left( \frac{320}{320 - 20} \right) = 510 \times \left( \frac{320}{300} \right) = 544 \,Hz$.
$(2)$ जब स्रोत एक स्थिर श्रोता से दूर जा रहा हो,तो आभासी आवृत्ति $(n_2)$ इस प्रकार दी जाती है:
$n_2 = n_0 \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$
$n_2 = 510 \times \left( \frac{320}{320 + 20} \right) = 510 \times \left( \frac{320}{340} \right) = 480 \,Hz$.
अतः,आवृत्तियाँ $544 \,Hz$ और $480 \,Hz$ हैं।

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब श्रोता $V_1$ वेग के साथ स्थिर स्रोत की ओर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $F_1$ इस प्रकार होती है:
$F_1 = F \left( \frac{V + V_1}{V} \right)$
जब श्रोता $V_1$ वेग के साथ स्थिर स्रोत से दूर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $F_2$ इस प्रकार होती है:
$F_2 = F \left( \frac{V - V_1}{V} \right)$
दिए गए अनुपात $\frac{F_1}{F_2} = 2$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{V + V_1}{V - V_1} = 2$
$V + V_1 = 2(V - V_1)$
$V + V_1 = 2V - 2V_1$
$3V_1 = V$
अतः,$\frac{V}{V_1} = 3$.

(D) ध्वनि तरंगों के लिए डॉप्लर प्रभाव लागू करने पर,प्रेक्षित आवृत्ति $n^{\prime} = n \left( \frac{v + v_0}{v} \right) = n \left( 1 + \frac{v_0}{v} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि का वेग है और $v_0$ स्रोत की ओर गति कर रहे प्रेक्षक का वेग है।
दिया गया है कि प्रेक्षित आवृत्ति स्रोत की आवृत्ति की तीन गुनी है,$n^{\prime} = 3n$।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $3n = n \left( 1 + \frac{v_0}{v} \right)$।
दोनों पक्षों को $n$ से विभाजित करने पर: $3 = 1 + \frac{v_0}{v}$।
$v_0$ के लिए हल करने पर: $\frac{v_0}{v} = 2$,जिसका अर्थ है $v_0 = 2v$।
अतः,प्रेक्षक को स्रोत की ओर ध्वनि के वेग के दोगुने वेग से चलना चाहिए।

(A) दीवार परावर्तित ध्वनि के स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है। दीवार द्वारा प्राप्त ध्वनि की आवृत्ति $n_w = n \left(\frac{V}{V-V_1}\right)$ है।
यह परावर्तित ध्वनि ड्राइवर के लिए एक स्रोत के रूप में कार्य करती है। चूँकि ड्राइवर दीवार (स्रोत) की ओर गति कर रहा है,ड्राइवर द्वारा सुनी गई आवृत्ति $n' = n_w \left(\frac{V+V_1}{V}\right)$ होगी।
$n_w$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $n' = n \left(\frac{V}{V-V_1}\right) \left(\frac{V+V_1}{V}\right) = n \left(\frac{V+V_1}{V-V_1}\right)$।

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,प्रेक्षित आवृत्ति $n^{\prime}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$n^{\prime} = \left( \frac{V + V_{L}}{V - V_{S}} \right) n$
यहाँ,श्रोता की गति $V_{L} = \frac{V}{10}$ और स्रोत की गति $V_{S} = \frac{V}{10}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$n^{\prime} = \left( \frac{V + \frac{V}{10}}{V - \frac{V}{10}} \right) n$
$n^{\prime} = \left( \frac{\frac{11V}{10}}{\frac{9V}{10}} \right) n$
$n^{\prime} = \frac{11}{9} n$
$n^{\prime} \approx 1.22 n$

(A) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब श्रोता स्रोत की ओर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति बढ़ जाती है,इसलिए अंश $(V+V_L)$ होता है।
जब स्रोत श्रोता की ओर गति करता है,तो आभासी तरंगदैर्ध्य कम हो जाती है,जिससे आवृत्ति बढ़ जाती है,इसलिए हर $(V-V_S)$ होता है।
अतः,प्रेक्षित आवृत्ति $n$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$n=n_0\left[\frac{V+V_{L}}{V-V_{s}}\right]$

(B) स्थिर स्रोत की ओर गतिमान प्रेक्षक के लिए,प्रेक्षित आवृत्ति $n_1 = n_0 \left[ \frac{v + v_L}{v} \right]$ द्वारा दी जाती है।
स्थिर प्रेक्षक की ओर गतिमान स्रोत के लिए,प्रेक्षित आवृत्ति $n_2 = n_0 \left[ \frac{v}{v - v_s} \right]$ द्वारा दी जाती है।
मान $v = 330 \,m/s$,$v_L = 50 \,m/s$,और $v_s = 50 \,m/s$ रखने पर:
$n_1 = n_0 \left[ \frac{330 + 50}{330} \right] = n_0 \left[ \frac{380}{330} \right] \approx 1.151 n_0$.
$n_2 = n_0 \left[ \frac{330}{330 - 50} \right] = n_0 \left[ \frac{330}{280} \right] \approx 1.178 n_0$.
दोनों परिणामों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $n_2 > n_1$.
इसलिए,पहले मामले की तुलना में दूसरे मामले में सुनी गई आवृत्ति अधिक होगी।

(D) जब स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ रहा होता है,तो प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति $n_b = \left( \frac{v}{v - v_s} \right) n$ द्वारा दी जाती है।
जब स्रोत स्थिर प्रेक्षक से दूर जा रहा होता है,तो सुनी गई आवृत्ति $n_a = \left( \frac{v}{v + v_s} \right) n$ होती है।
इन दो आवृत्तियों का अनुपात लेने पर:
$\frac{n_b}{n_a} = \frac{v + v_s}{v - v_s}$.
दिया गया अनुपात $\frac{n_b}{n_a} = \frac{11}{9}$ है,इसलिए:
$\frac{11}{9} = \frac{v + v_s}{v - v_s}$.
तिर्यक गुणा करने पर:
$11(v - v_s) = 9(v + v_s)$
$11v - 11v_s = 9v + 9v_s$
$2v = 20v_s$
$v_s = \frac{2v}{20} = \frac{v}{10}$.

(A) डॉप्लर प्रभाव ध्वनि के स्रोत और प्रेक्षक के बीच सापेक्ष गति पर निर्भर करता है।
इस मामले में, यात्री (प्रेक्षक) और इंजन (स्रोत) दोनों एक ही ट्रेन में हैं।
चूंकि वे एक ही वेग से एक साथ चल रहे हैं, इसलिए स्रोत और श्रोता के बीच कोई सापेक्ष गति नहीं है।
इसलिए, यात्री द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $f$, सीटी की वास्तविक आवृत्ति $n$ के बराबर होती है।
अतः, $f = n$।

(A) जब ध्वनि का स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर $v_S$ वेग से गति करता है,तो डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार आभासी आवृत्ति $n$ इस प्रकार दी जाती है: $n = n_0 \left( \frac{v}{v - v_S} \right)$,जहाँ $n_0$ वास्तविक आवृत्ति है और $v$ ध्वनि की गति है।
दिया गया है कि $v_S = \frac{v}{10}$,इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\frac{n}{n_0} = \frac{v}{v - \frac{v}{10}}$
$\frac{n}{n_0} = \frac{v}{\frac{9v}{10}}$
$\frac{n}{n_0} = \frac{10}{9}$
अतः,आभासी और वास्तविक आवृत्ति का अनुपात $10:9$ है।

(D) माना मूल आवृत्ति $f$ है। आभासी आवृत्ति $f^{\prime}$ में $20 \%$ की कमी होती है,इसलिए $f^{\prime} = f - 0.2f = 0.8f = \frac{4}{5}f$ है।
चूंकि आवृत्ति कम हो रही है,इसलिए स्रोत स्थिर प्रेक्षक से दूर जा रहा है।
स्थिर प्रेक्षक से दूर जाने वाले स्रोत के लिए डॉप्लर प्रभाव का सूत्र:
$f^{\prime} = f \left[ \frac{V}{V + V_s} \right]$
जहाँ $V = 350 \ m/s$ ध्वनि की गति है और $V_s$ इंजन की गति है।
मान रखने पर:
$\frac{4}{5}f = f \left[ \frac{350}{350 + V_s} \right]$
$\frac{4}{5} = \frac{350}{350 + V_s}$
$4(350 + V_s) = 5(350)$
$1400 + 4V_s = 1750$
$4V_s = 350$
$V_s = 87.5 \ m/s$.

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत प्रेक्षक के करीब आ रहा होता है,तो प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति $n_{\text{before}} = \left(\frac{V}{V - v_c}\right) n$ होती है।
जब स्रोत दूर जा रहा होता है,तो सुनी गई आवृत्ति $n_{\text{after}} = \left(\frac{V}{V + v_c}\right) n$ होती है।
दिया गया अनुपात $\frac{n_{\text{before}}}{n_{\text{after}}} = \frac{11}{9}$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\frac{V}{V - v_c} n}{\frac{V}{V + v_c} n} = \frac{V + v_c}{V - v_c} = \frac{11}{9}$।
तिर्यक गुणा करने पर: $9(V + v_c) = 11(V - v_c)$।
$9V + 9v_c = 11V - 11v_c$।
$20v_c = 2V$।
$v_c = \frac{2V}{20} = \frac{V}{10}$।

(B) जब स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर गति करता है,तो प्रेक्षक द्वारा सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $f$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$f = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
दिया गया है:
$v = 340 \,m/s$ (ध्वनि की गति)
$f_0 = 90 \,Hz$ (स्रोत की आवृत्ति)
$v_s = \frac{v}{10} = \frac{340}{10} = 34 \,m/s$ (स्रोत की गति)
सूत्र में मान रखने पर:
$f = 90 \left( \frac{340}{340 - 34} \right)$
$f = 90 \left( \frac{340}{306} \right)$
$f = 90 \left( \frac{10}{9} \right)$
$f = 100 \,Hz$

(B) अवधारणा: स्थिर प्रेक्षक से दूर जा रहे स्रोत के लिए डॉप्लर प्रभाव।
सूत्र: $f^{\prime} = f \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$
जहाँ:
$f$ स्रोत की आवृत्ति है = $1152 \ Hz$
$v$ ध्वनि की गति है = $340 \ m/s$
$v_s$ स्रोत की गति है।
सबसे पहले,स्रोत की गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलें:
$v_s = 72 \times \frac{5}{18} \ m/s = 20 \ m/s$
अब,मानों को सूत्र में रखें:
$f^{\prime} = 1152 \times \left( \frac{340}{340 + 20} \right)$
$f^{\prime} = 1152 \times \left( \frac{340}{360} \right)$
$f^{\prime} = 1152 \times \left( \frac{17}{18} \right)$
$f^{\prime} = 64 \times 17 = 1088 \ Hz$
अतः,प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $1088 \ Hz$ है।

(D) जब प्रेक्षक स्थिर स्रोत की ओर गति करता है,तो डॉप्लर प्रभाव का सूत्र $n^{\prime} = n \left( \frac{v + v_{o}}{v} \right)$ होता है,जहाँ $n^{\prime}$ प्रेक्षित आवृत्ति है,$n$ स्रोत की आवृत्ति है,$v$ ध्वनि की चाल है,और $v_{o}$ प्रेक्षक का वेग है।
दिया गया है कि प्रेक्षित आवृत्ति स्रोत की आवृत्ति की दोगुनी है,इसलिए $n^{\prime} = 2n$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $2n = n \left( \frac{v + v_{o}}{v} \right)$।
दोनों पक्षों को $n$ से विभाजित करने पर: $2 = \frac{v + v_{o}}{v}$।
$v$ से गुणा करने पर: $2v = v + v_{o}$।
$v_{o}$ के लिए हल करने पर: $v_{o} = v$।
अतः,प्रेक्षक को ध्वनि की चाल के बराबर वेग से स्रोत की ओर गति करनी चाहिए।